In English

4-сила

Из проекта Викизнание

4-сила есть 4-вектор, рассматриваемый как релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора силы на четырёхмерное пространство-время. Как и в классической механике, 4-сила может быть определена двумя способами. В первом из них измеряется изменение энергии и импульса частицы за единицу собственного времени. Во втором способе вводятся силовые характеристики – напряжённости поля, и с их помощью при известных энергии и импульсе частицы вычисляют 4-силу, действующую на частицу в данном поле. Равенство 4-сил, полученных данными способами, даёт уравнение движения частицы в заданном силовом поле.

В специальной теории относительности 4-сила определяется как производная 4-импульса $~p^{\lambda }$ по собственному времени $~\tau$ частицы: ^[1]

$~F^{\lambda }:={\frac {dp^{\lambda }}{d\tau }}.\qquad \qquad (1)$

Для частицы с постоянной инвариантной массой M > 0, $~p^{\lambda }=Mu^{\lambda }$ , где $~u^{\lambda }$ есть 4-скорость. Это позволяет связать 4-силу с 4-ускорением $~a^{\lambda }$ аналогично второму закону Ньютона:

$~F^{\lambda }=Ma^{\lambda }=\left(\gamma {{\mathbf {F}}\cdot {\mathbf {v}} \over c},\gamma {{\mathbf {F}}}\right)$ ,

где $~{\mathbf {v}}$ есть классический 3-вектор скорости частицы, $~\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}$ – фактор Лоренца, – скорость света,

$~{{\mathbf {F}}}={d \over dt}\left(\gamma M{{\mathbf {v}}}\right)={d{\mathbf {p}} \over dt}=M\gamma \left({\mathbf {a}}+\gamma ^{2}{\frac {({\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {a}})}{c^{2}}}{\mathbf {v}}\right)=M\gamma ^{3}\left({\mathbf {a}}+{\frac {{\mathbf {v}}\times [{\mathbf {v}}\times {\mathbf {a}}]}{c^{2}}}\right)$

– 3-вектор силы, ^[2] $~{\mathbf {p}}$ – 3-вектор релятивистского импульса, $~{\mathbf {a}}={\frac {d{\mathbf {v}}}{dt}}$ – 3-вектор ускорения,

$~{\mathbf {F}}\cdot {\mathbf {v}}={d \over dt}\left(\gamma Mc^{2}\right)={dE \over dt}$ ,

– релятивистская энергия.

В общей теории относительности 4-сила определяется через ковариантную производную 4-импульса по собственному времени: ^[3]

$F^{\lambda }:={\frac {Dp^{\lambda }}{D\tau }}={\frac {dp^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}u^{\mu }p^{\nu }$ ,

где $~\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}$ – символ Кристоффеля.

Содержание

1 Примеры

2 Плотность 4-силы
3 4-сила в КТГ

3.1 Компоненты плотности 4-силы
3.2 Связь с 4-ускорением

4 См. также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Примеры

4-сила, действующая в электромагнитном поле на частицу с электрическим зарядом , выражается следующим образом:

$~F^{\lambda }=qF^{{\lambda \mu }}u_{\mu }$ ,

где $~F^{{\lambda \mu }}$ – тензор электромагнитного поля, $~u_{\mu }$ – 4-скорость c нижним (ковариантным) индексом.

Плотность 4-силы

Для описания жидких или протяжённых сред, в которых требуется находить силы в разных точках пространства, вместо 4-вектора силы используют 4-вектор плотности силы, локально действующей на малый элемент объёма среды:

$~f^{\lambda }:={\frac {dJ^{\lambda }}{d\tau }},\qquad \qquad (2)$

где $~J^{\lambda }=\rho _{0}u^{\lambda }$ есть массовый 4-ток, $~\rho _{0}$ – плотность вещества в системе его покоя.

В специальной теории относительности справедливы соотношения:

$~u^{\lambda }=\left(\gamma c,\gamma {{\mathbf {v}}}\right)$ , $~f^{\lambda }=\left({\frac {\gamma }{c}}{\frac {d\varepsilon }{dt}},\gamma {{\mathbf {f}}}\right)$ ,

где $~{\mathbf {f}}={d \over dt}\left(\gamma \rho _{0}{{\mathbf {v}}}\right)={d{\mathbf {J}} \over dt}$ – 3-вектор плотности силы, $~{\mathbf {J}}$ – 3-вектор массового тока,

$~\varepsilon =\gamma \rho _{0}c^{2}$ – плотность релятивистской энергии.

Если проинтегрировать (2) по инвариантному объёму элемента вещества, измеряемому в сопутствующей системе отсчёта, то получится выражение для 4-силы (1):

$~\int {f^{\lambda }dV_{0}}=F^{\lambda }=\int {{\frac {d(\rho _{0}u^{\lambda })}{d\tau }}dV_{0}}={\frac {d}{d\tau }}\int {\rho _{0}u^{\lambda }dV_{0}}={\frac {d}{d\tau }}\int {u^{\lambda }dM}={\frac {dp^{\lambda }}{d\tau }}.$

Данная формула и определение плотности 4-силы через массовый 4-ток $~J^{\lambda }$ при учёте действующих в системе полей требуют коррекции, поскольку не содержат дополнительного вклада от 4-импульсов самих полей.^[4]

4-сила в КТГ

Если частица находится в гравитационном поле, то согласно ковариантной теории гравитации (КТГ) гравитационная 4-сила равна:

$~F^{\nu }=M\Phi ^{{\nu \mu }}u_{\mu }=\Phi ^{{\nu \mu }}p_{\mu }$ ,

где $~\Phi ^{{\nu \mu }}$ – тензор гравитационного поля, выражаемый через напряжённость гравитационного поля и поле кручения, $~p_{\mu }$ – 4-импульс c нижним (ковариантным) индексом, и масса частицы включает в себя вклады от массы-энергии полей, связанных с веществом частицы.

В КТГ тензор гравитационного поля с ковариантными индексами $~\Phi _{{rs}}$ определяется непосредственно, а для перехода к тензору с контравариантными индексами по обычному правилу используется метрический тензор, в общем случае являющийся функцией от времени и координат:

$~\Phi ^{{\nu \mu }}=g^{{\nu r}}g^{{s\mu }}\Phi _{{rs}}.$

Вследствие этого 4-сила $~F^{\nu }$ , зависящая от метрического тензора через $~\Phi ^{{\nu \mu }}$ , также становится функцией метрики. В то же время определение 4-силы с ковариантным индексом не требует знания метрики:

$~F_{\mu }=M\Phi _{{\mu \nu }}u^{\nu }=\Phi _{{\mu \nu }}p^{\nu }.$

В ковариантной теории гравитации 4-вектор плотности силы определяется через поле ускорений: ^[5] ^[6] ^[7]

$~f_{\alpha }=\nabla _{\beta }{B_{\alpha }}^{\beta }=-u_{{\alpha k}}J^{k}=\rho _{0}{\frac {DU_{\alpha }}{D\tau }}-J^{k}\nabla _{\alpha }U_{k}=\rho _{0}{\frac {dU_{\alpha }}{d\tau }}-J^{k}\partial _{\alpha }U_{k},\qquad \qquad (3)$

где $~{B_{\alpha }}^{\beta }$ – тензор энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами, $~u_{{\alpha k}}$ – тензор ускорений, 4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный $~\vartheta$ и векторный $~{\mathbf {U}}$ потенциалы:

$~U_{\alpha }=\left({\frac {\vartheta }{c}},-{\mathbf {U}}\right).$

В выражении (3) используется оператор производной по собственному времени $~{\frac {D}{D\tau }}=u^{\mu }\nabla _{\mu }$ , обобщающий производную Лагранжа (субстанциональную производную) на искривлённое пространство-время. ^[2]

Если есть только гравитационные и электромагнитные силы и силы давления, то справедливо выражение:

$~f_{\alpha }=\Phi _{{\alpha \mu }}J^{\mu }+F_{{\alpha \mu }}j^{\mu }+f_{{\alpha \mu }}J^{\mu }=-\nabla _{\mu }\left({U_{\alpha }}^{\mu }+{W_{\alpha }}^{\mu }+{P_{\alpha }}^{\mu }\right),\qquad \qquad (4)$

где $~j^{\mu }=\rho _{{0q}}u^{\mu }$ есть 4-вектор плотности электромагнитного тока или зарядовый 4-ток, $~\rho _{{0q}}$ – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, $~f_{{\alpha \mu }}$ – тензор поля давления, $~{U_{\alpha }}^{\mu }$ – тензор энергии-импульса гравитационного поля, $~{W_{\alpha }}^{\mu }$ – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, $~{P_{\alpha }}^{\mu }$ – тензор энергии-импульса поля давления.

В ряде случаев вместо массового 4-тока используется величина $~h^{\lambda }=\rho u^{\lambda }$ , где $~\rho$ – плотность движущегося вещества в произвольной системе отсчёта. Величина $~h^{\lambda }$ не является 4-вектором, так как плотность вещества не является инвариантной величиной при преобразованиях координат. При интегрировании по движущемуся объёму элемента вещества благодаря соотношениям $~dM=\rho _{0}dV_{0}=\rho dV$ и $~dVdt=dV_{0}d\tau$ получается следующее:

$~\int {{\frac {dh^{\lambda }}{d\tau }}dV}=\int {{\frac {d(\rho u^{\lambda })}{d\tau }}dV}={\frac {d}{dt}}\int {\rho u^{\lambda }dV_{0}}={\frac {d}{dt}}\int {{\frac {dt}{d\tau }}u^{\lambda }dM}.$

Для инерциальных систем отсчёта в последнем выражении можно вынести величину $~{\frac {dt}{d\tau }}$ за знак интеграла. Это даёт 4-силу для таких систем отсчёта:

$~{\frac {d}{d\tau }}\int {u^{\lambda }dM}=F^{\lambda }.$

Однако движущееся вещество кроме импульса частиц имеет ещё и импульс поля, связанного с веществом, что требует более общего определения 4-импульса и 4-силы.^[⁸^]

В общей теории относительности считается, что тензор энергии-импульса пылевидного вещества определяется выражением $~t^{{\nu \lambda }}=J^{\nu }u^{\lambda }$ , и для него $~h^{\lambda }={\frac {t^{{0\lambda }}}{c}}$ , то есть величина $~h^{\lambda }=\rho u^{\lambda }$ состоит из четырёх временных компонент данного тензора. Интеграл от этих компонент по движущемуся объёму даёт соответственно энергию (с точностью до константы, равной ) и импульс элемента вещества. Однако такое решение справедливо лишь в приближении инерциального движения, как это показано выше. Кроме того, согласно выводам в статье, ^[9] интегрирование временных компонент тензора энергии-импульса для получения энергии и импульса системы в общем случае незаконно и приводит к парадоксам наподобие проблемы 4/3 для гравитационного и электромагнитного полей.

Вместо этого в ковариантной теории гравитации 4-импульс, содержащий энергию и импульс, выводится не из тензоров энергии-импульса, а путём вариации лагранжиана системы.

Компоненты плотности 4-силы

Выражение (4) для плотности 4-силы можно разделить на 2 части, одна из которых будет описывать объёмную плотность мощности энергии, а другая описывать суммарную плотность силы от имеющихся полей. Будем считать, что скорость распространения гравитации равна скорости света.

В выражении (4) произведём замену:

$~J^{\mu }=\rho _{0}u^{\mu }=\rho _{0}{\frac {cdt}{ds}}{\frac {dx^{\mu }}{dt}}=\rho {\frac {dx^{\mu }}{dt}},$

где обозначает интервал, есть дифференциал координатного времени, $~\rho =\rho _{0}{\frac {cdt}{ds}}$ – плотность массы движущегося вещества, четырёхмерная величина $~{\frac {dx^{\mu }}{dt}}=(c,{\mathbf {v}})$ состоит из временной компоненты, равной скорости света , и пространственной компоненты в виде 3-вектора скорости частицы $~{\mathbf {v}}$ .

Аналогично запишем зарядовый 4-ток через плотность заряда движущегося вещества $~\rho _{{q}}=\rho _{{0q}}{\frac {cdt}{ds}}$ :

$~j^{\mu }=\rho _{{0q}}u^{\mu }=\rho _{{0q}}{\frac {cdt}{ds}}{\frac {dx^{\mu }}{dt}}=\rho _{{q}}{\frac {dx^{\mu }}{dt}}.$

Кроме этого, выразим тензоры через их компоненты, то есть через соответствующие 3-векторы напряжённостей полей. Тогда для временной компоненты плотности 4-силы c ковариантным индексом находим:

$~f_{0}={\frac {1}{c}}(\rho {\mathbf {\Gamma }}\cdot {\mathbf {v}}+\rho _{{q}}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {v}}+\rho {\mathbf {C}}\cdot {\mathbf {v}}).$

где $~{\mathbf {\Gamma }}$ – напряжённость гравитационного поля, $~{\mathbf {E}}$ – напряжённость электромагнитного поля, $~{\mathbf {C}}$ – напряжённость поля давления.

Пространственная компонента плотности ковариантной 4-силы является 3-вектором вида $~-{\mathbf {f}}$ , то есть 4-сила $~f_{\lambda }=(f_{0}{,}-f_{x}{,}-f_{y}{,}-f_{z}),$

при этом плотность 3-силы равна:

$~{\mathbf {f}}=\rho {\mathbf {\Gamma }}+\rho [{\mathbf {v}}\times {\mathbf {\Omega }}]+\rho _{{q}}{\mathbf {E}}+\rho _{{q}}[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {B}}]+\rho {\mathbf {C}}+\rho [{\mathbf {v}}\times {\mathbf {I}}],$

где $~{\mathbf {\Omega }}$ – поле кручения, $~{\mathbf {B}}$ – индукция магнитного поля, $~{\mathbf {I}}$ – соленоидальный вектор поля давления.

Выражение для ковариантной плотности 4-силы можно также записать через компоненты тензора ускорений. Из (3) находим:

$~f_{0}=-u_{{0k}}J^{k}=-{\frac {\rho }{c}}{\mathbf {S}}\cdot {\mathbf {v}},$

$~{\mathbf {f}}=-\rho {\mathbf {S}}-\rho [{\mathbf {v}}\times {\mathbf {N}}],$

где $~{\mathbf {S}}$ – напряжённость поля ускорений, $~{\mathbf {N}}$ – соленоидальный вектор поля ускорений.

Используя выражение 4-потенциала поля ускорений через скалярный $~\vartheta$ и векторный $~{\mathbf {U}}$ потенциалы и определение производной Лагранжа, из (3) и (4) для скалярной и векторной компонент уравнения движения получается следующее:

$~{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {dx^{k}}{dt}}{\frac {\partial U_{k}}{\partial t}}={\mathbf {v}}\cdot \nabla \vartheta +v_{x}{\frac {\partial U_{x}}{\partial t}}+v_{y}{\frac {\partial U_{y}}{\partial t}}+v_{z}{\frac {\partial U_{z}}{\partial t}}=-{\mathbf {S}}\cdot {\mathbf {v}}={\mathbf {\Gamma }}\cdot {\mathbf {v}}+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {v}}+{\mathbf {C}}\cdot {\mathbf {v}}.\qquad (5)$

$~{\frac {d{\mathbf {U}}}{dt}}+\nabla \vartheta -v_{x}\nabla U_{x}-v_{y}\nabla U_{y}-v_{z}\nabla U_{z}=-{\mathbf {S}}-[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {N}}]={\mathbf {\Gamma }}+[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {\Omega }}]+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}({\mathbf {E}}+[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {B}}])+{\mathbf {C}}+[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {I}}].\qquad (6)$

Здесь $~U_{x},U_{y},U_{z}$ являются компонентами векторного потенциала $~{\mathbf {U}}$ поля ускорений, $~v_{x},v_{y},v_{z}$ являются компонентами скорости $~{\mathbf {v}}$ элемента вещества или частицы.

Уравнения движения вещества (5) и (6) получаются в ковариантной форме и справедливы в искривлённом пространстве-времени. В левой части этих уравнений присутствуют либо потенциалы, либо напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений. Правая часть уравнений движения выражается через напряжённости и соленоидальные векторы гравитационного и электромагнитного полей, и поля давления внутри вещества. Прежде чем решать данные уравнения движения, удобно найти вначале потенциалы всех полей через соответствующие волновые уравнения. Беря далее 4-ротор от 4-потенциалов полей, можно определить напряжённости и соленоидальные векторы всех полей. После подстановки их в (5) и (6) становится возможным найти соотношение между коэффициентами полей, выразить коэффициент поля ускорений и тем самым полностью определить это поле в веществе.

Связь с 4-ускорением

Особенностью уравнений движения (5) и (6) является то, что в них нет прямой связи с 4-ускорением рассматриваемой частицы вещества. Однако в ряде случаев возможно определить как ускорение и скорость движения, так и зависимость пройденного расстояния от времени. Простейшим примером является прямолинейное движение однородной твёрдой частицы в однородных внешних полях. В этом случае 4-потенциал поля ускорений точно совпадает с 4-скоростью частицы, так что скалярный потенциал $~\vartheta =\gamma c^{2}$ , векторный потенциал $~{\mathbf {U}}=\gamma {\mathbf {v}}$ , где $~\gamma$ есть фактор Лоренца частицы. Подстановка равенства $~U_{\alpha }=u_{\alpha }$ даёт в (3) следующее:

$~\rho _{0}{\frac {dU_{\alpha }}{d\tau }}=\rho _{0}{\frac {du_{\alpha }}{d\tau }}=\rho _{0}a_{\alpha },$

$~J^{k}\partial _{\alpha }U_{k}=\rho _{0}u^{k}\partial _{\alpha }u_{k}={\frac {\rho _{0}}{2}}\partial _{\alpha }(u^{k}u_{k})={\frac {\rho _{0}}{2}}\partial _{\alpha }c^{2}=0,$

где $~a_{\alpha }={\frac {du_{\alpha }}{d\tau }}=u^{\mu }\partial _{\mu }u_{\alpha }$ определяется как 4-ускорение.

Тогда из (3) и (4) следует уравнение для 4-ускорения частицы:

$~a_{\alpha }=\Phi _{{\alpha \mu }}u^{\mu }+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}F_{{\alpha \mu }}u^{\mu }+f_{{\alpha \mu }}u^{\mu }.$

После умножения на массу частицы данное уравнение будет соответствовать уравнению (1) для 4-силы.

В рассматриваемом случае движения твёрдой частицы 4-ускорение с ковариантным индексом можно выразить через напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений:

$~a_{\alpha }={\frac {cdt}{ds}}\left(-{\frac {1}{c}}{\mathbf {S}}\cdot {\mathbf {v}}{,}\qquad {\mathbf {S}}+[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {N}}]\right).$

В специальной теории относительности $~{\frac {cdt}{ds}}=\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}},$ и подставляя значения $~{\mathbf {S}}$ и $~{\mathbf {N}}$ для одной частицы, для ковариантного 4-ускорения получается стандартное выражение:

$~{\mathbf {S}}=-c^{2}\nabla \gamma -{\frac {\partial (\gamma {\mathbf {v}})}{\partial t}},\qquad \qquad {\mathbf {N}}=\nabla \times (\gamma {\mathbf {v}}).$

$~a_{\alpha }=\gamma \left({\frac {d(\gamma c)}{dt}}{,}\qquad -{\frac {d(\gamma {\mathbf {v}})}{dt}}\right).$

Если масса частицы постоянна, то для силы, действующей на частицу, можно записать:

$~{\mathbf F}={\frac {d{\mathbf p}}{dt}}=m{\frac {d(\gamma {\mathbf v})}{dt}}=-m\left({\mathbf {S}}+[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {N}}]\right)=\nabla E+{\frac {\partial {\mathbf p}}{\partial t}}-{\mathbf {v}}\times [\nabla \times {\mathbf p}],$

где $~E=\gamma mc^{2}$ есть релятивистская энергия, $~{\mathbf p}=\gamma m{\mathbf v}$ – 3-вектор релятивистского импульса частицы.

Для тела с непрерывным распределением вещества векторы $~{\mathbf {S}}$ и $~{\mathbf {N}}$ существенно отличаются от соответствующих мгновенных векторов конкретных частиц вблизи точки наблюдения. Эти вектора отражают усреднённую величину 4-ускорения внутри тел. В частности, внутри тел возникает 4-ускорение, генерируемое различными силами в веществе. Типичным примером являются релятивистская однородная система, а также космические тела, где основными силами являются силы гравитации и внутреннего давления, обычно направленные противоположно друг другу. При вращении этих тел плотность 4-силы, 4-ускорение, векторы $~{\mathbf {S}}$ и $~{\mathbf {N}}$ становятся функциями не только радиуса, но и расстояния от оси вращения до точки наблюдения. В общем случае для протяжённых тел 4-ускорение в каждой точке тела становится некоторой функцией координат и времени. В качестве характеристики движения физической системы может быть выбрано 4-ускорение центра импульсов, для оценки которого следует проинтегрировать плотность силы по объёму всего вещества и разделить суммарную силу на инертную массу системы. Другой способ предполагает оценку 4-ускорения через напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений в центре импульсов в приближении специальной теории относительности, как это было показано выше.

См. также

Ссылки

1. Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-853971-853951-5.

2. ^а ^б Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

4. Fedosin S.G. Generalized four-momentum for continuously distributed matter. Preprint, 2019.

5. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

6. Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, No. 18, pp. 771-779 (2014). http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101; статья на русском языке: Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.

7. Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

8. Fedosin S.G. What should we understand by the four-momentum of the physical system? Preprint, 2019.

9. Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.

Внешние ссылки

Four-force

Источник: http://sergf.ru/ff.htm

На список страниц