Тензор энергии-импульса поля давления — симметричный четырёхмерный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность энергии и плотность потока энергии поля давления в веществе. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики наравне с тензором энергии-импульса гравитационного поля, с тензором энергии-импульса поля ускорений, с тензором энергии-импульса поля диссипации, и с аналогичным тензором электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность силы давления, действующей в веществе.
Тензор
энергии-импульса поля давления является релятивистским обобщением трёхмерного
тензора напряжений, используемого в механике сплошных сред. В отличие от
тензора напряжений, который применяется обычно для описания относительных
напряжений, появляющихся при деформациях тел, тензор энергии-импульса поля
давления описывает любые внутренние напряжения, в том числе и в отсутствие
деформации тел от внешних воздействий.
Оглавление
|
Существование различных вариантов тензора энергии-импульса давления показывает отсутствие какого-то однозначного определения этого тензора. Кроме 4-скорости, плотности и давления, в данный тензор часто добавляют функцию с заданными свойствами такими, чтобы тензор мог описывать энергию и напряжения в веществе. Произвол выбора подобной функции связан с тем, что когда полагают давление простой скалярной функцией, то возникает необходимость восполнить векторные свойства сил давления какой-то дополнительной функцией.
Для вещества, находящегося в равновесии при однородном давлении, простейший тензор энергии-импульса давления в метрике (+ – – –) записывается так:
где – давление,
– скорость света,
– 4-скорость,
– метрический тензор.
Ввиду своей простоты тензор в таком виде часто используется не только в механике, но и в общей теории относительности.
Фок
вводит в рассмотрение плотность упругой энергии на единицу массы и добавляет эту величину в тензор
энергии-импульса давления: [1]
здесь обозначает ту плотность массы, которая не
зависит от давления, и связана с полной инвариантной плотностью массы
соотношением:
Вместо
этого Федосин использовал функцию сжатия : [2]
Известны и другие формы тензора энергии-импульса давления, отличающиеся друг от друга способом введения в тензор некоторой дополнительной к давлению скалярной функции. [3] [4] [5]
Стандартный
подход предполагает вначале определение тензора энергии-импульса системы где
представляет тензор энергии-импульса вещества,
а
является тензором
энергии-импульса электромагнитного поля. После этого уравнение движения с
учётом давления и других полей следует из равенства нулю ковариантной
производной тензора энергии-импульса системы:
При этом в общей
теории относительности (ОТО) учёт гравитационного поля в уравнении движения
осуществляется через зависимость компонент метрического тензора от координат и
времени.
Тензор используется в ОТО также для нахождения
метрики из уравнения Гильберта-Эйнштейна :
где – тензор Риччи,
– скалярная кривизна,
– гравитационная
постоянная.
Таким образом, тензор энергии-импульса давления изменяет метрику внутри тел.
В отличие
от механики сплошной среды, в ковариантной
теории гравитации (КТГ) поле давления считается не скалярным, а 4-векторным
полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент. Поэтому в КТГ тензор
энергии-импульса поля давления определяется через тензор поля давления и метрический тензор
из принципа наименьшего действия: [6]
где – постоянная,
имеющая своё собственное значение в каждой задаче. То, что
не определена однозначно, является следствием
того факта, что давление внутри тел может быть вызвано действием любых причин и
сил как внутреннего, так и внешнего характера. Поле давления рассматривается
как компонента общего поля. [7]
В пределе
слабого поля, когда метрика пространства-времени переходит в метрику
пространства Минковского специальной теории
относительности, метрический тензор переходит
в тензор
, состоящий из чисел 0, 1, –1. В этом случае вид
тензора энергии-импульса поля давления существенно упрощается и его можно
выразить через компоненты тензора поля давления, то есть через напряжённость
поля давления
и
соленоидальный вектор
:
Временные компоненты тензора обозначают:
1) объёмная плотность энергии поля давления
2) вектор плотности потока энергии поля давления:
Компоненты
вектора входят в
соответствующие компоненты тензора P01, P02, P03, при этом вследствие симметрии тензора по
индексам P01
= P10, P02
= P20, P03
= P30.
3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором напряжений поля давления, взятым со знаком минус. Тензор напряжений можно записать в следующем виде:
где p,q = 1,2,3, компоненты C1 = Cx, C2 = Cy, C3 = Cz, I1 = Ix, I2 = Iy, I3 = Iz, символ Кронекера δpq равен 1 при p = q,
и равен нулю при
Представленный тензор напряжений является конкретным выражением тензора напряжений Коши.
Трёхмерная дивергенция тензора напряжений поля давления связывает плотность силы давления и скорость изменения плотности потока энергии поля давления:
где обозначают компоненты трёхмерной плотности
силы давления,
– компоненты вектора
плотности потока энергии поля давления.
Из
принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы давления может быть найден через тензор
энергии-импульса поля давления, либо через произведение тензора поля давления и
массового 4-тока:
Соотношение (1) тесно связано с уравнениями поля давления:
В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы давления можно записать:
где – 3-вектор плотности силы давления,
– плотность движущегося вещества,
– 3-вектор плотности массового тока,
– 3-вектор скорости движения элемента
вещества.
В
пространстве Минковского уравнения поля давления преобразуются в 4 уравнения
для напряжённости поля давления и соленоидального вектора
:
В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля давления в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики: [8]
где – коэффициент, подлежащий определению,
,
,
и
– соответственно тензоры плотности
энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и
электромагнитного полей.
Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса давления Pik или тензора поля давления fnk :
где – тензор
ускорений,
– тензор гравитационного поля,
– тензор электромагнитного поля,
– зарядовый 4-ток,
– плотность электрического заряда элемента
вещества в системе его покоя,
– 4-скорость.
Временная
компонента уравнения (2) при описывает изменение энергии, а
пространственная компонента при
связывает ускорение с плотностями действующих
сил.
Временную компоненту в (2) можно рассматривать как локальный
закон сохранения энергии и потока энергии. В пределе специальной
теории относительности, когда ковариантная производная становится 4-градиентом,
а символы Кристоффеля обращаются в нуль, этот закон сохранения приобретает
простой вид: [9] [10]
где – вектор плотности потока энергии поля
ускорений,
– вектор Хевисайда,
– вектор Пойнтинга,
– вектор плотности потока энергии поля
давления.
Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и
зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате
изменение во времени суммарной энергии в некотором объёме возможно только за
счёт втекания в этот объём потоков энергии.
Интегральная форма закона сохранения энергии и потока энергии
получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму, чтобы учесть энергию
и поток энергии гравитационного и
электромагнитного полей, простирающихся далеко за пределы рассматриваемой
физической системы. При интегрировании (2) применяется формула
Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы
тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по
3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается интегральный вектор,
равный нулю:
Равенство нулю интегрального вектора позволяет объяснить
проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в потоке энергии поля движущейся системы в
4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы. С другой стороны, согласно [10]
обобщённая теорема Пойнтинга и интегральный вектор должны рассматриваться по разному в веществе и за его пределами. В результате
возникновение проблемы 4/3 связывается с тем, что временные компоненты тензоров
энергии-импульса не образуют 4-векторы и потому принципиально не могут задавать
одну и ту же массу в энергии и в импульсе полей. [11]
1.
Фок В.А.
Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. – 568 с.
2.
Федосин С.Г. Физика и философия подобия от
преонов до метагалактик, Пермь:
Стиль-МГ, 1999, 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв. ISBN
5-8131-0012-1.
3. Herglotz G. // Ann. d. Phys. 1911, Bd 36, S. 493.
4.
Ignatowsky W.V. // Phys. Ztschr. 1911,
Bd 12, S. 441.
5. Lamla E. // Berl. Diss., 1911; Ann. d. Phys. 1912, Bd 37,
S. 772.
6.
Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration
field, pressure field and energy. Jordan
Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на
русском языке: О космологической постоянной,
поле ускорения, поле давления и об энергии.
7. Fedosin S.G. Two components of the macroscopic general field. Reports in Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2, 1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025. // Две компоненты макроскопического общего поля.
8. Fedosin S.G. Lagrangian formalism in the theory of relativistic vector fields. International Journal of Modern Physics A, Vol. 40, No. 02, 2450163 (2025). https://doi.org/10.1142/S0217751X2450163X. // Лагранжев формализм в теории релятивистских векторных полей.
9. Fedosin S.G. The
Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the
Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167.
http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12
; статья на русском языке: Интегральный
4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля
ускорений.
10. а б Fedosin S.G. The
generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3
problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая
теорема Пойнтинга для
общего поля и
решение проблемы 4/3.
11. Fedosin S.G. What should we understand by the
four-momentum of physical system? Physica Scripta, Vol. 99, No. 5, 055034
(2024). https://doi.org/10.1088/1402-4896/ad3b45.
// Что
мы должны понимать под 4-импульсом физической системы?