In English

Гравитационный 4-потенциал

Из проекта Викизнание

Гравитационный 4-потенциал представляет собой четырёхмерную векторную функцию (4-вектор), посредством которой определяются свойства гравитационного поля в лоренц-инвариантной теории гравитации, [1] а также в ковариантной теории гравитации. [2] В состав гравитационного 4-потенциала входят скалярный и векторный потенциалы гравитационного поля. При калибровочном преобразовании потенциалы гравитационного поля могут изменять свой вид, вследствие чего одному и тому же гравитационному полю могут соответствовать не совпадающие друг с другом 4-потенциалы, отличающиеся разной зависимостью от координат и времени.

Оглавление

  • 1 Определение
  • 2 Связь с напряжённостью гравитационного поля и полем кручения
  • 3 Калибровка 4-потенциала
  • 4 Решение волнового уравнения для 4-потенциала
  • 5 Лагранжиан и действие
  • 6 Роль 4-потенциала в теории гравитации
  • 7 См. также
  • 8 Ссылки
  • 9 Внешние ссылки

Определение

Гравитационный 4-потенциал, как и любой 4-вектор, состоит из скалярной и векторной частей, дающих в сумме 4 компоненты:

~D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c_{g}}, -\mathbf{D} \right) = \left( \frac {\psi }{ c_{g}}, -D_x, -D_y, -D_z \right).

Временной компонентой 4-потенциала является скалярный потенциал ~\psi, делённый на скорость гравитации  ~ c_{g}. Пространственную компоненту 4-потенциала представляет векторный потенциал гравитационного поля  ~ \mathbf{D}, имеющий три компоненты.

Определение 4-потенциала ~D_\mu  в ковариантном представлении с нижним индексом оказывается предпочтительным по сравнению с контравариантным представлением (с верхним индексом), так как это облегчает решение уравнений.

При переходе из одной системы отсчёта в другую 4-потенциал преобразуется в соответствии с аксиомами метрической теории относительности. В случае пространства Минковского специальной теории относительности преобразования 4-потенциала осуществляются из одной инерциальной системы отсчёта в другую с помощью преобразований Лоренца.

В международной системе единиц СИ гравитационный 4-потенциал ~D_\mu  измеряется в  м/с, в системе физических единиц СГС – в см/с.

Связь с напряжённостью гравитационного поля и полем кручения

Через гравитационный 4-потенциал определяется тензор гравитационного поля, для чего используется четырёхмерный ротор:

~ \Phi_{\mu \nu} = \nabla_\mu D_\nu - \nabla_\nu D_\mu = \partial _\mu D_\nu - \partial _\nu D_\mu =\frac{\partial D_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial D_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad (1)

Антисимметричный тензор  ~ \Phi_{\mu \nu}  содержит лишь 6 компонент, три из которых связаны с вектором напряжённости гравитационного поля  ~ \mathbf{\Gamma },  а другие три компоненты – с вектором поля кручения  ~ \mathbf{\Omega}. В декартовых координатах данные вектора получаются в следующем виде:

~\mathbf{\Gamma }= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}.

 

~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D}.

Из последнего соотношения видно, что поле кручения зависит только от векторного потенциала. В то же время вклад в напряжённость гравитационного поля делает не только градиент скалярного потенциала, но и скорость изменения во времени векторного потенциала.

Калибровка 4-потенциала

Наиболее удобной является калибровка, при которой 4-дивергенция 4-потенциала равна нулю:

~ \nabla_\mu D^\mu =\nabla^\mu D_\mu=0.

В специальной теории относительности ковариантная производная ~ \nabla_\mu  превращается в частную производную ~ \partial_\mu. Это позволяет представить калибровочное условие в явном виде так:

~ \partial_\mu D^\mu = \frac {1}{c^2_g} \frac {\partial \psi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{D} =0. \qquad (2)

В лоренц-инвариантной теории гравитации уравнения Хевисайда для гравитационного поля представляются в четырёхмерной форме:

~ \partial^k \Phi_{ik} = \frac {4 \pi G }{c^2_{g}} J_i , \qquad (3)

 

~ \partial_n \Phi_{ik} + \partial_i \Phi_{kn} + \partial_k \Phi_{ni}=0. \qquad (4)

 

Можно показать, что условие калибровки 4-потенциала (2) вытекает из определения тензора гравитационного поля (1) и уравнений поля (3) и (4). Если применить к (4) частную производную ~ \partial^k, то её действие в первых двух членах в (4) на тензор ~ \Phi_{ik} можно учесть с помощью соотношения (3). Для третьего члена в (4) получается соотношение ~ \partial^k \partial_k = \Box, где ~ \Box обозначает четырёхмерный оператор Д’Аламбера :

 

~ \Box = \frac {1}{c^2_g} \frac {\partial^2 }{\partial t^2}- \Delta,

здесь применяется оператор Лапласа, в декартовых координатах имеющий вид ~ \Delta= \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}.

Заменяя ещё в (4) ~ \Phi_{ni} его выражением согласно (1), из (4) как наиболее простое решение получается волновое уравнение для 4-потенциала, источником для которого служит массовый 4-ток ~ J_i : [3]

 

~\Box D_i = -\frac {4 \pi G }{c^2_{g}} J_i , \qquad (5)

где ~ G гравитационная постоянная.

С другой стороны, если в (3) заменить ~ \Phi_{ik} его выражением согласно (1), то получается снова волновое уравнение (5) для 4-потенциала, но только при выполнении условия калибровки 4-потенциала (2). Тем самым можно считать, что в силу симметрии полей данная калибровка позволяет упростить уравнения поля.

Заметим, что если взять частную производную ~ \partial^i от обеих частей в (3), то с учётом (1) левая часть будет равна нулю. Тогда из равенства нулю правой части вытекает уравнение непрерывности для массового 4-тока:

~ \partial^i J_i=0.

Если из гравитационного 4-потенциала ~ D_i вычесть калибровочный 4-вектор вида ~\chi_i = \nabla _i \chi, зависящий от некоторой скалярной калибровочной функции ~ \chi, то при условии, что функция ~ \chi удовлетворяет волновому уравнению

~\Box \chi = 0,

для нового 4-потенциала ~ D^\prime_i = D_i -\chi_i останется в силе условие калибровки (2), а тензор гравитационного поля согласно (1) не изменит свой вид. Таким образом, в лоренц-инвариантной теории гравитации и в построенной на её основе ковариантной теории гравитации проявляется калибровочная инвариантность.

В ковариантной теории гравитации уравнения Хевисайда (3) и (4) для гравитационного поля обобщаются для искривлённого пространства-времени и записываются так: [2]

~\nabla^k \Phi_{ik} = \frac {4 \pi G }{c^2_{g}} J_i ,

 

~ \nabla_n \Phi_{ik} + \nabla_i \Phi_{kn} + \nabla_k \Phi_{ni}=0.

Уравнение непрерывности для массового 4-тока становится зависящим от тензора Риччи Rμα: [4]

~ R_{ \mu \alpha } \Phi^{\mu \alpha }= -\frac {4 \pi G }{c^2_g} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.

Волновое уравнение вместо (5) выглядит следующим образом:

~ g^{ik}\partial_i \partial_k D^s + g^{ik}( \Gamma^s_{kr}\partial_i D^r - \Gamma^r_{ik}\partial_r D^s + \Gamma^s_{ri}\partial_k D^r + D^r \partial_r \Gamma^s_{ki} ) =-\frac {4 \pi G }{c^2_g} J^s .

В искривлённом пространстве-времени в данном уравнении происходит перемешивание компонент векторов. В частности, скалярный потенциал гравитационного поля становится функцией не только от плотности вещества ~  \rho, но и от плотности массового тока ~ \mathbf {J} = \rho \mathbf {V}, где ~ \mathbf {V} – скорость движения вещества.

Решение волнового уравнения для 4-потенциала

В специальной теории относительности коэффициенты Кристоффеля \Gamma^s_{kr}  равны нулю и тогда решение волнового уравнения можно представить в следующем виде: [2]

~ D_i (\mathbf{r}, t) = -\frac{ G }{c^2_g} \int \frac{J_i ( \mathbf{r}^\prime, t_r)}{ \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime \right|} \mathrm{d}^3 x^\prime ,

где гравитационный 4-потенциал  ~ D_i  в момент времени  ~ t  в точке пространства, определяемой радиус-вектором  ~ \mathbf{r}, находится путём интегрирования по объёму, содержащему в себе массовый 4-ток (4-вектор плотности тока массы)  ~ J_i. При этом интегрирование по объёму осуществляется для более раннего момента времени  ~t_r = t - \frac{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}{c_g} ,  где  ~\mathbf{r}^\prime  есть радиус-вектор, задающий расположение массового 4-тока в ранний момент времени,  ~ c_g  – скорость гравитации.

Из приведённого решения для временных компонент 4-векторов видно, что скалярный потенциал зависит от плотности вещества некоторой движущейся массы в ранний момент времени и от расстояния от этой массы до точки, где измеряется потенциал. В свою очередь, векторный потенциал зависит ещё от скорости движения массы в ранний момент времени. Наличие интеграла по объёму подразумевает, что для потенциалов гравитационного поля выполняется принцип суперпозиции, и для вычисления суммарного 4-потенциала следует учитывать все источники поля.

4-потенциал собственного гравитационного поля одиночной материальной точки может быть получен по-другому – путём умножения скалярного гравитационного потенциала  ~ \psi_0    вокруг этой точки, вычисленного в сопутствующей этой точке системе отсчёта, на 4-скорость движения материальной точки:

~ D_i = \frac {\psi_0}{c^2_{g}} u_i = \left( \frac {\psi_0}{c_g \sqrt {1-V^2/c^2_g}}, - \frac {\psi_0 \mathbf {V}}{c^2_g \sqrt {1-V^2/c^2_g}}   \right) .

Для наблюдателя, относительно которого движется материальная точка, согласно преобразованиям Лоренца скалярный потенциал изменяется за счёт движения точки:   ~ \psi =\frac {\psi_0}{\sqrt {1-V^2/c^2_g}} ,   а также появляется векторный потенциал, равный  ~ \mathbf {D} = \frac {\psi_0 \mathbf {V}}{c^2_g \sqrt {1-V^2/c^2_g}}=\frac {\psi \mathbf {V}}{c^2_g } .  Это даёт обычное определение гравитационного 4–потенциала в виде

~ D_i = \left( \frac {\psi}{c_g}, - \mathbf {D}   \right) .

Действительно, 4-потенциал любого векторного поля для одной частицы может быть представлен так: [5]

~ L_\mu = \frac { k_f \varepsilon_p }{\rho_0 c^2} u_\mu ,

где  ~ k_f = \frac {\rho_0}{\rho_{0q}}  для электромагнитного поля и  ~ k_f = 1  для остальных полей, ~ \rho_{0}  и ~\rho_{0q} – плотность массы и соответственно плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта, ~ \varepsilon_p – плотность энергии поля частицы, ~ u_\mu – ковариантная 4-скорость.

Для гравитационного поля  ~ \varepsilon_p = \psi_0 \rho_0,  ~ k_f = 1,  и полагая равенство скорости света и скорости гравитации  ~ c = c_g, приходим к формулам для 4-потенциала ~ D_i, представленным выше.

В системе из множества материальных точек, составляющих материальные тела, для нахождения общего 4-потенциала следует суммировать 4-потенциалы всех материальных точек, с учётом различия их 4-скоростей и разного их расположения в пространстве. В результате суммарный векторный потенциал системы точек лишь косвенно отражает суммарный скалярный потенциал данной системы точек, в отличие от прямой связи между скалярным и векторным потенциалом отдельной материальной точки. В случае вычисления суммарного 4-потенциала массивного твёрдого тела, с учётом различных расстояний от частей тела до точки, где определяется 4-потенциал, получаются гравитационные потенциалы Лиенара-Вихерта. [6] [7]

Лагранжиан и действие

Гравитационный 4-потенциал входит в лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном поле, что позволяет записать соответствующую функцию действия: [8] [4]

~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda -  \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu}-

~ -\frac {1}{c}u_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu}u^{ \mu\nu} -\frac {1}{c} \pi_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu}f^{ \mu\nu}  ) \sqrt {-g}d\Sigma,

где ~L – функция Лагранжа или лагранжиан, ~dt – дифференциал времени используемой системы отсчёта, ~k – некоторый коэффициент, ~R – скалярная кривизна, ~\Lambda – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы,  ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, электромагнитный 4-потенциал ~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{ c}, -\mathbf{A}\right), где ~\varphi есть скалярный потенциал, а ~\mathbf{A} является векторным потенциалом, ~ j^\mu – электрический 4-ток, ~\varepsilon_0 – электрическая постоянная, ~ F_{ \mu\nu} – тензор электромагнитного поля, ~ u_\mu  – 4-потенциал поля ускорений, ~ u_{ \mu\nu} – тензор ускорений~ \eta  и  ~ \sigma – постоянные, подлежащие определению, ~ \pi_\mu – 4-потенциал поля давления, ~ f_{ \mu\nu} тензор поля давления, ~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3 – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты ~ dx^0=cdt, через произведение ~ dx^1 dx^2 dx^3 дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~\sqrt {-g} из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

В интеграле действия гравитационный 4-потенциал присутствует внутри инварианта  ~ D_\mu J^\mu, а также в составе тензора гравитационного поля  ~ \Phi_{ \mu\nu}  и его инварианта  ~ \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}. В первом случае 4-потенциал задаёт функцию энергии связи вещества с полем, а во втором случае – энергетическую функцию поля как самостоятельного объекта. Варьирование функции действия приводит к определению тензора энергии-импульса гравитационного поля, задаёт уравнения гравитационного поля (3) и (4), уравнение движения вещества в поле и выражение для гравитационной 4-силы.

Роль 4-потенциала в теории гравитации

В классической механике вместо полного 4-потенциала используют его скалярную компоненту в виде гравитационного потенциала. Это позволяет находить потенциальную гравитационную энергию тел и уравнения их движения. Для вычисления скалярного гравитационного потенциала применяется уравнение Пуассона вида: ~\Delta \psi=-4 \pi G \rho,  где ~\Delta  есть оператор Лапласа, ~\rho – объёмная плотность распределения массы в рассматриваемой точке. Однако получающиеся выражения для потенциала, сил и энергий оказываются не лоренц-ковариантными, то есть возникает проблема при пересчёте результатов из одной инерциальной системы отсчёта в другую.

Гравитационный 4-потенциал практически не рассматривается и в общей теории относительности (ОТО). Это связано с тем, что в ОТО гравитационное поле отождествляется с метрическим полем, причём в качестве гравитационных потенциалов выступают компоненты метрического тензора, а вместо напряжённости поля используются символы Кристоффеля. В слабом поле может быть установлена связь между компонентой  ~g_{00}  метрического тензора пространства-времени и значением гравитационного скалярного потенциала классической механики:  ~g_{00}\approx 1+ \frac {2 \psi}{c^2},  где ~c – скорость света. Векторный потенциал гравитационного поля  ~ \mathbf{D}, используемый в лоренц-инвариантной теории гравитации, также может быть выражен через компоненты метрического тензора ОТО.

С другой стороны, при аксиоматическом построении лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ) именно 4-потенциал  ~ D_\mu  представляет гравитационное поле, тогда как в отношении вещества это делает массовый 4-ток  ~ J^\mu. Пятая аксиома ЛИТГ утверждает, что даламбертиан от 4-потенциала равен 4-току с соответствующим постоянным множителем. [2]  Этого оказывается достаточным, чтобы вывести все соотношения лоренц-инвариантной теории гравитации. Аксиоматика ЛИТГ оказывается той же самой и для ковариантной теории гравитации (КТГ), поскольку КТГ является обобщением ЛИТГ на искривлённое пространство-время, в котором у метрического тензора появляется зависимость от времени и координат.

Гравитационный 4-потенциал, как и электромагнитный 4-потенциал, действуя на пробные тела, оказывает влияние на скорость течения времени в этих телах. [9] Это приводит к тому, что одинаковые процессы, протекающие в телах, находящихся в разных 4-потенциалах, перестают совпадать по фазе. Для гравитационного фазового сдвига между двумя одинаковыми частицами с массой  ~ m  и зарядом  ~ q, одна из которых находится в некотором гравитационном (электромагнитном) поле, получается:

~ \theta_1 -\theta_2 = \frac{m}{\hbar} \int\limits_{1}^{2} D_\mu dx^\mu ,

 

~ \theta_1 -\theta_2 = \frac{q}{\hbar} \int\limits_{1}^{2} A_\mu dx^\mu ,

здесь ~ \hbar постоянная Дирака, ~ A_\mu  – электромагнитный 4-потенциал, ~ dx^\mu – 4-перемещение частицы во времени и пространстве.

Последнее соотношение для сдвига фаз в электромагнитном поле подтверждается эффектом Ааронова-Бома.

См. также

Ссылки

1.      Федосин С. Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.

2.      а б в г Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

3.       Федосин С.Г. Современные проблемы физики, М: Эдиториал УРСС, 2002, ISBN 5-8360-0435-8. 192 стр., Ил.26, Библ. 50 назв.

4.       Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

5.      Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, 2014, no. 18, 771 - 779. http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101; статья на русском языке: Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.

6.      Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body. Preprints 2017, 2017040150. http://dx.doi.org/10.20944/preprints201704.0150.v1; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела.

7.       Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body in the Light of Gravitomagnetic Theory. Canadian Journal of Physics, 2014, Vol. 92, No. 10, P. 1074 – 1081. http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2013-0683 ; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела в свете теории гравитомагнетизма.

8.      Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, 2012, Vol. 35, No. 1, P. 35 – 70; статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.

9.      Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, 2012, Vol. 5, No. 4, P. 55 – 75. http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023 ; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.

Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/gp.htm

        На список страниц