In English

Вектор Хевисайда

Из проекта Викизнание

Вектор Хевисайда — вектор плотности потока энергии гравитационного поля, входящий в тензор энергии-импульса гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Вектор Хевисайда ~ \mathbf {H} можно определить через векторное произведение двух векторов: [1]

{\mathbf {H}}=-{\frac {c^{2}}{4\pi G}}[{\mathbf \Gamma }\times {\mathbf {\Omega }}],

где ~\mathbf \Gamma – вектор напряжённости гравитационного поля или гравитационное ускорение, ~ G – гравитационная постоянная, ~ \mathbf{\Omega} есть напряжённость поля кручения или кручение поля, ~c – скорость света.

Модуль вектора Хевисайда равен количеству гравитационной энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к потоку энергии, в единицу времени. Знак минус в определении ~ \mathbf {H} означает, что энергия переносится в направлении, противоположном направлению вектора.

Формула для вектора Хевисайда была использована для оценки радиуса протона.  [2]

Оглавление

  • 1 Поток энергии гравитационного поля
  • 2 Теорема Хевисайда
  • 3 Плоские волны
  • 4 Гравитационное давление
  • 5 История
  • 6 Ссылки
  • 7 См. также
  • 8 Внешние ссылки

Поток энергии гравитационного поля

Векторная величина  ~{\frac {1}{c}}{\mathbf {H}}=U^{{0k}}  представляет собой временные компоненты тензора энергии-импульса гравитационного поля  ~ U^{ik}, при этом индексы тензора  i = 0,  k = 1,2,3. Для определения потока энергии гравитационного поля через некоторую поверхность необходимо проинтегрировать вектор  ~ \mathbf {H} по площади этой поверхности с учётом её движения в рассматриваемой системе отсчёта. При таком интегрировании учитывается взаимная ориентация векторов ~ \mathbf {H}  и нормали к поверхности, причём ориентация вектора нормали и площадь поверхности зависят от скорости и направления движения поверхности вследствие эффектов специальной теории относительности. В общей теории относительности появляются дополнительные эффекты, возникающие от искривления пространства-времени.

Теорема Хевисайда

Из закона сохранения энергии и потока энергии для вещества в гравитационном поле в рамках Лоренц-инвариантной теории гравитации следует теорема Хевисайда:

\nabla \cdot \mathbf {H} = - \frac{\partial {U^{00}}}{\partial {t}} - \mathbf {J} \cdot \mathbf {\Gamma } ,

где ~ \mathbf {J} есть плотность тока массы.

Согласно данной теореме, втекающая в некоторый объём гравитационная энергия в виде плотности потока энергии ~ \mathbf {H}  расходуется на увеличение энергии поля ~ U^{00}  в данном объёме, и на совершение гравитационной работы с ускорением ~ \mathbf {\Gamma }  плотности массового тока ~ \mathbf {J}.

Плоские волны

Максвеллоподобные гравитационные уравнения, в форме которых представляются уравнения Лоренц-инвариантной теории гравитации, позволяют определить свойства плоских гравитационных волн от любых точечных источников поля. В плоской волне вектора ~\mathbf \Gamma  и ~ \mathbf{\Omega}  взаимно перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны, а для амплитуд выполняется соотношение  ~\Gamma _{0}=c\Omega _{0} .

Если считать, что волна бежит в одном направлении, для напряжённостей полей можно записать:

~ \Gamma ( \mathbf{r}, t ) = \Gamma_0 \cos ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ),

 

~ \Omega ( \mathbf{r}, t ) = \Omega_0 \cos ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}),

где ~ \omega  и  ~ \mathbf{k} есть угловая частота и волновой вектор волны.

Тогда для потока гравитационной энергии будет:

H({\mathbf {r}},t)=-{\frac {c^{2}}{4\pi G}}\Gamma _{0}\Omega _{0}\cos ^{2}(\omega t-{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}})=-{\frac {c}{4\pi G}}\Gamma _{0}^{2}\cos ^{2}(\omega t-{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}).

Среднее по времени и пространству от квадрата косинуса равно ½, поэтому:

\left\langle H({\mathbf {r}},t)\right\rangle =-{\frac {c}{8\pi G}}\Gamma _{0}^{2}.

На практике следует учитывать, что картина волн в гравитационно связанной системе тел скорее носит квадрупольный, чем дипольный характер, поскольку при излучении следует учитывать вклады всех источников поля, часть которых движется в противоположных направлениях. По принципу суперпозиции вначале нужно просуммировать в каждой точке пространства все имеющиеся там поля ~\mathbf \Gamma  и ~ \mathbf{\Omega}, найти их как функции координат и времени, и только затем вычислять через полученные суммарные величины поток энергии в виде вектора Хевисайда.

Гравитационное давление

Пусть имеется поток гравитационной энергии, падающий на некоторую единичную материальную площадку, поглощающую всю энергию. Тогда максимально возможное гравитационное давление равно:

p=\mid {\frac {\langle H\rangle }{c}}\mid ={\frac {\Gamma _{0}^{2}}{8\pi G}},

где \langle H\rangle  есть среднее значение вектора Хевисайда, ~\Gamma _{0} – амплитуда вектора напряжённости гравитационного поля падающей плоской гравитационной волны.

Формулу для максимального давления можно понять из определения давления как силы ~F, приложенной к площади ~S, определения силы как изменения энергии поля ~\Delta E на пути волны ~\Delta x за время ~\Delta t, при условии, что ~c\Delta t=\Delta x:

p={\frac {F}{S}}={\frac {\Delta E}{\Delta xS}}={\frac {\Delta E}{c\Delta tS}}=\mid {\frac {\langle H\rangle }{c}}\mid .

Поскольку поток гравитационной энергии проходит через тела с малым поглощением в них, для вычисления давления следует брать разность между падающим и исходящим потоками энергии.

История

Представление о потоке гравитационной энергии впервые появилось в работах Оливера Хевисайда. [3] Ранее были определены вектор Умова для потока энергии в веществе (1874 г.) и вектор Пойнтинга (1884 г.) для потока электромагнитной энергии.

Вектор Хевисайда имеет тот же вид, что был использован в работах Krumm and Bedford, [4] Fedosin, [5] H. Behera and P. C. Naik. [6]

Ссылки

1.      Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

2.      Федосин С.Г., Ким А.С. Момент импульса и радиус протона. Известия вузов. Физика, Т. 45, №. 5, С. 93-97 (2002); Fedosin S.G. and Kim A.S. The Moment of Momentum and the Proton Radius. Russian Physics Journal, Vol. 45, No. 5, pp. 534-538 (2002). https://doi.org/10.1023/A:1021001025666.

3.      Oliver Heaviside. A Gravitational and Electromagnetic Analogy, Part I, The Electrician, 31, 281-282 (1893).

4.      P. Krumm and D. Bedford, Am. J. Phys. 55 (4), 362 (1987).

5.      Fedosin S.G. (1999), written at Perm, pages 544, Fizika i filosofiia podobiia ot preonov do metagalaktik, ISBN 5-8131-0012-1.

6.      Harihar Behera and P. C. Naik. Gravitomagnetic Moments and Dynamics of Dirac (Spin 1/2 ) Fermions in Flat Space-Time Maxwellian Gravity. International Journal of Modern Physics A, Vol. 19, No. 25 (2004), P. 4207-4229.

См. также

Внешние ссылки

·         Heaviside vector

 

Источник: http://sergf.ru/vh.htm

На список страниц