In English

Тензор энергии-импульса поля давления

Из проекта Викизнание

Тензор энергии-импульса поля давления — симметричный четырёхмерный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса поля давления в веществе. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики наравне с тензором энергии-импульса гравитационного поля, с тензором энергии-импульса поля ускорений, с тензором энергии-импульса поля диссипации, и с аналогичным тензором электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность силы давления, действующей в веществе.

Тензор энергии-импульса поля давления является релятивистским обобщением трёхмерного тензора напряжений, используемого в механике сплошных сред. В отличие от тензора напряжений, который применяется обычно для описания относительных напряжений, появляющихся при деформациях тел, тензор энергии-импульса поля давления описывает любые внутренние напряжения, в том числе и в отсутствие деформации тел от внешних воздействий.

Оглавление

  • 1 Механика сплошных сред
    • 1.1 Примеры тензоров
    • 1.2 Описание движения и метрики
  • 2 Ковариантная теория гравитации
    • 2.1 Определение
    • 2.2 Компоненты тензора энергии-импульса поля давления
    • 2.3 Cила давления и уравнения поля давления
    • 2.4 Уравнение для метрики
    • 2.5 Уравнение движения
    • 2.6 Законы сохранения
  • 3 См. также
  • 4 Ссылки
  • 5 Внешние ссылки

Механика сплошных сред

Существование различных вариантов тензора энергии-импульса давления показывает отсутствие какого-то однозначного определения этого тензора. Кроме 4-скорости, плотности и давления, в данный тензор часто добавляют функцию с заданными свойствами такими, чтобы тензор мог описывать энергию и напряжения в веществе. Произвол выбора подобной функции связан с тем, что когда полагают давление простой скалярной функцией, то возникает необходимость восполнить векторные свойства сил давления какой-то дополнительной функцией.

Примеры тензоров

Для вещества, находящегося в равновесии при однородном давлении, простейший тензор энергии-импульса давления в метрике (+ – – –) записывается так:

~ P^{ik} = \frac{p} {c^2 }u^i u^k - g^{ik}p   ,

где ~ p – давление, ~ c – скорость света, ~ u^i – 4-скорость, ~ g^{ik} – метрический тензор.

Ввиду своей простоты тензор в таком виде часто используется не только в механике, но и в общей теории относительности.

Фок вводит в рассмотрение плотность упругой энергии на единицу массы ~ \Pi и добавляет эту величину в тензор энергии-импульса давления: [1]

~ P^{ik} = \frac{p+ \rho^{*} \Pi } {c^2 }u^i u^k - g^{ik}p   ,

здесь ~ \rho^{*} обозначает ту плотность массы, которая не зависит от давления, и связана с полной инвариантной плотностью массы ~ \rho_0 соотношением:

~ \rho^{*}= \frac{ \rho_0 } {1+\Pi /c^2 }.

Вместо этого Федосин использовал функцию сжатия ~ L : [2]

~ P^{ik} = \frac{p} {c^2 }u^i u^k + (L-p) g^{ik}.

Известны и другие формы тензора энергии-импульса давления, отличающиеся друг от друга способом введения в тензор некоторой дополнительной к давлению скалярной функции. [3] [4] [5]

Описание движения и метрики

Стандартный подход предполагает вначале определение тензора энергии-импульса системы ~ T^{ik}= \phi^{ik}+ P^{ik}+ W^{ik}, где  ~ \phi^{ik}= \rho_0 u^i u^k представляет тензор энергии-импульса вещества, а ~ W^{ik} является тензором энергии-импульса электромагнитного поля. После этого уравнение движения с учётом давления и других полей следует из равенства нулю ковариантной производной тензора энергии-импульса системы: ~ - \nabla_k T^{ik}=0. При этом в общей теории относительности (ОТО) учёт гравитационного поля в уравнении движения осуществляется через зависимость компонент метрического тензора от координат и времени.

Тензор ~ T^{ik} используется в ОТО также для нахождения метрики из уравнения Гильберта-Эйнштейна :

~ R_{ik} - \frac{1} {2 }g_{ik}R + g_{ik} \Lambda = \frac{8 \pi G } { c^4} T_{ik},

где ~ R_{ik}={R^n}_{ink} – тензор Риччи, ~ R=R_{ik}g^{ik} – скалярная кривизна, ~ G гравитационная постоянная.

Таким образом, тензор энергии-импульса давления изменяет метрику внутри тел.

Ковариантная теория гравитации

Определение

В отличие от механики сплошной среды, в ковариантной теории гравитации (КТГ) поле давления считается не скалярным, а 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент. Поэтому в КТГ тензор энергии-импульса поля давления определяется через тензор поля давления ~f_{ik} и метрический тензор ~ g^{ik} из принципа наименьшего действия: [6]

~ P^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \sigma } \left( - g^{im} f_{nm} f^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}f_{mr}f^{mr}\right) ,

где ~ \sigma – постоянная, имеющая своё собственное значение в каждой задаче. То, что ~ \sigma не определена однозначно, является следствием того факта, что давление внутри тел может быть вызвано действием любых причин и сил как внутреннего, так и внешнего характера. Поле давления рассматривается как компонента общего поля.

 

Компоненты тензора энергии-импульса поля давления

В пределе слабого поля, когда метрика пространства-времени переходит в метрику пространства Минковского специальной теории относительности, метрический тензор ~ g^{ik}переходит в тензор ~ \eta^{ik}, состоящий из чисел 0, 1, –1. В этом случае вид тензора энергии-импульса поля давления существенно упрощается и его можно выразить через компоненты тензора поля давления, то есть через напряжённость поля давления ~\mathbf{ C}  и соленоидальный вектор ~\mathbf{I} :

~ P^{ik} = \begin{vmatrix} \varepsilon_p & \frac {F_x}{c}  & \frac {F_y}{c} & \frac {F_z}{c} \\ c P_{px} & \varepsilon_p - \frac{C^2_x+c^2 I^2_x}{4\pi \sigma } & -\frac{C_x C_y+c^2 I_x I_y }{4\pi\sigma } & -\frac{C_x C_z+c^2 I_x I_z }{4\pi\sigma } \\ c P_{py} & -\frac{C_x C_y+c^2 I_x I_y }{4\pi\sigma } & \varepsilon_p -\frac{C^2_y+c^2 I^2_y }{4\pi\sigma }  & -\frac{C_y C_z+c^2 I_y I_z }{4\pi\sigma } \\ c P_{pz} & -\frac{C_x C_z+c^2 I_x I_z }{4\pi\sigma }  & -\frac{C_y C_z+c^2 I_y I_z }{4\pi\sigma } & \varepsilon_p -\frac{C^2_z+c^2 I^2_z }{4\pi\sigma }  \end{vmatrix}.

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля давления

~ P^{00} = \varepsilon_p = \frac{1}{8 \pi \sigma }\left(C^2+ c^2 I^2 \right).

2) вектор плотности импульса поля давления  ~\mathbf{P_p} =\frac{ 1}{ c^2} \mathbf{F},  где вектор плотности потока энергии поля давления:

~\mathbf{F} = \frac{ c^2 }{4 \pi \sigma }[\mathbf{C}\times \mathbf{I}].

Компоненты вектора ~\mathbf{F}  входят в соответствующие компоненты тензора P01,  P02,  P03,  а компоненты вектора ~\mathbf{P_p}  – в компоненты тензора P10,  P20,  P30, при этом вследствие симметрии тензора по индексам P01 = P10,  P02 = P20,  P03 = P30.

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля, или тензором напряжений поля давления, взятым со знаком минус. Тензор напряжений можно записать в следующем виде:

~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi \sigma } \left(  C^p C^q + c^2 I^p I^q - \frac {1}{2} \delta^{pq} (C^2 + c^2 I^2 ) \right) ,

где  p,q = 1,2,3, компоненты C1 = Cx,  C2 = Cy,  C3 = Cz,  I1 = Ix,  I2 = Iy,  I3 = Iz,  символ Кронекера  δpq  равен 1 при p = q, и равен нулю при p \not=q.

Представленный тензор напряжений является конкретным выражением тензора напряжений Коши.

Трёхмерная дивергенция тензора напряжений поля давления связывает плотность силы давления и скорость изменения плотности импульса поля давления:

~ \partial_q \sigma^{p q} = f^p +\frac {1}{c^2} \frac{ \partial F^p}{\partial t},

где ~ f^p обозначают компоненты трёхмерной плотности силы давления, ~ F^p – компоненты вектора плотности потока энергии поля давления.

Cила давления и уравнения поля давления

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы давления ~ f^\alpha может быть найден через тензор энергии-импульса поля давления, либо через произведение тензора поля давления и массового 4-тока:

~ f^\alpha = -\nabla_\beta P^{\alpha \beta} = f^{\alpha}_{i} J^i .  \qquad (1)

Соотношение (1) тесно связано с уравнениями поля давления:

~ \nabla_n f_{ik} + \nabla_i f_{kn} + \nabla_k f_{ni}=0,

 

~\nabla_k f^{ik} = -\frac {4 \pi \sigma }{c^2} J^i .

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы давления можно записать:

~ f^\alpha = (\frac {\mathbf{C} \cdot \mathbf{J} }{c}, \mathbf{f} ),

где ~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{C} + [\mathbf{J} \times \mathbf{I} ]  – 3-вектор плотности силы давления, ~\rho – плотность движущегося вещества, ~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v} – 3-вектор плотности массового тока, ~\mathbf{v} – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля давления преобразуются в 4 уравнения для напряжённости поля давления ~\mathbf{ C}  и соленоидального вектора ~\mathbf{I} :

~\nabla \cdot \mathbf{ C} = 4 \pi \sigma \rho,

 

~\nabla \times \mathbf{ I} =  \frac {1 }{c^2}\frac{\partial \mathbf{ C}}{\partial t}+\frac {4 \pi \sigma \rho \mathbf{ v}}{c^2},

 

~\nabla \cdot \mathbf{ I} = 0,

 

~\nabla \times \mathbf{ C} =  - \frac{\partial \mathbf{ I}}{\partial t}.

Уравнение для метрики

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля давления в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики:

~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta  }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} \right),

где ~ \beta – коэффициент, подлежащий определению, ~ B_{ik},  ~ P_{ik},  ~ U_{ik} и  ~ W_{ik} – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей.

Уравнение движения

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса давления  Pik  или тензора поля давления  fnk :

~ - \nabla_k \left( B^{ik}+ U^{ik} +W^{ik}+ P^{ik}   \right) = g^{in}\left(u_{nk} J^k + \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k  + f_{nk} J^k  \right)  =0. \qquad (2)

где  ~ u_{nk} тензор ускорений, ~ \Phi_{nk} тензор гравитационного поля, ~F_{nk} – тензор электромагнитного поля, ~j^k = \rho_{0q} u^k – зарядовый 4-ток, ~\rho_{0q} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, ~ u^k – 4-скорость.

Временная компонента уравнения (2) при ~ i=0  описывает изменение энергии, а пространственная компонента при ~ i=1{,}2{,}3  связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохранения

Временную компоненту в (2) можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса. В пределе специальной теории относительности, когда ковариантная производная становится 4-градиентом, а символы Кристоффеля обращаются в нуль, этот закон сохранения приобретает простой вид: [7]

~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P}+ \mathbf{F} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00}+P^{00} )}{\partial t},

где ~ \mathbf{K} – вектор плотности потока энергии поля ускорений, ~ \mathbf{H} вектор Хевисайда, ~ \mathbf{P} – вектор Пойнтинга, ~ \mathbf{F} – вектор плотности потока энергии поля давления.

Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате изменение во времени суммарной энергии в некотором объёме возможно только за счёт втекания в этот объём потоков энергии.

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму, чтобы учесть энергию-импульс гравитационного и электромагнитного полей, простирающихся далеко за пределы рассматриваемой физической системы. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается сохраняющийся 4-вектор, равный нулю:

~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0}+P^{i0} \right) dV }.

Равенство нулю этого 4-вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы.

См. также

Ссылки

1.       Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. – 568 с.

2.       Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв. ISBN 5-8131-0012-1.

3.       Herglotz G. // Ann. d. Phys. 1911, Bd 36, S. 493.

4.       Ignatowsky W.V. // Phys. Ztschr. 1911, Bd 12, S. 441.

5.       Lamla E. // Berl. Diss., 1911; Ann. d. Phys. 1912, Bd 37, S. 772.

6.       Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

7.       Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

 

Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/ps.htm

На список страниц