Поле диссипации

Поле диссипации — двухкомпонентное векторное силовое поле, ковариантным образом описывающее силы трения и диссипацию энергии, возникающие в системах с множеством тесно взаимодействующих частиц. Поле диссипации является компонентой общего поля, представленной в лагранжиане и в гамильтониане произвольной физической системы членом с энергией частиц в поле диссипации, и членом с энергией поля. ^[1] ^[2] В уравнение движения поле диссипации входит через тензор поля диссипации, а в уравнение для метрики – через тензор энергии-импульса поля диссипации. Под диссипацией энергии подразумевается преобразование энергии направленного движения частиц в энергию хаотического движения этих частиц и частиц окружающей среды, а также в энергию внутримолекулярного и атомного движения, при этом происходит уменьшение энергии движения быстро движущихся потоков частиц за счёт трения с более медленными потоками. Типичными примерами диссипации механической энергии являются затухание движения струи в жидкости и нагрев падающих метеоритов при их движении в земной атмосфере.

Поле диссипации рассматривается как макроскопическое поле, имеющее свою энергию и импульс, и описывающее усреднённое взаимодействие частиц в произвольном малом объёме системы. Причиной возникновения поля диссипации на микроуровне являются различные взаимодействия, приводящие к эффекту трения и торможения отдельных частиц или их потоков. На уровне атомов преобладают электромагнитные силы и сильная гравитация, посредством которых частицы взаимодействуют друг с другом и обмениваются энергией. Силы трения в системе частиц возникают как коллективный эффект и оказываются пропорциональными не только скорости, но и её производным по времени и координатам. Поскольку сила трения описывается через тензор поля диссипации и соответствующий тензор энергии-импульса, поле диссипации в каждом малом объёме приобретает свою плотность энергии и плотность потока энергии. В диссипативных процессах происходит некоторое изменение внутренней энергии системы, в основном за счёт изменения количества теплоты или изменения энергии фазовых переходов, что можно рассматривать как изменение энергии поля диссипации. Внутренняя энергия изменяется ещё при изменении энергии поля давления и поля ускорений частиц, а также за счёт изменения энергии электромагнитного, гравитационного и других полей. В свою очередь, поток энергии поля диссипации делает свой собственный вклад в поток внутренней энергии и в поток релятивистской энергии системы.

Классическая механика

К основным процессам, приводящим к диссипации энергии, относятся вязкостное трение слоёв жидкости или газа друг об друга, трение при движении твёрдых тел за счёт взаимодействия с окружающей средой, теплопроводность и диффузия в газах и жидкостях. Все эти процессы относятся к явлениям переноса: трение возникает при переносе импульса, теплопроводность – при переносе внутренней энергии, а диффузия связана с переносом массы (заряда, электрического и магнитного момента, и т.д.). Трение выступает основным источником диссипации энергии. Теплопроводность и диффузия также делают некоторый вклад, поскольку в реальных процессах все виды переноса переплетены друг с другом.

С целью описания сил трения в уравнения Лагранжа второго рода вводят силы трения : ^[3]

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = F_j,$

где – функция Лагранжа, – обобщённые координаты. Кроме этого, в рассмотрение вводят диссипативную функцию такую, что выполняется соотношение:

$~ F_j = - \frac{\partial D }{\partial \dot q_j }.$

Диссипативная функция Рэлея определяется выражением:

$D = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N C_{jk} \dot q_j \dot q_k .$

Если тензор $~ C_{jk}$ не зависит от скоростей, то соответствующая сила трения равна:

$~ F_j = - \sum_{k=1}^N C_{jk} \dot q_k.$

Диссипативная функция имеет размерность мощности, а тензор $~ C_{jk}$ должен иметь размерность кг/с. Если тензор симметричен, сила трения получается направленной противоположно скорости движения частицы относительно окружающей среды.

Отсюда видно, что диссипативная функция представляет собой некоторую форму скалярного потенциала, зависящего от произведений проекций относительных скоростей, а поле диссипации рассматривается как соответствующее скалярное поле. Но в отличие от стандартных скалярных потенциалов фундаментальных полей, сила трения получается не в виде градиента от диссипативных функций, а в виде производной по скорости движения. Указанный подход не является полностью ковариантным описанием процессов трения и может служить лишь первым приближением, так как явно не учитывает трения при ускоренном движении.

Дифференциальный закон вязкости Ньютона описывает силу внутреннего трения в слое жидкости, движущемся относительно других параллельных слоёв:

$~ dF = - \mu \frac {dv}{dr} dS,$

здесь $~ \mu$ – коэффициент внутреннего трения или коэффициент динамической вязкости, $~ \frac {dv}{dr}$ – градиент скорости движения слоёв в направлении, перпендикулярном поверхности слоя, – площадь поверхности слоя.

Более точным описанием движения в вязкой среде являются уравнения Навье-Стокса:

$\rho\left(\frac{\partial v_i}{\partial t}+v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_k}\left\{\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{i,\;k}\frac{\partial v_l}{\partial x_l}\right)\right\}+\frac{\partial}{\partial x_k}\left(\xi \frac{\partial v_l}{\partial x_l}\delta_{i,\;k}\right) + \rho a_{mi}=$

$~= \nabla_k P^{ik} + \rho a_{mi} ,$

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot (\rho \vec v)=0,$

где $~ \rho$ – плотность массы вещества, $~ \xi$ – «вторая вязкость», или объёмная вязкость, $~\delta_{i,\;k}$ – символ Кронекера, $~ P^{ik}$ – тензор напряжений Коши, $~ a_{mi}$ – ускорение за счёт массовых сил (включая гравитационную и электромагнитную силы и силу инерции), причём второе уравнение есть уравнение непрерывности.

Релятивистская гидродинамика

Вместо тензора $~ P^{ik}$ в релятивистском случае для описания уравнения движения вязкой и теплопроводной среды применяется четырёхмерный тензор вязких напряжений: ^[4]

$~ \tau_{ik} = - \mu \left( \frac {\partial u_i} {\partial x^k}+ \frac {\partial u_k} {\partial x^i}- \frac{1} {c^2 }u_k u^n \frac {\partial u_i} {\partial x^n} - \frac{1} {c^2 }u_i u^n \frac {\partial u_k} {\partial x^n} \right) - \left( \xi- \frac {2}{3} \mu \right) \frac {\partial u_n} {\partial x^n} \left( g_{ik}- \frac{1} {c^2 }u_i u_k \right),$

где – 4-скорость с контравариантным индексом, – 4-скорость с ковариантным индексом, $~ \xi$ – коэффициент второй (объёмной) вязкости, $~ g_{ik}$ – метрический тензор, – скорость света.

Плотность 4-силы, возникающей от наличия вязкости, вычисляется через ковариантную производную от тензора $~ \tau_{ik}$ , и входит правую часть уравнения Навье-Стокса. По своему смыслу тензор $~ \tau_{ik}$ является тензором энергии-импульса, при этом он не выводится из принципа наименьшего действия.

Поле диссипации как векторное поле

Поле диссипации как двухкомпонентное векторное поле было представлено Сергеем Федосиным в рамках метрической теории относительности и ковариантной теории гравитации. Уравнения этого поля появились как следствие принципа наименьшего действия, ^[5] при этом использовалась специальная процедура. ^[6]

Математическое описание

4-потенциал поля диссипации выражается через скалярный $~ \varepsilon$ и векторный $~ \mathbf {\Theta }$ потенциалы:

$~ \lambda_\mu = \left( \frac {\varepsilon }{ c}, -\mathbf{\Theta } \right).$

Антисимметричный тензор поля диссипации вычисляется через 4-ротор от 4-потенциала:

$h_{\mu \nu} = \nabla_\mu \lambda_\nu - \nabla_\nu \lambda_\mu = \frac{\partial \lambda_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial \lambda_\mu}{\partial x^\nu}.$

Компонентами тензора поля диссипации являются компоненты вектора напряжённости $~ \mathbf{X}$ и соленоидального вектора поля диссипации $~\mathbf { Y }$ :

$~ h_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac { X_x}{ c} & \frac { X_y}{ c} & \frac { X_z}{ c} \\ -\frac { X_x}{ c} & 0 & - Y_{z} & Y_{y} \\ -\frac { X_y}{ c} & Y_{z} & 0 & - Y_{x} \\ -\frac { X_z}{ c}& - Y_{y} & Y_{x} & 0 \end{vmatrix}.$

При этом получается следующее:

$~ \mathbf{X}= -\nabla \varepsilon - \frac{\partial \mathbf{\Theta}} {\partial t}, \qquad\qquad \mathbf{Y }= \nabla \times \mathbf{\Theta }. \qquad\qquad (1)$

Действие, Лагранжиан и энергия

В ковариантной теории гравитации 4-потенциал $~ \lambda_\mu$ поля диссипации является частью 4-потенциала общего поля $~ s_\mu$ , который является суммой 4-потенциалов таких частных полей, как электромагнитное и гравитационное поля, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, поле сильного взаимодействия, поле слабого взаимодействия, других векторных полей, действующих на вещество и его частицы. Плотность энергии взаимодействия общего поля с веществом задаётся произведением 4-потенциала общего поля на массовый 4-ток: $~ s_\mu J^\mu$ . Из 4-потенциала общего поля путём применения 4-ротора получается тензор общего поля:

$~ s_{\mu \nu} =\nabla_\mu s_\nu - \nabla_\nu s_\mu.$

Тензорный инвариант, в виде $~ s_{\mu \nu} s^{\mu \nu}$ , с точностью до постоянного коэффициента пропорционален плотности энергии общего поля. В результате функция действия, содержащая скалярную кривизну и космологическую постоянную $~ \Lambda$ , определяется выражением: ^[1]

$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}s_\mu J^\mu - \frac {c}{16 \pi \varpi} s_{\mu\nu}s^{\mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$

где – функция Лагранжа или лагранжиан, – дифференциал времени координатной системы отсчёта, и $~ \varpi$ – постоянные, подлежащие определению, – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, $~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3$ – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты , через произведение дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия даёт уравнения общего поля, четырёхмерное уравнение движения и уравнение для определения метрики. Так как поле диссипации является компонентой общего поля, то из уравнений общего поля вытекают соответствующие уравнения поля диссипации.

При выполнении условия калибровки космологической постоянной в виде

$~ c k \Lambda = - s_\mu J^\mu ,$

энергия системы не зависит от члена со скалярной кривизной и становится однозначно определённой: ^[7]

$~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$

где и обозначают временные компоненты 4-векторов $~ s_{\mu }$ и $~ J^{\mu }$ .

4-импульс системы определяется формулой:

$~p^\mu = \left( \frac {E}{c}{,} \mathbf {p}\right) = \left( \frac {E}{c}{,} \frac {E}{c^2}\mathbf {v} \right) ,$

где $~ \mathbf {p}$ и $~ \mathbf {v}$ обозначают импульс системы и скорость движения центра масс системы.

Уравнения

Основная статья: Уравнение векторного поля

Четырёхмерные уравнения поля диссипации по своей форме оказываются подобными уравнениям Максвелла и имеют следующий вид:

$\nabla_\sigma h_{\mu \nu}+\nabla_\mu h_{\nu \sigma}+\nabla_\nu h_{\sigma \mu}=\frac{\partial h_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial h_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial h_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0.$

$~ \nabla_\nu h^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \tau }{c^2} J^\mu,$

где $~J^\mu = \rho_{0} u^\mu$ есть массовый 4-ток, $~\rho_{0}$ – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, $~u^\mu$ – 4-скорость движения элемента вещества, $~ \tau$ – постоянная, определяемая в каждой задаче, и предполагается, что имеется равновесие между всеми полями в рассматриваемой физической системе.

Условие калибровки 4-потенциала поля диссипации:

$~ \nabla^\mu \lambda_\mu = 0 .$

В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнений поля диссипации упрощается и их можно выразить через напряжённость поля $~\mathbf {X}$ и соленоидальный вектор $~\mathbf { Y }$ :

$~ \nabla \cdot \mathbf{X} = 4 \pi \tau \gamma \rho_0, \qquad\qquad \nabla \times \mathbf{ Y } = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \tau \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{X}} {\partial t} \right),$

$~ \nabla \times \mathbf{X} = - \frac{\partial \mathbf{ Y } } {\partial t} , \qquad\qquad \nabla \cdot \mathbf{ Y} = 0 .$

где $~ \gamma = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}$ есть фактор Лоренца, $~ \mathbf{J}= \gamma \rho_0 \mathbf{v }$ – плотность тока массы, $~ \mathbf{v }$ – скорость элемента вещества.

Используя ещё условие калибровки в виде $~ \partial^\mu \lambda_\mu = \frac {1}{c^2} \frac{\partial \varepsilon }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf {\Theta } = 0$ и соотношения (1), из уравнений поля можно получить волновые уравнения для потенциалов поля диссипации:

$~ \frac {1}{c^2}\frac{\partial^2 \varepsilon }{\partial t^2 } -\Delta \varepsilon = 4 \pi \tau \gamma \rho_0,$

$~ \frac {1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf {\Theta } }{\partial t^2 } -\Delta \mathbf {\Theta }= \frac {4 \pi \tau }{c^2} \mathbf{J}.$

В искривлённом пространстве уравнение движения элемента вещества в общем поле описывается формулой:

$~ s_{\mu \nu} J^\nu =0$ .

Так как $~ J^\nu = \rho_0 u^\nu$ , а тензор общего поля выражается через тензоры частных полей, то уравнение движения можно представить через эти тензоры: ^[8]

$~-u_{{\mu \nu }}J^{\nu }=F_{{\mu \nu }}j^{\nu }+\Phi _{{\mu \nu }}J^{\nu }+f_{{\mu \nu }}J^{\nu }+h_{{\mu \nu }}J^{\nu }+\gamma _{{\mu \nu }}J^{\nu }+w_{{\mu \nu }}J^{\nu }.\qquad (2)$

Здесь $~ u_{\mu \nu}$ – тензор ускорений, $~ F_{\mu \nu}$ – тензор электромагнитного поля, $~ j^\nu$ – зарядовый 4-ток, $~ \Phi_{\mu \nu}$ – тензор гравитационного поля, $~ f_{\mu \nu}$ – тензор поля давления, $~ \gamma_{\mu \nu}$ – тензор поля сильного взаимодействия, $~ w_{\mu \nu}$ – тензор поля слабого взаимодействия.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса поля диссипации вычисляется с помощью тензора поля диссипации:

$~ Q^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \tau } \left( - g^{im} h_{nm} h^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}h_{mr}h^{mr}\right) .$

В составе тензора $~ Q^{ik}$ находится 3-вектор потока энергии-импульса $~\mathbf {Z}$ , подобный по смыслу вектору Пойнтинга и вектору Хевисайда. Вектор $~\mathbf {Z}$ можно представить через векторное произведение вектора напряжённости поля $~ \mathbf {X}$ и соленоидального вектора $~ \mathbf { Y }$ :

$~ \mathbf {Z}=c Q^{0i} = \frac {c^2}{4 \pi \tau }[\mathbf {X}\times \mathbf { Y }],$

здесь индекс

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля диссипации задаёт плотность 4-силы поля диссипации:

$~f^{\alpha }=-\nabla _{\beta }Q^{{\alpha \beta }}={h^{\alpha }}_{{k}}J^{k}.\qquad \qquad (3)$

Тензор энергии-импульса поля диссипации входит в состав тензора энергии-импульса общего поля $~ T^{ik}$ , однако в общем случае тензор $~ T^{ik}$ содержит в себе ещё перекрёстные члены с произведениями напряжённостей и соленоидальных векторов частных полей:

$~ T^{ik}= k_1W^{ik}+ k_2U^{ik}+ k_3B^{ik}+ k_4P^{ik} + k_5Q^{ik}+ k_6 L^{ik}+ k_7A^{ik}+ cross \quad terms,$

где $~ k_1{,} k_2{,} k_3{,} k_4{,} k_5{,} k_6{,} k_7$ – некоторые коэффициенты, $~ W^{ik}$ – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, $~ U^{ik}$ – тензор энергии-импульса гравитационного поля, $~ B^{ik}$ – тензор энергии-импульса поля ускорений, $~ P^{ik}$ – тензор энергии-импульса поля давления, $~ L^{ik}$ – тензор энергии-импульса поля сильного взаимодействия, $~ A^{ik}$ – тензор энергии-импульса поля слабого взаимодействия.

Через тензор $~ T^{ik}$ тензор энергии-импульса поля диссипации входит в уравнение для метрики:

$~ R^{ik} - \frac{1} {4 }g^{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} T^{ik},$

где $~ R^{ik}$ – тензор Риччи, – гравитационная постоянная, $~ \beta$ – некоторая постоянная, и использовано условие калибровки космологической постоянной.

Применение

В случае, когда собственный векторный потенциал некоторого векторного поля частицы равен нулю в системе покоя частицы, 4-потенциал этого векторного поля в произвольной системе отсчёта может быть представлен так: ^[6]

$~ L_\mu = \frac {k_f \varepsilon_p }{\rho_0 c^2} u_\mu ,$

где $~ k_f = \frac {\rho_0}{\rho_{0q}}$ для электромагнитного поля и для остальных полей, $~ \rho_{0}$ и $~\rho_{0q}$ – плотность массы и соответственно плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта, $~ \varepsilon_p$ – плотность энергии частицы в данном поле, $~ u_\mu$ – ковариантная 4-скорость.

Для поля диссипации $~ \varepsilon_p = \alpha \rho_0$ , , и согласно определения, для 4-потенциала поля диссипации одной частицы в данном случае имеем:

$~ \lambda_\mu = \left( \frac {\varepsilon }{ c}, - \mathbf{\Theta } \right) = \frac {\alpha }{c^2} u_\mu ,$

где $~ \alpha$ есть функция диссипации. Для произвольной частицы компоненты 4-потенциала в рамках специальной теории относительности (СТО) имеют вид: $~ \varepsilon = \gamma \alpha,$ $~ \mathbf{\Theta }= \frac { \gamma \alpha }{c^2}\mathbf{v},$

и следовательно, векторный потенциал направлен вдоль скорости частицы. Если компоненты векторного потенциала являются функциями от времени и прямо не зависят от пространственных координат, то для такого движения согласно (1) соленоидальный вектор $~ \mathbf { Y }$ обращается в нуль.

Благодаря взаимодействию множества частиц друг с другом посредством различных полей, в том числе на расстоянии без непосредственного контакта, поле диссипации в веществе изменяется и отличается от поля диссипации одной частицы в точке наблюдения. Поле диссипации в системе частиц задаётся через напряжённость и соленоидальный вектор, характеризующие типичные усреднённые характеристики движения вещества. В гравитационно-связанной системе как правило возникают радиальные градиенты напряжённостей различных полей, в том числе напряжённости $~ \mathbf { X },$ а синхронное движение или вращение части частиц приводит к возникновению вектора $~ \mathbf { Y }.$ Из (2) и (3) следует выражение для плотности 4-силы с ковариантным индексом, возникающей от поля диссипации:

$~(f_{\mu })_{d}=h_{{\mu \nu }}J^{\nu }=\rho _{0}{\frac {cdt}{ds}}\left({\frac {1}{c}}{\mathbf {X}}\cdot {\mathbf {v}}{,}\qquad -{\mathbf {X}}-[{\mathbf {v}}\times {\mathbf {Y}}]\right),$

где обозначает четырёхмерный пространственно-временной интервал.

Релятивистское уравнение движения вязкого сжимаемого вещества, с учётом 4-потенциала поля диссипации, тензора поля диссипации и тензора энергии-импульса поля диссипации, в пределе малой кривизны пространства-времени может быть представлено так: ^[^5]

$~ \frac {d}{dt}[\gamma \mathbf{v} (1+ \frac {p_0}{\rho_0 c^2}+\frac {\alpha }{c^2})] = \mathbf{a_m} - \frac {1}{\gamma }\nabla (\frac { p_0}{\rho_0 }) - \frac {\varsigma }{4 \pi \eta \gamma^2 c^2 \rho^2_0 } (\frac{\partial^2 (\gamma \mathbf{v}) }{\partial t^2 } - c^2 \Delta (\gamma \mathbf{v} ) ) + \frac {\omega }{\gamma \rho_0 }\nabla (\nabla \cdot \mathbf{v} ) ,$

где $~ \mathbf{a_m} = \mathbf{\Gamma} + \mathbf{v} \times \mathbf{\Omega} +\frac {\rho_{0q} }{\rho_0 }(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ есть ускорение массовых гравитационных и электромагнитных сил, $~ \mathbf{\Gamma}$ – напряжённость гравитационного поля, $~ \mathbf{\Omega }$ – поле кручения, $~ \mathbf{E}$ – напряжённость электрического поля, $~ \mathbf{B}$ – магнитная индукция.

При малых скоростях для фактора Лоренца можно положить $~ \gamma=1$ . В обычных условиях можно также пренебречь вкладом давления и функции диссипации $~ \alpha$ в левой части уравнения. Определяя динамическую вязкость выражением $~ \mu = \frac {\varsigma }{4 \pi \eta \gamma^2 \rho_0 }$ , где $~ \eta$ есть коэффициент поля ускорений, и обозначая $~ \omega = \xi + \frac {\mu }{3}$ , приходим к следующему:

$~ \frac {d \mathbf{v}}{dt} =\frac{\partial \mathbf{v} }{\partial t}+ (\mathbf{v} \cdot\nabla ) \mathbf{v} = \mathbf{a_m} - \nabla (\frac { p_0}{\rho_0 }) + \frac {\mu }{ \rho_0 } \Delta \mathbf{v} - \frac {\mu }{ \rho_0 c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{v} }{\partial t^2 } + \frac {1 }{ \rho_0 } (\xi + \frac {\mu }{3}) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v} ) .$

Основное отличие данного уравнения от уравнения Навье-Стокса заключается в небольшом добавочном члене, содержащем вторую производную по времени от скорости потока $~ \mathbf{v}$ и квадрат скорости света в знаменателе.

См. также

Ссылки

1. ^а ^б Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, pp. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.

2. Fedosin S.G. Two components of the macroscopic general field. Reports in Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2, 1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025; статья на русском языке: Две компоненты макроскопического общего поля.

3. Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4. (p. 271).

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. – Издание 7-е, исправленное. – М.: Наука, 1988. – 731 с. – (Теоретическая физика, том VI).

5. ^а ^б Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics. Vol. 18, No. 1, pp. 13-24 (2015). http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003; статья на русском языке: Четырёхмерное уравнение движения вязкого сжимаемого заряженного вещества с учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.