In English

Напряжённость гравитационного поля

Из проекта Викизнание

Напряжённость гравитацио́нного по́ля — векторная физическая величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению гравитационной силы $~\mathbf{F}$ , действующей на неподвижную пробную частицу, помещённую в данную точку поля, к гравитационной массе этой частицы:

$~ \mathbf{\Gamma } = \frac{ \mathbf{F}}{M}.$

Данное определение сводит напряжённость поля к гравитационной силе, действующей на единичную массу. Существует и другое определение, когда напряжённость поля находится через пространственные и временные производные от потенциалов гравитационного поля либо через компоненты тензора гравитационного поля. ^[1] Поскольку гравитационное поле представляет собой векторное поле, его напряжённость $~\mathbf{\Gamma }$ зависит от времени и координат той точки пространства, где измеряется напряжённость поля:

$~\mathbf{\Gamma } = \mathbf{\Gamma } (x,y,z,t).$

Напряжённость гравитационного поля $~\mathbf{\Gamma }$ вместе с полем кручения $~ \mathbf{\Omega}$ описывают гравитационное поле в лоренц-инвариантной теории гравитации и подчиняются максвеллоподобным гравитационным уравнениям.

В общей теории относительности напряжённость гравитационного поля называется напряжённостью гравитоэлектрического поля, а поле кручения соответствует гравитомагнитному полю. В пределе слабого гравитационного поля указанные величины входят в уравнения гравитоэлектромагнетизма.

Напряжённость гравитационного поля в международной системе единиц измеряется в метрах на секунду в квадрате [м/с²] или в ньютонах на килограмм [Н/кг].

Напряжённость гравитационного поля в лоренц-инвариантной теории гравитации

Если записывать соотношения лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ) на языке 4-векторов и тензоров, то оказывается, что вектор напряжённости гравитационного поля и вектор поля кручения составляют в совокупности тензор гравитационного поля, входят в тензор энергии-импульса гравитационного поля и в функцию Лагранжа для частицы в гравитационном поле, а скалярный и векторный потенциалы гравитационного поля образуют гравитационный 4-потенциал. ^[2] Через $~\mathbf{\Gamma }$ и $~ \mathbf{\Omega}$ вычисляются также: вектор плотности потока энергии гравитационного поля или вектор Хевисайда $~\mathbf{H},$ плотность энергии гравитационного поля а также вектор плотности импульса гравитационного поля $~\mathbf{P_g}$ :

$~\mathbf{H} =-\frac{ c^2_{g} }{4 \pi G }[\mathbf{\Gamma }\times \mathbf{\Omega }],$

$~u=-\frac{1}{8 \pi G }\left(\Gamma^2+ c^2_{g} \Omega^2 \right),$

$~\mathbf{P_g} =\frac{ 1}{ c^2_{g}} \mathbf{H},$

где $~ c_{g}$ – скорость распространения гравитационного воздействия, – гравитационная постоянная.

Гравитационная сила

Полная сила, с которой гравитационное поле действует на пробную частицу, выражается следующей формулой:

$~\mathbf{F} = M \left( \mathbf{\Gamma } + \mathbf{V} \times \mathbf{\Omega} \right),$

где: – масса частицы, $~ \mathbf{V}$ – скорость частицы, $~ \mathbf{\Omega}$ – вектор поля кручения.

В данной формуле первый член силы пропорционален напряжённости гравитационного поля, а второй член силы зависит от скорости движения частицы и от поля кручения, действующего на частицу. При этом предполагается, что $~\mathbf{\Gamma }$ и $~ \mathbf{\Omega}$ являются усреднёнными по объёму частицы напряжённостью и полем кручения от внешнего гравитационного поля, а полем от самой частицы можно пренебречь ввиду его малости.

Для расчёта полной силы, действующей на протяжённое тело, в пределах которого напряжённость и кручение гравитационного поля изменяются в значительных размерах, осуществляют разбиение тела на небольшие части, подсчитывают для каждой части свою силу и затем производят векторное суммирование всех таких сил.

Плотность вектора силы $~\mathbf{f}$ , понимаемая как гравитационная сила, действующая на единицу движущегося объёма, входит в пространственноподобную компоненту 4-вектора плотности гравитационной силы (смотри 4-сила). В ковариантной теории гравитации этот 4-вектор выражается так:

$~f^\nu = g^{\nu \lambda }\Phi_{\lambda \mu } J^\mu = -\nabla_\mu U^{\nu \mu },$

где $~ g^{\nu \lambda}$ – метрический тензор, $~ \Phi_{\lambda \mu }$ – тензор гравитационного поля, $~ J^\mu$ есть 4-вектор плотности массового тока, $~ U^{\nu \mu}$ – тензор энергии-импульса гравитационного поля.

Выражение для 4-вектора плотности гравитационной силы в лоренц-инвариантной теории гравитации можно представить через напряжённость гравитационного поля:

$~f^\nu = ( \frac {\mathbf{\Gamma } \cdot \mathbf{J} }{c_g}, \mathbf{f}) ,$

где $~ \mathbf{J}$ – плотность тока массы, плотность гравитационной силы выражается формулой

$~ \mathbf{f}= \gamma \rho_0 (\mathbf{\Gamma }+ \mathbf{V}\times \mathbf{\Omega}) = \rho \mathbf{\Gamma }+\mathbf{J}\times \mathbf{\Omega},$

$~ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c_g})^2}}$ – фактор Лоренца, $~ \rho_0$ есть плотность вещества в сопутствующей системе отсчёта.

Из формулы видно, что произведение $~ \mathbf{\Gamma }\cdot \mathbf{J}$ равно мощности работы, совершаемой гравитационной силой в единице объёма, причём поле кручения не входит в это произведение и не совершает работу над веществом.

Уравнения Хевисайда

Лоренц-ковариантные уравнения гравитации в инерциальных системах отсчёта можно найти в работах Оливера Хевисайда. ^[3] Они представляют собой четыре векторные дифференциальные уравнения, в три из которых входит вектор напряжённости гравитационного поля: [1]

$~ \nabla \cdot \mathbf{\Gamma } = -4 \pi G \rho ,$

$~ \nabla \cdot \mathbf{\Omega} = 0 ,$

$~ \nabla \times \mathbf{\Gamma } = - \frac{\partial \mathbf{\Omega} } {\partial t},$

$~ \nabla \times \mathbf{\Omega} = \frac{1}{c^2_{g}} \left( -4 \pi G \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right),$

где: $~ \mathbf{J}= \rho \mathbf{V}$ – плотность тока массы, $~ \rho = \gamma \rho_0$ – плотность движущейся массы, $~ \mathbf{V}$ – скорость движения потока массы, создающего гравитационное поле и кручение.

Данные четыре уравнения полностью описывают гравитационное поле для тех случаев, когда поле не настолько велико, чтобы влиять на распространение электромагнитных волн, на их скорость и частоту. В этих уравнениях источниками гравитационного поля являются плотность вещества и массовые токи, а формула для гравитационной силы в свою очередь показывает, как поле воздействует на вещество.

Если же гравитационное поле значительно по величине, то его влияние на электромагнитные процессы приводит к гравитационному красному смещению, замедлению времени, отклонению движения электромагнитных волн вблизи источников гравитационного поля, и к другим эффектам. Поскольку измерения времени и пространственных расстояний осуществляются с помощью электромагнитных волн, то в гравитационном поле для наблюдателя размеры тел могут оказаться меньше, а скорость течения времени замедлиться. Подобные эффекты учитываются путём введения метрики пространства-времени, зависящей от координат и времени. Поэтому в случае сильного гравитационного поля вместо указанных выше уравнений используются более общие уравнения ковариантной теории гравитации, либо уравнения общей теории относительности, в которых присутствует метрический тензор.

Если от первого уравнения Хевисайда взять градиент, а от четвёртого уравнения частную производную по времени, то в результате можно получить неоднородное волновое уравнение для напряжённости гравитационного поля:

$~\nabla^2 \mathbf{\Gamma }- \frac {1}{c^2_{g}}\frac{\partial^2 \mathbf{\Gamma }} {\partial t^2} =-4 \pi G \nabla \rho - \frac {4 \pi G }{ c^2_{g}} \frac{\partial \mathbf{J}} {\partial t}.$

Повторяя те же действия для второго и третьего уравнений, приходим к волновому уравнению для поля кручения:

$~\nabla^2 \mathbf{\Omega }- \frac {1}{c^2_{g}}\frac{\partial^2 \mathbf{\Omega }} {\partial t^2} = \frac {4 \pi G }{ c^2_{g}} \nabla \times \mathbf{J}.$

Наличие волновых уравнений говорит о том, что напряжённость и кручение гравитационного поля в каждой точке могут быть найдены как суммы (интегралы) множества отдельных простых волн, делающих свой вклад в общее поле, при этом каждый вклад должен быть подсчитан с учётом запаздывания влияния источников поля за счёт ограниченности скорости передачи гравитационного воздействия.

Третье уравнение Хевисайда приводит к возможности гравитационной индукции, когда изменяющееся во времени поле кручения, проходящее через некоторый контур, или изменение площади контура при неизменном поле кручения, генерируют круговую напряжённость гравитационного поля вдоль окружности этого контура.

Потенциалы гравитационного поля

Напряжённость гравитационного поля выражается как через скалярный потенциал $~\psi$ , так и через векторный потенциал $~ \mathbf{D}$ гравитационного поля по формуле:

$~\mathbf{\Gamma }= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}.$

Поле кручения зависит только от векторного потенциала, поскольку:

$~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D}.$

Гравистатика

Наиболее простым случаем для исследования свойств гравитации является случай взаимодействия неподвижных либо движущихся с достаточно малой скоростью тел. В гравистатике пренебрегают векторным потенциалом $~ \mathbf{D}$ гравитационного поля из-за отсутствия или малости поступательного или вращательного движения масс, создающих поле, поскольку $~ \mathbf{D}$ пропорционален скорости движения масс. В результате становится малым и поле кручения, вычисляемое как ротор от векторного потенциала. В таком приближении можно записать:

$~\mathbf{\Gamma }= -\nabla \psi,$

где $~\psi$ называется гравистатический потенциал, чтобы подчеркнуть статический случай гравитационного поля. В гравистатике напряжённость гравитационного поля становится потенциальным векторным полем, то есть полем, зависящим только от градиента от некоторой функции, в данном случае от скалярного потенциала.

При условии, что в рассматриваемой физической системе нет массовых токов и потому $~ \mathbf{J}= 0,$ напряжённость гравитационного поля не зависит от времени, равны нулю векторный потенциал $~ \mathbf{D}=0$ и поле кручения $~\mathbf{\Omega }= 0,$ в уравнениях Хевисайда остаётся одно уравнение:

$~ \nabla \cdot \mathbf{\Gamma } = -4 \pi G \rho_0 . \qquad\qquad (1)$

Если в (1) использовать соотношение $~\mathbf{\Gamma }= -\nabla \psi,$ то получается уравнение, которое имеет форму уравнения Пуассона:

$~ \Delta \psi = 4 \pi G \rho_0 .$

За пределами тел плотность покоящегося вещества равна нулю, $~ \rho_0=0,$ и уравнение для гравистатического потенциала становится уравнением Лапласа:

$~\Delta \psi = 0.$

Уравнения Пуассона и Лапласа справедливы как для потенциала точечной частицы, так и для суммы потенциалов множества частиц, что приводит к возможности использовать принцип суперпозиции для расчёта суммарного потенциала и напряжённости общего гравитационного поля в любой точке системы. Однако в достаточно сильных полях из модернизированной теории гравитации Лесажа следует, что принцип суперпозиции нарушается из-за экспоненциальной зависимости потоков гравитонов в веществе от пройденного расстояния. ^[4]

Применение формулы Гаусса—Остроградского

Уравнение (1) можно проинтегрировать по произвольному объёму пространства и затем применить формулу Гаусса—Остроградского, заменяющую интеграл от дивергенции векторной функции по некоторому объёму на интеграл потока этой векторной функции по замкнутой поверхности вокруг данного объёма:

$~ \oint\limits_S \mathbf{\Gamma }\cdot d \mathbf{S}=- 4 \pi G M,$

где есть суммарная масса вещества внутри поверхности.

Во многих случаях оказывается, что поток напряжённости гравитационного поля на поверхности неизменен, что позволяет вынести напряжённость поля $~\mathbf{\Gamma }$ за знак интеграла и затем интегрировать только площадь поверхности. В частности, площадь сферической поверхности $~S= 4 \pi R^2$ , и для напряжённости поля на расстоянии от центра сферы (и от центра тела сферической формы с собственным радиусом, не превышающим радиус поверхности ) получается:

$~ \Gamma = -\frac {4 \pi G M }{S} = -\frac { G M }{ R^2 }.$

Данная формула остаётся справедливой независимо от радиуса тела сферической формы, пока этот радиус не превышает , то есть когда напряжённость поля $~\mathbf{\Gamma }$ ищется за пределами тела. Для тела массы в виде материальной точки можно считать, что расстояние отсчитывается от этой точки.

В случае, когда формула Гаусса—Остроградского применяется к сферической поверхности внутри тела со сферически симметричным расположением массы, из формулы следует, что напряжённость гравитационного поля внутри тела зависит только от массы тела находящейся внутри сферической поверхности радиуса :

$~ \Gamma = -\frac { G M (r) }{ r^2 }.$

Для сферы с однородной плотностью вещества масса $~M(r) = \frac {4 \pi r^3 \rho_0}{3},$ что даёт для напряжённости поля:

$~ \Gamma = -\frac { 4 \pi G \rho_0 r}{3 }.$

В центре сферы, где напряжённость поля равна нулю, а при радиусе где есть радиус сферы, напряжённость достигает максимальной амплитуды.

Классическая теория тяготения

Выражение для напряжённости гравитационного поля материальной точки можно получить также из закона Ньютона для силы гравитации, действующей на частицу с массой . Если источником гравитационного поля является однородное тело сферической формы с гравитационной массой , то согласно классической теории тяготения Ньютона за пределами тела:

$\Gamma = \frac{F}{m}= -\frac {\frac{G M m}{R^2}}{m} = - \frac{G M}{R^2},$

где: – радиус-вектор от центра тела до точки в пространстве, где определяется напряжённость гравитационного поля $~\mathbf{\Gamma }$ , а знак минус показывает, что сила и напряжённость поля направлены против направления радиус-вектора .

В классической теории скалярный потенциал гравитационного поля за пределами тела сферической формы равен:

$~ \psi = -\frac { G M }{ R }.$

Применяя формулу $~\mathbf{\Gamma }= -\nabla \psi,$ находим напряжённость гравитационного поля в векторном виде:

$~ \mathbf {\Gamma } = - \frac{G M}{R^2} \frac {\mathbf{R}}{R}.$

Если считать справедливым принцип эквивалентности, при котором гравитационная масса пробной частицы равна инертной массе этой частицы во втором законе Ньютона, то получается следующее:

$F = m g = \frac{G M m}{R^2} \Rightarrow g = \frac{G M}{R^2}= \Gamma,$