In English

Принцип суммирования энергий

Из проекта Викизнание

Принцип суммирования энергий произвольной системы задаёт порядок включения различных видов энергии, связанных с системой, в энергетические функции, описывающие состояние системы. Наиболее часто суммирование энергий применяется в теоретической физике, где используется принцип наименьшего действия, вычисляются полные энергии систем и учитывается закон сохранения энергии. Принцип суммирования энергий является с одной стороны методологическим принципом, а с другой стороны – следствием сложности систем, состоящих из вещества в различных состояниях, и имеющихся в данных системах полей. Сложность увеличивается за счёт движения вещества и поля, при переходах вещества из одного фазового состояния в другое, при трансформации энергии полей и вещества друг в друга. Энергетические функции имеют разный смысл в зависимости от их предназначения. Для оценки изменения полной энергии системы необходимо учитывать, что одни компоненты увеличивают энергию, а другие ей уменьшают, что приводит к разным знакам перед компонентами энергии. Если же энергетические функции используются для нахождения уравнений движения, то знаки перед компонентами энергии выбираются из условия соответствия уравнениям движения вещества и поля. В результате для каждой энергетической функции используется свой собственный порядок суммирования энергий.

Оглавление

  • 1 Примеры
    • 1.1 Термодинамические потенциалы
    • 1.2 Функция Лагранжа
    • 1.3 Функция Гамильтона
    • 1.4 Инвариантная энергия
    • 1.5 Релятивистская энергия
    • 1.6 Уравнения для определения метрики

o 1.6.1 Уравнения Эйнштейна-Гильберта

o 1.6.2 Уравнения КТГ

  • 2 Ссылки
  • 3 См. также
  • 4 Внешние ссылки

Примеры

Термодинамические потенциалы

Для вычисления энергетических функций в термодинамике используют такие физические величины, как давление ~P, объём ~V, абсолютная температура ~T, теплоёмкость ~C, масса ~ M, количество вещества ~N. Эти величины достаточно хорошо измеряются, в отличие от энтропии ~S, химического потенциала ~\mu, количества теплоты ~Q, которыми обладает вещество. Внутренняя энергия ~U и её приращение ~dU для многофазного вещества в квазистатическом процессе выражаются формулами:

~U= \int ( T dS - P dV + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A'),

~dU= \delta Q - \delta A + \sum_i \mu_i dN_i  + \delta A',

где  ~ \delta Q= T dS – приращение количества теплоты, ~ \delta A= P dV – работа, выполняемая системой, ~ i– количество фаз вещества, ~ \delta A' – работа, выполняемая над системой.

Кроме внутренней энергии, в термодинамике имеются и другие связанные с ней энергетические функции, например, свободная энергия Гельмгольца:

~ \mathcal F = U - TS.

Соответственно, приращение свободной энергии Гельмгольца равно:

~d \mathcal F = - S dT - \delta A + \sum_i \mu_i dN_i  + \delta A'.

Энтальпия и её приращение имеют вид:

~H=U+PV,  

~dH= \delta Q + V dP + \sum_i \mu_i dN_i  + \delta A'.

Энергия Гиббса и её приращение:

~G=U+PV-TS,  

~dG= -S dT + V dP + \sum_i \mu_i dN_i  + \delta A'.

Большой термодинамический потенциал и его приращение:

~\Omega = U - TS - \sum_i \mu_i N_i,

~d \Omega = - S dT - \delta A - \sum_i N_i d\mu_i  + \delta A'.

Связанная энергия и её приращение:

~E_b = U + PV - \sum_i \mu_i N_i,

~d E_b = \delta Q +V dP - \sum_i N_i d\mu_i  + \delta A'.

Возможны ещё два термодинамических потенциала и их приращения:

~P_1 = U - \sum_i \mu_i N_i,

~d P_1 = \delta Q - \delta A - \sum_i N_i d\mu_i  + \delta A',

~P_2 = U - TS + PV - \sum_i \mu_i N_i,

~d P_2 = - S dT +V dP - \sum_i N_i d\mu_i  + \delta A'.

Порядок сложения компонент энергии оказывается такой, чтобы получался соответствующий термодинамический потенциал, имеющий свой собственный смысл. Так, внутренняя энергия отражает закон сохранения энергии, а изменение свободной энергии Гельмгольца при изотермическом процессе определяется только разностью работы, выполняемой как системой над окружением, так и окружением над системой.

Многие соотношения термодинамики хорошо выполняются не только для газов, но и для жидкостей и вещества в твёрдом состоянии.

Функция Лагранжа

Одним из путей нахождения уравнений движения систем и законов их существования является варьирование функционала действия, то есть варьирование по различным переменным интеграла по времени от функции Лагранжа, с целью определения экстремальных и наиболее вероятных состояний. Функция Лагранжа или лагранжиан ~ \mathcal{L} состоит из ряда компонент энергии, которые в механике входят либо в кинетическую энергию ~ T, либо в потенциальную энергию ~ V. Для нахождения лагранжиана в механике записывают разность кинетической и потенциальной энергий:

\mathcal{L} = T - V.

Обычно предполагается, что лагранжиан зависит только от времени, координат и скоростей, но не от более высоких производных по времени.

Так как каждая механическая система сама является источником поля, то в правую часть равенства в общем случае добавляется член, связанный с энергией этого поля. В специальной теории относительности лагранжиан одной частицы с массой ~ M и зарядом ~ q в электромагнитном поле имеет вид: [1]

~\mathcal{L} = - M c \frac {ds}{dt}-q \frac {A_\mu dx^\mu }{dt}- \frac { c \varepsilon_0}{4} \int {F_{\mu \nu} F^{\mu \nu } \frac {dx^4}{dt}} =

= - M c^2 \sqrt {1-v^2/c^2} -q(\varphi- \mathbf {A \cdot v}) + \frac {\varepsilon_0}{2} \int {(E^2 -c^2 B^2)} dx^3,

 

где ~c – скорость света, ~ds – интервал,  ~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{c},-\mathbf {A}\right) – электромагнитный 4-потенциал с нижним (ковариантным) индексом, ~ dx^\mu – 4-вектор смещения частицы, ~ \varepsilon_0 электрическая постоянная, ~ F_{\mu \nu} – тензор электромагнитного поля, ~ dx^4 =c dtdx^3 =c dtdx{}dy{}dz – элемент 4-объёма, ~ \mathbf {v} – скорость движения частицы, ~ \varphi и ~ \mathbf {A} – скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля соответственно, ~ E и ~B – напряжённость электрического поля и магнитная индукция соответственно.

В данном случае в лагранжиан входят три компоненты с размерностью энергии, связанные с релятивистской энергией частицы, с энергией частицы в электромагнитном поле, и с энергией самого электромагнитного поля. Выражения для компонент энергии и знаки перед ними выбраны таким образом, чтобы в результате варьирования функционала действия получались уравнения движения частицы в поле и уравнения Максвелла для напряжённостей поля.

Аналогично записывается лагранжиан для одной частицы в гравитационном поле в лоренц-инвариантной теории гравитации: [2]

~\mathcal{L} = -Mc_g \frac {ds}{dt}- M \frac {D_\mu dx^\mu }{dt}+ \frac {c_g}{16 \pi G} \int {\Phi_{\mu \nu } \Phi^{\mu \nu } \frac {dx^4}{dt}} =

= - Mc^2_g \sqrt {1-v^2/c^2_g} - M (\psi- \mathbf {D \cdot v}) - \frac {1}{8 \pi G} \int {(\Gamma^2 -c^2_g \Omega^2)} dx^3,

где ~c_g скорость гравитации, близкая по величине к скорости света, ~ D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c_{g}}, -\mathbf{D}\right) гравитационный 4-потенциал с нижним (ковариантным) индексом, ~ G гравитационная постоянная, ~ \Phi_{\mu \nu} тензор гравитационного поля, ~ \psi и ~ \mathbf {D} – скалярный и векторный потенциалы гравитационного поля соответственно, ~ \Gamma и ~\Omega напряжённость гравитационного поля и поле кручения соответственно, а масса ~ M  не только учитывает сумму масс нуклонов вещества, но и вклад от массы-энергии всех полей, взаимодействующих с веществом и изменяющих величину массы частицы.

После варьирования функционала действия получаются уравнения движения частицы в гравитационном поле и максвеллоподобные гравитационные уравнения для гравитационного ускорения и поля кручения. Для того, чтобы лагранжиан можно было использовать в любых системах отсчёта, его следует записать в ковариантном виде. В искривлённом пространстве-времени интервал можно выразить через метрический тензор ~ g_{\mu\nu}:

~ds = \sqrt {g_{\mu\nu}\ dx^{\mu} \ dx^{\nu}},

а вместо элемента 4-объёма ~ dx^4 при интегрировании по 4-объёму следует использовать произведение ~ \sqrt {-g}dx^4, где ~ g есть детерминант метрического тензора.

Функция Гамильтона

В классической механике функция Гамильтона или гамильтониан системы частиц может быть определён через лагранжиан: ~H= \sum_i \vec p_i \cdot \dot \vec q_i - \mathcal{L},

где ~\vec p_i — обобщённый импульс i-ой частицы, а ~\dot \vec q_i — её обобщённая скорость.

Для консервативных систем, в которых сохраняется энергия, функция Гамильтона как функция от обобщённых координат и импульсов оказывается равной полной энергии ~ E системы и имеет следующий вид:

~ H=E = T + V.

В этом случае видно, что различие между функциями Лагранжа и Гамильтона заключено в разных знаках перед потенциальной энергией ~ V системы.

Инвариантная энергия

Инвариантная энергия ~E_0 тела определяется как релятивистская энергия, измеренная неподвижным относительно центра инерции тела наблюдателем. Стандартный подход предполагает суммирование всех видов энергии тела:

~E_0= E_m + E_p + E_T + U +W+ E_L,

где ~E_m – энергия покоя отдельных частиц вещества, ~E_p – энергия давления (сжатия) вещества, понимаемая как потенциальная энергия межатомных взаимодействий, ~E_T – тепловая энергия, дающая в сумме с ~E_p внутреннюю энергию, ~ U – полная гравитационная энергия тела, включающая энергию собственного поля в веществе тела и за его пределами, и гравитационную энергию в поле от внешних источников, ~ W – полная электромагнитная энергия тела, ~ E_L – энергия излучения, взаимодействующего с веществом тела.

В общей теории относительности это приводит к тому, что нагретое тело должно увеличивать свою массу, а масса гравитационно-связанного тела должна быть меньше, чем суммарная масса частиц вещества, из которого образуется данное тело.

Существует альтернативная точка зрения, согласно которой компоненты энергии входят в равенство для инвариантной энергии с отрицательными знаками: [3] [4] [5] [6]  [7]

~E_0= E_m - E_p - E_T - U -W- E_L.

Как следствие, нагретые тела должны иметь меньшую массу, чем холодные, а масса звезды должна быть больше массы рассеянного вещества, из которого она образовалась в ходе гравитационного коллапса.

Третий подход связан с переосмыслением сущности и порядка суммирования энергий в ковариантной теории гравитации (КТГ). Способ вычисления инвариантной энергии существенно зависит от того, каким образом учитывается в гамильтониане скалярная кривизна и космологическая постоянная. В частности, космологическая постоянная может калиброваться таким образом, чтобы исключить скалярную кривизну и тем самым найти однозначное выражение для гамильтониана. [8] Другое нововведение заключается в том, что вместо стандартного тензора энергии-импульса вещества с учётом скалярного давления в рассмотрение вводятся два новых векторных поля – поле ускорений и поле давления, с соответствующими тензорами энергии-импульса. Если добавить сюда электромагнитное и гравитационное поля, получаются 4 поля, симметрично входящие в лагранжиан и в гамильтониан. При вычислении инвариантной энергии для сферического тела в равновесии оказывается, что компоненты энергии всех четырёх полей взаимно сокращаются. Поэтому вклад в инвариантную энергию системы делают лишь потенциальные энергии частиц, находящихся под действием полей. [9] Эти энергии также частично сокращаются, и для инвариантной энергии можно записать:

~E_{0}= Mc^2=m_b c^2 - \frac {3G m^2_b}{10a}+ \frac {3 q^2_b}{40 \pi \varepsilon_0 a}.

Соотношение для масс выглядит следующим образом: ~m' = M < m_ b = m_g,

где масса ~ m_b  и заряд  ~ q_b вычисляются интегрированием соответствующей плотности по объёму тела радиуса ~ a.

В КТГ масса системы ~ M равна суммарной массе частиц ~ m', масса  ~ m_b  равна гравитационной массе  ~ m_g, а превышение ~ m_b  над ~ M происходит за счёт того, что частицы внутри тела двигаются и находятся под давлением в гравитационном и электромагнитном полях.

Релятивистская энергия

В отличие от инвариантной энергии, релятивистская энергия в общем случае содержит дополнительные компоненты энергии, связанные с движением системы как целого. В результате в формулах для энергии может быть определена зависимость от скорости, например от скорости движения центра инерции системы ~v. Если в пространстве Минковского известна инвариантная энергия ~E_0, то релятивистская энергия в произвольной инерциальной системе отчёта находится с помощью преобразования Лоренца по формуле:

~E= \frac {E_0} {\sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}} }.

Уравнения для определения метрики

Уравнения Эйнштейна-Гильберта

Уравнения Эйнштейна-Гильберта в общей теории относительности (ОТО) предназначены для поиска метрики в искривлённом пространстве-времени и записываются в тензорном виде:

R_{\mu\nu } - {R \over 2}  g_{\mu\nu } + \Lambda g_{\mu\nu } = {8 \pi \beta G\over c^4} T_{\mu\nu },

где ~R_{\mu\nu } — тензор Риччи, ~R — скалярная кривизна, ~\Lambda — космологическая постоянная, а ~T_{\mu\nu } представляет собой тензор энергии-импульса с размерностью объёмной плотности энергии, ~G — гравитационная постоянная Ньютона.

В ОТО ~\beta=1 и в состав тензора ~T_{\mu\nu } как правило входят тензор энергии-импульса вещества ~ \phi_{\mu\nu } и тензор энергии-импульса электромагнитного поля ~ W_{\mu\nu }:

~ T_{\mu\nu} = \phi_{\mu\nu }+ W_{\mu\nu }.

Отсутствие тензора энергии-импульса гравитационного поля как источника, влияющего на метрику, связано в ОТО с тем, что гравитационное поле отождествляется с геометрическим полем в виде метрического поля, причём это поле не порождает само себя (отсутствие самодействия метрического поля).

Уравнения КТГ

В ковариантной теории гравитации (КТГ) уравнения для метрики имеют следующий вид: [8]

R_{\mu\nu } - {R \over 4}  g_{\mu\nu } = {8 \pi \beta G\over c^4} T_{\mu\nu },

где коэффициент ~\beta  находится из уравнений движения частиц и волн в каждой заданной форме метрики, а тензор ~T_{\mu\nu }  является суммой четырёх тензоров:

~ T_{\mu\nu} = B_{\mu\nu }+ W_{\mu\nu } + U_{\mu\nu } + P_{\mu\nu },

 

где  ~ U_{\mu\nu }  – тензор энергии-импульса гравитационного поля, ~ B_{\mu\nu } – тензор энергии-импульса поля ускорений, и  ~ P_{\mu\nu } – тензор энергии-импульса поля давления.

Это означает, что в КТГ гравитационное поле является физическим полем и наряду с электромагнитным полем, с полем ускорений и полем давления, является источником, формирующим метрику пространства-времени.

В случае непрерывно распределённого вещества для космологической постоянной получается равенство:

~ \Lambda = {16 \pi \beta G\over c^4} (D_\kappa J^\kappa + A_\kappa j^\kappa + u_\kappa J^\kappa + \pi_\kappa J^\kappa ),

где ~ J^\kappa  и  ~ j ^\kappa являются массовым и электромагнитным 4-током, соответственно, ~ u_\kappa  и  ~ \pi_\kappa  – 4-потенциалы поля ускорений и поля давления.

Ковариантная производная левой части уравнения для метрики в силу калибровки космологической постоянной и скалярной кривизны даёт нуль. Это позволяет записать уравнение движения вещества как равенство нулю ковариантной производной от суммы тензоров в правой части, взятых с контравариантными индексами:

~ \nabla_\nu ( B^{\mu\nu }+ W^{\mu\nu } + U^{\mu\nu } + P^{\mu\nu }  )=0.

 

Общее поле

В концепции общего поля предполагается, что компонентами этого поля являются все векторные поля, связанные с веществом. 4-потенциал общего поля   ~ s_\mu  равен сумме 4-потенциалов частных полей. [10] В результате сумма членов в объёмной плотности лагранжиана, ответственных за энергию вещества в различных полях, с точностью до знака равна просто произведению  ~ s_\mu J^\mu. Что касается энергии самих частных полей, то эти энергии включаются в лагранжиан через тензор общего поля  ~ s_{\mu \nu}, получаемый как 4-ротор от 4-потенциала общего поля. Для лагранжиана получается соотношение:

~\mathcal{L} =\int (kcR-2kc \Lambda -  s_\mu J^\mu - \frac {c^2}{16 \pi \varpi} s_{\mu\nu}s^{\mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3,

где ~k  и  ~ \varpi  – постоянные, подлежащие определению, ~ \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3  – инвариантный 3-объём, выражаемый через произведение  ~ dx^1 dx^2 dx^3  дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~\sqrt {-g}  из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Релятивистская энергия системы равна:

~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},

где ~ s_0  и  ~ J^0  обозначают временные компоненты 4-векторов  ~ s_{\mu }  и  ~ J^{\mu }.

Особенностью выражения для энергии является то, что в нём энергия общего поля в тензорном произведении  ~  s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu}  включает в себя не только энергии частных полей, но и перекрёстные члены в виде суммы произведений напряжённостей частных полей в различных сочетаниях. Можно сказать, что энергия частиц в частных полях входит в энергию системы линейно, а энергия самих полей – приблизительно квадратичным образом.

 

Ссылки

1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

2. Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.

3. Федосин С.Г. Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела. 12 июня 2011; Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body. vixra.org, 13 Jun 2011.

4. Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body in the Light of Gravitomagnetic Theory. Canadian Journal of Physics, 2014, Vol. 92, No. 10, P. 1074 – 1081. http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2013-0683 ; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела в свете теории гравитомагнетизма.

5. Fedosin S.G. The Principle of Proportionality of Mass and Energy: New Version. Caspian Journal of Applied Sciences Research, 2012, Vol. 1, No. 13, P. 1 – 15 ; статья на русском языке: Принцип пропорциональности массы и энергии: новая версия.

6. Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, 2012, Vol. 35, No. 1, P. 35 – 70; статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.

7. Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, 2012, Vol. 5, No. 4, P. 55 – 75. http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.

8. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

9. Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8 (No. 1), pp. 1-16 (2015); статья на русском языке:  Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.

10. Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, P. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.

См. также

Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/pse.htm

На список страниц