In English

 

Теорема энергии поля

 

Материал из Викизнание

Теорема энергии поля, называемая также интегральная теорема энергии поля или теорема Федосина, задаёт в ковариантном четырёхмерном виде в искривлённом пространстве-времени связь между компонентами энергии любого векторного поля, имеющего соответствующий 4-потенциал и тензор данного поля. Согласно данной теореме, интегральный тензорный инвариант энергии поля в произвольном объёме системы может быть определён через энергию частиц в 4-потенциале поля в данном объёме, через производную по времени от интеграла по объёму от произведения 4-потенциала и тензора поля, и через интеграл по поверхности данного объёма от произведения 4-потенциала и тензора поля.

Для электромагнитного (гравитационного) поля с помощью теоремы становится возможным ввести понятия кинетической и потенциальной энергий поля и связать их друг с другом в случае стационарной системы простым численным коэффициентом. В отличие от теоремы вириала, где кинетическая энергия частиц системы по абсолютной величине в два раза меньше потенциальной энергии системы, согласно теореме энергии поля кинетическая энергия электромагнитного (гравитационного) поля по абсолютной величине в два раза превышает всю потенциальную энергию поля. Это позволяет объяснить, почему электростатическая энергия системы заряженных частиц может быть найдена двумя на первый взгляд никак не связанными между собой путями – либо с использованием скалярного потенциала поля, либо с помощью интеграла по всему объёму от тензорного инварианта, являющегося частью тензора энергии-импульса электромагнитного поля.

Теорема энергии поля была доказана Федосиным в 2018 г. и опубликована в 2019 г. [1] Теорема может быть применена к таким векторным полям, как поле ускорений, поле давления, гравитационное поле, электромагнитное поле, поле диссипации, общее поле. и т.д. Как правило, в реальных системах одновременно присутствует сразу несколько полей. В предположении, что действует условие суперпозиции полей и независимость полей друг от друга, теорема может применяться к каждому векторному полю по отдельности. Проверка теоремы для идеальной релятивистской однородной системы, содержащей не вращающиеся и хаотически движущиеся частицы, показывает полное совпадение во всех значащих членах для каждого поля.

Содержание

Электромагнитное поле

Интегральная теорема поля имеет следующий вид:

~-\int {(2\mu _{0}A_{\alpha }j^{\alpha }+F_{{\alpha \beta }}F^{{\alpha \beta }}){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}={\frac {2}{c}}{\frac {d}{dt}}\left(\int {A^{\alpha }F_{\alpha }^{{\ 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}\right)+2\iint \limits _{S}{A^{\alpha }F_{\alpha }^{{\ k}}n_{k}{\sqrt {-g}}dS},\qquad (1)

где  ~\mu _{0}  есть магнитная постоянная; ~A_{\alpha } – электромагнитный 4-потенциал; ~j^{\alpha } – электромагнитный 4-ток; ~F_{{\alpha \beta }} – тензор электромагнитного поля; ~{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3} – элемент инвариантного объёма, выражаемый через произведение ~dx^{1}dx^{2}dx^{3}дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~{\sqrt {-g}} из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком; ~c – скорость света; последний интеграл в правой части есть поверхностный интеграл второго рода по двумерной поверхности ~S, окружающей рассматриваемый объём; ~n_{k}  – трёхмерный вектор нормали к поверхности ~S, направленный наружу.

Равенство (1) существенно упрощается в том случае, когда электромагнитное поле рассматривается не просто в ограниченном объёме, а сразу во всём бесконечном объёме, выходящем за пределы замкнутой физической системы. Тогда последний интеграл в правой части (1) обнуляется несмотря на бесконечную величину окружающей поверхности ~S, так как вдали от зарядов системы, на бесконечности, равны нулю и 4-потенциал ~A^{\alpha }, и тензор поля ~F_{\alpha }^{{\ k}}.

Как правило, в электростатике, а также в релятивистской однородной системе, произведение  ~A^{\alpha }F_{\alpha }^{{\ 0}} равно нулю, так что обнуляется и первый интеграл в правой части (1). В этом случае в (1) остаётся следующее:

~\int {(2\mu _{0}A_{\alpha }j^{\alpha }+F_{{\alpha \beta }}F^{{\alpha \beta }}){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}=0.\qquad (2)

Если обозначить

~E_{{kf}}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},

~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int {F_{{\alpha \beta }}F^{{\alpha \beta }}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},

то (2) переписывается так:

~E_{{kf}}+2W_{f}=0.\qquad (3)

Здесь энергию  ~E_{{kf}}  можно считать кинетической энергией поля, связанной с 4-током ~j^{\alpha }. При этом энергию ~W_{f}  следует рассматривать как потенциальную энергию поля, находимую через компоненты электромагнитного тензора, то есть через напряжённость электрического поля и индукцию магнитного поля.

Можно заметить, что (3) с точностью до численного коэффициента напоминает теорему вириала в виде

~E_{k}+{\frac {1}{2}}W\approx 0,

где ~E_{k} есть кинетическая энергия частиц системы, ~W обозначает потенциальную энергию системы.

В теории векторных полей вклад зарядов и электромагнитного поля в релятивистскую энергию физической системы задаётся выражением: [2]

~E_{{el}}={\frac {1}{c}}\int {\rho _{{0q}}\varphi u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}+{\frac {1}{4\mu _{0}}}\int {F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},

где ~\rho _{{0q}}  есть плотность заряда элемента вещества в сопутствующей ему системе отсчёта, ~\varphi  – скалярный потенциал в месте нахождения элемента заряженного вещества, ~u^{0} – временная компонента 4-скорости элемента вещества.

Пусть для физической системы выполняется соотношение (2), причём глобальный векторный потенциал электромагнитного поля везде в веществе равен нулю либо таков, что не делает вклада в энергию  ~E_{{kf}}. Тогда с учётом (3) будет:

~E_{{el}}=E_{{kf}}+W_{f}=-W_{f}={\frac {1}{2}}E_{{kf}}.\qquad (4)

В данном случае видно, что суммарная электромагнитная энергия частиц и поля может быть найдена двумя различными путями – либо через энергию ~W_{f}, либо через энергию ~E_{{kf}} . В электростатике энергия ~W_{f}  выражается через напряжённость электрического поля и определяется временной компонентой тензора энергии-импульса электромагнитного поля, а энергия ~E_{{kf}}  зависит лишь от распределения скалярного потенциала поля и 4-тока.

Гравитационное поле

Интегральная теорема для гравитационного поля записывается так:

~-\int {\left(-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}D_{\alpha }J^{\alpha }+\Phi _{{\alpha \beta }}\Phi ^{{\alpha \beta }}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}={\frac {2}{c}}{\frac {d}{dt}}\left(\int {D^{\alpha }\Phi _{\alpha }^{{\ 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}\right)+2\iint \limits _{S}{D^{\alpha }\Phi _{\alpha }^{{\ k}}n_{k}{\sqrt {-g}}dS},

где ~G  есть гравитационная постоянная; ~D_{\alpha } – гравитационный 4-потенциал; ~J^{\alpha } – массовый 4-ток; ~\Phi _{{\alpha \beta }}  – тензор гравитационного поля.

Все выводы, сделанные в отношении электромагнитного поля, остаются в силе и для гравитационного поля. Например, в системе с неподвижными массами и в релятивистской однородной системе будет справедливо соотношение:

~\int {\left(-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}D_{\alpha }J^{\alpha }+\Phi _{{\alpha \beta }}\Phi ^{{\alpha \beta }}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}=0.

Выражения для кинетической и потенциальной энергии гравитационного поля:

~E_{{kf}}=\int {D_{\alpha }J^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}.

~W_{f}=-{\frac {c^{2}}{16\pi G}}\int {F_{{\alpha \beta }}F^{{\alpha \beta }}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}.

Вклад частиц и гравитационного поля в энергию физической системы имеет вид:

~E_{{gr}}={\frac {1}{c}}\int {\rho _{0}\psi u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}-{\frac {c^{2}}{16\pi G}}\int {\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},

где ~\rho _{0}  есть плотность массы элемента вещества в сопутствующей ему системе отсчёта, ~\psi – гравитационный скалярный потенциал в месте нахождения элемента вещества.

Если векторный потенциал гравитационного поля не вносит свой вклад в энергию системы, то снова выполняется равенство типа (4), уже в отношении энергии  ~E_{{gr}}  гравитационного поля.

Поле ускорений и поле давления

Для поля ускорений и поля давления интегральная теорема энергии полей записывается следующим образом:

~-\int {\left({\frac {8\pi \eta }{c^{2}}}U_{\alpha }J^{\alpha }+u_{{\alpha \beta }}u^{{\alpha \beta }}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}={\frac {2}{c}}{\frac {d}{dt}}\left(\int {U^{\alpha }u_{\alpha }^{{\ 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}\right)+2\iint \limits _{S}{U^{\alpha }u_{\alpha }^{{\ k}}n_{k}{\sqrt {-g}}dS},

 

~-\int {\left({\frac {8\pi \sigma }{c^{2}}}\pi _{\alpha }J^{\alpha }+f_{{\alpha \beta }}f^{{\alpha \beta }}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}={\frac {2}{c}}{\frac {d}{dt}}\left(\int {\pi ^{\alpha }f_{\alpha }^{{\ 0}}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}\right)+2\iint \limits _{S}{\pi ^{\alpha }f_{\alpha }^{{\ k}}n_{k}{\sqrt {-g}}dS},

где ~\eta  есть постоянная поля ускорений; ~U_{\alpha }  – 4-потенциал поля ускорений; ~u_{{\alpha \beta }}  – тензор ускорений; ~\sigma  – постоянная поля давления; ~\pi _{\alpha } – 4-потенциал поля давления; ~f_{{\alpha \beta }} – тензор поля давления.

Особенностью поля ускорений и поля давления является то, что эти поля действуют только в пределах вещества системы. Поэтому поверхностные интегралы в правой части выражений для энергии поля берутся по внешней поверхности того объёма, в котором присутствует вещество.

Значение теоремы

Значение теоремы заключается в том, что она позволяет во многих случаях существенно облегчить вычисление релятивистской энергии системы. По своему смыслу теорема энергии поля описывает связи между компонентами энергии полей и тем самым отличается от теоремы вириала, связанной с компонентами энергии частиц.

Теорема даёт возможность дополнительно связать между собой и разграничить роль 4-потенциалов, тензоров полей и тензоров энергии-импульса в теории векторных полей. Известно например, что уравнение движения частиц системы может быть записано через любые из этих величин, [3] причём временная компонента уравнения движения представляет собой обобщённую теорему Пойнтинга. [4]

Уравнение для метрики при соответствующей калибровке может быть выражено лишь через тензоры энергии-импульса полей, [5] так же как и четырёхмерный интегральный вектор, описывающий энергию полей системы и задающий вектор потока этой энергии. Однако интегральный вектор не является настоящим 4-вектором, и хотя он сохраняется в замкнутых системах, он не может заменить собой 4-импульс физической системы. [6]

С другой стороны, тензоры энергии-импульса полей полностью отсутствуют в лагранжиане, в гамильтониане, в энергии, в импульсе, в 4-импульсе и в обобщённом 4-импульсе системы. [7] Это означает, что плотности энергии полей и трёхмерные векторы потоков энергии полей типа вектора Пойнтинга, содержащиеся в тензорах энергии-импульса, не позволяют вычислить ни обобщённый 4-импульс, ни 4-импульс системы. Для этого необходимо использовать 4-потенциалы и тензоры полей, [8] подобно тому, как 4-потенциалы и тензоры полей используются в теореме энергии поля.

Ссылки

1.      Fedosin S.G. The Integral Theorem of the Field Energy. Gazi University Journal of Science. Vol. 32, No. 2, pp. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783. // Интегральная теорема энергии поля.

2.      Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9, No. 1, pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

3.      Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

4.      Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.

5.      Fedosin S.G. Energy and metric gauging in the covariant theory of gravitation. Aksaray University Journal of Science and Engineering, Vol. 2, Issue 2, pp. 127-143 (2018). http://dx.doi.org/10.29002/asujse.433947. // Калибровка энергии и метрики в ковариантной теории гравитации.

6.      Fedosin S.G. The covariant additive integrals of motion in the theory of relativistic vector fields. Bulletin of Pure and Applied Sciences, Vol. 37 D (Physics), No. 2, pp. 64-87 (2018). http://dx.doi.org/10.5958/2320-3218.2018.00013.1. // Ковариантные аддитивные интегралы движения в теории релятивистских векторных полей.

7.      Fedosin S.G. Generalized Four-momentum for Continuously Distributed Materials. Gazi University Journal of Science, Vol. 37, Issue 3, pp. 1509-1538 (2024). https://doi.org/10.35378/gujs.1231793. // Обобщённый 4-импульс для непрерывно распределённого вещества.

8.      Fedosin S.G. What should we understand by the four-momentum of physical system? Physica Scripta, Vol. 99, No. 5, 055034 (2024). https://doi.org/10.1088/1402-4896/ad3b45. // Что мы должны понимать под 4-импульсом физической системы.

 

См. также

 

Внешние ссылки

 

 

Источник: http://sergf.ru/tp.htm

        На список страниц