In English

Принцип суммирования энергий

Из проекта Викизнание

Принцип суммирования энергий произвольной системы задаёт порядок включения различных видов энергии, связанных с системой, в энергетические функции, описывающие состояние системы. Наиболее часто суммирование энергий применяется в теоретической физике, где используется принцип наименьшего действия, вычисляются полные энергии систем и учитывается закон сохранения энергии. Принцип суммирования энергий является с одной стороны методологическим принципом, а с другой стороны – следствием сложности систем, состоящих из вещества в различных состояниях, и имеющихся в данных системах полей. Сложность увеличивается за счёт движения вещества и поля, при переходах вещества из одного фазового состояния в другое, при трансформации энергии полей и вещества друг в друга. Энергетические функции имеют разный смысл в зависимости от их предназначения. Для оценки изменения полной энергии системы необходимо учитывать, что одни компоненты увеличивают энергию, а другие ей уменьшают, что приводит к разным знакам перед компонентами энергии. Если же энергетические функции используются для нахождения уравнений движения, то знаки перед компонентами энергии выбираются из условия соответствия уравнениям движения вещества и поля. В результате для каждой энергетической функции используется свой собственный порядок суммирования энергий.

Примеры

Термодинамические потенциалы

Для вычисления энергетических функций в термодинамике используют такие физические величины, как давление , объём , абсолютная температура , теплоёмкость , масса , количество вещества . Эти величины достаточно хорошо измеряются, в отличие от энтропии , химического потенциала $~\mu$ , количества теплоты , которыми обладает вещество. Внутренняя энергия и её приращение для многофазного вещества в квазистатическом процессе выражаются формулами:

$~U= \int ( T dS - P dV + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A')$ ,

$~dU= \delta Q - \delta A + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A'$ ,

где $~ \delta Q= T dS$ – приращение количества теплоты, $~ \delta A= P dV$ – работа, выполняемая системой, – количество фаз вещества, $~ \delta A'$ – работа, выполняемая над системой.

Кроме внутренней энергии, в термодинамике имеются и другие связанные с ней энергетические функции, например, свободная энергия Гельмгольца:

$~ \mathcal F = U - TS$ .

Соответственно, приращение свободной энергии Гельмгольца равно:

$~d \mathcal F = - S dT - \delta A + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A'$ .

Энтальпия и её приращение имеют вид:

$~dH= \delta Q + V dP + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A'$ .

Энергия Гиббса и её приращение:

$~dG= -S dT + V dP + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A'$ .

Большой термодинамический потенциал и его приращение:

$~\Omega = U - TS - \sum_i \mu_i N_i$ ,

$~d \Omega = - S dT - \delta A - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A'$ .

Связанная энергия и её приращение:

$~E_b = U + PV - \sum_i \mu_i N_i$ ,

$~d E_b = \delta Q +V dP - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A'$ .

Возможны ещё два термодинамических потенциала и их приращения:

$~P_1 = U - \sum_i \mu_i N_i$ ,

$~d P_1 = \delta Q - \delta A - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A'$ ,

$~P_2 = U - TS + PV - \sum_i \mu_i N_i$ ,

$~d P_2 = - S dT +V dP - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A'$ .

Порядок сложения компонент энергии оказывается такой, чтобы получался соответствующий термодинамический потенциал, имеющий свой собственный смысл. Так, внутренняя энергия отражает закон сохранения энергии, а изменение свободной энергии Гельмгольца при изотермическом процессе определяется только разностью работы, выполняемой как системой над окружением, так и окружением над системой.

Многие соотношения термодинамики хорошо выполняются не только для газов, но и для жидкостей и вещества в твёрдом состоянии.

Функция Лагранжа

Одним из путей нахождения уравнений движения систем и законов их существования является варьирование функционала действия, то есть варьирование по различным переменным интеграла по времени от функции Лагранжа, с целью определения экстремальных и наиболее вероятных состояний. Функция Лагранжа или лагранжиан $~ \mathcal{L}$ состоит из ряда компонент энергии, которые в механике входят либо в кинетическую энергию , либо в потенциальную энергию . Для нахождения лагранжиана в механике записывают разность кинетической и потенциальной энергий:

$\mathcal{L} = T - V$ .

Обычно предполагается, что лагранжиан зависит только от времени, координат и скоростей, но не от более высоких производных по времени.

Так как каждая механическая система сама является источником поля, то в правую часть равенства в общем случае добавляется член, связанный с энергией этого поля. В специальной теории относительности лагранжиан одной частицы с массой и зарядом в электромагнитном поле имеет вид: ^[1]

$~\mathcal{L} = - M c \frac {ds}{dt}-q \frac {A_\mu dx^\mu }{dt}- \frac { c \varepsilon_0}{4} \int {F_{\mu \nu} F^{\mu \nu } \frac {dx^4}{dt}} =$

$= - M c^2 \sqrt {1-v^2/c^2} -q(\varphi- \mathbf {A \cdot v}) + \frac {\varepsilon_0}{2} \int {(E^2 -c^2 B^2)} dx^3$ ,

где – скорость света, – интервал, $~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{c},-\mathbf {A}\right)$ – электромагнитный 4-потенциал с нижним (ковариантным) индексом, $~ dx^\mu$ – 4-вектор смещения частицы, $~ \varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $~ F_{\mu \nu}$ – тензор электромагнитного поля, $~ dx^4 =c dtdx^3 =c dtdx{}dy{}dz$ – элемент 4-объёма, $~ \mathbf {v}$ – скорость движения частицы, $~ \varphi$ и $~ \mathbf {A}$ – скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля соответственно, и – напряжённость электрического поля и магнитная индукция соответственно.

В данном случае в лагранжиан входят три компоненты с размерностью энергии, связанные с релятивистской энергией частицы, с энергией частицы в электромагнитном поле, и с энергией самого электромагнитного поля. Выражения для компонент энергии и знаки перед ними выбраны таким образом, чтобы в результате варьирования функционала действия получались уравнения движения частицы в поле и уравнения Максвелла для напряжённостей поля.

Аналогично записывается лагранжиан для одной частицы в гравитационном поле в лоренц-инвариантной теории гравитации: ^[2]

$~\mathcal{L} = -Mc_g \frac {ds}{dt}- M \frac {D_\mu dx^\mu }{dt}+ \frac {c_g}{16 \pi G} \int {\Phi_{\mu \nu } \Phi^{\mu \nu } \frac {dx^4}{dt}} =$

$= - Mc^2_g \sqrt {1-v^2/c^2_g} - M (\psi- \mathbf {D \cdot v}) - \frac {1}{8 \pi G} \int {(\Gamma^2 -c^2_g \Omega^2)} dx^3$ ,

где – скорость гравитации, близкая по величине к скорости света, $~ D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c_{g}}, -\mathbf{D}\right)$ – гравитационный 4-потенциал с нижним (ковариантным) индексом, – гравитационная постоянная, $~ \Phi_{\mu \nu}$ – тензор гравитационного поля, $~ \psi$ и $~ \mathbf {D}$ – скалярный и векторный потенциалы гравитационного поля соответственно, $~ \Gamma$ и $~\Omega$ – напряжённость гравитационного поля и поле кручения соответственно, а масса не только учитывает сумму масс нуклонов вещества, но и вклад от массы-энергии всех полей, взаимодействующих с веществом и изменяющих величину массы частицы.

После варьирования функционала действия получаются уравнения движения частицы в гравитационном поле и максвеллоподобные гравитационные уравнения для гравитационного ускорения и поля кручения. Для того, чтобы лагранжиан можно было использовать в любых системах отсчёта, его следует записать в ковариантном виде. В искривлённом пространстве-времени интервал можно выразить через метрический тензор $~ g_{\mu\nu}$ :

$~ds = \sqrt {g_{\mu\nu}\ dx^{\mu} \ dx^{\nu}},$

а вместо элемента 4-объёма при интегрировании по 4-объёму следует использовать произведение $~ \sqrt {-g}dx^4$ , где есть детерминант метрического тензора.

Функция Гамильтона

В классической механике функция Гамильтона или гамильтониан системы частиц может быть определён через лагранжиан: $~H= \sum_i \vec p_i \cdot \dot \vec q_i - \mathcal{L}$ ,

где $~\vec p_i$ — обобщённый импульс i-ой частицы, а $~\dot \vec q_i$ — её обобщённая скорость.

Для консервативных систем, в которых сохраняется энергия, функция Гамильтона как функция от обобщённых координат и импульсов оказывается равной полной энергии системы и имеет следующий вид:

В этом случае видно, что различие между функциями Лагранжа и Гамильтона заключено в разных знаках перед потенциальной энергией системы.

Инвариантная энергия

Инвариантная энергия тела определяется как релятивистская энергия, измеренная неподвижным относительно центра инерции тела наблюдателем. Стандартный подход предполагает суммирование всех видов энергии тела:

где – энергия покоя отдельных частиц вещества, – энергия давления (сжатия) вещества, понимаемая как потенциальная энергия межатомных взаимодействий, – тепловая энергия, дающая в сумме с внутреннюю энергию, – полная гравитационная энергия тела, включающая энергию собственного поля в веществе тела и за его пределами, и гравитационную энергию в поле от внешних источников, – полная электромагнитная энергия тела, – энергия излучения, взаимодействующего с веществом тела.

В общей теории относительности это приводит к тому, что нагретое тело должно увеличивать свою массу, а масса гравитационно-связанного тела должна быть меньше, чем суммарная масса частиц вещества, из которого образуется данное тело.

Существует альтернативная точка зрения, согласно которой компоненты энергии входят в равенство для инвариантной энергии с отрицательными знаками: ^[3] ^[4] ^[5] ^{[6] [7]}

Как следствие, нагретые тела должны иметь меньшую массу, чем холодные, а масса звезды должна быть больше массы рассеянного вещества, из которого она образовалась в ходе гравитационного коллапса.

Третий подход связан с переосмыслением сущности и порядка суммирования энергий в ковариантной теории гравитации (КТГ). Способ вычисления инвариантной энергии существенно зависит от того, каким образом учитывается в гамильтониане скалярная кривизна и космологическая постоянная. В частности, космологическая постоянная может калиброваться таким образом, чтобы исключить скалярную кривизну и тем самым найти однозначное выражение для гамильтониана. ^[8] Другое нововведение заключается в том, что вместо стандартного тензора энергии-импульса вещества с учётом скалярного давления в рассмотрение вводятся два новых векторных поля – поле ускорений и поле давления, с соответствующими тензорами энергии-импульса. Если добавить сюда электромагнитное и гравитационное поля, получаются 4 поля, симметрично входящие в лагранжиан и в гамильтониан. При вычислении инвариантной энергии для сферического тела в равновесии оказывается, что компоненты энергии всех четырёх полей взаимно сокращаются. Поэтому вклад в инвариантную энергию системы делают лишь потенциальные энергии частиц, находящихся под действием полей. ^[9] Эти энергии также частично сокращаются, и для инвариантной энергии можно записать:

$~E_{0}= Mc^2=m_b c^2 - \frac {3G m^2_b}{10a}+ \frac {3 q^2_b}{40 \pi \varepsilon_0 a}.$

Соотношение для масс выглядит следующим образом:

где масса $~m_{b}$ и заряд $~q_{b}$ вычисляются интегрированием соответствующей плотности по объёму тела радиуса , масса системы равна суммарной массе частиц , масса $~m_{b}$ равна гравитационной массе $~m_{g}$ , а превышение $~m_{b}$ над происходит за счёт того, что частицы внутри тела двигаются и находятся под давлением в гравитационном и электромагнитном полях.

Более точный результат находится в статьях, ^[10] ^[11] где для энергии и масс получается следующее:

$~E_{{0}}=Mc^{2}\approx m_{b}c^{2}-{\frac {1}{10\gamma _{c}}}\left(7-{\frac {27}{2{\sqrt {14}}}}\right)\left({\frac {Gm_{b}^{2}}{a}}-{\frac {q_{b}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}a}}\right).$

$~m'<M<m<m_{b}=m_{g}.$

Здесь калибровочная масса связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; есть инертная масса системы; вспомогательная масса равняется произведению плотности массы частиц на объём вещества системы; масса $~m_{b}$ есть сумма инвариантных масс (масс покоя) частиц системы, равная по величине гравитационной массе $~m_{g}$ системы.

Релятивистская энергия

В отличие от инвариантной энергии, релятивистская энергия в общем случае содержит дополнительные компоненты энергии, связанные с движением системы как целого. В результате в формулах для энергии может быть определена зависимость от скорости, например от скорости движения центра инерции системы . Если в пространстве Минковского известна инвариантная энергия , то релятивистская энергия в произвольной инерциальной системе отчёта находится с помощью преобразования Лоренца по формуле:

$~E= \frac {E_0} {\sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}} }$ .

Уравнения для определения метрики

Уравнения Эйнштейна-Гильберта

Уравнения Эйнштейна-Гильберта в общей теории относительности (ОТО) предназначены для поиска метрики в искривлённом пространстве-времени и записываются в тензорном виде:

$R_{\mu\nu } - {R \over 2} g_{\mu\nu } + \Lambda g_{\mu\nu } = {8 \pi \beta G\over c^4} T_{\mu\nu }$ ,

где $~R_{\mu\nu }$ — тензор Риччи, — скалярная кривизна, $~\Lambda$ — космологическая постоянная, а $~T_{\mu\nu }$ представляет собой тензор энергии-импульса с размерностью объёмной плотности энергии, — гравитационная постоянная Ньютона.

В ОТО $~\beta=1$ и в состав тензора $~T_{\mu\nu }$ как правило входят тензор энергии-импульса вещества $~ \phi_{\mu\nu }$ и тензор энергии-импульса электромагнитного поля $~ W_{\mu\nu }$ :

$~ T_{\mu\nu} = \phi_{\mu\nu }+ W_{\mu\nu }$ .

Отсутствие тензора энергии-импульса гравитационного поля как источника, влияющего на метрику, связано в ОТО с тем, что гравитационное поле отождествляется с геометрическим полем в виде метрического поля, причём это поле не порождает само себя (отсутствие самодействия метрического поля).

Уравнения КТГ

В ковариантной теории гравитации (КТГ) уравнения для метрики имеют следующий вид: ^[8]

$R_{\mu\nu } - {R \over 4} g_{\mu\nu } = {8 \pi \beta G\over c^4} T_{\mu\nu }$ ,

где коэффициент $~\beta$ находится из уравнений движения частиц и волн в каждой заданной форме метрики, а тензор $~T_{\mu\nu }$ является суммой четырёх тензоров:

$~ T_{\mu\nu} = B_{\mu\nu }+ W_{\mu\nu } + U_{\mu\nu } + P_{\mu\nu },$

где $~ U_{\mu\nu }$ – тензор энергии-импульса гравитационного поля, $~ B_{\mu\nu }$ – тензор энергии-импульса поля ускорений, и $~ P_{\mu\nu }$ – тензор энергии-импульса поля давления.

Это означает, что в КТГ гравитационное поле является физическим полем и наряду с электромагнитным полем, с полем ускорений и полем давления, является источником, формирующим метрику пространства-времени.

В случае непрерывно распределённого вещества для космологической постоянной получается равенство:

$~\Lambda ={16\pi \beta G \over c^{4}}(D_{\kappa }J^{\kappa }+A_{\kappa }j^{\kappa }+U_{\kappa }J^{\kappa }+\pi _{\kappa }J^{\kappa }),$

где $~ J^\kappa$ и $~ j ^\kappa$ являются массовым и электромагнитным 4-током, соответственно, $~U_{\kappa }$ и $~ \pi_\kappa$ – 4-потенциалы поля ускорений и поля давления.

Ковариантная производная левой части уравнения для метрики в силу калибровки космологической постоянной и скалярной кривизны даёт нуль. Это позволяет записать уравнение движения вещества как равенство нулю ковариантной производной от суммы тензоров в правой части, взятых с контравариантными индексами:

$~ \nabla_\nu ( B^{\mu\nu }+ W^{\mu\nu } + U^{\mu\nu } + P^{\mu\nu } )=0$ .

Общее поле

В концепции общего поля предполагается, что компонентами этого поля являются все векторные поля, связанные с веществом. 4-потенциал общего поля $~ s_\mu$ равен сумме 4-потенциалов частных полей. ^[12] В результате сумма членов в объёмной плотности лагранжиана, ответственных за энергию вещества в различных полях, с точностью до знака равна просто произведению $~ s_\mu J^\mu$ . Что касается энергии самих частных полей, то эти энергии включаются в лагранжиан через тензор общего поля $~ s_{\mu \nu}$ , получаемый как 4-ротор от 4-потенциала общего поля. Для лагранжиана получается соотношение:

$~\mathcal{L} =\int (kcR-2kc \Lambda - s_\mu J^\mu - \frac {c^2}{16 \pi \varpi} s_{\mu\nu}s^{\mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3,$

где и $~ \varpi$ – постоянные, подлежащие определению, $~ \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3$ – инвариантный 3-объём, выражаемый через произведение дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Релятивистская энергия системы равна:

$~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$

где и обозначают временные компоненты 4-векторов $~ s_{\mu }$ и $~ J^{\mu }$ .

Особенностью выражения для энергии является то, что в нём энергия общего поля в тензорном произведении $~ s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu}$ включает в себя не только энергии частных полей, но и перекрёстные члены в виде суммы произведений напряжённостей частных полей в различных сочетаниях. Можно сказать, что энергия частиц в частных полях входит в энергию системы линейно, а энергия самих полей – приблизительно квадратичным образом.

Ссылки

1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

2. Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.

3. Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body. Preprints 2017, 2017040150. http://dx.doi.org/10.20944/preprints201704.0150.v1; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела.

4. Fedosin S.G. Energy, Momentum, Mass and Velocity of a Moving Body in the Light of Gravitomagnetic Theory. Canadian Journal of Physics, Vol. 92, No. 10, pp. 1074-1081 (2014). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2013-0683; статья на русском языке: Энергия, импульс, масса и скорость движущегося тела в свете теории гравитомагнетизма.

5. Fedosin S.G. The Principle of Proportionality of Mass and Energy: New Version. Caspian Journal of Applied Sciences Research, Vol. 1, No. 13, pp. 1-15 (2012). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.890753; статья на русском языке: Принцип пропорциональности массы и энергии: новая версия.