In English

Тензор поля диссипации

Из проекта Викизнание

Тензор поля диссипации — антисимметричный тензор, описывающий диссипацию энергии вследствие вязкости и состоящий из шести компонент. Компоненты тензора являются в то же время компонентами двух трёхмерных векторов – напряжённости поля диссипации, и соленоидального вектора диссипации. С помощью тензора поля диссипации определяются тензор энергии-импульса поля диссипации, уравнения поля диссипации и сила диссипации в веществе. Поле диссипации является компонентой общего поля.

Определение

Выражение для тензора поля диссипации можно найти в работах Федосина, ^[1] где тензор определяется через 4-ротор:

$h_{\mu \nu} = \nabla_\mu \lambda_\nu - \nabla_\nu \lambda_\mu = \frac{\partial \lambda_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial \lambda_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1)$

Здесь 4-потенциал поля диссипации $~ \lambda_\mu$ определяется по формуле:

$~\lambda_\mu = \left( \frac {\varepsilon }{ c}, -\mathbf{\Theta } \right),$

где $~\varepsilon$ – скалярный потенциал, $~ \mathbf{\Theta }$ – векторный потенциал поля диссипации, – скорость света.

Выражение для компонент

С помощью (1) находятся вектор напряжённости поля диссипации и соленоидальный вектор диссипации:

$~ X_i= c (\partial_0 \lambda_i -\partial_i \lambda_0),$

$~ Y_k= \partial_i \lambda_j -\partial_j \lambda_i ,$

и это же в векторной записи:

$~\mathbf{X}= -\nabla \varepsilon - \frac{\partial \mathbf{\Theta}} {\partial t},$

$~\mathbf{Y }= \nabla \times \mathbf{\Theta }.$

Тензор поля диссипации состоит из компонент данных векторов:

$~ h_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {X_x}{ c} & \frac {X_y}{ c} & \frac {X_z}{ c} \\ -\frac {X_x}{ c} & 0 & - Y_{z} & Y_{y} \\ -\frac {X_y}{ c} & Y_{z} & 0 & -Y_{x} \\ -\frac {X_z}{ c}& -Y_{y} & Y_{x} & 0 \end{vmatrix}.$

Переход к тензору поля диссипации с контравариантными индексами осуществляется путём двойного умножения на метрический тензор:

$~ h^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta} h_{\mu \nu}.$

В рамках специальной теории относительности этот тензор имеет вид:

$~ h^{\alpha \beta}= \begin{vmatrix} 0 &- \frac {X_{x}}{ c} & -\frac {X_{y}}{ c} & -\frac {X_{z}}{ c} \\ \frac {X_{x}}{ c} & 0 & - Y_{z} & Y_{y} \\ \frac {X_{y}}{ c}& Y_{z} & 0 & -Y_{x} \\ \frac {X_{z}}{ c}& -Y_{y} & Y_{x} & 0 \end{vmatrix}.$

Для преобразования компонент тензора поля диссипации из одной инерциальной системы отсчёта в другую нужно учитывать правило преобразования тензоров. Если система отсчёта K’ движется с произвольной постоянной скоростью $~\mathbf {V}$ относительно неподвижной системы отсчёта K, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость поля диссипации и соленоидальный вектор диссипации преобразуются так:

$\mathbf {X}^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {X}) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {X}-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {X}) + [\mathbf {V} \times \mathbf {Y }] \right),$

$\mathbf {Y }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {Y }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {Y }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {Y }) - \frac {1}{ c^2} [\mathbf {V} \times \mathbf {X}] \right).$

Свойства тензора

$~ h_{\mu \nu}$ является антисимметричным тензором 2-го ранга, отсюда следует условие $~ h_{\mu \nu}= -h_{\nu \mu}$ . Три из шести независимых компонент тензора поля диссипации связаны с компонентами вектора напряжённости поля диссипации $~\mathbf{ X }$ , а другие три – с компонентами соленоидального вектора диссипации $~\mathbf{Y }$ . Ввиду антисимметричности такой инвариант, как свёртка тензора с метрическим тензором, обращается в нуль: $~ g^{\mu \nu} h_{\mu \nu}= h^{\mu}_\mu =0$ .
Свёртка тензора с самим собой $h μν h μν$ является инвариантом, а свёртка произведения тензоров с символом Леви-Чивиты в виде $\frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho} h_{\mu \nu} h_{\sigma \rho}$ является псевдоскалярным инвариантом. Указанные инварианты в специальной теории относительности выражаются так:

$h_{\mu \nu} h^{\mu \nu} = -\frac {2}{c^2} (X^2- c^2 Y^2) = inv,$

$\frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}h_{\mu \nu} h_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c } \left( \mathbf X \cdot \mathbf {Y} \right) = inv.$

Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:

$\det \left( h_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2} \left(\mathbf X \cdot \mathbf {Y} \right)^{2}.$

Поле диссипации

Через тензор поля диссипации записываются уравнения поля диссипации:

$\nabla_\sigma h_{\mu \nu}+\nabla_\mu h_{\nu \sigma}+\nabla_\nu h_{\sigma \mu}=\frac{\partial h_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial h_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial h_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2)$

$~ \nabla_\nu h^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \tau }{c^2} J^\mu, \qquad\qquad (3)$

где $J μ = ρ 0 u μ$ есть массовый 4-ток, $ρ 0$ – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, $u μ$ – 4-скорость движения элемента вещества, $~ \tau$ – постоянная, определяемая в каждой задаче.

Вместо (2) можно использовать выражение:

$~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial h_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 .$

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора поля диссипации согласно (1). Если подставить в (2) компоненты тензора $h μν, можно получить два векторных уравнения:$

$~ \nabla \times \mathbf{X} = - \frac{\partial \mathbf{Y} } {\partial t} , \qquad\qquad (4)$

$~ \nabla \cdot \mathbf{Y} = 0 . \qquad\qquad (5)$

Согласно (5), соленоидальный вектор диссипации не имеет источников, так как его дивергенция равна нулю. Из (4) следует, что изменение во времени соленоидального вектора диссипации приводит к появлению ротора напряжённости поля диссипации.

Уравнение (3) связывает поле диссипации с его источником в виде массового 4-тока. В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнения упрощается и становится следующим:

$~ \nabla \cdot \mathbf{X} = 4 \pi \tau \rho,$

$~ \nabla \times \mathbf{Y} = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \tau \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{X}} {\partial t} \right),$

где $~ \rho$ – плотность движущейся массы, $~ \mathbf{J}$ – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость поля диссипации имеет источник в виде плотности вещества, а по второму уравнению ток массы либо изменение во времени вектора напряжённости поля диссипации порождают круговое поле соленоидального вектора диссипации.

Из (3) и (1) можно получить следующее: ^[2]

$~ R_{ \mu \alpha } h^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi \tau }{c^2} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.$

Уравнение непрерывности для массового 4-тока $~\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}=0$ является калибровочным условием, которое используется для получения уравнения поля (3) из принципа наименьшего действия. Следовательно, свёртка тензора поля диссипации и тензора Риччи должна равняться нулю: $~R_{{\mu \alpha }}h^{{\mu \alpha }}=0$ . В пространстве Минковского тензор Риччи $~R_{{\mu \alpha }}$ равен нулю, ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким:

$~\partial_{\alpha } J^\alpha = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0.$

Использование в ковариантной теории гравитации

Действие и Лагранжиан

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор поля диссипации и содержится в функции действия: ^[1]

$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} -$

$~-{\frac {1}{c}}U_{\mu }J^{\mu }-{\frac {c}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}-{\frac {1}{c}}\pi _{\mu }J^{\mu }-{\frac {c}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}-{\frac {1}{c}}\lambda _{\mu }J^{\mu }-{\frac {c}{16\pi \tau }}h_{{\mu \nu }}h^{{\mu \nu }}){\sqrt {-g}}d\Sigma ,$

где – функция Лагранжа или лагранжиан, – дифференциал времени используемой системы отсчёта, – некоторый коэффициент, – скалярная кривизна, $~\Lambda$ – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, $~ D_\mu$ – гравитационный 4-потенциал, – гравитационная постоянная, $~ \Phi_{ \mu\nu}$ – тензор гравитационного поля, $~ A_\mu$ – электромагнитный 4-потенциал, $~ j^\mu$ – зарядовый 4-ток, $~\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $~ F_{ \mu\nu}$ – тензор электромагнитного поля, $~U_{\mu }$ – 4-потенциал поля ускорений, $~ \eta$ , $~ \sigma$ и $~ \tau$ – коэффициенты поля ускорений, поля давления и поля диссипации, соответственно, $~ u_{ \mu\nu}$ – тензор ускорений, $~ \pi_\mu$ – 4-потенциал поля давления, $~ f_{ \mu\nu}$ – тензор поля давления, $~ \lambda_\mu$ – 4-потенциал поля диссипации, $~ h_{ \mu\nu}$ – тензор поля диссипации, $~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3$ – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты , через произведение дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях, в поле давления и в поле диссипации: ^[3]

$-u_{{\beta \sigma }}\rho _{{0}}u^{\sigma }=\rho _{0}{\frac {dU_{\beta }}{d\tau }}-\rho _{0}u^{\sigma }\partial _{\beta }U_{\sigma }=\Phi _{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma }+F_{{\beta \sigma }}\rho _{{0q}}u^{\sigma }+f_{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma }+h_{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma },$

где первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда $~ \rho_{0q}$ , измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, а последние два члена определяют силу давления и диссипации соответственно.

Варьирование функции действия по 4-потенциалу поля диссипации приводит к уравнению поля диссипации (3).

Тензор энергии-импульса поля диссипации

С помощью тензора поля диссипации в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса поля диссипации:

$~ Q^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \tau }\left( -g^{im} h_{n m} h^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} h_{m r} h^{m r}\right)$ .

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля диссипации задаёт плотность 4-силы диссипации:

$~f^{\alpha }=-\nabla _{\beta }Q^{{\alpha \beta }}={h^{\alpha }}_{{k}}J^{k}.$

Обобщённая скорость и Гамильтониан

Ковариантный 4-вектор обобщённой скорости определяется выражением:

$~s_{{\mu }}=U_{{\mu }}+D_{{\mu }}+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}A_{{\mu }}+\pi _{{\mu }}+\lambda _{{\mu }}.$

С учётом обобщённой скорости Гамильтониан содержит в себе тензор поля диссипации и имеет вид:

$~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} + \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \tau } h_{ \mu\nu} h^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$