In English

Тензор ускорений

Из проекта Викизнание

Тензор ускорений — антисимметричный тензор, описывающий 4-ускорение частиц и состоящий из шести компонент. При этом данные компоненты являются компонентами двух трёхмерных векторов – напряжённости поля ускорений, и соленоидального вектора ускорений. С помощью тензора ускорений определяется тензор энергии-импульса поля ускорений, уравнения поля ускорений и плотность 4-силы. Поле ускорений в веществе является компонентой общего поля.

Оглавление

  • 1 Определение
  • 2 Выражение для компонент
  • 3 Свойства тензора
  • 4 Поле ускорений
  • 5 Использование в ковариантной теории гравитации
    • 5.1 Действие и Лагранжиан
    • 5.2 Тензор энергии-импульса поля ускорений
    • 5.3 Обобщённая скорость и Гамильтониан
  • 6 Специальная теория относительности
  • 7 Другие теории
  • 8 См. также
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Определение

Выражение для тензора ускорений можно найти в работах Федосина, [1] где тензор определяется через 4-ротор:

u_{\mu \nu} = \nabla_\mu u_\nu - \nabla_\nu u_\mu = \frac{\partial u_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial u_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1)

Здесь 4-потенциал поля ускорений ~ u_\mu определяется по формуле:

~ u_\mu = \left( \frac {\vartheta }{ c}, -\mathbf{U } \right),

где ~\vartheta – скалярный потенциал, ~ \mathbf{U } – векторный потенциал поля ускорений, ~ c – скорость света.

Выражение для компонент

С помощью (1) можно вычислить вектор напряжённости поля ускорений и соленоидальный вектор ускорений:

~ S_i= c (\partial_0 u_i  -\partial_i u_0),

 

~ N_k= \partial_i u_j  -\partial_j u_i ,  причём во втором выражении тройка чисел ~ i{,} j {,}k состоит из неповторяющихся наборов 1,2,3; или 2,1,3; или 3,2,1 и т.д.

В векторной записи можно записать:

~\mathbf{S}= -\nabla \vartheta - \frac{\partial \mathbf{U }} {\partial t},

 

~\mathbf{N }= \nabla \times \mathbf{U }.

Тензор ускорений состоит из компонент указанных векторов:

~ u_{\mu \nu}=  \begin{vmatrix} 0 & \frac {S_x}{ c} & \frac {S_y}{ c} & \frac {S_z}{ c} \\ -\frac {S_x}{ c} & 0 & - N_{z} & N_{y} \\ -\frac {S_y}{ c} & N_{z} & 0 & -N_{x} \\ -\frac {S_z}{ c}& -N_{y} & N_{x} & 0 \end{vmatrix}.

Переход к тензору ускорений с контравариантными индексами осуществляется путём двойного умножения на метрический тензор:

~ u^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta} u_{\mu \nu}.

В рамках специальной теории относительности этот тензор имеет вид:

~ u^{\alpha \beta}=  \begin{vmatrix} 0 &- \frac {S_{x}}{ c} & -\frac {S_{y}}{ c} & -\frac {S_{z}}{ c} \\ \frac {S_{x}}{ c} & 0 & - N_{z} & N_{y} \\ \frac {S_{y}}{ c}& N_{z} & 0 & -N_{x} \\ \frac {S_{z}}{ c}& -N_{y} & N_{x} & 0 \end{vmatrix}.

При этом для векторов, связанных с отдельной точечной частицей, можно записать:

~\mathbf{S}= - c^2 \nabla \gamma - \frac{\partial (\gamma \mathbf{v })} {\partial t},

 

~\mathbf{N }= \nabla \times (\gamma \mathbf{v }),

 

где   ~\gamma = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}  ~\mathbf{v } – скорость частицы.

Для преобразования компонент тензора ускорений из одной инерциальной системы отсчёта в другую следует учитывать правило преобразования тензоров. Если система отсчёта K’ движется с произвольной постоянной скоростью ~\mathbf {V} относительно неподвижной системы отсчёта K, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость поля ускорений и соленоидальный вектор ускорений преобразуются так:

\mathbf {S}^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot  \mathbf {S}) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {S}-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot  \mathbf {S}) + [\mathbf {V} \times \mathbf {N }] \right),

\mathbf {N }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot  \mathbf {N }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {N }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot  \mathbf {N }) - \frac {1}{ c^2} [\mathbf {V} \times \mathbf {S}] \right).

Свойства тензора

u_{\mu \nu} u^{\mu \nu} = -\frac {2}{c^2} (S^2- c^2 N^2) = inv,

 

\frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}u_{\mu \nu} u_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c } \left( \mathbf S \cdot \mathbf {N} \right) = inv.

\det \left( u_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2} \left(\mathbf S \cdot \mathbf {N} \right)^{2}.

Поле ускорений

Через тензор ускорений записываются уравнения поля ускорений:

\nabla_\sigma u_{\mu \nu}+\nabla_\mu u_{\nu \sigma}+\nabla_\nu u_{\sigma \mu}=\frac{\partial u_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial u_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial u_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2)

 

~ \nabla_\nu u^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \eta }{c^2} J^\mu, \qquad\qquad (3)

где Jμ = ρ0uμ  есть массовый 4-ток, ρ0  – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, uμ  – 4-скорость движения элемента вещества, ~ \eta – постоянная, определяемая в каждой задаче.

Вместо (2) можно использовать выражение:

~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial u_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 .

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора ускорений согласно (1). Если подставить в (2) компоненты тензора uμν, можно получить два векторных уравнения:

~ \nabla \times \mathbf{S} = - \frac{\partial \mathbf{N} } {\partial t} , \qquad\qquad (4)

 

~ \nabla \cdot \mathbf{N} = 0 . \qquad\qquad (5)

Согласно (5), соленоидальный вектор ускорений не имеет источников, так как его дивергенция равна нулю. Из (4) следует, что изменение во времени соленоидального вектора ускорений приводит к появлению ротора напряжённости поля ускорений.

Уравнение (3) связывает поле ускорений с его источником в виде массового 4-тока. В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнения упрощается и становится следующим:

~ \nabla \cdot \mathbf{S} = 4 \pi \eta \rho,

 

~ \nabla \times \mathbf{N} = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \eta \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{S}} {\partial t} \right),

где ~ \rho – плотность движущейся массы, ~ \mathbf{J} – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость поля ускорений имеет источник в виде плотности вещества, а по второму уравнению ток массы либо изменение во времени вектора напряжённости поля ускорений порождают круговое поле соленоидального вектора ускорений.

Из (3) и (1) можно получить уравнение непрерывности:

~ R_{ \mu \alpha } u^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi \eta }{c^2} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.

Это уравнение означает, что благодаря искривлению пространства-времени, когда тензор Риччи ~R_{ \mu \alpha }  не равен нулю, источником дивергенции массового 4-тока является среди прочих и тензор ускорений ~ u^{\mu \alpha }. Если же пространство-время плоское, как в пространстве Минковского, левая часть уравнения обнуляется, ковариантная производная становится 4-градиентом и остаётся следующее:

~\partial_{\alpha } J^\alpha = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0.

 

Использование в ковариантной теории гравитации

Действие и Лагранжиан

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор ускорений и содержится в функции действия: [1]

~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda -  \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} - 

~ -\frac {1}{c}u_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} -\frac {1}{c} \pi_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu}f^{ \mu\nu}  ) \sqrt {-g}d\Sigma,

где ~L – функция Лагранжа или лагранжиан, ~dt – дифференциал времени используемой системы отсчёта, ~k – некоторый коэффициент, ~R – скалярная кривизна, ~\Lambda – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, ~ D_\mu гравитационный 4-потенциал, ~ G  гравитационная постоянная, ~ \Phi_{ \mu\nu} тензор гравитационного поля, ~ A_\mu – электромагнитный 4-потенциал, ~ j^\mu – электрический 4-ток, ~\varepsilon_0 – электрическая постоянная, ~ F_{ \mu\nu} – тензор электромагнитного поля, ~ u_\mu – 4-потенциал поля ускорений, ~ \eta и  ~ \sigma – постоянные, подлежащие определению, ~ u_{ \mu\nu} – тензор ускорений, ~ \pi_\mu – 4-потенциал поля давления, ~ f_{ \mu\nu} тензор поля давления, ~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3 – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты ~ dx^0=cdt, через произведение ~ dx^1 dx^2 dx^3 дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~\sqrt {-g} из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления:

~ \rho_0 a_\beta = \rho_0 \frac {Du_\beta}{D \tau} = \rho_0 u^k \nabla_k u_\beta = \rho_0 \frac{ du_\beta } {d \tau }- \rho_0 \Gamma^s_{k \beta } u^k u_s = \Phi_{\beta \sigma} \rho_0  u^\sigma + F_{\beta \sigma} \rho_{0q}  u^\sigma + f_{\beta \sigma} \rho_0  u^\sigma ,

здесь ~ a_\beta – 4-ускорение с ковариантным индексом, использован оператор производной по собственному времени ~ \tau, первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда ~ \rho_{0q}, измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, последний член определяет силу давления, при этом справедливо соотношение

~ \rho_0 a_\beta = \nabla^k B_{\beta k} = - u_{\beta k} J^k .

В специальной теории относительности это соотношение упрощается и может быть записано в виде двух выражений:

~ \rho_0 a_0 = \nabla^k B_{0 k} = - u_{0 k} J^k = - \frac {\gamma  \rho_0}{c} (\mathbf{S }\cdot \mathbf{v }) , 

~ \rho_0 a_i = \nabla^k B_{i k} = - u_{i k} J^k = \gamma  \rho_0 (\mathbf{S }+ [\mathbf {v} \times \mathbf {N}] ),

где  ~ i= 1{,} 2{,} 3.

Варьирование функции действия по 4-потенциалу поля ускорений приводит к уравнению поля ускорений (3).

Тензор энергии-импульса поля ускорений

С помощью тензора ускорений в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса поля ускорений:

~ B^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \eta }\left( -g^{im} u_{n m} u^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} u_{m r} u^{m r}\right).

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля ускорений задаёт плотность 4-силы:

~ f^\alpha =  \nabla_\beta B^{\alpha \beta} = - u^{ \alpha}_{k} J^k = - \rho_0 u^{ \alpha}_{k} u^k = \rho_0 a^\alpha = \rho_0 \frac {Du^\alpha }{D \tau}. \qquad\qquad (6)

Обобщённая скорость и Гамильтониан

Ковариантный 4-вектор обобщённой скорости определяется выражением:

~ s_{\mu } =  u_{\mu } +D_{\mu } + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 }A_{\mu }+  \pi_{\mu} .

С учётом обобщённой скорости Гамильтониан содержит в себе тензор ускорений и имеет вид:

~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}, 

где ~ s_0 и ~ J^0 обозначают временные компоненты 4-векторов ~ s_{\mu } и  ~ J^{\mu }.

В системе отсчёта, неподвижной относительно центра масс системы, Гамильтониан определяет инвариантную энергию системы.

Специальная теория относительности

Изучая лоренц-ковариантность 4-силы, Friedman и Scarr нашли не полную ковариантность выражения для 4-силы в виде ~ F^\mu = \frac {d p^\mu }{d \tau } .  [2] 

Это привело их к выводу, что 4-ускорение должно быть выражено с помощью некоторого антисимметричного тензора ~ A^\mu_\nu:

~c \frac { d u^\mu }{d \tau } = A^\mu_\nu u^\nu .

Исходя из анализа различных видов движения, они оценили требуемые для них значения компонент тензора ускорений, дав тем самым этому тензору косвенное определение.

Из сравнения с (6) следует, что тензор ~ A^\mu_\nu с точностью до знака и постоянного множителя совпадает с тензором ускорений ~ u^{ \alpha}_{k}.

Mashhoon и Muench рассматривали преобразование инерциальных систем отсчёта, сопутствующих ускоренной системе отсчёта и пришли к соотношению: [3]

~c \frac { d \lambda_\alpha }{d \tau } = \Phi_\alpha^\beta \lambda_\beta.

Тензор ~ \Phi_\alpha^\beta имеет те же свойства, что и тензор ускорений ~ u_\alpha^\beta.

Другие теории

В статьях, [4] [5] [6] посвящённых модифицированной ньютоновской динамике (МОНД) в тензор-вектор-скалярной гравитации, появляются скалярная функция ~ \psi или  ~ \phi, определяющая некоторое скалярное поле, 4-вектор \mathfrak {U}_\mu  или  Aμ,

4-тензор \mathfrak {U}_{[\mu\nu ]}  или  F_{ab} = \frac{\partial A_b}{\partial x^a} - \frac{\partial A_a}{\partial x^b}.

Анализ этих величин в соответствующем Лагранжиане показывает, что скалярная функция ~ \psi  или ~ \phi соответствуют скалярному потенциалу ~\vartheta поля ускорений; 4-вектор \mathfrak {U}_\mu или  Aμ  соответствуют 4-потенциалу поля ускорений    ~ u_\mu; 4-тензор \mathfrak {U}_{[\mu\nu ]}  или Fab  соответствуют тензору ускорений  uμν.

Как известно, поле ускорений предназначено не для объяснения ускоренного движения, а для его точного описания. В таком случае можно предположить, что тензор-вектор-скалярные теории не могут претендовать на объяснение кривых вращения галактик. В лучшем случае они могут служить только для описания движения, например для описания вращения звёзд в галактиках или вращения галактик в скоплениях галактик. 

 

См. также

Ссылки

1.      а б Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

2.       Yaakov Friedman and Tzvi Scarr. Covariant Uniform Acceleration. Journal of Physics: Conference Series Vol. 437 (2013) 012009 doi:10.1088/1742-6596/437/1/012009.

3.       Bahram Mashhoon and Uwe Muench. Length measurement in accelerated systems. Annalen der Physik. Vol. 11, Issue 7, P. 532–547, 2002.

4.      J. D. Bekenstein and M. Milgrom, Does the Missing Mass Problem Signal the Breakdown of Newtonian Gravity ? Astrophys. Journ. 286, 7 (1984).

5.      Bekenstein, J. D. (2004), Relativistic gravitation theory for the modified Newtonian dynamics paradigm, Physical Review D 70 (8): 083509, https://dx.doi.org/10.1103%2FPhysRevD.70.083509.

6.      Exirifard, Q. (2013), GravitoMagnetic Field in Tensor-Vector-Scalar Theory, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, JCAP04: 034, https://dx.doi.org/10.1088%2F1475-7516%2F2013%2F04%2F034.

 

Внешние ссылки