Уравнение векторного поля

Уравнение векторного поля

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»

Уравнение векторного поля представляет собой уравнение, связывающее 4-потенциал или тензор поля с источником поля в виде соответствующего 4-тока или тензора. Благодаря представлению в тензорной форме, уравнения поля выражаются в ковариантном виде и действительны в искривлённом пространстве-времени.

К векторным полям относятся такие поля, как электромагнитное поле, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, макроскопическое поле сильного взаимодействия, макроскопическое поле слабого взаимодействия. В рамках ковариантной теории гравитации гравитационное поле также считается векторным полем.

Все эти поля могут рассматриваться как компоненты общего поля, представленные в лагранжиане и в гамильтониане произвольной физической системы соответствующим членом с энергией движения частиц, и членом с энергией поля. ^[1] ^[2] Релятивистская однородная система является примером физической системы, в которой уравнения полей имеют полное и точное решение для всех векторных полей.

Содержание

1 Виды уравнений
2 Стандартные уравнения
3 Волновые уравнения
4 Уравнение движения
5 Обобщённая теорема Пойнтинга
6 Уравнение для метрики
7 Теорема энергии поля
8 Интегральные уравнения
9 См. также
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Виды уравнений

Стандартным уравнением поля является дифференциальное уравнение, выводимое с помощью принципа наименьшего действия. Как правило, такое уравнение содержит ковариантную производную, действующую на тензор поля. Вторая ковариантная производная превращает уравнение поля в волновое уравнение для тензора поля. Если тензор поля выражается через 4-потенциал, то уравнение поля может быть преобразовано в волновое уравнение для 4-потенциала.

Уравнение движения частиц вещества можно считать такой разновидностью уравнений поля, в которой поля действуют на источники поля и приводят их в движение.

Обобщённая теорема Пойнтинга задаёт баланс энергии и импульса в любой точке системы, и формулируется как тензорное калибровочное условие в виде равенства нулю дивергенции суммарного тензора энергии-импульса всех полей, действующих в системе. Точно так же существует уравнение непрерывности как калибровочное условие для 4-токов, когда равенство нулю дивергенции массового и зарядового 4-токов в виде $~\nabla _{\mu }J^{\mu }=0$ и $~\nabla _{\mu }j^{\mu }=0$ задаёт локальный баланс массы и заряда в каждой точке. Это означает, что плотность массы (заряда) в некотором единичном объёме изменяется либо при возникновении массового (зарядового) потока из этого объёма, либо при изменении метрики в данном объёме.

Уравнение для метрики получается при варьировании функции действия по метрическому тензору и содержит тензор Риччи, скалярную кривизну, космологическую константу и тензоры энергии-импульса полей. Результатом решения уравнения являются компоненты метрического тензора как функции времени и координат.

Теорема энергии поля выражается через интегральное уравнение энергии поля, обобщает теорему вириала в отношении полей и представляет её в искривлённом пространстве-времени.

Интегральные уравнения поля получаются путём интегрирования стандартных уравнений поля по четырёхмерному пространству-времени. Это позволяет сформулировать несколько теорем в отношении компонент тензоров и 4-потенциалов полей, и определить ряд новых величин, характеризующих систему в целом.

Стандартные уравнения

Каждое векторное поле описывается двумя уравнениями, одно из которых содержит источники поля, а другое накладывает ограничения на вид поля независимо от источников поля. ^[3] ^[4]

Уравнения электромагнитного поля:

$~\nabla _{\nu }F^{{\mu \nu }}=-\mu _{0}j^{\mu },$

$\nabla _{\sigma }F_{{\mu \nu }}+\nabla _{\mu }F_{{\nu \sigma }}+\nabla _{\nu }F_{{\sigma \mu }}=0,$

где $F_{{\mu \nu }}$ – тензор электромагнитного поля, $j^{\mu }=\rho _{{0q}}u^{\mu }$ – зарядовый 4-ток, $\rho _{{0q}}$ – плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта, $u^{\mu }$ – 4-скорость движения элемента вещества, $~\mu _{0}$ – магнитная постоянная, – скорость света.

Последнее уравнение может быть записано через дуальный тензор электромагнитного поля:

$~\nabla _{\beta }{\tilde {F}}^{{\alpha \beta }}=0,$

где $~{\tilde {F}}^{{\alpha \beta }}={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{{\alpha \beta \gamma \delta }}F_{{\gamma \delta }},$ и используется символ Леви-Чивиты $~\varepsilon ^{{\alpha \beta \gamma \delta }}.$

Уравнения гравитационного поля: ^[5]

$~\nabla _{\nu }\Phi ^{{\mu \nu }}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}J^{\mu },$

$\nabla _{\sigma }\Phi _{{\mu \nu }}+\nabla _{\mu }\Phi _{{\nu \sigma }}+\nabla _{\nu }\Phi _{{\sigma \mu }}=0,$

где $\Phi _{{\mu \nu }}$ – тензор гравитационного поля, $J^{\mu }=\rho _{{0}}u^{\mu }$ – массовый 4-ток, $\rho _{{0}}$ – плотность массы вещества в сопутствующей системе отсчёта, – гравитационная постоянная, – скорость света как скорость гравитации и предельная скорость распространения гравитационного возмущения.

Уравнения поля ускорений:

$~\nabla _{\nu }u^{{\mu \nu }}=-{\frac {4\pi \eta }{c^{2}}}J^{\mu },$

$\nabla _{\sigma }u_{{\mu \nu }}+\nabla _{\mu }u_{{\nu \sigma }}+\nabla _{\nu }u_{{\sigma \mu }}=0,$

где $u_{{\mu \nu }}$ – тензор ускорений, $~\eta$ – постоянная поля ускорений, определяемая в каждой задаче.

Уравнения поля давления:

$~\nabla _{\nu }f^{{\mu \nu }}=-{\frac {4\pi \sigma }{c^{2}}}J^{\mu },$

$\nabla _{\sigma }f_{{\mu \nu }}+\nabla _{\mu }f_{{\nu \sigma }}+\nabla _{\nu }f_{{\sigma \mu }}=0,$

где $f_{{\mu \nu }}$ – тензор поля давления, $~\sigma$ – постоянная поля давления.

Уравнения поля диссипации: ^[6]

$~\nabla _{\nu }h^{{\mu \nu }}=-{\frac {4\pi \tau }{c^{2}}}J^{\mu },$

$\nabla _{\sigma }h_{{\mu \nu }}+\nabla _{\mu }h_{{\nu \sigma }}+\nabla _{\nu }h_{{\sigma \mu }}=0,$

где $h_{{\mu \nu }}$ – тензор поля диссипации, $~\tau$ – постоянная поля диссипации.

Волновые уравнения

В волновых уравнениях источниками полей являются массовые и зарядовые 4-токи, так что при движении масс и зарядов наблюдаются волновые явления в распространении потенциалов и напряжённостей полей в пространстве-времени. В результате каждое волновое уравнение содержит четырёхмерный скалярный оператор Д’Аламбера $~\nabla ^{\nu }\nabla _{\nu },$ который может действовать как на 4-потенциал, так и на тензор поля. В ряде случаев решение волновых уравнений оказывается проще, чем решение уравнений полей, позволяя напрямую найти потенциалы полей, входящие в 4-потенциалы.

Волновые уравнения для 4-потенциалов указанных выше полей имеют следующий вид:

$~\nabla ^{\nu }\nabla _{\nu }A_{\mu }+R_{{\mu \nu }}A^{\nu }=\mu _{0}j_{\mu },$

$~\nabla ^{\nu }\nabla _{\nu }D_{\mu }+R_{{\mu \nu }}D^{\nu }=-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}J_{\mu },$

$~\nabla ^{\nu }\nabla _{\nu }U_{\mu }+R_{{\mu \nu }}U^{\nu }={\frac {4\pi \eta }{c^{2}}}J_{\mu },$

$~\nabla ^{\nu }\nabla _{\nu }\pi _{\mu }+R_{{\mu \nu }}\pi ^{\nu }={\frac {4\pi \sigma }{c^{2}}}J_{\mu },$

$~\nabla ^{\nu }\nabla _{\nu }\lambda _{\mu }+R_{{\mu \nu }}\lambda ^{\nu }={\frac {4\pi \tau }{c^{2}}}J_{\mu },$

где $~A_{\mu }$ – 4-потенциал электромагнитного поля, $~R_{{\mu \nu }}$ – тензор Риччи, $~D_{\mu }$ – гравитационный 4-потенциал, $~U_{\mu }$ – 4-потенциал поля ускорений, $~\pi _{\mu }$ – 4-потенциал поля давления, $~\lambda _{\mu }$ – 4-потенциал поля диссипации.

Компоненты 4-потенциалов полей не являются произвольными функциями и подлежат калибровке. В калибровке Лоренца дивергенции 4-потенциалов равны нулю:

$~\nabla _{\mu }A^{\mu }=0,\qquad \nabla _{\mu }D^{\mu }=0,\qquad \nabla _{\mu }U^{\mu }=0,\qquad \nabla _{\mu }\pi ^{\mu }=0,\qquad \nabla _{\mu }\lambda ^{\mu }=0.$

Если в стандартных уравнениях полей взять дивергенцию от обеих частей уравнений и применить калибровку Лоренца, возникают калибровочные условия и для теноров полей:

$~R_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}=0,\qquad R_{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}=0,\qquad R_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}=0,\qquad R_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}=0,\qquad R_{{\mu \nu }}h^{{\mu \nu }}=0.$

Волновые уравнения для тензоров полей: ^[7]

$~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }F_{{\mu \nu }}=\mu _{0}\nabla _{\mu }j_{\nu }-\mu _{0}\nabla _{\nu }j_{\mu }+F_{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }-F_{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu ,\lambda \eta }}F^{{\eta \lambda }},$

$~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }\Phi _{{\mu \nu }}=-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\nabla _{\mu }J_{\nu }+{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\nabla _{\nu }J_{\mu }+\Phi _{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }-\Phi _{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu ,\lambda \eta }}\Phi ^{{\eta \lambda }},$

$~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }u_{{\mu \nu }}={\frac {4\pi \eta }{c^{2}}}\nabla _{\mu }J_{\nu }-{\frac {4\pi \eta }{c^{2}}}\nabla _{\nu }J_{\mu }+u_{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }-u_{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu ,\lambda \eta }}u^{{\eta \lambda }},$

$~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }f_{{\mu \nu }}={\frac {4\pi \sigma }{c^{2}}}\nabla _{\mu }J_{\nu }-{\frac {4\pi \sigma }{c^{2}}}\nabla _{\nu }J_{\mu }+f_{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }-f_{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu ,\lambda \eta }}f^{{\eta \lambda }},$

$~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }h_{{\mu \nu }}={\frac {4\pi \tau }{c^{2}}}\nabla _{\mu }J_{\nu }-{\frac {4\pi \tau }{c^{2}}}\nabla _{\nu }J_{\mu }+h_{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }-h_{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu ,\lambda \eta }}h^{{\eta \lambda }},$

где $~R_{{\mu \nu ,\lambda \eta }}$ – тензор кривизны.

Уравнение движения

Уравнение движения частиц вещества можно выразить через тензоры полей: ^[7]

$~-u_{{\mu \nu }}J^{\nu }=\rho _{0}{\frac {dU_{\mu }}{d\tau }}-J^{\nu }\partial _{\mu }U_{\nu }=F_{{\mu \nu }}j^{\nu }+\Phi _{{\mu \nu }}J^{\nu }+f_{{\mu \nu }}J^{\nu }+h_{{\mu \nu }}J^{\nu }+\gamma _{{\mu \nu }}J^{\nu }+w_{{\mu \nu }}J^{\nu }.$

Здесь $~\gamma _{{\mu \nu }}$ – тензор поля сильного взаимодействия, $~w_{{\mu \nu }}$ – тензор поля слабого взаимодействия. Тензор поля ускорений может быть выражен через 4-потенциал в виде $~u_{{\mu \nu }}=\nabla _{\mu }U_{\nu }-\nabla _{\nu }U_{\mu }=\partial _{\mu }U_{\nu }-\partial _{\nu }U_{\mu }.$ Последующее применение оператора производной по собственному времени позволяет привести левую часть уравнения к виду, напоминающему уравнение движения в классической механике.

Первый член в правой части задаёт плотность электромагнитной силы Лоренца в четырёхмерном виде, второй член есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, третий член описывает плотность силы давления, плотности сил от остальных полей также представлены через соответствующие тензоры и массовый 4-ток. Вся сумма в правой части уравнения движения есть плотность общей 4-силы, действующей в системе.

В уравнении движения тензоры всех полей могут быть выражены через соответствующие 4-потенциалы. Для четырёх действующих в системе полей это даёт следующее:

$~{\frac {d(U_{\mu }+D_{\mu }+\pi _{\mu })}{d\tau }}+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}{\frac {dA_{\mu }}{d\tau }}=u^{\nu }\partial _{\mu }U_{\nu }+u^{\nu }\partial _{\mu }D_{\nu }+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}u^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }+u^{\nu }\partial _{\mu }\pi _{\nu }.$

Обобщённая теорема Пойнтинга

Тензор $~T_{{ik}}$ энергии-импульса системы является суммой тензоров отдельных компонент общего поля:

$~T_{{ik}}=W_{{ik}}+U_{{ik}}+B_{{ik}}+P_{{ik}}+Q_{{ik}}+L_{{ik}}+A_{{ik}},$

где $~W_{{ik}}$ – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, $~U_{{ik}}$ – тензор энергии-импульса гравитационного поля, $~B_{{ik}}$ – тензор энергии-импульса поля ускорений, $~P_{{ik}}$ – тензор энергии-импульса поля давления, $~Q_{{ik}}$ – тензор энергии-импульса поля диссипации, $~L_{{ik}}$ – тензор энергии-импульса поля сильного взаимодействия, $~A_{{ik}}$ – тензор энергии-импульса поля слабого взаимодействия.

Обобщённая теорема Пойнтинга записывается как равенство нулю дивергенции тензора энергии-импульса общего поля:

$~\nabla _{\beta }T^{{\alpha \beta }}={\frac {1}{{\sqrt {-g}}}}\partial _{\beta }\left({\sqrt {-g}}T^{{\alpha \beta }}\right)+\Gamma _{{\mu \nu }}^{{\alpha }}T^{{\mu \nu }}=0,$

где $~\Gamma _{{\mu \nu }}^{{\alpha }}$ есть символ Кристоффеля.

Полученное выражение для пространственных компонент данного уравнения в веществе системы задаёт баланс энергии и импульса полей, и есть не что-иное, как записанное в ковариантной форме дифференциальное уравнение движения вещества под действием сил, генерируемых полями.^[7] За пределами вещества равенство нулю пространственных компонент данного уравнения означает, что изменение потоков электромагнитного и гравитационного полей происходит только при наличии пространственных градиентов соответствующих компонент тензоров энергии-импульса данных полей. Что касается временных компонент уравнения, то для них обобщённая теорема Пойнтинга задаёт баланс энергии и потоков энергии всех полей в любом выделенном объёме системы.^[8]

При этом имеется различие между суммарной плотностью энергии всех полей в некоторой точке, и плотностью релятивистской энергии в этой точке, так как релятивистская энергия учитывает ещё энергию частиц и вычисляется другим путём, не через тензор $~T^{{\alpha \beta }}$ энергии-импульса системы. Соответственно, теорема Пойнтинга относится к локальным скоростям изменения энергии полей во времени и скоростям изменения потоков энергии в пространстве, а закон сохранения энергии-импульса имеет дело с энергией и импульсом и полей и частиц системы. Релятивистская энергия системы в системе центра импульсов задаёт инвариантную энергию, равную произведению инертной массы на квадрат скорости света. Тем самым сохранение энергии в замкнутой системе приводит и к сохранению инертной массы системы. Существует ещё гравитационная масса системы, которая определяется по гравитационному взаимодействию с другими телами (например, при взвешивании), и в ковариантной теории гравитации гравитационная масса оказывается больше инертной массы. ^[9] Различие масс вытекает из того, что гравитационная масса определяется не через релятивистскую энергию или импульс, а через сумму инвариантных масс всех частиц системы. В замкнутой системе нет обмена частицами вещества, энергией и информацией с окружающей средой, и потому гравитационная масса также сохраняется.

Обобщённую теорему Пойнтинга можно представить в интегральном виде. Интегрируя $~\nabla _{\beta }T^{{\alpha \beta }}$ по ковариантному 4-объёму и учитывая теорему о дивергенции, находим:

$~\int {\partial _{\beta }\left({\sqrt {-g}}T^{{\alpha \beta }}\right)dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}=\int {T^{{\alpha \beta }}{\sqrt {-g}}dS_{\beta }}=\int \limits _{V}{T^{{\alpha 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}+$

$~+c\int {\left(\int {T^{{\alpha 1}}{\sqrt {-g}}dx^{2}dx^{3}}\right)dt}+c\int {\left(\int {T^{{\alpha 2}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{3}}\right)dt}+c\int {\left(\int {T^{{\alpha 3}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}}\right)dt}.$

С учётом этого получается:

$~\int {\nabla _{\beta }T^{{\alpha \beta }}{\sqrt {-g}}dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}=\int \limits _{V}{T^{{\alpha 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}+c\int {\left(\oint \limits _{S}{T^{{\alpha j}}n_{j}{\sqrt {-g}}dS}\right)dt}+c\int {\left(\int {\Gamma _{{\mu \nu }}^{{\alpha }}T^{{\mu \nu }}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}\right)dt}=0.$

$~{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}{T^{{\alpha 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}=-\oint \limits _{S}{T^{{\alpha j}}n_{j}{\sqrt {-g}}dS}-\int \limits _{V}{\Gamma _{{\mu \nu }}^{{\alpha }}T^{{\mu \nu }}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}.$

Здесь а вектор $~n_{j}$ есть единичный трёхмерный вектор нормали, направленный наружу двумерной поверхности , окружающей произвольно выбранный объём в рассматриваемой системе.

Уравнение для метрики

Уравнение для метрики записывается через тензор $~T^{{ik}}$ :^[10]

$~R^{{ik}}-{\frac {1}{4}}g^{{ik}}R={\frac {8\pi G\beta }{c^{4}}}T^{{ik}},$

где $~R^{{ik}}$ – тензор Риччи, – скалярная кривизна, $~g^{{ik}}$ – метрический тензор, $~\beta$ – некоторая постоянная.

В теории векторных полей калибруются все 4-векторы и тензоры, включая 4-токи, 4-потенциалы и тензоры полей. Например, калибровка 4-скорости имеет вид: $~g_{{\mu \nu }}u^{\mu }u^{\nu }=u_{\nu }u^{\nu }=c^{2}.$ Применяя здесь производную по собственному времени, приходим к калибровке 4-ускорения: $~a_{\mu }u^{\mu }=0,$ где 4-ускорение есть $~a_{\mu }={\frac {Du_{\mu }}{D\tau }}.$ Для калибровки 4-импульса имеем: $~g_{{\mu \nu }}p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }u^{\nu }=mc^{2}$ , где есть инерциальная масса системы.

Калибровка 4-перемещения: $~g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }=dx_{\nu }dx^{\nu }=ds^{2},$ где – четырёхмерный пространственно-временной интервал. Калибровка метрического тензора: $~g^{{\mu \nu }}g_{{\nu \lambda }}=\delta _{\lambda }^{\mu }$ , $~g^{{\mu \nu }}g_{{\nu \mu }}=\delta _{\mu }^{\mu }=4,$ где $~\delta _{\lambda }^{\mu }$ – символ Кронекера.

Не является исключением и тензор кривизны, из которого с помощью свёртки с метрическим тензором вначале получается тензор Риччи, а затем и скалярная кривизна. Условие калибровки скалярной кривизны выглядит так: $~\nabla _{\mu }R=0.$ Калибруется и космологическая постоянная $~\Lambda$ в следующем виде: $~R=2\Lambda .$ Это позволяет избавиться единственно возможным способом в выражении для релятивистской энергии как от скалярной кривизны, так и от космологической постоянной. ^[4]

Теорема энергии поля

Теорема энергии поля для электромагнитного поля имеет следующий вид: ^[11]

$~-\int {(2\mu _{0}A_{\alpha }j^{\alpha }+F_{{\alpha \beta }}F^{{\alpha \beta }}){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}={\frac {2}{c}}{\frac {d}{dt}}\left(\int {A^{\alpha }F_{\alpha }^{{\ 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}\right)+2\iint \limits _{S}{A^{\alpha }F_{\alpha }^{{\ k}}n_{k}{\sqrt {-g}}dS},$

где $~\mu _{0}$ есть магнитная постоянная; $~A_{\alpha }$ – электромагнитный 4-потенциал; $~j^{\alpha }$ – электромагнитный 4-ток; $~F_{{\alpha \beta }}$ – тензор электромагнитного поля; $~{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}$ – элемент инвариантного объёма, выражаемый через произведение $~dx^{1}dx^{2}dx^{3}$ дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~{\sqrt {-g}}$ из детерминанта метрического тензора, взятого с отрицательным знаком; – скорость света; последний интеграл в правой части есть поверхностный интеграл второго рода по двумерной поверхности , окружающей рассматриваемый объём; $~n_{k}$ – трёхмерный вектор нормали к поверхности , направленный наружу.

Аналогично получается для гравитационного поля, поля ускорений и поля давления:

$~-\int {\left(-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}D_{\alpha }J^{\alpha }+\Phi _{{\alpha \beta }}\Phi ^{{\alpha \beta }}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}={\frac {2}{c}}{\frac {d}{dt}}\left(\int {D^{\alpha }\Phi _{\alpha }^{{\ 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}\right)+2\iint \limits _{S}{D^{\alpha }\Phi _{\alpha }^{{\ k}}n_{k}{\sqrt {-g}}dS}.$

$~-\int {\left({\frac {8\pi \eta }{c^{2}}}U_{\alpha }J^{\alpha }+u_{{\alpha \beta }}u^{{\alpha \beta }}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}={\frac {2}{c}}{\frac {d}{dt}}\left(\int {U^{\alpha }u_{\alpha }^{{\ 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}\right)+2\iint \limits _{S}{U^{\alpha }u_{\alpha }^{{\ k}}n_{k}{\sqrt {-g}}dS}.$

$~-\int {\left({\frac {8\pi \sigma }{c^{2}}}\pi _{\alpha }J^{\alpha }+f_{{\alpha \beta }}f^{{\alpha \beta }}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}={\frac {2}{c}}{\frac {d}{dt}}\left(\int {\pi ^{\alpha }f_{\alpha }^{{\ 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}\right)+2\iint \limits _{S}{\pi ^{\alpha }f_{\alpha }^{{\ k}}n_{k}{\sqrt {-g}}dS}.$

Представленные выше выражения являются интегральными уравнениями, связывающими между собой 4-потенциалы, 4-токи и тензоры соответствующих полей.

Интегральные уравнения

Для электромагнитного поля интегральные уравнения в искривлённом пространстве-времени были рассмотрены в статье. ^[12]

Интегрирование стандартного уравнения электромагнитного поля по четырёхмерному объёму и применение теоремы о дивергенции даёт следующее уравнение:

$~{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}{F^{{\alpha 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}+\int {F^{{\alpha 1}}{\sqrt {-g}}dx^{2}dx^{3}}+\int {F^{{\alpha 2}}{\sqrt {-g}}dx^{3}dx^{1}}+\int {F^{{\alpha 3}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}}=-\mu _{0}\int \limits _{V}{j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}.\quad (1)$

Для индекса $~\alpha =0$ с учётом равенства $~j^{0}=\rho _{0}u^{0}$ из (1) получается теорема Гаусса в ковариантной записи:

$~\int \limits _{S}{F^{{0k}}{\sqrt {-g}}dS_{k}}=-{\frac {\Phi _{E}}{c}}=-\mu _{0}\int \limits _{V}{\rho _{0}u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}=-c\mu _{0}q,$

где $~dS_{k}=dS^{{ij}}=dx^{i}dx^{j}$ есть ортонормированный элемент двумерной поверхности, окружающей заряд ; $~\Phi _{E}=c\int \limits _{S}{F^{{k0}}{\sqrt {-g}}dS_{k}}$ представляет собой поток электрического поля через замкнутую поверхность; циклически повторяющиеся трёхмерные индексы и не совпадают друг с другом.

Пусть теперь в (1) индексы $~\alpha =i=1,2,3$ :

$~{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}{F^{{i0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}+\iint \limits _{S}{F^{{ik}}{\sqrt {-g}}dS_{k}}=-\mu _{0}\int \limits _{V}{j^{i}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}.$

Данное уравнение справедливо для любого трёхмерного объёма и окружающей его двумерной поверхности . Если рассечь объём некоторой плоскостью перпендикулярно оси , то при индексе от интегрирования по и можно перейти к интегрированию по площади сечения и по контуру этого сечения:

$~{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int {F^{{10}}{\sqrt {-g}}dx^{2}dx^{3}}+\int {F^{{12}}{\sqrt {-g}}dx^{3}}-\int {F^{{13}}{\sqrt {-g}}dx^{2}}=-\mu _{0}\int {j^{1}{\sqrt {-g}}dx^{2}dx^{3}}.$

Полученное ковариантное выражение представляет теорему о циркуляции магнитного поля, а $~\Phi _{E}=c\int {F^{{10}}{\sqrt {-g}}dx^{2}dx^{3}}$ можно считать здесь потоком электрического поля через поверхность сечения в направлении оси . Отсюда следует, что циркуляция магнитного поля в контуре возникает не только благодаря изменению со временем потока электрического поля через контур, но появляется и при изменении площади контура при неизменном электрическом поле.

Интегрирование уравнения электромагнитного поля с дуальным тензором электромагнитного поля по четырёхмерному объёму с учётом теоремы о дивергенции приводит к следующему уравнению:

$~{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}{{\tilde {F}}^{{\alpha 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}+\int {{\tilde {F}}^{{\alpha 1}}{\sqrt {-g}}dx^{2}dx^{3}}+\int {{\tilde {F}}^{{\alpha 2}}{\sqrt {-g}}dx^{3}dx^{1}}+\int {{\tilde {F}}^{{\alpha 3}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}}=0.\quad (2)$

Отсюда при индексе $~\alpha =0$ с учётом компонент дуального тензора получается теорема Гаусса для магнитного поля:

$~-\iint \limits _{S}{g(B_{x}dydz+B_{y}dzdx+B_{z}dxdy)}=-\oint \limits _{S}{g{\mathbf {B\cdot n}}dS}=\Phi =0,$

где ковариантная величина $~\Phi =-\oint \limits _{S}{g{\mathbf {B\cdot n}}dS}$ есть поток магнитного поля через замкнутую поверхность.

Если положить в уравнении (2) индекс $~\alpha =1$ , то при рассечении рассматриваемого объёма плоскостью, перпендикулярной оси , для полученного сечения и окружающего его контура получается уравнение:

$~-\oint \limits _{\ell }{g{\mathbf {E\cdot }}d{\mathbf r}}=\varepsilon ={\frac {d}{dt}}\iint \limits _{S}{g{\mathbf {B\cdot n}}dS}=-{\frac {d\Phi }{dt}}.$

Это интегральное уравнение представляет собой теорему о циркуляции электрического поля и закон электромагнитной индукции Фарадея в ковариантной форме, где величина $~\Phi =-\iint \limits _{S}{g{\mathbf {B\cdot n}}dS}$ есть магнитный поток через поверхность , ограниченную проводящим контуром $~\ell$ , а величина $~\varepsilon =-\oint \limits _{\ell }{g{\mathbf {E\cdot }}d{\mathbf r}}$ есть электродвижущая сила.

Если 4-потенциал электромагнитного поля с контравариантным индексом записать через компоненты в виде $~A^{\mu }=(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})$ , и обозначить поток векторного потенциала по замкнутой двумерной поверхности так

$~\Phi _{A}=\int {A^{1}{\sqrt {-g}}dx^{2}dx^{3}}+\int {A^{2}{\sqrt {-g}}dx^{3}dx^{1}}+\int {A^{3}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}},$

то будет справедливо уравнение

$~\Phi _{A}=-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}{A^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},$

означающее, что при изменении со временем объёмного интеграла от скалярного потенциала появляется поток векторного потенциала.

Интегральные уравнения, подобные приведённым выше для электромагнитного поля, должны быть справедливы и для других векторных полей.

См. также

Ссылки

1. Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, pp. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.

2. Fedosin S.G. Two components of the macroscopic general field. Reports in Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2, 1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025; статья на русском языке: Две компоненты макроскопического общего поля.

3. Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, No. 18, pp. 771-779 (2014). http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101; статья на русском языке: Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.

4. ^а ^б Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9, No. 1, pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

5. Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, Vol. 35, No. 1, pp. 35-70 (2012). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889804. статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.

6. Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics. Vol. 18, No. 1, pp. 13-24 (2015). http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003; статья на русском языке: Четырёхмерное уравнение движения вязкого сжимаемого заряженного вещества с учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.

7. ^а ^б ^в Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

8. Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.

9. Fedosin S.G. The Mass Hierarchy in the Relativistic Uniform System. Bulletin of Pure and Applied Sciences, Vol.38 D (Physics), No. 2, pp. 73-80 (2019). http://dx.doi.org/10.5958/2320-3218.2019.00012.5. // Иерархия масс в релятивистской однородной системе.

10. Fedosin S.G. Energy and metric gauging in the covariant theory of gravitation. Aksaray University Journal of Science and Engineering, Vol. 2, Issue 2, pp. 127-143 (2018). http://dx.doi.org/10.29002/asujse.433947. // Калибровка энергии и метрики в ковариантной теории гравитации.

11. Fedosin S.G. The Integral Theorem of the Field Energy. Gazi University Journal of Science. Vol. 32, No. 2, pp. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783. // Интегральная теорема энергии поля.

12. Fedosin S.G. On the Covariant Representation of Integral Equations of the Electromagnetic Field. Progress In Electromagnetics Research C, Vol. 96, pp. 109-122 (2019). https://doi.org/10.2528/PIERC19062902. // О ковариантном представлении интегральных уравнений электромагнитного поля.

Внешние ссылки

· Equation of vector field

Источник: http://sergf.ru/uv.htm

На список страниц