In English

Вектор Хевисайда

Из проекта Викизнание

Вектор Хевисайда — вектор плотности потока энергии гравитационного поля, входящий в тензор энергии-импульса гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Вектор Хевисайда $~ \mathbf {H}$ можно определить через векторное произведение двух векторов: ^[1]

$\mathbf {H} = - \frac{c^2_{g}}{4\pi G} [ \mathbf \Gamma \times \mathbf {\Omega}],$

где $~\mathbf \Gamma$ – вектор напряжённости гравитационного поля или гравитационное ускорение, – гравитационная постоянная, $~ \mathbf{\Omega}$ есть напряжённость поля кручения или кручение поля, $~ c_{g}$ – скорость распространения гравитационного воздействия.

Модуль вектора Хевисайда равен количеству гравитационной энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к потоку энергии, в единицу времени. Знак минус в определении $~ \mathbf {H}$ означает, что энергия переносится в направлении, противоположном направлению вектора.

Плотность импульса гравитационного поля

Для определения вектора плотности импульса $~ \mathbf {P_g }$ гравитационного поля необходимо разделить вектор Хевисайда на квадрат скорости распространения гравитации:

$~ \mathbf {P_g}= \frac {1}{ c^2_{g}}\mathbf {H}= - \frac{1}{4\pi G} [ \mathbf \Gamma \times \mathbf {\Omega}].$

Вектор $~ \mathbf {P_g } c_{g} = \frac {1}{ c_{g}}\mathbf {H} =U^{0k}$ входит в тензор энергии-импульса гравитационного поля $~ U^{ik}$ в виде трёх времяподобных компонент, при этом индексы тензора i = 0, k = 1,2,3. Для определения импульса гравитационного поля необходимо проинтегрировать вектор $~ \mathbf {P_g }$ по движущемуся объёму пространства, занимаемого полем, с учётом лоренцевского сокращения этого объёма.

Теорема Хевисайда

Из закона сохранения энергии-импульса вещества в гравитационном поле в рамках Лоренц-инвариантной теории гравитации следует теорема Хевисайда:

$\nabla \cdot \mathbf {H} = - \frac{\partial {U^{00}}}{\partial {t}} - \mathbf {J} \cdot \mathbf {\Gamma } ,$

где $~ \mathbf {J}$ есть плотность тока массы.

Согласно данной теореме, втекающая в некоторый объём гравитационная энергия в виде плотности потока энергии $~ \mathbf {H}$ расходуется на увеличение энергии поля $~ U^{00}$ в данном объёме, и на совершение гравитационной работы с ускорением $~ \mathbf {\Gamma }$ плотности массового тока $~ \mathbf {J}$ .

Плоские волны

Максвеллоподобные гравитационные уравнения, в форме которых представляются уравнения Лоренц-инвариантной теории гравитации, позволяют определить свойства плоских гравитационных волн от любых точечных источников поля. В плоской волне вектора $~\mathbf \Gamma$ и $~ \mathbf{\Omega}$ взаимно перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны, а для амплитуд выполняется соотношение $~ \Gamma_0=c_g \Omega_0$ .

Если считать, что волна бежит в одном направлении, для напряжённостей полей можно записать:

$~ \Gamma ( \mathbf{r}, t ) = \Gamma_0 \cos ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ),$

$~ \Omega ( \mathbf{r}, t ) = \Omega_0 \cos ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}),$

где $~ \omega$ и $~ \mathbf{k}$ есть угловая частота и волновой вектор волны.

Тогда для потока гравитационной энергии будет:

$H( \mathbf{r}, t ) = - \frac{c^2_{g}}{4\pi G} \Gamma_0 \Omega_0 \cos^2 ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ) =- \frac{c_{g}}{4\pi G} \Gamma^2_0 \cos^2 ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ) .$

Среднее по времени и пространству от квадрата косинуса равно ½, поэтому:

$\left\langle H( \mathbf{r}, t ) \right\rangle = - \frac{c_{g}}{8\pi G} \Gamma^2_0.$

На практике следует учитывать, что картина волн в гравитационно связанной системе тел скорее носит квадрупольный, чем дипольный характер, поскольку при излучении следует учитывать вклады всех источников поля. По принципу суперпозиции вначале нужно просуммировать в каждой точке пространства все имеющиеся там поля $~\mathbf \Gamma$ и $~ \mathbf{\Omega}$ , найти их как функции координат и времени, и только затем вычислять через полученные суммарные величины поток энергии в виде вектора Хевисайда.

Гравитационное давление

Пусть имеется поток гравитационной энергии, падающий на некоторую единичную материальную площадку, поглощающую всю энергию. Поток энергии распространяется со скоростью $~ c_{g}$ и несёт плотность импульса поля

$~ \mathbf {P_g }= \frac {1}{ c^2_{g}}\mathbf {H}.$

Тогда максимально возможное гравитационное давление равно:

$p= \mid \frac{\langle H \rangle}{ c_{g}} \mid =\frac {\Gamma^2_0}{8\pi G } ,$

где $\langle H\rangle$ есть среднее значение вектора Хевисайда, $~ \Gamma_0$ – амплитуда вектора напряжённости гравитационного поля падающей плоской гравитационной волны. Формулу для максимального давления можно понять из определения давления как силы , приложенной к площади , определения силы как изменения импульса поля $~ \Delta Q$ за время $~ \Delta t$ , при условии, что $~ \Delta Q = Q$ ; $~ c_g \Delta t=\Delta x$ ; объём, поглощающий импульс поля $~ \Delta V = \Delta x S$ ; среднее значение плотности гравитационного импульса $~ \langle P_g \rangle = \frac {Q}{\Delta V }$ :

$p=\frac {F}{S}= \frac {\Delta Q }{\Delta t S}= \frac {Q c_g }{\Delta x S}= \langle P_g \rangle c_g .$

Поскольку поток гравитационной энергии проходит через тела с малым поглощением в них, для вычисления давления следует брать разность между падающим и исходящим потоками энергии.

История

Представление о потоке гравитационной энергии впервые появилось в работах Оливера Хевисайда. ^[2] Ранее были определены вектор Умова для потока энергии в веществе (1874 г.) и вектор Пойнтинга (1884 г.) для потока электромагнитной энергии.

Вектор Хевисайда имеет тот же вид, что был использован в работах Krumm and Bedford, ^[3] Fedosin, ^[4] H. Behera and P. C. Naik. ^[5]

Ссылки

1. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

2. Oliver Heaviside. A Gravitational and Electromagnetic Analogy, Part I, The Electrician, 31, 281-282 (1893).

3. P. Krumm and D. Bedford, Am. J. Phys. 55 (4), 362 (1987).

4. Fedosin S.G. (1999), written at Perm, pages 544, Fizika i filosofiia podobiia ot preonov do metagalaktik, ISBN 5-8131-0012-1.

5. Harihar Behera and P. C. Naik. Gravitomagnetic Moments and Dynamics of Dirac (Spin 1/2 ) Fermions in Flat Space-Time Maxwellian Gravity. International Journal of Modern Physics A, Vol. 19, No. 25 (2004), P. 4207-4229.

См. также

Вектор Умова
Вектор Пойнтинга
Гравитоэлектромагнетизм
Поле кручения
Напряжённость гравитационного поля
Лоренц-инвариантная теория гравитации
Максвеллоподобные гравитационные уравнения
Ковариантная теория гравитации

Внешние ссылки

· Heaviside vector

Источник: http://sergf.ru/vh.htm

На список страниц