In English

4-сила

Из проекта Викизнание

4-сила есть 4-вектор, рассматриваемый как релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора силы на четырёхмерное пространство-время. Как и в классической механике, 4-сила может быть определена двумя способами. В первом из них измеряется изменение энергии и импульса частицы за единицу собственного времени. Во втором способе вводятся силовые характеристики – напряжённости поля, и с их помощью при известных энергии и импульсе частицы вычисляют 4-силу, действующую на частицу в данном поле. Равенство 4-сил, полученных данными способами, даёт уравнение движения частицы в заданном силовом поле.

В специальной теории относительности 4-сила определяется как производная 4-импульса  ~ p^\lambdaпо собственному времени ~ \tauчастицы: [1]

~F^\lambda := \frac{dp^\lambda }{d\tau}. \qquad\qquad (1) 

Для частицы с постоянной инвариантной массой  M > 0,  ~ p^\lambda = M u^\lambda, где  ~ u^\lambda  есть 4-скорость. Это позволяет связать 4-силу с 4-ускорением  ~ a^\lambda  аналогично второму закону Ньютона:

~F^\lambda = M a^\lambda = \left(\gamma {\mathbf{F}\cdot \mathbf{v} \over c},\gamma {\mathbf {F}}\right),

где ~ \mathbf{v} есть классический 3-вектор скорости частицы, ~ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}   – фактор Лоренца, ~ c  – скорость света,

~{{\mathbf  {F}}}={d \over dt}\left(\gamma M{{\mathbf  {v}}}\right)={d{\mathbf  {p}} \over dt}=M\gamma \left({\mathbf  {a}}+\gamma ^{2}{\frac  {({\mathbf  {v}}\cdot {\mathbf  {a}})}{c^{2}}}{\mathbf  {v}}\right)=M\gamma ^{3}\left({\mathbf  {a}}+{\frac  {{\mathbf  {v}}\times [{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {a}}]}{c^{2}}}\right)  – 3-вектор силы, [2] ~ \mathbf{p}  – 3-вектор релятивистского импульса, ~ \mathbf{a}= \frac {d \mathbf{v}}{dt}   – 3-вектор ускорения,

 

~\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}={d \over dt} \left(\gamma M c^2 \right)={dE \over dt},

~ E– релятивистская энергия.

В общей теории относительности 4-сила определяется через ковариантную производную 4-импульса по собственному времени: [3]

F^\lambda := \frac{Dp^\lambda }{D\tau} = \frac{dp^\lambda }{d\tau } + \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}u^\mu p^\nu,

где ~ \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu} – символ Кристоффеля.

Оглавление

  • 1 Примеры
  • 2 Плотность 4-силы
  • 3 4-сила в КТГ
  •    3.1 Компоненты плотности 4-силы
  • 4 См. также
  • 5 Ссылки
  • 6 Внешние ссылки

Примеры

4-сила, действующая в электромагнитном поле на частицу с электрическим зарядом ~q, выражается следующим образом:

~ F^\lambda = q F^{\lambda \mu} u_\mu,

где ~F^{\lambda \mu} – тензор электромагнитного поля, ~u_\mu – 4-скорость c нижним (ковариантным) индексом.

Плотность 4-силы

Для описания жидких или протяжённых сред, в которых требуется находить силы в разных точках пространства, вместо 4-вектора силы используют 4-вектор плотности силы, локально действующей на малый элемент объёма среды:

~f^\lambda := \frac{dJ^\lambda }{d\tau}, \qquad\qquad (2) 

где ~ J^\lambda = \rho_0 u^\lambdaесть массовый 4-ток, ~ \rho_0 – плотность вещества в системе его покоя.

В специальной теории относительности справедливы соотношения:

~ u^\lambda = \left(\gamma c, \gamma {\mathbf {v}}\right),

 

~f^\lambda =  \left(\frac {\gamma }{c} \frac { d\varepsilon  }{dt},\gamma {\mathbf {f}}\right),

 

где ~ \mathbf{f} = {d \over dt} \left(\gamma \rho_0 {\mathbf {v}} \right)={d\mathbf{J} \over dt}  – 3-вектор плотности силы, ~ \mathbf{J}  – 3-вектор массового тока, ~ \varepsilon = \gamma \rho_0 c^2  – плотность релятивистской энергии.

Если проинтегрировать (2) по инвариантному объёму элемента вещества, измеряемому в сопутствующей системе отсчёта, то получится выражение для 4-силы (1):

~\int {f^\lambda dV_0}= F^\lambda = \int {\frac{d(\rho_0 u^\lambda ) }{d\tau} dV_0} = \frac {d}{ d\tau } \int {\rho_0 u^\lambda dV_0} =\frac {d}{ d\tau } \int { u^\lambda dM } =\frac{dp^\lambda }{d\tau}.

 

4-сила в КТГ

Если частица находится в гравитационном поле, то согласно ковариантной теории гравитации (КТГ) гравитационная 4-сила равна:

~ F^\nu = M \Phi^{\nu \mu} u_\mu = \Phi^{\nu \mu} p_\mu,

где ~\Phi^{\nu \mu} тензор гравитационного поля, выражаемый через напряжённость гравитационного поля и поле кручения,  ~p_\mu – 4-импульс c нижним (ковариантным) индексом, и масса частицы  ~M включает в себя вклады от массы-энергии полей, связанных с веществом частицы.

В КТГ тензор гравитационного поля с ковариантными индексами ~ \Phi_{rs}  определяется непосредственно, а для перехода к тензору с контравариантными индексами по обычному правилу используется метрический тензор, в общем случае являющийся функцией от времени и координат:

 

~ \Phi^{\nu \mu}= g^{\nu r} g^{s \mu }  \Phi_{rs} .

 

Вследствие этого 4-сила  ~ F^\nu, зависящая от метрического тензора через  ~ \Phi^{\nu \mu}, также становится функцией метрики. В то же время определение 4-силы с ковариантным индексом не требует знания метрики:

~ F_\mu = M \Phi_{\mu \nu} u^\nu = \Phi_{\mu \nu} p^\nu.

 

В ковариантной теории гравитации 4-вектор плотности силы определяется через поле ускорений[4] ,

 

~f^\nu = - g^{\nu \mu } u_{\mu \lambda } J^\lambda  = \nabla_\mu B^{\nu \mu}= \rho_0 \frac{ Du^\nu } {D \tau }= \rho_0 u^\mu \nabla_\mu u^\nu =\rho_0 \frac{ du^\nu } {d \tau }+\rho_0 \Gamma^\nu _{\mu \lambda} u^\mu u^\lambda = \rho_0 a^\nu , \qquad\qquad (3)

 

где ~ B^{\nu \mu}  – тензор энергии-импульса поля ускорений~ \Gamma^\nu _{\mu \lambda}  – символ Кристоффеля, ~ u_{\mu \lambda }  – тензор ускорений~ a^\nu  – 4-ускорение.

В приведённом выражении используется оператор производной по собственному времени  ~\frac{ D } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu, обобщающий производную Лагранжа (субстанциональную производную) на искривлённое пространство-время. [2]

Если есть только гравитационные и электромагнитные силы и силы давления, то справедливо выражение:

 

~f^\nu = g^{\nu \lambda }\left(\Phi_{\lambda \mu } J^\mu + F_{\lambda \mu } j^\mu + f_{\lambda \mu } J^\mu \right) = -\nabla_\mu \left(U^{\nu \mu }+ W^{\nu \mu } + P^{\nu \mu } \right), \qquad\qquad (4)

 

где ~ g^{\nu \lambda} – метрический тензор~ j^\mu = \rho_{0q} u^\mu есть 4-вектор плотности электромагнитного тока или зарядовый 4-ток, ~\rho_{0q} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, ~ f_{\lambda \mu } – тензор поля давления~ U^{\nu \mu} – тензор энергии-импульса гравитационного поля~ W^{\nu \mu} – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, ~ P^{\nu \mu} – тензор энергии-импульса поля давления.

В ряде случаев вместо массового 4-тока используется величина ~h^{\lambda }=\rho u^{\lambda }, где ~\rho  – плотность движущегося вещества в произвольной системе отсчёта. Величина ~h^{\lambda } не является 4-вектором, так как плотность вещества не является инвариантной величиной при преобразованиях координат. При интегрировании по движущемуся объёму элемента вещества благодаря соотношениям  ~dM=\rho _{0}dV_{0}=\rho dV  и   ~dVdt=dV_{0}d\tau    получается следующее:

~\int {{\frac  {dh^{\lambda }}{d\tau }}dV}=\int {{\frac  {d(\rho u^{\lambda })}{d\tau }}dV}={\frac  {d}{dt}}\int {\rho u^{\lambda }dV_{0}}={\frac  {d}{dt}}\int {{\frac  {dt}{d\tau }}u^{\lambda }dM}.

Для инерциальных систем отсчёта в последнем выражении можно вынести величину   ~{\frac  {dt}{d\tau }}  за знак интеграла. Это даёт 4-силу для таких систем отсчёта:

~{\frac  {d}{d\tau }}\int {u^{\lambda }dM}=F^{\lambda }.

В общей теории относительности считается, что тензор энергии-импульса пылевидного вещества определяется выражением ~t^{{\nu \lambda }}=J^{\nu }u^{\lambda }, и для него ~h^{\lambda }={\frac  {t^{{0\lambda }}}{c}}, то есть величина  ~h^{\lambda }=\rho u^{\lambda } состоит из четырёх временных компонент данного тензора. Интеграл от этих компонент по движущемуся объёму даёт соответственно энергию (с точностью до константы, равной ~c) и импульс элемента вещества. Однако такое решение справедливо лишь в приближении инерциального движения, как это показано выше. Кроме того, согласно выводам в статье, [5]  интегрирование временных компонент тензора энергии-импульса для получения энергии и импульса системы в общем случае незаконно и приводит к парадоксам наподобие проблемы 4/3 для гравитационного и электромагнитного полей.

Вместо этого в ковариантной теории гравитации 4-импульс, содержащий энергию и импульс, выводится не из тензоров энергии-импульса, а из гамильтониана системы.

 

Компоненты плотности 4-силы

Выражение (4) для плотности 4-силы можно разделить на 2 части, одна из которых будет описывать объёмную плотность мощности энергии, а другая описывать суммарную плотность силы от имеющихся полей. Будем считать, что скорость распространения гравитации равна скорости света. Чтобы не зависеть от метрического тензора, запишем (4) с нижним, ковариантным индексом:

 

~ f_\lambda = \Phi_{\lambda \mu } J^\mu + F_{\lambda \mu } j^\mu + f_{\lambda \mu } J^\mu .

 

В данном выражении произведём замену:

 

~ J^\mu = \rho_0 u^\mu = \rho_0 \frac {cdt}{ds} \frac {dx^\mu }{dt} = \rho \frac {dx^\mu }{dt} ,

где ~ ds обозначает интервал, ~ dt есть дифференциал координатного времени, ~ \rho= \rho_0 \frac {cdt}{ds}  – плотность массы движущегося вещества, четырёхмерная величина ~ \frac {dx^\mu }{dt}=(c, \mathbf{v}  )  состоит из временной компоненты, равной скорости света ~ c, и пространственной компоненты в виде 3-вектора скорости частицы ~ \mathbf{v}.

Аналогично запишем зарядовый 4-ток через плотность заряда движущегося вещества ~ \rho_{q}= \rho_{0q} \frac {cdt}{ds}:

 

~ j^\mu = \rho_{0q} u^\mu = \rho_{0q} \frac {cdt}{ds} \frac {dx^\mu }{dt} = \rho_{q}\frac {dx^\mu }{dt}.

 

Кроме этого, выразим тензоры через их компоненты, то есть через соответствующие 3-векторы напряжённостей полей. Тогда для временной компоненты плотности 4-силы c ковариантным индексом находим:

~ f_0 = \frac {1}{ c }( \rho \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{v}+ \rho_{q} \mathbf{E} \cdot \mathbf{v}+\rho \mathbf{C} \cdot \mathbf{v} ) .

 

где ~ \mathbf{\Gamma }  напряжённость гравитационного поля~ \mathbf{E} – напряжённость электромагнитного поля, ~ \mathbf{ C} – напряжённость поля давления.

Пространственная компонента плотности ковариантной 4-силы является 3-вектором вида ~ - \mathbf{f}, то есть 4-сила ~ f_\lambda = (f_0{,} -f_x{,}-f_y{,}-f_z),

 

при этом плотность 3-силы равна:

 

~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{\Gamma }+ \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{\Omega}] + \rho_{q}\mathbf{E}+ \rho_{q} [\mathbf{v} \times \mathbf{B}] + \rho \mathbf{C}+ \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{I}],

 

где ~ \mathbf{\Omega} – поле кручения~ \mathbf{B} – индукция магнитного поля, ~ \mathbf{ I } – соленоидальный вектор поля давления.

Выражение для ковариантной 4-силы можно записать через компоненты тензора ускорений и ковариантное 4-ускорение. Аналогично (3) имеем:

 

~f_\nu = \nabla^\mu B_{\nu \mu}= \rho_0 \frac{ Du_\nu } {D \tau }= \rho_0 u^\mu \nabla_\mu u_\nu =\rho_0 \frac{ du_\nu } {d \tau }- \rho_0 \Gamma^\lambda _{\mu \nu} u_\lambda u^\mu = - u_{\nu \lambda } J^\lambda =\rho_0 a_\nu ,

 

~f_0 = \rho_0 a_0 = - \frac {\rho }{ c } \mathbf{S} \cdot \mathbf{v},

 

~ \mathbf{f}= - \rho \mathbf{S} - \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{N}] ,

 

где ~ a_0 – временная компонента 4-ускорения, ~u_{\nu } – 4-потенциал поля ускорений, ~ \mathbf{S} – напряжённость поля ускорений, ~ \mathbf{ N } – соленоидальный вектор поля ускорений.

Отсюда 4-ускорение с ковариантным индексом можно выразить через его скалярную и векторную компоненты:

 

~ a_\nu = \frac {cdt}{ds}\left(-\frac {1}{c} \mathbf{S} \cdot \mathbf{v}{,} \qquad \mathbf{S}+[\mathbf{v} \times \mathbf{N}]  \right).

 

В специальной теории относительности  ~ \frac {cdt}{ds}= \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},  и подставляя значения ~ \mathbf{S}  и  ~ \mathbf{ N }  для одной частицы, для ковариантного 4-ускорения получается стандартное выражение:

~ \mathbf {S} = - c^2 \nabla \gamma - \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t},\qquad\qquad  \mathbf {N} = \nabla \times (\gamma \mathbf { v }).

 

~ a_\nu = \gamma \left( \frac {d(\gamma c)}{dt}{,} \qquad - \frac {d(\gamma \mathbf{v}) }{dt} \right).

 

Если масса  ~m  частицы постоянна, то для силы, действующей на частицу, можно записать:

~{\mathbf  F}={\frac  {d{\mathbf  p}}{dt}}=m{\frac  {d(\gamma {\mathbf  v})}{dt}}=-m\left({\mathbf  {S}}+[{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {N}}]\right)=\nabla E+{\frac  {\partial {\mathbf  p}}{\partial t}}-{\mathbf  {v}}\times [\nabla \times {\mathbf  p}],

где  ~E=\gamma mc^{2}  есть релятивистская энергия, ~{\mathbf  p}=\gamma m{\mathbf  v}  – 3-вектор релятивистского импульса частицы.

Для тела с непрерывным распределением вещества векторы  ~ \mathbf{S}  и  ~ \mathbf{ N }  существенно отличаются от соответствующих мгновенных векторов конкретных частиц вблизи точки наблюдения. Эти вектора отражают усреднённую величину 4-ускорения внутри тел. В частности, внутри тел возникает 4-ускорение, генерируемое различными силами в веществе. Типичным примером являются космические тела, где основными силами являются силы гравитации и внутреннего давления, обычно направленные противоположно друг другу. При вращении этих тел плотность 4-силы, 4-ускорение, векторы  ~ \mathbf{S}  и  ~ \mathbf{ N }  становятся функциями не только радиуса, но и расстояния от оси вращения до точки наблюдения.

 

См. также

Ссылки

  1. Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-853971-853951-5.
  2. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  4. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  5. Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. Preprint, February 2016.

Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/ff.htm

На список страниц