In English

4-сила

 

Из проекта Викизнание

 

4-сила есть 4-вектор, рассматриваемый как релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора силы на четырёхмерное пространство-время. Как и в классической механике, 4-сила может быть определена двумя способами. В первом из них измеряется изменение энергии и импульса частицы за единицу собственного времени. Во втором способе вводятся силовые характеристики – напряжённости поля, и с их помощью при известных энергии и импульсе частицы вычисляют 4-силу, действующую на частицу в данном поле. Равенство 4-сил, полученных данными способами, даёт уравнение движения частицы в заданном силовом поле.

В специальной теории относительности 4-сила определяется как производная 4-импульса  ~p^{\lambda } по собственному времени  ~\tau   частицы: [1]

~F^{\lambda }:={\frac {dp^{\lambda }}{d\tau }}.\qquad \qquad (1)

Для частицы с постоянной инвариантной массой M > 0,   ~p^{\lambda }=Mu^{\lambda } , где  ~u^{\lambda } есть 4-скорость. Это позволяет связать 4-силу с 4-ускорением  ~a^{\lambda } аналогично второму закону Ньютона:

~F^{\lambda }=Ma^{\lambda }=\left(\gamma {{\mathbf {F}}\cdot {\mathbf {v}} \over c},\gamma {{\mathbf {F}}}\right),

где  ~{\mathbf {v}}  есть классический 3-вектор скорости частицы,   ~\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}  – фактор Лоренца,  ~c – скорость света,

~{{\mathbf {F}}}={d \over dt}\left(\gamma M{{\mathbf {v}}}\right)={d{\mathbf {p}} \over dt}=M\gamma \left({\mathbf {a}}+\gamma ^{2}{\frac {({\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {a}})}{c^{2}}}{\mathbf {v}}\right)=M\gamma ^{3}\left({\mathbf {a}}+{\frac {{\mathbf {v}}\times [{\mathbf {v}}\times {\mathbf {a}}]}{c^{2}}}\right)

 

– 3-вектор силы, [2]  ~{\mathbf {p}} – 3-вектор релятивистского импульса,  ~{\mathbf {a}}={\frac {d{\mathbf {v}}}{dt}} – 3-вектор ускорения,

 

~{\mathbf {F}}\cdot {\mathbf {v}}={d \over dt}\left(\gamma Mc^{2}\right)={dE \over dt},

~E– релятивистская энергия.

В общей теории относительности 4-сила определяется через ковариантную производную 4-импульса по собственному времени: [3]

F^{\lambda }:={\frac {Dp^{\lambda }}{D\tau }}={\frac {dp^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}u^{\mu }p^{\nu },

где  ~\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}  – символ Кристоффеля.

Содержание

 1 Примеры

Примеры

4-сила, действующая в электромагнитном поле на частицу с электрическим зарядом  ~q, выражается следующим образом:

~F^{\lambda }=qF^{{\lambda \mu }}u_{\mu },

где  ~F^{{\lambda \mu }} – тензор электромагнитного поля, ~u_{\mu } – 4-скорость c нижним (ковариантным) индексом.

Плотность 4-силы

Для описания жидких или протяжённых сред, в которых требуется находить силы в разных точках пространства, вместо 4-вектора силы используют 4-вектор плотности силы, локально действующей на малый элемент объёма среды:

~f^{\lambda }:={\frac {dJ^{\lambda }}{d\tau }},\qquad \qquad (2)

где  ~J^{\lambda }=\rho _{0}u^{\lambda }  есть массовый 4-ток, ~\rho _{0}  – плотность вещества в системе его покоя.

В специальной теории относительности справедливы соотношения:

~u^{\lambda }=\left(\gamma c,\gamma {{\mathbf {v}}}\right),             ~f^{\lambda }=\left({\frac {\gamma }{c}}{\frac {d\varepsilon }{dt}},\gamma {{\mathbf {f}}}\right),

 

где  ~{\mathbf {f}}={d \over dt}\left(\gamma \rho _{0}{{\mathbf {v}}}\right)={d{\mathbf {J}} \over dt} – 3-вектор плотности силы, ~{\mathbf {J}} – 3-вектор массового тока, 

~\varepsilon =\gamma \rho _{0}c^{2} – плотность релятивистской энергии.

Если проинтегрировать (2) по инвариантному объёму элемента вещества, измеряемому в сопутствующей системе отсчёта, то получится выражение для 4-силы (1):

~\int {f^{\lambda }dV_{0}}=F^{\lambda }=\int {{\frac {d(\rho _{0}u^{\lambda })}{d\tau }}dV_{0}}={\frac {d}{d\tau }}\int {\rho _{0}u^{\lambda }dV_{0}}={\frac {d}{d\tau }}\int {u^{\lambda }dM}={\frac {dp^{\lambda }}{d\tau }}.

Данная формула и определение плотности 4-силы через массовый 4-ток ~J^{\lambda } при учёте действующих в системе полей требуют коррекции, поскольку не содержат дополнительного вклада от 4-импульсов самих полей. Как было показано в статье, [4]  вместо плотности 4-силы (2) в непрерывно распределённом веществе следует рассматривать выражение для плотности обобщённой 4-силы:

~{\mathcal F}_{\mu }=-{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial x^{\mu }}}={\frac {d\wp _{\mu }}{d\tau }},

где ~{\mathcal L} есть плотность функции Лагранжа, ~x^{\mu } представляют собой четырёхмерные координаты,  ~\wp _{\mu }=-{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial u^{\mu }}}  есть плотность обобщённого 4-импульса.

Если в веществе учесть четыре векторных поля, такие как электромагнитное и гравитационное поля, поле ускорений и поле давления, то плотность обобщённого 4-импульса будет равна: [5]

~\wp _{\mu }=\rho _{{0q}}A_{\mu }+\rho _{0}D_{\mu }+\rho _{0}U_{\mu }+\rho _{0}\pi _{\mu },

где ~A_{\mu },D_{\mu },U_{\mu },\pi _{\mu } есть 4-потенциалы электромагнитного и гравитационного полей, поля ускорений и поля давления, соответственно.

4-сила в КТГ

Если частица находится в гравитационном поле, то согласно ковариантной теории гравитации (КТГ) гравитационная 4-сила равна:

~F^{\nu }=M\Phi ^{{\nu \mu }}u_{\mu }=\Phi ^{{\nu \mu }}p_{\mu },

где  ~\Phi ^{{\nu \mu }} – тензор гравитационного поля, выражаемый через напряжённость гравитационного поля и поле кручения, ~p_{\mu } – 4-импульс c нижним (ковариантным) индексом, и масса частицы  ~M включает в себя вклады от массы-энергии полей, связанных с веществом частицы.

В КТГ тензор гравитационного поля с ковариантными индексами  ~\Phi _{{rs}}  определяется непосредственно, а для перехода к тензору с контравариантными индексами по обычному правилу используется метрический тензор, в общем случае являющийся функцией от времени и координат:

~\Phi ^{{\nu \mu }}=g^{{\nu r}}g^{{s\mu }}\Phi _{{rs}}.

Вследствие этого 4-сила  ~F^{\nu }, зависящая от метрического тензора через  ~\Phi ^{{\nu \mu }}, также становится функцией метрики. В то же время определение 4-силы с ковариантным индексом не требует знания метрики:

~F_{\mu }=M\Phi _{{\mu \nu }}u^{\nu }=\Phi _{{\mu \nu }}p^{\nu }.

В ковариантной теории гравитации 4-вектор плотности силы определяется через поле ускорений: [6] [7] [8]

~f_{\alpha }=\nabla _{\beta }{B_{\alpha }}^{\beta }=-u_{{\alpha k}}J^{k}=\rho _{0}{\frac {DU_{\alpha }}{D\tau }}-J^{k}\nabla _{\alpha }U_{k}=\rho _{0}{\frac {dU_{\alpha }}{d\tau }}-J^{k}\partial _{\alpha }U_{k},\qquad \qquad (3)

где  ~{B_{\alpha }}^{\beta }  – тензор энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами, ~u_{{\alpha k}}  – тензор ускорений, 4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный  ~\vartheta  и векторный  ~{\mathbf {U}}  потенциалы:

~U_{\alpha }=\left({\frac {\vartheta }{c}},-{\mathbf {U}}\right).

В выражении (3) используется оператор производной по собственному времени  ~{\frac {D}{D\tau }}=u^{\mu }\nabla _{\mu } , обобщающий производную Лагранжа (субстанциональную производную) на искривлённое пространство-время. [2]

Если есть только гравитационные и электромагнитные силы и силы давления, то для плотности 4-силы справедливо выражение: [9]  [10]  

~f_{\alpha }=\Phi _{{\alpha \mu }}J^{\mu }+F_{{\alpha \mu }}j^{\mu }+f_{{\alpha \mu }}J^{\mu }=-\nabla _{\mu }\left({U_{\alpha }}^{\mu }+{W_{\alpha }}^{\mu }+{P_{\alpha }}^{\mu }\right)=\rho _{0}{\frac {Du_{\alpha }}{D\tau }}=\rho _{0}a_{\alpha },\qquad \qquad (4)

 

где  ~j^{\mu }=\rho _{{0q}}u^{\mu }  есть 4-вектор плотности электромагнитного тока или зарядовый 4-ток, ~\rho _{{0q}} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, ~f_{{\alpha \mu }}  – тензор поля давления, ~{U_{\alpha }}^{\mu }  – тензор энергии-импульса гравитационного поля, ~{W_{\alpha }}^{\mu }  – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, ~{P_{\alpha }}^{\mu }  – тензор энергии-импульса поля давления,  ~\rho _{0}  — инвариантная плотность массы,  ~u_{\alpha }  и  ~a_{\alpha }  обозначают 4-скорость и 4-ускорение элемента вещества.

В ряде случаев вместо массового 4-тока используется величина  ~h^{\lambda }=\rho u^{\lambda } , где  ~\rho   – плотность движущегося вещества в произвольной системе отсчёта. Величина  ~h^{\lambda } не является 4-вектором, так как плотность вещества не является инвариантной величиной при преобразованиях координат. При интегрировании по движущемуся объёму элемента вещества благодаря соотношениям  ~dM=\rho _{0}dV_{0}=\rho dV  и   ~dVdt=dV_{0}d\tau   получается следующее:

~\int {{\frac {dh^{\lambda }}{d\tau }}dV}=\int {{\frac {d(\rho u^{\lambda })}{d\tau }}dV}={\frac {d}{dt}}\int {\rho u^{\lambda }dV_{0}}={\frac {d}{dt}}\int {{\frac {dt}{d\tau }}u^{\lambda }dM}.

Для инерциальных систем отсчёта в последнем выражении можно вынести величину  ~{\frac {dt}{d\tau }}  за знак интеграла. Это даёт 4-силу для таких систем отсчёта:

~{\frac {d}{d\tau }}\int {u^{\lambda }dM}=F^{\lambda }.

Однако движущееся вещество кроме импульса частиц имеет ещё и импульс поля, связанного с веществом, что требует более общего определения 4-импульса и 4-силы.

В общей теории относительности считается, что тензор энергии-импульса пылевидного вещества определяется выражением  ~t^{{\nu \lambda }}=J^{\nu }u^{\lambda } , и для него  ~h^{\lambda }={\frac {t^{{0\lambda }}}{c}} , то есть величина  ~h^{\lambda }=\rho u^{\lambda }  состоит из четырёх временных компонент данного тензора. Интеграл от этих компонент по движущемуся объёму даёт соответственно энергию (с точностью до константы, равной ~c) и импульс элемента вещества. Однако такое решение справедливо лишь в приближении инерциального движения, как это показано выше. Кроме того, согласно выводам в статье, [11]  интегрирование временных компонент тензора энергии-импульса для получения энергии и импульса системы в общем случае незаконно и приводит к парадоксам наподобие проблемы 4/3 для гравитационного и электромагнитного полей.

Вместо этого в ковариантной теории гравитации 4-импульс, содержащий энергию и импульс, выводится не из тензоров энергии-импульса, а путём вариации лагранжиана системы. [12]

Компоненты плотности 4-силы

Выражение (4) для плотности 4-силы можно разделить на 2 части, одна из которых будет описывать объёмную плотность мощности энергии, а другая описывать суммарную плотность силы от имеющихся полей.

В выражении (4) произведём замену:

~J^{\mu }=\rho _{0}u^{\mu }=\rho _{0}{\frac {cdt}{ds}}{\frac {dx^{\mu }}{dt}}=\rho {\frac {dx^{\mu }}{dt}},

где  ~ds  обозначает интервал, ~dt есть дифференциал координатного времени, ~\rho =\rho _{0}{\frac {cdt}{ds}} – плотность массы движущегося вещества, четырёхмерная величина  ~{\frac {dx^{\mu }}{dt}}=(c,{\mathbf {v}})  состоит из временной компоненты, равной скорости света  ~c, и пространственной компоненты в виде 3-вектора скорости частицы  ~{\mathbf {v}}.

Аналогично запишем зарядовый 4-ток через плотность заряда движущегося вещества  ~\rho _{{q}}=\rho _{{0q}}{\frac {cdt}{ds}}:

~j^{\mu }=\rho _{{0q}}u^{\mu }=\rho _{{0q}}{\frac {cdt}{ds}}{\frac {dx^{\mu }}{dt}}=\rho _{{q}}{\frac {dx^{\mu }}{dt}}.

Кроме этого, выразим тензоры через их компоненты, то есть через соответствующие 3-векторы напряжённостей полей. Тогда для временной компоненты плотности 4-силы c ковариантным индексом находим:

~f_{0}={\frac {1}{c}}(\rho {\mathbf {\Gamma }}\cdot {\mathbf {v}}+\rho _{{q}}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {v}}+\rho {\mathbf {C}}\cdot {\mathbf {v}}).

где  ~{\mathbf {\Gamma }}  – напряжённость гравитационного поля, ~{\mathbf {E}}  – напряжённость электромагнитного поля, ~{\mathbf {C}}  – напряжённость поля давления.

Пространственная компонента плотности ковариантной 4-силы является 3-вектором вида ~-{\mathbf {f}} , то есть 4-сила  ~f_{\lambda }=(f_{0}{,}-f_{x}{,}-f_{y}{,}-f_{z}),

при этом плотность 3-силы равна:

~{\mathbf {f}}=\rho {\mathbf {\Gamma }}+\rho [{\mathbf {v}}\times {\mathbf {\Omega }}]+\rho _{{q}}{\mathbf {E}}+\rho _{{q}}[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {B}}]+\rho {\mathbf {C}}+\rho [{\mathbf {v}}\times {\mathbf {I}}],

где ~{\mathbf {\Omega }} – поле кручения, ~{\mathbf {B}} – индукция магнитного поля, ~{\mathbf {I}}  – соленоидальный вектор поля давления.

Выражение для ковариантной плотности 4-силы можно также записать через компоненты тензора ускорений. Из (3) находим:

~f_{0}=-u_{{0k}}J^{k}=-{\frac {\rho }{c}}{\mathbf {S}}\cdot {\mathbf {v}},

 

~{\mathbf {f}}=-\rho {\mathbf {S}}-\rho [{\mathbf {v}}\times {\mathbf {N}}],

где  ~{\mathbf {S}} – напряжённость поля ускорений, ~{\mathbf {N}} – соленоидальный вектор поля ускорений.

Используя выражение 4-потенциала поля ускорений через скалярный  ~\vartheta  и  векторный  ~{\mathbf {U}} потенциалы и определение производной Лагранжа, из (3) и (4) для скалярной и векторной компонент уравнения движения получается следующее:

~{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {dx^{k}}{dt}}{\frac {\partial U_{k}}{\partial t}}={\mathbf {v}}\cdot \nabla \vartheta +v_{x}{\frac {\partial U_{x}}{\partial t}}+v_{y}{\frac {\partial U_{y}}{\partial t}}+v_{z}{\frac {\partial U_{z}}{\partial t}}=-{\mathbf {S}}\cdot {\mathbf {v}}={\mathbf {\Gamma }}\cdot {\mathbf {v}}+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {v}}+{\mathbf {C}}\cdot {\mathbf {v}}.\qquad (5)

 

~{\frac {d{\mathbf {U}}}{dt}}+\nabla \vartheta -v_{x}\nabla U_{x}-v_{y}\nabla U_{y}-v_{z}\nabla U_{z}=-{\mathbf {S}}-[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {N}}]={\mathbf {\Gamma }}+[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {\Omega }}]+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}({\mathbf {E}}+[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {B}}])+{\mathbf {C}}+[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {I}}].\qquad (6)

 

Здесь  ~U_{x},U_{y},U_{z}  являются компонентами векторного потенциала  ~{\mathbf {U}}  поля ускорений,  ~v_{x},v_{y},v_{z}  являются компонентами скорости  ~{\mathbf {v}}  элемента вещества или частицы.

Уравнения движения вещества (5) и (6) получаются в ковариантной форме и справедливы в искривлённом пространстве-времени. В левой части этих уравнений присутствуют либо потенциалы, либо напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений. Правая часть уравнений движения выражается через напряжённости и соленоидальные векторы гравитационного и электромагнитного полей, и поля давления внутри вещества. Прежде чем решать данные уравнения движения, удобно найти вначале потенциалы всех полей через соответствующие волновые уравнения. Беря далее 4-ротор от 4-потенциалов полей, можно определить напряжённости и соленоидальные векторы всех полей. После подстановки их в (5) и (6) становится возможным найти соотношение между коэффициентами полей, выразить коэффициент поля ускорений и тем самым полностью определить это поле в веществе.

Связь с 4-ускорением

Особенностью уравнений движения (5) и (6) является то, что в них нет прямой связи с 4-ускорением рассматриваемой частицы вещества. Однако уравнение для 4-ускорения частицы следует из (4):

~a_{\alpha }=\Phi _{{\alpha \mu }}u^{\mu }+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}F_{{\alpha \mu }}u^{\mu }+f_{{\alpha \mu }}u^{\mu }.

После умножения на массу частицы данное уравнение будет соответствовать уравнению (1) для 4-силы.

Для точечной частицы 4-ускорение с ковариантным индексом можно выразить через напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений:

~a_{\alpha }={\frac {cdt}{ds}}\left(-{\frac {1}{c}}{\mathbf {S}}\cdot {\mathbf {v}}{,}\qquad {\mathbf {S}}+[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {N}}]\right).

В специальной теории относительности  ~{\frac {cdt}{ds}}=\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}},  и подставляя значения  ~{\mathbf {S}}  и  ~{\mathbf {N}}  для одной частицы, для ковариантного 4-ускорения получается стандартное выражение:

~{\mathbf {S}}=-c^{2}\nabla \gamma -{\frac {\partial (\gamma {\mathbf {v}})}{\partial t}},\qquad \qquad {\mathbf {N}}=\nabla \times (\gamma {\mathbf {v}}).

 

~a_{\alpha }=\gamma \left({\frac {d(\gamma c)}{dt}}{,}\qquad -{\frac {d(\gamma {\mathbf {v}})}{dt}}\right).

Если масса  ~m  частицы постоянна, то для силы, действующей на частицу, можно записать:

~{\mathbf F}={\frac {d{\mathbf p}}{dt}}=m{\frac {d(\gamma {\mathbf v})}{dt}}=-m\left({\mathbf {S}}+[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {N}}]\right)=\nabla E+{\frac {\partial {\mathbf p}}{\partial t}}-{\mathbf {v}}\times [\nabla \times {\mathbf p}],

где  ~E=\gamma mc^{2}  есть релятивистская энергия,  ~{\mathbf p}=\gamma m{\mathbf v} – 3-вектор релятивистского импульса частицы.

Для тела с непрерывным распределением вещества векторы  ~{\mathbf {S}}  и  ~{\mathbf {N}}  существенно отличаются от соответствующих мгновенных векторов конкретных частиц вблизи точки наблюдения. Векторы  ~{\mathbf {S}}  и  ~{\mathbf {N}} отражают усреднённую величину 4-ускорения внутри тел. В частности, внутри тел возникает 4-ускорение, генерируемое различными силами в веществе. Типичным примером являются релятивистская однородная система, а также космические тела, где основными силами являются силы гравитации и внутреннего давления, обычно направленные противоположно друг другу. При вращении этих тел плотность 4-силы, 4-ускорение, векторы  ~{\mathbf {S}}  и  ~{\mathbf {N}}  становятся функциями не только радиуса, но и расстояния от оси вращения до точки наблюдения. В общем случае для протяжённых тел 4-ускорение в каждой точке тела становится некоторой функцией координат и времени. В качестве характеристики движения физической системы может быть выбрано 4-ускорение центра импульсов, для оценки которого следует проинтегрировать плотность силы по объёму всего вещества и разделить суммарную силу на инертную массу системы. Другой способ предполагает оценку 4-ускорения через напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений в центре импульсов в приближении специальной теории относительности, как это было показано выше.

См. также

Ссылки

1.      Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-853971-853951-5.

2.      а б Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

3.      Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

4.      Fedosin S.G. Generalized Four-momentum for Continuously Distributed Materials. Gazi University Journal of Science, Vol. 37, Issue 3, pp. 1509-1538 (2024). https://doi.org/10.35378/gujs.1231793. // Обобщённый 4-импульс для непрерывно распределённого вещества.

5.      Fedosin S.G. Lagrangian formalism in the theory of relativistic vector fields. International Journal of Modern Physics A, Vol. 40, No. 02, 2450163 (2025)). https://doi.org/10.1142/S0217751X2450163X. // Лагранжев формализм в теории релятивистских векторных полей.

6.      Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

7.      Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, No. 18, pp. 771-779 (2014). http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101; статья на русском языке: Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.

8.      Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

9.      Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics. Vol. 18, No. 1, pp. 13-24 (2015). http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003; статья на русском языке: Четырёхмерное уравнение движения вязкого сжимаемого вещества с учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.

10.  Fedosin S.G. Two components of the macroscopic general field. Reports in Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2, 1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025; статья на русском языке: Две компоненты макроскопического общего поля.

11.  Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.

12.  Fedosin S.G. What should we understand by the four-momentum of physical system? Physica Scripta, Vol. 99, No. 5, 055034 (2024). https://doi.org/10.1088/1402-4896/ad3b45. // Что мы должны понимать под 4-импульсом физической системы?

Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/ff.htm

На список страниц