In English

4-сила

 

Из проекта Викизнание

 

4-сила есть 4-вектор, рассматриваемый как релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора силы на четырёхмерное пространство-время. Как и в классической механике, 4-сила может быть определена двумя способами. В первом из них измеряется изменение энергии и импульса частицы за единицу собственного времени. Во втором способе вводятся силовые характеристики – напряжённости поля, и с их помощью при известных энергии и импульсе частицы вычисляют 4-силу, действующую на частицу в данном поле. Равенство 4-сил, полученных данными способами, даёт уравнение движения частицы в заданном силовом поле.

В специальной теории относительности 4-сила определяется как производная 4-импульса  ~p^{\lambda } по собственному времени  ~\tau   частицы: [1]

~F^{\lambda }:={\frac  {dp^{\lambda }}{d\tau }}.\qquad \qquad (1)

Для частицы с постоянной инвариантной массой M > 0,   ~p^{\lambda }=Mu^{\lambda } , где  ~u^{\lambda } есть 4-скорость. Это позволяет связать 4-силу с 4-ускорением  ~a^{\lambda } аналогично второму закону Ньютона:

~F^{\lambda }=Ma^{\lambda }=\left(\gamma {{\mathbf  {F}}\cdot {\mathbf  {v}} \over c},\gamma {{\mathbf  {F}}}\right),

где  ~{\mathbf  {v}}  есть классический 3-вектор скорости частицы,   ~\gamma ={\frac  {1}{{\sqrt  {1-({\frac  {v}{c}})^{2}}}}}  – фактор Лоренца,  ~c – скорость света,

~{{\mathbf  {F}}}={d \over dt}\left(\gamma M{{\mathbf  {v}}}\right)={d{\mathbf  {p}} \over dt}=M\gamma \left({\mathbf  {a}}+\gamma ^{2}{\frac  {({\mathbf  {v}}\cdot {\mathbf  {a}})}{c^{2}}}{\mathbf  {v}}\right)=M\gamma ^{3}\left({\mathbf  {a}}+{\frac  {{\mathbf  {v}}\times [{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {a}}]}{c^{2}}}\right)

 

– 3-вектор силы, [2]  ~{\mathbf  {p}} – 3-вектор релятивистского импульса,  ~{\mathbf  {a}}={\frac  {d{\mathbf  {v}}}{dt}} – 3-вектор ускорения,

 

~{\mathbf  {F}}\cdot {\mathbf  {v}}={d \over dt}\left(\gamma Mc^{2}\right)={dE \over dt},

~E– релятивистская энергия.

В общей теории относительности 4-сила определяется через ковариантную производную 4-импульса по собственному времени: [3]

F^{\lambda }:={\frac  {Dp^{\lambda }}{D\tau }}={\frac  {dp^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}u^{\mu }p^{\nu },

где  ~\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}  – символ Кристоффеля.

Содержание

 1 Примеры

Примеры

4-сила, действующая в электромагнитном поле на частицу с электрическим зарядом  ~q, выражается следующим образом:

~F^{\lambda }=qF^{{\lambda \mu }}u_{\mu },

где  ~F^{{\lambda \mu }} – тензор электромагнитного поля, ~u_{\mu } – 4-скорость c нижним (ковариантным) индексом.

Плотность 4-силы

Для описания жидких или протяжённых сред, в которых требуется находить силы в разных точках пространства, вместо 4-вектора силы используют 4-вектор плотности силы, локально действующей на малый элемент объёма среды:

~f^{\lambda }:={\frac  {dJ^{\lambda }}{d\tau }},\qquad \qquad (2)

где  ~J^{\lambda }=\rho _{0}u^{\lambda }  есть массовый 4-ток, ~\rho _{0}  – плотность вещества в системе его покоя.

В специальной теории относительности справедливы соотношения:

~u^{\lambda }=\left(\gamma c,\gamma {{\mathbf  {v}}}\right),             ~f^{\lambda }=\left({\frac  {\gamma }{c}}{\frac  {d\varepsilon }{dt}},\gamma {{\mathbf  {f}}}\right),

 

где  ~{\mathbf  {f}}={d \over dt}\left(\gamma \rho _{0}{{\mathbf  {v}}}\right)={d{\mathbf  {J}} \over dt} – 3-вектор плотности силы, ~{\mathbf  {J}} – 3-вектор массового тока, 

~\varepsilon =\gamma \rho _{0}c^{2} – плотность релятивистской энергии.

Если проинтегрировать (2) по инвариантному объёму элемента вещества, измеряемому в сопутствующей системе отсчёта, то получится выражение для 4-силы (1):

~\int {f^{\lambda }dV_{0}}=F^{\lambda }=\int {{\frac  {d(\rho _{0}u^{\lambda })}{d\tau }}dV_{0}}={\frac  {d}{d\tau }}\int {\rho _{0}u^{\lambda }dV_{0}}={\frac  {d}{d\tau }}\int {u^{\lambda }dM}={\frac  {dp^{\lambda }}{d\tau }}.

4-сила в КТГ

Если частица находится в гравитационном поле, то согласно ковариантной теории гравитации (КТГ) гравитационная 4-сила равна:

~F^{\nu }=M\Phi ^{{\nu \mu }}u_{\mu }=\Phi ^{{\nu \mu }}p_{\mu },

где  ~\Phi ^{{\nu \mu }} тензор гравитационного поля, выражаемый через напряжённость гравитационного поля и поле кручения, ~p_{\mu } – 4-импульс c нижним (ковариантным) индексом, и масса частицы  ~M включает в себя вклады от массы-энергии полей, связанных с веществом частицы.

В КТГ тензор гравитационного поля с ковариантными индексами  ~\Phi _{{rs}}  определяется непосредственно, а для перехода к тензору с контравариантными индексами по обычному правилу используется метрический тензор, в общем случае являющийся функцией от времени и координат:

~\Phi ^{{\nu \mu }}=g^{{\nu r}}g^{{s\mu }}\Phi _{{rs}}.

Вследствие этого 4-сила  ~F^{\nu }, зависящая от метрического тензора через  ~\Phi ^{{\nu \mu }}, также становится функцией метрики. В то же время определение 4-силы с ковариантным индексом не требует знания метрики:

~F_{\mu }=M\Phi _{{\mu \nu }}u^{\nu }=\Phi _{{\mu \nu }}p^{\nu }.

В ковариантной теории гравитации 4-вектор плотности силы определяется через поле ускорений: [4] [5] [6]

~f_{\alpha }=\nabla _{\beta }{B_{\alpha }}^{\beta }=-u_{{\alpha k}}J^{k}=\rho _{0}{\frac  {DU_{\alpha }}{D\tau }}-J^{k}\nabla _{\alpha }U_{k}=\rho _{0}{\frac  {dU_{\alpha }}{d\tau }}-J^{k}\partial _{\alpha }U_{k},\qquad \qquad (3)

где  ~{B_{\alpha }}^{\beta }  тензор энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами, ~u_{{\alpha k}}  тензор ускорений, 4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный  ~\vartheta  и векторный  ~{\mathbf  {U}}  потенциалы:

~U_{\alpha }=\left({\frac  {\vartheta }{c}},-{\mathbf  {U}}\right).

В выражении (3) используется оператор производной по собственному времени  ~{\frac  {D}{D\tau }}=u^{\mu }\nabla _{\mu } , обобщающий производную Лагранжа (субстанциональную производную) на искривлённое пространство-время. [2]

Если есть только гравитационные и электромагнитные силы и силы давления, то справедливо выражение:

~f_{\alpha }=\Phi _{{\alpha \mu }}J^{\mu }+F_{{\alpha \mu }}j^{\mu }+f_{{\alpha \mu }}J^{\mu }=-\nabla _{\mu }\left({U_{\alpha }}^{\mu }+{W_{\alpha }}^{\mu }+{P_{\alpha }}^{\mu }\right),\qquad \qquad (4)

где  ~j^{\mu }=\rho _{{0q}}u^{\mu }  есть 4-вектор плотности электромагнитного тока или зарядовый 4-ток, ~\rho _{{0q}} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, ~f_{{\alpha \mu }}  тензор поля давления, ~{U_{\alpha }}^{\mu }  тензор энергии-импульса гравитационного поля, ~{W_{\alpha }}^{\mu }  – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, ~{P_{\alpha }}^{\mu }  тензор энергии-импульса поля давления.

В ряде случаев вместо массового 4-тока используется величина  ~h^{\lambda }=\rho u^{\lambda } , где  ~\rho   – плотность движущегося вещества в произвольной системе отсчёта. Величина  ~h^{\lambda } не является 4-вектором, так как плотность вещества не является инвариантной величиной при преобразованиях координат. При интегрировании по движущемуся объёму элемента вещества благодаря соотношениям  ~dM=\rho _{0}dV_{0}=\rho dV  и   ~dVdt=dV_{0}d\tau   получается следующее:

~\int {{\frac  {dh^{\lambda }}{d\tau }}dV}=\int {{\frac  {d(\rho u^{\lambda })}{d\tau }}dV}={\frac  {d}{dt}}\int {\rho u^{\lambda }dV_{0}}={\frac  {d}{dt}}\int {{\frac  {dt}{d\tau }}u^{\lambda }dM}.

Для инерциальных систем отсчёта в последнем выражении можно вынести величину  ~{\frac  {dt}{d\tau }}  за знак интеграла. Это даёт 4-силу для таких систем отсчёта:

~{\frac  {d}{d\tau }}\int {u^{\lambda }dM}=F^{\lambda }.

В общей теории относительности считается, что тензор энергии-импульса пылевидного вещества определяется выражением  ~t^{{\nu \lambda }}=J^{\nu }u^{\lambda } , и для него  ~h^{\lambda }={\frac  {t^{{0\lambda }}}{c}} , то есть величина  ~h^{\lambda }=\rho u^{\lambda }  состоит из четырёх временных компонент данного тензора. Интеграл от этих компонент по движущемуся объёму даёт соответственно энергию (с точностью до константы, равной ~c) и импульс элемента вещества. Однако такое решение справедливо лишь в приближении инерциального движения, как это показано выше. Кроме того, согласно выводам в статье, [7]  интегрирование временных компонент тензора энергии-импульса для получения энергии и импульса системы в общем случае незаконно и приводит к парадоксам наподобие проблемы 4/3 для гравитационного и электромагнитного полей.

Вместо этого в ковариантной теории гравитации 4-импульс, содержащий энергию и импульс, выводится не из тензоров энергии-импульса, а путём вариации лагранжиана системы.

Компоненты плотности 4-силы

Выражение (4) для плотности 4-силы можно разделить на 2 части, одна из которых будет описывать объёмную плотность мощности энергии, а другая описывать суммарную плотность силы от имеющихся полей. Будем считать, что скорость распространения гравитации равна скорости света.

В выражении (4) произведём замену:

~J^{\mu }=\rho _{0}u^{\mu }=\rho _{0}{\frac  {cdt}{ds}}{\frac  {dx^{\mu }}{dt}}=\rho {\frac  {dx^{\mu }}{dt}},

где  ~ds  обозначает интервал, ~dt есть дифференциал координатного времени, ~\rho =\rho _{0}{\frac  {cdt}{ds}} – плотность массы движущегося вещества, четырёхмерная величина  ~{\frac  {dx^{\mu }}{dt}}=(c,{\mathbf  {v}})  состоит из временной компоненты, равной скорости света  ~c, и пространственной компоненты в виде 3-вектора скорости частицы  ~{\mathbf  {v}}.

Аналогично запишем зарядовый 4-ток через плотность заряда движущегося вещества  ~\rho _{{q}}=\rho _{{0q}}{\frac  {cdt}{ds}}:

~j^{\mu }=\rho _{{0q}}u^{\mu }=\rho _{{0q}}{\frac  {cdt}{ds}}{\frac  {dx^{\mu }}{dt}}=\rho _{{q}}{\frac  {dx^{\mu }}{dt}}.

Кроме этого, выразим тензоры через их компоненты, то есть через соответствующие 3-векторы напряжённостей полей. Тогда для временной компоненты плотности 4-силы c ковариантным индексом находим:

~f_{0}={\frac  {1}{c}}(\rho {\mathbf  {\Gamma }}\cdot {\mathbf  {v}}+\rho _{{q}}{\mathbf  {E}}\cdot {\mathbf  {v}}+\rho {\mathbf  {C}}\cdot {\mathbf  {v}}).

где  ~{\mathbf  {\Gamma }}  напряжённость гравитационного поля, ~{\mathbf  {E}}  – напряжённость электромагнитного поля, ~{\mathbf  {C}}  – напряжённость поля давления.

Пространственная компонента плотности ковариантной 4-силы является 3-вектором вида ~-{\mathbf  {f}} , то есть 4-сила  ~f_{\lambda }=(f_{0}{,}-f_{x}{,}-f_{y}{,}-f_{z}),

при этом плотность 3-силы равна:

~{\mathbf  {f}}=\rho {\mathbf  {\Gamma }}+\rho [{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {\Omega }}]+\rho _{{q}}{\mathbf  {E}}+\rho _{{q}}[{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {B}}]+\rho {\mathbf  {C}}+\rho [{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {I}}],

где ~{\mathbf  {\Omega }} поле кручения, ~{\mathbf  {B}} – индукция магнитного поля, ~{\mathbf  {I}}  – соленоидальный вектор поля давления.

Выражение для ковариантной плотности 4-силы можно также записать через компоненты тензора ускорений. Из (3) находим:

~f_{0}=-u_{{0k}}J^{k}=-{\frac  {\rho }{c}}{\mathbf  {S}}\cdot {\mathbf  {v}},

 

~{\mathbf  {f}}=-\rho {\mathbf  {S}}-\rho [{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {N}}],

где  ~{\mathbf  {S}} – напряжённость поля ускорений, ~{\mathbf  {N}} – соленоидальный вектор поля ускорений.

Используя выражение 4-потенциала поля ускорений через скалярный  ~\vartheta  и  векторный  ~{\mathbf  {U}} потенциалы и определение производной Лагранжа, из (3) и (4) для скалярной и векторной компонент уравнения движения получается следующее:

~{\frac  {d\vartheta }{dt}}-{\frac  {dx^{k}}{dt}}{\frac  {\partial U_{k}}{\partial t}}={\mathbf  {v}}\cdot \nabla \vartheta +v_{x}{\frac  {\partial U_{x}}{\partial t}}+v_{y}{\frac  {\partial U_{y}}{\partial t}}+v_{z}{\frac  {\partial U_{z}}{\partial t}}=-{\mathbf  {S}}\cdot {\mathbf  {v}}={\mathbf  {\Gamma }}\cdot {\mathbf  {v}}+{\frac  {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}{\mathbf  {E}}\cdot {\mathbf  {v}}+{\mathbf  {C}}\cdot {\mathbf  {v}}.\qquad (5)

 

~{\frac  {d{\mathbf  {U}}}{dt}}+\nabla \vartheta -v_{x}\nabla U_{x}-v_{y}\nabla U_{y}-v_{z}\nabla U_{z}=-{\mathbf  {S}}-[{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {N}}]={\mathbf  {\Gamma }}+[{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {\Omega }}]+{\frac  {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}({\mathbf  {E}}+[{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {B}}])+{\mathbf  {C}}+[{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {I}}].\qquad (6)

 

Здесь  ~U_{x},U_{y},U_{z}  являются компонентами векторного потенциала  ~{\mathbf  {U}}  поля ускорений,  ~v_{x},v_{y},v_{z}  являются компонентами скорости  ~{\mathbf  {v}}  элемента вещества или частицы.

Уравнения движения вещества (5) и (6) получаются в ковариантной форме и справедливы в искривлённом пространстве-времени. В левой части этих уравнений присутствуют либо потенциалы, либо напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений. Правая часть уравнений движения выражается через напряжённости и соленоидальные векторы гравитационного и электромагнитного полей, и поля давления внутри вещества. Прежде чем решать данные уравнения движения, удобно найти вначале потенциалы всех полей через соответствующие волновые уравнения. Беря далее 4-ротор от 4-потенциалов полей, можно определить напряжённости и соленоидальные векторы всех полей. После подстановки их в (5) и (6) становится возможным найти соотношение между коэффициентами полей, выразить коэффициент поля ускорений и тем самым полностью определить это поле в веществе.

Связь с 4-ускорением

Особенностью уравнений движения (5) и (6) является то, что в них нет прямой связи с 4-ускорением рассматриваемой частицы вещества. Однако в ряде случаев возможно определить как ускорение и скорость движения, так и зависимость пройденного расстояния от времени. Простейшим примером является прямолинейное движение однородной твёрдой частицы в однородных внешних полях. В этом случае 4-потенциал поля ускорений точно совпадает с 4-скоростью частицы, так что скалярный потенциал  ~\vartheta =\gamma c^{2} , векторный потенциал  ~{\mathbf  {U}}=\gamma {\mathbf  {v}}  , где  ~\gamma   есть фактор Лоренца частицы. Подстановка равенства  ~U_{\alpha }=u_{\alpha }  даёт в (3) следующее:

~\rho _{0}{\frac  {dU_{\alpha }}{d\tau }}=\rho _{0}{\frac  {du_{\alpha }}{d\tau }}=\rho _{0}a_{\alpha },

 

~J^{k}\partial _{\alpha }U_{k}=\rho _{0}u^{k}\partial _{\alpha }u_{k}={\frac  {\rho _{0}}{2}}\partial _{\alpha }(u^{k}u_{k})={\frac  {\rho _{0}}{2}}\partial _{\alpha }c^{2}=0,

где  ~a_{\alpha }={\frac  {du_{\alpha }}{d\tau }}=u^{\mu }\partial _{\mu }u_{\alpha }  определяется как 4-ускорение.

Тогда из (3) и (4) следует уравнение для 4-ускорения частицы:

~a_{\alpha }=\Phi _{{\alpha \mu }}u^{\mu }+{\frac  {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}F_{{\alpha \mu }}u^{\mu }+f_{{\alpha \mu }}u^{\mu }.

После умножения на массу частицы данное уравнение будет соответствовать уравнению (1) для 4-силы.

В рассматриваемом случае движения твёрдой частицы 4-ускорение с ковариантным индексом можно выразить через напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений:

~a_{\alpha }={\frac  {cdt}{ds}}\left(-{\frac  {1}{c}}{\mathbf  {S}}\cdot {\mathbf  {v}}{,}\qquad {\mathbf  {S}}+[{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {N}}]\right).

В специальной теории относительности  ~{\frac  {cdt}{ds}}=\gamma ={\frac  {1}{{\sqrt  {1-({\frac  {v}{c}})^{2}}}}},  и подставляя значения  ~{\mathbf  {S}}  и  ~{\mathbf  {N}}  для одной частицы, для ковариантного 4-ускорения получается стандартное выражение:

~{\mathbf  {S}}=-c^{2}\nabla \gamma -{\frac  {\partial (\gamma {\mathbf  {v}})}{\partial t}},\qquad \qquad {\mathbf  {N}}=\nabla \times (\gamma {\mathbf  {v}}).

 

~a_{\alpha }=\gamma \left({\frac  {d(\gamma c)}{dt}}{,}\qquad -{\frac  {d(\gamma {\mathbf  {v}})}{dt}}\right).

Если масса  ~m  частицы постоянна, то для силы, действующей на частицу, можно записать:

~{\mathbf  F}={\frac  {d{\mathbf  p}}{dt}}=m{\frac  {d(\gamma {\mathbf  v})}{dt}}=-m\left({\mathbf  {S}}+[{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {N}}]\right)=\nabla E+{\frac  {\partial {\mathbf  p}}{\partial t}}-{\mathbf  {v}}\times [\nabla \times {\mathbf  p}],

где  ~E=\gamma mc^{2}  есть релятивистская энергия,  ~{\mathbf  p}=\gamma m{\mathbf  v} – 3-вектор релятивистского импульса частицы.

Для тела с непрерывным распределением вещества векторы  ~{\mathbf  {S}}  и  ~{\mathbf  {N}}  существенно отличаются от соответствующих мгновенных векторов конкретных частиц вблизи точки наблюдения. Эти вектора отражают усреднённую величину 4-ускорения внутри тел. В частности, внутри тел возникает 4-ускорение, генерируемое различными силами в веществе. Типичным примером являются релятивистская однородная система, а также космические тела, где основными силами являются силы гравитации и внутреннего давления, обычно направленные противоположно друг другу. При вращении этих тел плотность 4-силы, 4-ускорение, векторы  ~{\mathbf  {S}}  и  ~{\mathbf  {N}}  становятся функциями не только радиуса, но и расстояния от оси вращения до точки наблюдения. В общем случае для протяжённых тел 4-ускорение в каждой точке тела становится некоторой функцией координат и времени. В качестве характеристики движения физической системы может быть выбрано 4-ускорение центра импульсов, для оценки которого следует проинтегрировать плотность силы по объёму всего вещества и разделить суммарную силу на инертную массу системы. Другой способ предполагает оценку 4-ускорения через напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений в центре импульсов в приближении специальной теории относительности, как это было показано выше.

См. также

Ссылки

1.      Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-853971-853951-5.

2.      а б Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

3.      Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

4.      Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

5.      Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, No. 18, pp. 771-779 (2014). http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101; статья на русском языке: Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.

6.      Федосин С.Г. Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей. Препринт. Январь, 2018.

7.      Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. Preprint, February 2016.

Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/ff.htm

На список страниц