In English

Инвариантная энергия

Из проекта Викизнание

Инвариантная энергия произвольной системы есть положительная величина, состоящая из всех видов энергии системы, и равная релятивистской энергии, измеренной неподвижным относительно центра импульсов системы наблюдателем. В состав инвариантной энергии как правило входят энергия покоя вещества; потенциальная энергия собственных электромагнитных и гравитационных полей, связанных с системой; внутренняя энергия частиц системы; энергия системы во внешних полях; энергия излучения, взаимодействующего с системой. Инвариантная энергия частицы равна её энергии покоя и в силу принципа эквивалентности массы и энергии связана с инвариантной массой частицы соотношением:

где – скорость света.

Порядок вычисления инвариантной энергии через различные виды энергии системы определяется принципом суммирования энергий.

Связь с другими физическими переменными

Одна частица

В рамках специальной теории относительности инвариантная энергия частицы может быть вычислена либо через её релятивистскую энергию и импульс $~ \mathbf {p}$ , либо через релятивистскую энергию и скорость :

$~E_0= \sqrt {E^2-p^2 c^2}=E \sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}}$ .

Для фотона справедливо соотношение , так что инвариантная энергия фотона равна нулю.

В четырёхмерном формализме в пространстве Минковского энергия может быть вычислена через 4-импульс $~ p^{\mu}=M u^{\mu}$ частицы:

$~E_0= c \sqrt { \eta_{\mu \nu} p^{\mu} p^{\nu}}= Mc \sqrt {u_{\mu} u^{\mu}}= Mc^2$ ,

где $~\eta_{\mu \nu}$ есть метрический тензор пространства Минковского, $~ u^\mu = \left(\gamma c, \gamma {\mathbf {v}}\right)$ – 4-скорость, $~ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$ – фактор Лоренца.

В результате 4-импульс может быть представлен через инвариантную энергию: ^[1]

$~ p^\mu =\frac { E_0 u^\mu }{c^2} = \left(\frac {\gamma E_0}{c},\gamma M{\mathbf {v}}\right) = \left(\frac {\gamma E_0}{c}, \mathbf {p} \right)$ ,

где $~\mathbf {p}$ – 3-вектор релятивистского импульса.

В искривлённом пространстве-времени с метрическим тензором $~ g_{\mu \nu}$ инвариантная энергия частицы находится так:

$~E_0= c \sqrt { g_{\mu \nu} p^{\mu} p^{\nu}}= Mc \sqrt { g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu}}$ .

Если учесть определение 4-скорости: $~ u^{\mu} = \frac {dx^{\mu} }{d\tau}$ , где $~ dx^{\mu}$ есть 4-вектор сдвига, $~ d\tau$ – дифференциал собственного времени, а также определение интервала: $~ ds = \sqrt { g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} }= c d\tau$ , то снова получается равенство: .

Система частиц

В физике элементарных частиц часто рассматривается взаимодействие нескольких частиц, их слияния и распады с образованием новых частиц. Сохранение суммы 4-импульсов свободных частиц до и после реакции приводит к законам сохранения энергии и импульса рассматриваемой системы частиц. Инвариантная энергия $~E_{0c}$ системы частиц вычисляется как их полная релятивистская энергия в системе отсчёта, в которой центр импульсов системы частиц неподвижен. При этом $~E_{0c}$ может отличаться от суммы инвариантных энергий частиц системы, поскольку вклад в $~E_{0c}$ делают не только энергии покоя частиц, но и кинетические энергии частиц и их потенциальная энергия. ^[2] Если наблюдать частицы до или после взаимодействия на больших расстояниях друг от друга, когда их взаимной потенциальной энергией можно пренебречь, инвариантная энергия системы определяется соотношением:

$~E_{0c}= \sqrt {E_c^2 - p_c^2 c^2}$ ,

где $~E_c =\sum_i E_i$ – сумма релятивистских энергий частиц системы, $~\mathbf {p}_c =\sum_i \mathbf {p}_i$ – векторная сумма импульсов частиц.

Массивное тело

Общая теория относительности

При определении инвариантной энергии массивного тела в общей теории относительности (ОТО) возникает проблема с вкладом энергии гравитационного поля, ^[3] поскольку тензор энергии-импульса гравитационного поля однозначно не определён, а вместо него используется псевдотензор [1]. В случае асимптотически плоского пространства-времени на бесконечности для оценки инвариантной энергии может быть применено приближение АДМ массы-энергии тела, ^[4] смотри также [2]. Для стационарной метрики пространства-времени определяется масса-энергия Комара. ^[5] [3] Существуют и другие подходы к определению массы-энергии, например, энергия Бонди, ^[6] и энергия Хокинга [4].

В приближении слабого поля инвариантная энергия неподвижного тела в ОТО оценивается следующим образом: ^[7]

$~E_{0}= Mc^2=m_b c^2 + E_k - \frac {6G m^2_b}{5a}+ \frac {3 q^2_b}{20 \pi \varepsilon_0 a}+E_p,$

где масса и заряд тела получаются путём интегрирования соответствующей плотности по объёму, – энергия движения частиц внутри тела, – гравитационная постоянная, – радиус тела, $~ \varepsilon_0$ – электрическая постоянная, – упругая энергия.

Для масс получается соотношение:

где инертная масса системы равна гравитационной массе , масса обозначает суммарную массу частиц, из которых составлено тело.

Ковариантная теория гравитации

В ковариантной теории гравитации (КТГ) при вычислении инвариантной энергии учитывается разбиение энергии на 2 основные части – на компоненты энергии самих полей и на компоненты, связанные с энергией частиц в этих полях. Подсчёт показывает, что сумма компонент энергии поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитных полей, для тела сферической формы равна нулю. ^[8]

Остаётся сумма энергий частиц в четырёх полях, которая в итоге равна:

$~E_{{0}}=Mc^{2}\approx m_{b}c^{2}\gamma _{s}-{\frac {3Gm_{b}^{2}}{10a}}+{\frac {3q_{b}^{2}}{40\pi \varepsilon _{0}a}}+m_{b}\wp _{s},$

где $~\gamma _{s}$ есть фактор Лоренца частиц, а $~\wp _{s}$ – скалярный потенциал поля давления вблизи поверхности системы.

Соотношение для масс выглядит следующим образом: $~m'=M<m_{b}=m_{g}.$ При этом инертная масса системы получается равной суммарной массе частиц , масса $~m_{b}$ равна гравитационной массе $~m_{g}$ , а превышение $~m_{b}$ над происходит за счёт того, что частицы внутри тела двигаются и находятся под давлением в гравитационном и электромагнитном полях.

Более точное выражение для инвариантной энергии представлено в следующей статье: ^[9]

$~E_{{0}}=Mc^{2}\approx m_{b}c^{2}\gamma _{s}-{\frac {Gm_{b}^{2}}{2a}}+{\frac {q_{b}^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a}}+m_{b}\wp _{s}.$

Для случая релятивистской однородной системы инвариантную энергию можно выразить так: ^[10] ^[11]

$~E_{{0}}=Mc^{2}\approx m_{b}c^{2}-{\frac {1}{10\gamma _{c}}}\left(7-{\frac {27}{2{\sqrt {14}}}}\right)\left({\frac {Gm_{b}^{2}}{a}}-{\frac {q_{b}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}a}}\right).$

Это приводит к изменению соотношения для масс:

$~m'<M<m<m_{b}=m_{g}.$

Здесь калибровочная масса связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; есть инертная масса системы; вспомогательная масса равняется произведению плотности массы частиц на объём вещества системы; масса $~m_{b}$ есть сумма инвариантных масс (масс покоя) частиц системы, равная по величине гравитационной массе $~m_{g}$ системы.

В лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ), в которую переходит КТГ в приближении слабого поля и при постоянной скорости движения, для инвариантной энергии остаётся справедливой формула:

$~ E_{0}= \sqrt {E^2-p^2 c^2}$ ,

где – релятивистская энергия движущегося тела с учётом вклада энергии гравитационного и электромагнитного поля, а также энергии поля ускорений и поля давления; – суммарный импульс системы в виде тела и его полей.

Указанные формулы остаются в силе и на уровне атомов с тем отличием, что обычная гравитация заменяется на сильную гравитацию .

В ковариантной теории гравитации с учётом принципа наименьшего действия показывается, что гравитационная масса системы увеличивается за счёт вклада массы-энергии гравитационного поля и уменьшается за счёт вклада электромагнитной массы-энергии. Это является следствием того, что в ЛИТГ и в КТГ точно определён тензор энергии-импульса гравитационного поля, являющийся одним из источников для определения метрики, энергии и уравнений движения вещества и поля. Также определены ковариантным способом тензор энергии-импульса поля ускорений, тензор энергии-импульса поля диссипации и тензор энергии-импульса поля давления.

Такие векторные поля, как гравитационное и электромагнитное поля, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, поля сильного и слабого взаимодействий являются компонентами общего поля. Это приводит к тому, что инвариантная энергия системы из частиц и полей может быть вычислена как интеграл по объёму в системе центра импульсов: ^[12]

$~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$

где и обозначают временные компоненты 4-потенциала $~ s_{\mu }$ общего поля и массового 4-тока $~ J^{\mu }$ , соответственно, $~ s_{ \mu\nu}$ – тензор общего поля.

Ссылки

McGlinn, William D. Introduction to relativity. — JHU Press, 2004. — С. 43. — ISBN 0-801-87047-X, Extract of page 43
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
Misner, Charles W.; Kip. S. Thorne & John A. Wheeler (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0.
Arnowitt, Richard; Stanley Deser & Charles W. Misner (1962), "The dynamics of general relativity", in Witten, L., Gravitation: An Introduction to Current Research, Wiley, pp. 227-265.
Komar, Arthur (1959). "Covariant Conservation Laws in General Relativity". Phys. Rev. 113 (3): 934–936. Bibcode 1959PhRv..113..934K. doi:10.1103/PhysRev.113.934.
Bondi H, van de Burg M G J, and Metzner A W K, Proc. R. Soc. London Ser. A 269:21-52 Gravitational waves in General Relativity. VII. Waves from axi-symmetric isolated systems (1962).
Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. – 568 с.
Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8 (No. 1), pp. 1-16, (2015); статья на русском языке: Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.
Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.
Fedosin S.G. The binding energy and the total energy of a macroscopic body in the relativistic uniform model. Middle East Journal of Science, Vol. 5, Issue 1, pp. 46-62 (2019). http://dx.doi.org/10.23884/mejs.2019.5.1.06. // Энергия связи и полная энергия макроскопического тела в релятивистской однородной модели.
Fedosin S.G. The Mass Hierarchy in the Relativistic Uniform System. Bulletin of Pure and Applied Sciences, Vol. 38 D (Physics), No. 2, pp. 73-80 (2019). http://dx.doi.org/10.5958/2320-3218.2019.00012.5. // Иерархия масс в релятивистской однородной системе.
Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, pp. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.

См. также

Внешние ссылки

· Invariant energy

Источник: http://sergf.ru/ie.htm

На список страниц