In English

Поле давления

Из проекта Викизнание

Поле давления — двухкомпонентное векторное силовое поле, ковариантным образом описывающее динамическое давление отдельных частиц и давление, возникающее в системах с множеством тесно взаимодействующих частиц. Поле давления является компонентой общего поля, представленной в лагранжиане и в гамильтониане произвольной физической системы членом с энергией частиц в поле давления, и членом с энергией поля. [1] В уравнение движения поле давления входит через тензор поля давления, а в уравнение для метрики – через тензор энергии-импульса поля давления. Любые силы, действующие на частицы вещества и приводящие к изменению их взаимодействия друг с другом, делают вклад в поле давления, в его энергию и импульс. Поле давления обычно рассматривается как макроскопическое поле, описывающее усреднённое взаимодействие частиц в произвольном малом объёме системы. Причиной возникновения поля давления на микроуровне являются различные взаимодействия. Например, электромагнитные силы и сильная гравитация удерживают вместе электроны и нуклоны в атомах. Под действием внешних сил происходит сдавливание вещества и изменение объёма, занимаемого атомами и электронами в атомах вещества. Это приводит к изменению энергии системы, что может быть представлено как изменение энергии поля давления.

Оглавление

  • 1 Скалярное поле давления
  • 2 Векторное поле давления
    • 2.1 Математическое описание
    • 2.2 Действие, Лагранжиан и энергия
    • 2.3 Уравнения
    • 2.4 Тензор энергии-импульса
    • 2.5 Применение в некоторых задачах
  • 3 См. также
  • 4 Ссылки
  • 5 Внешние ссылки

 

Скалярное поле давления

В равновесных состояниях вещества и в отсутствие массовых сил атомы и молекулы движутся как правило хаотично и их общим направленным движением можно пренебречь. В таких условиях характеристикой внутреннего движения становится средняя скорость частиц ~ \bar {v}. В молекулярно-кинетической теории для давления  ~ p имеется формула:  p= \frac{1}{3}m_0 n \bar {v}^2 , где ~ m_0 – средняя масса одной частицы термодинамической системы, ~ n – концентрация частиц.

Будучи термодинамической макроскопической переменной, давление входит в уравнение состояния, связывающее между собой различные термодинамические переменные. В частности давление входит как физическая переменная в уравнение состояния идеального газа:

p\cdot V= \frac{m}{M}R\cdot T,

 

~p= n k T,

где ~ V – объём газа, ~ m – масса газа, ~ M – молярная масса, ~R – универсальная газовая постоянная, ~ T – температура, k = \frac{R}{N_A}  постоянная Больцмана, ~ N_A – число Авогадро.

Давление входит в закон Бернулли для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости, являющийся следствием закона сохранения энергии:

\frac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = \mathrm{const}

где ~\rho – плотность жидкости, ~v – скорость потока, ~h – высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, ~p – давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, ~g – ускорение свободного падения. Первый член равенства есть динамическое давление, второй член даёт давление от массовых сил (в данном случае от гравитации), третий член представляет собой статическое давление, а константа в правой части называется полным давлением.

Скалярное давление характеризует состояние сплошной среды и в случае состояния равновесия в жидкости становится гидростатическим давлением. При этом давление является диагональной компонентой симметричного трёхмерного тензора напряжений Коши:

~\sigma_{ij} = -p \delta_{ij} ,

где ~\delta_{ij} есть символ Кронекера.

В общей теории относительности для идеальной жидкости используется тензор энергии-импульса давления, являющийся обобщением формул классической механики: [2]

~ P^{\mu \nu } = \frac {p}{c^2}u^\mu u^\nu - g^{\mu \nu } p,

где ~ g^{\mu \nu } есть метрический тензор, ~u^\mu – 4-скорость, ~ c – скорость света.

В концепции скалярного поля под энергией поля давления подразумевается работа, совершаемая давлением по изменению объёма системы от начального состояния с нулевым давлением до текущего состояния, с учётом вклада кинетической энергии частиц от изменения массы-энергии за счёт поля давления.

Векторное поле давления

Недостатком скалярной концепции поля давления является неточный учёт энергии и импульса поля давления в ускоренных системах отсчёта с множеством источников поля, где проявляются эффекты самодействия поля, сложения отдельных волн давления при ограниченной скорости распространения поля. В векторных полях появляется дополнительная степень свободы в виде векторного потенциала. В результате энергия одной компоненты поля может переходить в энергию другой компоненты, напряжённость поля становится функцией скалярного и векторного потенциалов, а сила определяется напряжённостью поля, скоростью движения и соленоидальным вектором. Примерами самодействия поля являются электромагнитная индукция и гравитационная индукция. Давление как двухкомпонентное векторное поле было представлено Сергеем Федосиным в рамках метрической теории относительности и ковариантной теории гравитации, а уравнения этого поля появились как следствие принципа наименьшего действия. [3] [4]

Математическое описание

4-потенциал поля давления выражается через скалярный ~\wp и векторный ~ \boldsymbol {\Pi } потенциалы:

~\pi_\mu = \left(\frac {\wp }{c},- \boldsymbol {\Pi } \right) .

Антисимметричный тензор поля давления вычисляется через 4-ротор от 4-потенциала:

f_{\mu \nu} = \nabla_\mu \pi_\nu - \nabla_\nu \pi_\mu = \frac{\partial \pi_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial \pi_\mu}{\partial x^\nu}.

Компонентами тензора поля давления являются компоненты вектора напряжённости поля давления ~\mathbf {C} и соленоидальный вектор давления ~\mathbf { I }:

~ f_{\mu \nu}=  \begin{vmatrix} 0 & \frac { C_x}{ c} & \frac { C_y}{ c} & \frac { C_z}{ c} \\ -\frac { C_x}{ c} & 0 & - I_{z} & I_{y} \\ -\frac { C_y}{ c} & I_{z} & 0 & - I_{x} \\ -\frac { C_z}{ c}& - I_{y} & I_{x} & 0 \end{vmatrix}.

При этом получается следующее:

~\mathbf{C}= -\nabla \wp - \frac{\partial \mathbf{\Pi }} {\partial t}, \qquad\qquad \mathbf{I }= \nabla \times \mathbf{\Pi }. \qquad\qquad (1)

Действие, Лагранжиан и энергия

В ковариантной теории гравитации 4-потенциал ~ \pi_\mu поля давления является частью 4-потенциала общего поля ~ s_\mu, который является суммой 4-потенциалов таких частных полей, как электромагнитное и гравитационное поля, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, поле сильного взаимодействия, поле слабого взаимодействия, других векторных полей, действующих на вещество и его частицы. Все эти поля так или иначе представлены в веществе, так что 4-потенциал ~ s_\mu не может состоять только из одного 4-потенциала ~ \pi_\mu. Плотность энергии взаимодействия общего поля с веществом задаётся произведением 4-потенциала общего поля на массовый 4-ток: ~ s_\mu J^\mu. Из 4-потенциала общего поля путём применения 4-ротора получается тензор общего поля:

~ s_{\mu \nu} =\nabla_\mu s_\nu - \nabla_\nu s_\mu.

Тензорный инвариант, в виде ~ s_{\mu \nu} s^{\mu \nu} , с точностью до постоянного коэффициента пропорционален плотности энергии общего поля. В результате функция действия, содержащая скалярную кривизну ~R и космологическую постоянную ~ \Lambda, определяется выражением: [1]

~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda -  \frac {1}{c}s_\mu J^\mu - \frac {c}{16 \pi \varpi} s_{\mu\nu}s^{\mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,

где ~L – функция Лагранжа или лагранжиан, ~dt – дифференциал времени координатной системы отсчёта, ~k и ~ \varpi – постоянные, подлежащие определению, ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, ~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3 – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты ~ dx^0=cdt, через произведение ~ dx^1 dx^2 dx^3 дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~\sqrt {-g} из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия даёт уравнения общего поля, четырёхмерное уравнение движения и уравнение для определения метрики. Так как поле давления является компонентой общего поля, то из уравнений общего поля вытекают соответствующие уравнения поля давления.

При выполнении условия калибровки космологической постоянной в виде

~ c k \Lambda = -  s_\mu J^\mu ,

энергия системы не зависит от члена со скалярной кривизной и становится однозначно определённой: [4]

~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},

где ~ s_0 и ~ J^0 обозначают временные компоненты 4-векторов ~ s_{\mu } и ~ J^{\mu }.

4-импульс системы определяется формулой:

~p^\mu = \left( \frac {E}{c}{,} \mathbf {p}\right) = \left( \frac {E}{c}{,} \frac {E}{c^2}\mathbf {v} \right) ,

где ~ \mathbf {p} и ~ \mathbf {v} обозначают импульс системы и скорость движения центра масс системы.

Уравнения

Четырёхмерные уравнения поля давления по своей форме оказываются подобными уравнениям Максвелла и имеют следующий вид:

\nabla_\sigma f_{\mu \nu}+\nabla_\mu f_{\nu \sigma}+\nabla_\nu f_{\sigma \mu}=\frac{\partial f_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial f_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial f_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0.

 

~ \nabla_\nu f^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \sigma }{c^2} J^\mu,

где ~J^\mu = \rho_{0} u^\mu есть массовый 4-ток, ~ \rho_{0} – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, ~ u^\mu – 4-скорость движения элемента вещества, ~ \sigma – постоянная, определяемая в каждой задаче, и предполагается, что имеется равновесие между всеми полями в рассматриваемой физической системе.

Условие калибровки 4-потенциала поля давления:

~ \nabla^\mu \pi_\mu = 0 .

В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнений поля давления упрощается и их можно выразить через напряжённость поля ~\mathbf {C} и соленоидальный вектор ~\mathbf { I }:

~ \nabla \cdot \mathbf{C} = 4 \pi \sigma \gamma \rho_0,  \qquad\qquad \nabla \times \mathbf{ I } = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \sigma \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{C}} {\partial t} \right),

 

~ \nabla \times \mathbf{C} = - \frac{\partial \mathbf{ I } } {\partial t} , \qquad\qquad  \nabla \cdot \mathbf{ I } = 0 .

где ~ \gamma = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}  есть фактор Лоренца, ~ \mathbf{J}= \gamma \rho_0 \mathbf{v } – плотность тока массы, ~ \mathbf{v } – скорость элемента вещества.

Используя ещё условие калибровки в виде  ~ \partial^\mu \pi_\mu = \frac {1}{c^2} \frac{\partial \wp }{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol {\Pi }=0  и соотношения (1), из уравнений поля можно получить волновые уравнения для потенциалов поля давления:

~ \frac {1}{c^2}\frac{\partial^2 \wp }{\partial t^2 } -\Delta \wp = 4 \pi \sigma \gamma \rho_0, \qquad\qquad (2)

 

~ \frac {1}{c^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol {\Pi } }{\partial t^2 } -\Delta \boldsymbol {\Pi }= \frac {4 \pi \sigma}{c^2} \mathbf{J}.

Уравнение движения элемента вещества в общем поле описывается формулой:

~ s_{\mu \nu} J^\nu =0.

Так как ~ J^\nu = \rho_0 u^\nu, а тензор общего поля выражается через тензоры частных полей, то уравнение движения можно представить через эти тензоры и 4-ускорение ~ a_\mu:

~ - u_{\mu \nu} J^\nu = \rho_0 a_\mu =F_{\mu \nu} j^\nu + \Phi_{\mu \nu} J^\nu + f_{\mu \nu} J^\nu + h_{\mu \nu} J^\nu + \gamma_{\mu \nu} J^\nu + w_{\mu \nu} J^\nu . \qquad\qquad (3)

Здесь ~ u_{\mu \nu} тензор ускорений, ~ F_{\mu \nu} – тензор электромагнитного поля, ~ j^\nu – зарядовый 4-ток, ~ \Phi_{\mu \nu} тензор гравитационного поля, ~ h_{\mu \nu} тензор поля диссипации, ~ \gamma_{\mu \nu} – тензор поля сильного взаимодействия, ~ w_{\mu \nu} – тензор поля слабого взаимодействия.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса поля давления вычисляется с помощью тензора давления:

~ P^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \sigma }\left( -g^{im} f_{n m} f^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} f_{m r} f^{m r}\right).

В составе тензора ~ P^{ik} находится 3-вектор потока энергии-импульса ~\mathbf {F}, подобный по смыслу вектору Пойнтинга и вектору Хевисайда. Вектор ~\mathbf {F} можно представить через векторное произведение вектора напряжённости поля ~ \mathbf {C} и соленоидального вектора ~ \mathbf { I }:

~ \mathbf {F}=c P^{0i} = \frac {c^2}{4 \pi \sigma }[\mathbf {C}\times \mathbf { I }],

здесь индекс  ~ i=1,2,3.

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность 4-силы давления:

~ f^\alpha = - \nabla_\beta P^{\alpha \beta} = f^{ \alpha}_{k} J^k . \qquad \qquad  (4)

Тензор энергии-импульса поля давления входит в состав тензора энергии-импульса общего поля ~ T^{ik}, однако в общем случае тензор ~ T^{ik} содержит в себе ещё перекрёстные члены с произведениями напряжённостей и соленоидальных векторов частных полей:

~ T^{ik}= k_1W^{ik}+ k_2U^{ik}+ k_3B^{ik}+ k_4P^{ik} + k_5Q^{ik}+ k_6 L^{ik}+ k_7A^{ik}+ cross \quad terms,

где ~ k_1{,} k_2{,} k_3{,} k_4{,} k_5{,} k_6{,} k_7 – некоторые коэффициенты, ~ W^{ik} – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, ~ U^{ik} тензор энергии-импульса гравитационного поля, ~ B^{ik} тензор энергии-импульса поля ускорений, ~ Q^{ik} тензор энергии-импульса поля диссипации, ~ L^{ik} – тензор энергии-импульса поля сильного взаимодействия, ~ A^{ik} – тензор энергии-импульса поля слабого взаимодействия.

Через тензор ~ T^{ik} тензор энергии-импульса поля давления входит в уравнение для метрики:

~ R^{ik} - \frac{1} {4 }g^{ik}R = \frac{8 \pi G \beta  }{ c^4} T^{ik},

где ~ R^{ik} – тензор Риччи, ~ G гравитационная постоянная, ~ \beta – некоторая постоянная, и использовано условие калибровки космологической постоянной.

Применение в некоторых задачах

4-потенциал любого векторного поля для одной частицы может быть представлен так: [3]

~ L_\mu = \frac {k_f  \varepsilon_p }{\rho_0 c^2} u_\mu ,

где  ~ k_f  = \frac {\rho_0}{\rho_{0q}}  для электромагнитного поля и  ~ k_f  = 1  для остальных полей, ~ \rho_{0}  и  ~\rho_{0q} – плотность массы и соответственно плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта, ~ \varepsilon_p – плотность энергии поля частицы, ~ u_\mu – ковариантная 4-скорость.

Для поля давления  ~ \varepsilon_p = p_0,  ~ k_f = 1,  и согласно определения, для 4-потенциала поля давления одной частицы имеем:

 ~\pi_\mu = \left(\frac {\wp }{c},- \boldsymbol {\Pi } \right) = \frac {p_0 }{\rho_0 c^2} u_\mu ,

где ~ p_0  есть скалярное давление. Для произвольной частицы компоненты 4-потенциала в рамках специальной теории относительности(СТО) имеют вид: ~ \wp = \frac { \gamma p_0 }{\rho_0 }, ~ \boldsymbol {\Pi }= \frac { \gamma p_0 }{\rho_0 c^2}\mathbf{v},

и следовательно, векторный потенциал направлен вдоль скорости частицы. Если компоненты векторного потенциала являются функциями от времени и прямо не зависят от пространственных координат, то для такого движения согласно (1) соленоидальный вектор ~ \mathbf { I } обращается в нуль.

Благодаря взаимодействию множества частиц друг с другом посредством различных полей, в том числе на расстоянии без непосредственного контакта, поле давления в веществе изменяется и отличается от поля давления одной частицы в точке наблюдения. Поле давления в системе частиц задаётся через напряжённость и соленоидальный вектор, характеризующие типичные усреднённые характеристики движения вещества. Например, в гравитационно-связанной системе возникает радиальный градиент вектора ~ \mathbf { C }, а если часть частиц движется синхронно или вращается, то возникает вектор ~ \mathbf { I }.Из (3) и (4) следует общее выражение для 4-ускорения с ковариантным индексом, возникающего от поля давления и являющегося частью общего 4-ускорения:

~ (a_\mu)_p = f_{\mu \nu} u^\nu = \frac {cdt}{ds}\left(\frac {1}{c} \mathbf{C} \cdot \mathbf{v}{,} \qquad -\mathbf{C}-[\mathbf{v} \times \mathbf{ I }]  \right),

где ~ ds обозначает четырёхмерный пространственно-временной интервал.

Для стационарного случая, когда потенциалы поля давления не зависят от времени, волновое уравнение (2) для скалярного потенциала в СТО преобразуется в уравнение:

~ \Delta \wp = - 4 \pi \sigma \gamma \rho_0.

Решение этого уравнения для неподвижной сферы с хаотически движущимися в ней частицами имеет вид: [5]

~ \wp = \wp_c - \frac {\sigma \gamma_c c^2  }{\eta } + \frac {\sigma \gamma_c c^3  }{r \eta \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} } \sin \left(\frac {r}{c}\sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \approx \wp_c - \frac {2 \pi \sigma \rho_0 r^2 \gamma_c }{3}.

 

~ p_0  \approx p_{0c} - \frac {2 \pi \sigma \rho^2_0 r^2 \gamma_c }{3}.

 

~ p_{0c} \approx \frac {3 \sigma M^2 }{8 \pi R^4}.

Здесь ~ \eta есть постоянная поля ускорений, ~ \wp_c  представляет собой скалярный потенциал поля давления в центре сферы, ~ \gamma_c = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2_c \over c^2}}}   есть фактор Лоренца для скоростей ~ v_c  частиц в центре сферы, и ввиду малости аргумента синус разложен до членов второго порядка. Из формулы следует, что потенциал давления и скалярное давление максимальны в центре и уменьшаются при приближении к поверхности сферы радиуса ~ R и общей массы ~ M.

Найденная зависимость для давления в центре ~ p_{0c}  хорошо выполняется для самых разных космических объектов, включая газовые облака и глобулы Бока, Землю, нейтронные звёзды. В центре звёзд главной последовательности, включая Солнце, основной вклад в общее давление вместо гравитации вносят термоядерные реакции. Этот вклад был учтён в статье, [1] где для давления в центре ядра Солнца получилось соотношение:

~ p_{0s} \approx \frac {3 \aleph M^2_c }{8 \pi R^4_c},

где ~ R_c и ~ M_c  обозначают радиус и массу ядра Солнца, ~ \aleph есть постоянная в тензоре энергии-импульса поля сильного взаимодействия, причём  ~ \aleph \approx \sigma.

В рассмотренной системе скалярный потенциал ~ \wp становится функцией радиуса, а векторный потенциал ~ \boldsymbol {\Pi } и соленоидальный вектор ~ \mathbf { I } равны нулю. Напряжённость поля давления ~\mathbf {C} находится с помощью (1). Далее могут быть вычислены все функции поля давления, включая 4-ускорение от поля давления, энергию частиц в этом поле и энергию самого поля давления. [6] Для космических тел без дополнительных источников энергии основной вклад в 4-ускорение в веществе вносит гравитационная сила тяжести и поле давления. При этом автоматически выводится релятивистская энергия покоя системы, с учётом движения частиц внутри сферы. Для системы частиц с полем ускорения, полем давления, гравитационным и электромагнитным полями указанный подход позволил решить проблему 4/3 и показал, где и в какой форме содержится энергия системы. Для постоянной поля давления в этой задаче было найдено соотношение:

~\sigma = 3G- \frac {3q^2}{4 \pi \varepsilon_0 m^2 },

где ~ \varepsilon_0 – электрическая постоянная, ~q и  ~m – полный заряд и масса системы.

В статьях [7] [8] соотношение для коэффициентов полей было уточнено следующим образом:

 

http://www.wikiznanie.ru/wikipedia/images/math/4/1/f/41f26ddd965142fe6b952e56edbcc125.png

 

Если ввести параметр  http://www.wikiznanie.ru/wikipedia/images/math/a/9/4/a94533dc713dc21fdaa0bbd583e48ee1.png  как количество нуклонов на одну частицу ионизированного газа, то постоянная поля давления выразится так:

 

http://www.wikiznanie.ru/wikipedia/images/math/8/4/c/84cfe4c17b7edfe3f9b1357010b654c2.png

 

Для давления внутри космических тел в модели гравитационного равновесия находится зависимость от текущего радиуса:

 

http://www.wikiznanie.ru/wikipedia/images/math/d/b/d/dbdde626328d2e3e4779636a4ca101a7.png

 

где коэффициенты http://www.wikiznanie.ru/wikipedia/images/math/f/7/4/f74783f8e3e031f92bc707b12d3cbd51.png  и http://www.wikiznanie.ru/wikipedia/images/math/a/1/9/a19c585bd18af7a54818389916ee4409.png  входят в зависимость плотности массы от радиуса в соотношении  http://www.wikiznanie.ru/wikipedia/images/math/4/2/9/4294bf3784a6be23a0918b29d194cd63.png

Релятивистское уравнение движения вязкого сжимаемого вещества, с учётом 4-потенциала поля давления, тензора поля давления и тензора энергии-импульса поля давления, в пределе малой кривизны пространства-времени было представлено в виде уравнения Навье-Стокса в гидродинамике в рамках СТО. [9]

См. также

Ссылки

1.      Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, P. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.

2.      C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman, San Francisco, CA, 1973).

3.      а б Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, 2014, no. 18, 771 - 779. http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101; статья на русском языке: Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.

4.      а б Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

5.      Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. https://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

6.      Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8 (No. 1), pp. 1-16, (2015); статья на русском языке:  Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.

7.      Fedosin S.G. Estimation of the physical parameters of planets and stars in the gravitational equilibrium model. Canadian Journal of Physics, Vol. 94, No. 4, P. 370-379 (2016). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2015-0593; статья на русском языке: Оценка физических параметров планет и звёзд в модели гравитационного равновесия.

8.      Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. Preprint, February 2016.

9.      Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics. Vol. 18 (No. 1), pp. 13-24, 2015. http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003 ; статья на русском языке: Четырёхмерное уравнение движения вязкого сжимаемого вещества с учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.

 

Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/fp.htm

На список страниц