In English

Тензор энергии-импульса гравитационного поля

Из проекта Викизнание

Тензор энергии-импульса гравитационного поля — симметричный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность энергии и импульса гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики наравне с тензором энергии-импульса поля ускорений, тензором энергии-импульса поля давления, тензором энергии-импульса поля диссипации и тензором энергии-импульса электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса гравитационного поля задаёт плотность гравитационной силы, действующей на вещество.

Лоренц-инвариантная теория гравитации (ЛИТГ)

В ЛИТГ тензор энергии-импульса гравитационного поля определяется через тензор гравитационного поля $~\Phi_{ik}$ и метрический тензор $~ \eta^{ik}$ в метрике Лоренца: ^[1]

$~ U^{ik} = - \frac{c^2_{g}} {4 \pi G }\left( -\eta^{im}\Phi_{n m}\Phi^{n k}+ \frac{1} {4} \eta^{ik}\Phi_{mr}\Phi^{mr}\right) ,$

где – гравитационная постоянная, $~ c_{g}$ – скорость гравитации.

После замены на постоянную сильной гравитации $~ \Gamma$ тензор энергии-импульса гравитационного поля может быть использован для описания сильной гравитации на уровне атомов и элементарных частиц в рамках гравитационной модели сильного взаимодействия.

Компоненты тензора энергии-импульса гравитационного поля

Так как тензор гравитационного поля в ЛИТГ состоит из компонент векторов напряжённости гравитационного поля $~ \mathbf{ \Gamma}$ и поля кручения $~ \mathbf{\Omega}$ , а тензор $~ \eta^{ik}$ в 4-координатах (ct, x,y,z) состоит из чисел 0, 1, –1 и не зависит от координат и времени, то компоненты тензора энергии-импульса гравитационного поля могут быть выписаны явно через компоненты указанных векторов:

$~ U^{ik} = \begin{vmatrix} u & \frac {H_x}{c_{g}} & \frac {H_y}{c_{g}} & \frac {H_z}{c_{g}} \\ c_{g} P_{gx} & u+ \frac{\Gamma^2_x+c^2_g \Omega^2_x}{4\pi G} & \frac{\Gamma_x \Gamma_y+c^2_g \Omega_x\Omega_y }{4\pi G} & \frac{\Gamma_x \Gamma_z+c^2_g \Omega_x\Omega_z }{4\pi G} \\ c_{g} P_{gy} & \frac{\Gamma_x \Gamma_y+c^2_g \Omega_x\Omega_y }{4\pi G} & u+\frac{\Gamma^2_y+c^2_g \Omega^2_y }{4\pi G} & \frac{\Gamma_y \Gamma_z+c^2_g \Omega_y\Omega_z }{4\pi G} \\ c_{g} P_{gz} & \frac{\Gamma_x \Gamma_z+c^2_g \Omega_x\Omega_z }{4\pi G} & \frac{\Gamma_y \Gamma_z+c^2_g \Omega_y\Omega_z }{4\pi G} & u+\frac{\Gamma^2_z+c^2_g \Omega^2_z }{4\pi G} \end{vmatrix}.$

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии гравитационного поля, отрицательная по величине

$~ U^{00} = u= -\frac{1}{8 \pi G }\left(\Gamma^2+ c^2_{g} \Omega^2 \right).$

2) вектор плотности импульса гравитационного поля $~\mathbf{P_g} =\frac{ 1}{ c^2_{g}} \mathbf{H},$ где вектор плотности потока энергии гравитационного поля или вектор Хевисайда

$~\mathbf{H} =-\frac{ c^2_{g} }{4 \pi G }[\mathbf{\Gamma }\times \mathbf{\Omega }].$

Компоненты вектора $~\mathbf{H}$ входят в соответствующие компоненты тензора $~ U^{01}, U^{02}, U^{03}$ , а компоненты вектора $~\mathbf{P_g}$ – в компоненты тензора $~ U^{10}, U^{20}, U^{30}$ , при этом вследствие симметрии тензора по индексам $~ U^{01}= U^{10}, U^{02}= U^{20}, U^{03}= U^{30}$ .

Согласно теореме Хевисайда, выполняется соотношение:

$~ \nabla \cdot \mathbf{H} = - \frac{ \partial U^{00}}{\partial t} - \mathbf{\Gamma }\cdot \mathbf{J},$

где $~\mathbf{J}$ – 3-вектор плотности массового тока.

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса, или тензором гравитационных напряжений, взятым со знаком минус. Тензор гравитационных напряжений можно записать в следующем виде: ^[1]

$~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi G} \left( - \Gamma^p \Gamma^q - c^2_g \Omega^p \Omega^q + \frac {1}{2} \delta^{pq} (\Gamma^2 + c^2_g \Omega^2 ) \right) ,$

где $~\Gamma^1=\Gamma_x,$ $~\Gamma^2=\Gamma_y,$ $~\Gamma^3=\Gamma_z,$ $~\Omega^1=\Omega_x,$ $~\Omega^2=\Omega_y,$ $~\Omega^3=\Omega_z,$ $~\delta^{pq}$ есть символ Кронекера, $~\delta^{pq}=1$ при и $~\delta^{pq}=0$ при $~p \not=q.$

Вычисление трёхмерной дивергенции от тензора гравитационных напряжений даёт:

$~ \partial_q \sigma^{p q} = f^p +\frac {1}{c^2_g} \frac{ \partial H^p}{\partial t},$

где обозначают компоненты трёхмерной плотности гравитационной силы, – компоненты вектора Хевисайда.

Гравитационная сила

Вид тензора энергии-импульса гравитационного поля таков, что он позволяет найти 4-вектор плотности гравитационной силы $~ f^\alpha$ посредством дифференцирования в четырёхмерном пространстве:

$~f^{\alpha }=-\partial _{\beta }U^{{\alpha \beta }}={\Phi ^{\alpha }}_{{i}}J^{i}.\qquad (1)$

Как видно из формулы (1), 4-вектор плотности гравитационной силы может быть вычислен и другим путём, через тензор гравитационного поля со смешанными индексами ${\Phi ^{\alpha }}_{{i}}$ и 4-вектор плотности массового тока . Это связано с тем, что в ЛИТГ уравнения гравитационного поля имеют вид:

$~ \partial_n \Phi_{ik} + \partial_i \Phi_{kn} + \partial_k \Phi_{ni}=0,$

$~\partial_k \Phi^{ik} = \frac {4 \pi G }{c^2_{g}} J^i .$

Выражая из последнего уравнения через $Φ ik$ и подставляя в (1), а также используя определение тензора энергии-импульса гравитационного поля, можно убедиться в справедливости равенства (1). Компоненты 4-вектора плотности гравитационной силы таковы:

$~ f^\alpha = (\frac {\mathbf{\Gamma } \cdot \mathbf{J} }{c_g}, \mathbf{f} ),$

где $~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{\Gamma } + [\mathbf{J} \times \mathbf{\Omega} ]$ – 3-вектор плотности гравитационной силы, $~\rho$ – плотность движущегося вещества, $~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v}$ – 3-вектор плотности массового тока, $~\mathbf{v}$ – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

Интеграл от (1) по трёхмерному объёму малой частицы или элемента вещества, вычисляемому в сопутствующей частице системе отсчёта, даёт гравитационную 4-силу:

$~F^{\alpha }={\Phi ^{\alpha }}_{{i}}Mu^{i}={\Phi ^{\alpha }}_{{i}}p^{i}=({\frac {{\mathbf {\Gamma }}\cdot {\mathbf {p}}}{c_{g}}},{\frac {E}{c_{g}^{2}}}{\mathbf {\Gamma }}+[{\mathbf {p}}\times {\mathbf {\Omega }}]).$

При интегрировании было учтено, что $~J^i = \rho_0 u^i$ , где $~ \rho_0$ – плотность вещества в сопутствующей системе отсчёта, – инвариантная масса, – 4-скорость частицы, – 4-импульс частицы, $~\mathbf{p}$ – релятивистский импульс, – релятивистская энергия частицы. Предполагается также, что плотности вещества $~ \rho_0$ и $~ \rho$ учитывают в себе вклады от массы-энергии собственного поля гравитации и электромагнитного поля частицы. Полученная 4-сила действует на частицу при наличии гравитационного поля с тензором $~{\Phi ^{\alpha }}_{{i}}$ , причём в ряде случаев можно пренебречь собственным гравитационным полем частицы и рассматривать её движение лишь во внешнем поле.

Связь с 4-вектором энергии-импульса

В тензоре энергии-импульса гравитационного поля содержатся временные компоненты $~ U^{0k}$ , путём интегрирования которых по движущемуся объёму можно вычислить 4-вектор энергии-импульса свободного гравитационного поля, оторвавшегося от своих источников:

$~ Q^k = \int {\frac { U^{0k}}{ c_g } dV} = (\frac {U}{c_g}, \mathbf {Q}) ,$

где $~ U = \int { U^{00} dV}$ – суммарная энергия гравитационного поля, $~ \mathbf {Q} = \int { \mathbf {P_g}dV}$ – суммарный импульс поля.

В случае, если в рассматриваемом объёме присутствует вещество как источник собственного гравитационного (электромагнитного) поля, следует рассматривать общий 4-вектор энергии-импульса, который включает в себя вклады от всех полей в данном объёме, включая поле ускорений и поле давления. В частности, для однородного сферического тела радиуса 4-вектор энергии-импульса с учётом собственного гравитационного поля тела имеет вид: ^[2]

$~ p^k = (m_g + \frac {U_0}{2c^2_g}) u^k =M u^k ,$

где – гравитационная масса, равная массе , получаемой через плотность массы и объём, $~ U_0 = - \frac {3 G m^2_g}{5R}$ – полная гравитационная энергия тела в системе отсчёта, в которой тело неподвижно, – инвариантная инертная масса системы, включающая вклады массы-энергии от всех полей.

При этом предполагается, что масса равна массе частиц вещества тела без учёта энергии их гравитационной связи, а при соединении частиц в единое тело основная часть гравитационной энергии компенсируется внутренней энергией движения частиц тела и энергией давления. Поскольку энергия отрицательна, то выполняется условие , то есть по мере гравитационного сжатия рассеянного вещества в тело конечных размеров гравитационная масса растёт. Мы можем найти ещё инвариантную энергию физической системы:

$~E_0= Mc^2=c \sqrt { g_{\mu \nu} p^{\mu} p^{\nu}}.$

Более точный анализ масс системы показывает, что выполняется следующее соотношение:^[3]

$~m'<M<m<m_{b}=m_{g},$

где калибровочная масса связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; инертная масса ; вспомогательная масса равняется произведению плотности массы частиц на объём системы.

Для сравнения укажем на подход общей теории относительности, в которой исходят из массы такой, что при добавлении к ней массы от энергии гравитационного поля получается релятивистская масса: $~ M = m_b + \frac {U_0}{c^2}$ , при этом выполняется соотношение:.

Ковариантная теория гравитации (КТГ)

КТГ является обобщением ЛИТГ на любые системы отсчёта и на явления, происходящие в присутствии полей и ускорений от действующих сил. В КТГ все отклонения от соотношений ЛИТГ описываются с помощью метрического тензора $~ g^{ik}$ , становящегося функцией координат и времени. Кроме этого, в уравнениях оператор 4-градиента $~ \partial_k$ заменяется на ковариантную производную $~ \nabla_k$ . После замены $~ \eta^{ik}$ на $~ g^{ik}$ тензор энергии-импульса гравитационного поля приобретает следующий вид:

$~ U^{ik} = - \frac{c^2_{g}} {4 \pi G }\left( -g^{im}\Phi_{n m}\Phi^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik}\Phi_{mr}\Phi^{mr}\right) .$

Гравитационное поле рассматривается при этом как компонента общего поля.

Преобразуя контравариантные индексы в тензоре гравитационного поля $~ \Phi^{mr}$ в ковариантные индексы с помощью метрического тензора, и меняя местами часть индексов, по которым осуществляется суммирование, получаем:

$~ U^{ik} = - \frac{c^2_{g}} {4 \pi G }g^{ms} \left( - g^{ir} g^{n k} + \frac{1} {4} g^{ik} g^{n r} \right) \Phi_{m r}\Phi_{s n}.$

Так как тензор гравитационного поля $~ \Phi_{mr}$ с ковариантными индексами состоит из компонент вектора напряжённости гравитационного поля $~ \mathbf{\Gamma }$ , делённой на скорость , и компонент вектора поля кручения $~ \mathbf{\Omega}$ , то из формулы видно, что в искривлённом пространстве-времени тензор энергии-импульса гравитационного поля является суммой произведений компонент этих векторов с соответствующими коэффициентами из компонент метрического тензора. При этом оказывается, что в плотности энергии гравитационного поля $~ U^{00}$ присутствуют смешанные произведения вида $~ \Gamma_x \Omega_y$ и т.д. Подобных произведений нет в плоском пространстве Минковского, что приводит к тому, что в пространстве-времени специальной относительности энергия, связанная с напряжённостью гравитационного поля, не смешивается с энергией поля кручения. Такая же ситуация и в электромагнетизме: в пространстве Минковского энергия электрического поля вычисляется отдельно от энергии магнитного поля, но в искривлённом пространстве-времени в плотности энергии электромагнитного поля появляется ещё дополнительная энергия от смешанных компонент с произведениями компонент напряжённостей электрического и магнитного полей.

Из-за использования ковариантного дифференцирования в четырёхмерном пространстве в КТГ изменяются как уравнения гравитационного поля, так и выражение для 4-вектора плотности гравитационной силы (1), при этом выражение для гравитационной 4-силы остаётся прежним: ^[4]

$~ \nabla_n \Phi_{ik} + \nabla_i \Phi_{kn} + \nabla_k \Phi_{ni}=0,$

$~\nabla_k \Phi^{ik} = \frac {4 \pi G }{c^2_{g}} J^i ,$

$~f^{\alpha }=-\nabla _{\beta }U^{{\alpha \beta }}={\Phi ^{\alpha }}_{{i}}J^{i},$

$~F^{\alpha }={\Phi ^{\alpha }}_{{i}}Mu^{i}={\Phi ^{\alpha }}_{{i}}p^{i}.$

Уравнение для метрики

В КТГ метрический тензор определяется путём решения уравнения, подобного уравнению Гильберта-Эйнштейна. В ковариантных индексах это уравнение записывается так: ^[⁵^]

$~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} \right),$

где $~ R_{ik}={R^n}_{ink}$ – тензор Риччи, $~ R=R_{ik}g^{ik}$ – скалярная кривизна, $~ g^{ik}$ – метрический тензор, $~ \beta$ – коэффициент, подлежащий определению, $~ B_{ik}$ , $~ P_{ik}$ , $~ U_{ik}$ и $~ W_{ik}$ – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей, и предполагается, что скорость гравитации равна скорости света.

В отличие от общей теории относительности, в данном уравнении отсутствует космологическая постоянная $~ \Lambda$ , имеется дополнительная константа $~ \beta$ , а метрика оказывается зависящей от тензора энергии-импульса гравитационного поля. Последнее является следствием того, что в КТГ гравитация является самостоятельной физической силой, как и электромагнитная сила, и потому участвует в определении метрики в соответствии с принципами метрической теории относительности.

Уравнение движения

Использование принципа наименьшего действия позволяет вывести не только формулу для тензора энергии-импульса гравитационного поля, но и даёт уравнение движения, записанное в тензорной форме:

$~\nabla _{\beta }\left({B_{\alpha }}^{\beta }+{U_{\alpha }}^{\beta }+{W_{\alpha }}^{\beta }+{P_{\alpha }}^{\beta }\right)=0.\qquad (2)$

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля ускорений с точностью до знака даёт определение плотности 4-силы, действующей со стороны вещества на поле. При этом в отношении 4-потенциала $~U_{\alpha }$ поля ускорений в римановом пространстве применяется оператор производной по собственному времени:^[6]

$~f_{\alpha }=\nabla _{\beta }{B_{\alpha }}^{\beta }=-u_{{\alpha k}}J^{k}=\rho _{0}{\frac {DU_{\alpha }}{D\tau }}-J^{k}\nabla _{\alpha }U_{k}=\rho _{0}{\frac {dU_{\alpha }}{d\tau }}-J^{k}\partial _{\alpha }U_{k},$

где $~u_{{\alpha k}}$ – тензор ускорений, $~\tau$ – собственное динамическое время частицы в системе её покоя.

Суммарная плотность 4-силы от гравитационного и электромагнитного полей и поля давления определяется путём переноса тензоров энергии-импульса полей в правую часть уравнения движения (2) с последующим применением ковариантной производной:

$~f_{\alpha }=-\nabla _{\beta }\left({U_{\alpha }}^{\beta }+{W_{\alpha }}^{\beta }+{P_{\alpha }}^{\beta }\right)=\Phi _{{\alpha k}}J^{k}+F_{{\alpha k}}j^{k}+f_{{\alpha k}}J^{k},$

где $~F_{{\alpha k}}$ – тензор напряжённостей электромагнитного поля, $~f_{{\alpha k}}$ – тензор поля давления, $~j^k = \rho_{0q} u^k$ – 4-вектор плотности электромагнитного тока, $~\rho_{0q}$ – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя.

Законы сохранения

В пределе слабого поля, когда ковариантная производная может быть заменена частной производной, для временной компоненты в (2), у которой индекс , локальный закон сохранения энергии-импульса вещества и гравитационного и электромагнитного полей можно записать так: ^{[7] [8]}

$~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P}+ \mathbf{F} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00}+P^{00} )}{\partial t},$

где $~ \mathbf{K}$ – вектор плотности потока энергии поля ускорений, $~ \mathbf{H}$ – вектор Хевисайда, $~ \mathbf{P}$ – вектор Пойнтинга, $~ \mathbf{F}$ – вектор плотности потока энергии поля давления, определённые в рамках специальной теории относительности.

Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате изменение во времени суммарной энергии в некотором объёме возможно только за счёт втекания в этот объём потоков энергии.

Анализ уравнения (2) для пространственных компонент с индексом в слабом поле показывает, что с учётом уравнения движения вещества в поле все плотности сил и скорости изменения импульсов вещества и поля взаимно сокращаются.

Однако в общем случае, когда пространство-время заметно искривлено имеющимися полями и веществом, в (2) необходимо учитывать вклады с дополнительными ненулевыми компонентами метрического тензора и их производными, отсутствующие в специальной теории относительности. Это следует из того, что ковариантная производная выражается через частную производную и через коэффициенты Кристоффеля. Поскольку в КТГ целью использования метрического тензора является коррекция уравнений движения с тем, чтобы учесть зависимость от величины полей измеряемых с помощью электромагнитных (гравитационных) волн промежутков времени и пространственных расстояний, то подобная коррекция изменяет и форму многих физических величин в виде 4-векторов и тензоров. В частности, если рассматривать уравнение (2) как локальный закон сохранения энергии-импульса вещества и гравитационного и электромагнитного полей, то появление в нём дополнительных вкладов с участием компонент метрического тензора приводит к уточнению теории для случая искривлённого пространства. При этом физический смысл результатов, полученных для плоского пространства-времени и слабого поля, остаётся неизменным.

В качестве другого примера можно рассмотреть интеграл от левой части (2) по всему четырёхмерному пространству. В плоском пространстве Минковского ковариантная дивергенция от суммы тензоров становится обычной 4-дивергенцией, к которой можно применить формулу Гаусса-Остроградского. Согласно этой формуле интеграл от 4-дивергенции какого-либо тензора по 4-пространству может быть заменён на интеграл от тензора по гиперповерхности, окружающей 4-объём, по которому происходит интегрирование. Если выбрать проекцию такой гиперповерхности на гиперплоскость постоянного времени в виде трёхмерного объёма, интеграл от левой части (2) преобразуется в интеграл по объёму от суммы временных компонент тензоров в (2), который должен равняться некоторому сохраняющемуся интегральному вектору рассматриваемой физической системы:

$~{\mathbb {Q}}^{i}=\int {\left(B^{{i0}}+U^{{i0}}+W^{{i0}}+P^{{i0}}\right)dV}.$

Для указанных компонент тензоров интегральный вектор $~{\mathbb {Q}}^{i}$ обращается в нуль. ^[7] Равенство нулю этого 4-вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия гравитационного или электромагнитного поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы. С другой стороны, согласно ^[8] обобщённая теорема Пойнтинга и интегральный вектор должны рассматриваться по разному в веществе и за его пределами. В результате возникновение проблемы 4/3 связывается с тем, что временные компоненты тензоров энергии-импульса не образуют 4-векторы и потому принципиально не могут задавать одну и ту же массу в энергии и в импульсе полей. Отсюда следует, что интегральный вектор $~{\mathbb {Q}}^{i}$ не может рассматриваться как 4-импульс системы, определяя лишь распределение энергии и потоков энергии полей системы. ^[9]

Общая теория относительности (ОТО)

В ОТО существует проблема с определением тензора энергии-импульса гравитационного поля. Причина заключается в том, что вследствие применяемого принципа геометризации физики все проявления гравитации полностью заменяются геометрическим эффектом – искривлением пространства-времени. Таким образом, гравитационное поле сводится к метрическому полю, задаваемому метрическим тензором и его производными по координатам и времени. Поскольку в каждой системе отсчёта получается своя собственная метрика, то и гравитация оказывается не самостоятельным физическим взаимодействием, а полагается следствием метрики системы отсчёта. Это приводит к тому, что вместо тензора энергии-импульса гравитационного поля в ОТО присутствует псевдотензор, зависящий от метрики. Особенностью этого псевдотензора является то, что локально он может быть сделан равным нулю в любой точке путём выбора соответствующей системы отсчёта. В итоге в ОТО вынуждены отказаться от возможности точно определять локализацию гравитационной энергии и импульса гравитационного поля в физической системе, что существенно мешает понять физику гравитации на фундаментальном уровне и описать явления в классическом виде.

Уравнения Гильберта-Эйнштейна в ОТО предназначены для нахождения метрики:

$~ R_{ik} - \frac{1} {2 }g_{ik}R + g_{ik} \Lambda = \frac{8 \pi G }{ c^4} \left( t_{ik} + W_{ik} \right).$

В этих уравнениях нет тензора энергии-импульса гравитационного поля, присутствующего в правой части уравнений для метрики в КТГ. Метрика в ОТО зависит только от вещества и электромагнитного поля в рассматриваемой системе отсчёта. После нахождения такой метрики она используется для отыскания псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля, причём этот псевдотензор должен зависеть только от метрического тензора, быть симметричным по индексам, а в сумме с тензором энергии-импульса вещества $~ t_{ik}$ и тензором энергии-импульса электромагнитного поля давать нулевую дивергенцию для выполнения закона сохранения энергии-импульса вещества и поля. Данный псевдотензор в условиях слабого поля, то есть в специальной теории относительности, должен исчезать для того, чтобы обеспечивать принцип эквивалентности свободного падения в поле тяготения и движения по инерции.

Указанным критериям соответствует псевдотензор Ландау-Лифшица. ^[10] Существует также псевдотензор Эйнштейна, но он не симметричен по индексам. ^[11] Заметим, что в отличие от ОТО под псевдотензором в математике понимается нечто другое, а именно тензорная величина, меняющая свой знак при преобразовании в координатную систему отсчёта с противоположной ориентацией базиса.

Поскольку в ОТО тензора энергии-импульса гравитационного поля нет, гравитационная энергия тела определяется косвенным путём. Например, один из способов заключается в том, чтобы по заданной плотности вещества и размеру тела вычислить массу тела, вначале в отсутствие влияния метрики, а затем с учётом влияния метрики и соответствующего изменения элемента объёма в интеграле массы под действием гравитационного поля. Разность указанных масс приравнивается к массе-энергии гравитационного поля, как к проявлению метрического поля. ^[1^2] При этом используются значения метрического тензора, находимого в ОТО из уравнения Гильберта-Эйнштейна для метрики.

См. также

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля
Тензор энергии-импульса поля давления
Тензор энергии-импульса поля ускорений
Тензор энергии-импульса поля диссипации
Тензор гравитационного поля
Тензор Эйнштейна
Общее поле
Поле диссипации
Поле ускорений
Поле давления
4-импульс

Ссылки

1. ^а ^б Федосин С. Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик,Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.

2. Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8 (No. 1), pp. 1-16, (2015); статья на русском языке: Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.

3. Fedosin S.G. The Mass Hierarchy in the Relativistic Uniform System. Bulletin of Pure and Applied Sciences, Vol. 38 D (Physics), No. 2, pp. 73-80 (2019). http://dx.doi.org/10.5958/2320-3218.2019.00012.5. // Иерархия масс в релятивистской однородной системе.

4. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи,Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. SBN 978-5-9901951-1-0.

5. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

6. Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

7. ^а ^б Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, pp. 152-167 (2014). http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

8. ^а ^б Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.

9. Fedosin S.G. The covariant additive integrals of motion in the theory of relativistic vector fields. Bulletin of Pure and Applied Sciences, Vol. 37 D (Physics), No. 2, pp. 64-87 (2018). http://dx.doi.org/10.5958/2320-3218.2018.00013.1. // Ковариантные аддитивные интегралы движения в теории релятивистских векторных полей.

10. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

11. Albert Einstein. Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie. (The Hamiltonian principle and general relativity). Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.

12. Abhas Mitra. Why Gravitational Contraction Must be Accompanied by Emission of Radiation both in Newtonian and Einstein Gravity. Phys. Rev. D74, (2006), 024010.

Внешние ссылки

Gravitational stress-energy tensor