In English

Тензор гравитационного поля

Из проекта Викизнание

Тензор гравитационного поля — это антисимметричный тензор, объединяющий в одно целое две компоненты гравитационного поля — напряжённость гравитационного поля и поле кручения. Он используется для описания гравитационного поля произвольной физической системы и для инвариантной формулировки уравнений гравитации в ковариантной теории гравитации. Гравитационное поле системы является компонентой общего поля.

1 Определение
2 Выражение для компонент
3 Свойства
4 Применение
5 Действие и Лагранжиан
6 Тензор энергии-импульса гравитационного поля
7 Обобщённый импульс и механика Гамильтона
8 См. также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Определение

Тензор гравитационного поля определяется через гравитационный 4-потенциал поля $~D_\mu$ по формуле: ^[1] ^[2]

$\Phi_{\mu \nu} = \nabla_\mu D_\nu - \nabla_\nu D_\mu = \frac{\partial D_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial D_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1)$

Вследствие антисимметричности данной формулы разность двух ковариантных производных оказывается равной разности двух частных производных по 4-координатам.

Выражение для компонент

Если учесть определение 4-потенциала гравитационного поля:

$~D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c_{g}}, -\mathbf{D} \right),$

где $~\psi$ – скалярный потенциал, $~ \mathbf{D}$ – векторный потенциал гравитационного поля, $~ c_{g}$ – скорость распространения гравитационного воздействия,

и для прямоугольных декартовых координат $~ (c_{g}t, x, y, z)$ ввести напряжённости гравитационного поля по правилам:

$~\mathbf{\Gamma}= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t},$

$~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D},$

где $~\mathbf{\Gamma }$ есть напряжённость гравитационного поля или гравитационное ускорение, $~\mathbf{\Omega}$ – поле кручения,

то ковариантные компоненты тензора гравитационного поля согласно (1) будут иметь следующий вид:

$~ \Phi_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & \frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}} & \frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}} \\ -\frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & 0 & -\Omega_{z} & \Omega_{y} \\ -\frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}}& \Omega_{z} & 0 & -\Omega_{x} \\ -\frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}}& -\Omega_{y} & \Omega_{x} & 0 \end{vmatrix}.$

Согласно правилам тензорной алгебры, поднятие (опускание) индексов тензоров, то есть переход от ковариантных компонент к смешанным и контравариантным компонентам тензоров и обратно, осуществляется с помощью метрического тензора $~g_{\mu \nu}$ . В частности, $\Phi^{\mu}_\alpha= g^{\mu \nu}\Phi_{\nu \alpha}$ , а также $~ \Phi^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta}\Phi_{\mu \nu}.$

В пространстве Минковского метрический тензор превращается в тензор $~\eta_{\mu \nu}$ , не зависящий от координат и времени. В этом пространстве, используемом в специальной теории относительности, контравариантные компоненты тензора гравитационного поля имеют вид:

$~ \Phi^{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & -\frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & -\frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}} & -\frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}} \\ \frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & 0 & -\Omega_{z} & \Omega_{y} \\ \frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}}& \Omega_{z} & 0 & -\Omega_{x} \\ \frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}}& -\Omega_{y} & \Omega_{x} & 0 \end{vmatrix}.$

Так как векторы напряжённости гравитационного поля и поля кручения являются компонентами тензора гравитационного поля, они преобразуются не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон преобразования этих векторов при переходе из неподвижной системы отсчёта K в систему отсчёта K’, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид:

$\Gamma_x^\prime = \Gamma_x ,~~~ \Gamma_y^\prime = \frac{\Gamma_y - V \Omega_z}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}},~~~ \Gamma_z^\prime = \frac{\Gamma_z + V \Omega_y}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}},$

$\Omega_x^\prime = \Omega_x ,~~~ \Omega_y^\prime = \frac{\Omega_y + V \Gamma_z / c^2_g}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}},~~~ \Omega_z^\prime = \frac{\Omega_z - V \Gamma_y / c^2_g}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}}.$

В более общем случае, когда скорость $~\mathbf {V}$ системы отсчёта K’ относительно системы отсчёта K направлена в произвольном направлении, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость гравитационного поля и поле кручения преобразуются так:

$\mathbf {\Gamma }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Gamma }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}} \left(\mathbf {\Gamma }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Gamma }) + [\mathbf {V} \times \mathbf {\Omega }] \right),$

$\mathbf {\Omega }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Omega }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}} \left(\mathbf {\Omega }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Omega }) - \frac {1}{ c^2_{g}} [\mathbf {V} \times \mathbf {\Gamma }] \right).$

Свойства

$~ \Phi_{\mu \nu}$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, для него $~ \Phi_{\mu \nu}= -\Phi_{\nu \mu}$ . Тензор имеет 6 независимых компонент, из которых три связаны с компонентами вектора напряжённости гравитационного поля $~\mathbf{\Gamma }$ , а другие три – с компонентами вектора поля кручения $~\mathbf{\Omega}$ .
Лоренцевские преобразования координат сохраняют два инварианта, вытекающие из тензорных свойств поля:

$\Phi_{\mu \nu}\Phi^{\nu \mu} = \frac {2}{c^2_g} (\Gamma^2-c^2_g \Omega^2) = inv,$

$\frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\Phi_{\mu \nu}\Phi_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c_g } \left( \mathbf {\Gamma} \cdot \mathbf {\Omega} \right) = inv.$

Первое выражение есть свёртка тензора, а второе определяется как псевдоскалярный инвариант. В последнем выражении используется символ Леви-Чивиты $\varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}$ для четырёхмерного пространства, являющийся полностью антисимметричным единичным тензором, при его калибровке $\varepsilon^{0123}=1.$

Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:

$\det \left(\Phi_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2_g} \left(\mathbf {\Gamma} \cdot \mathbf {\Omega} \right)^{2}.$

Применение

Рассмотрим следующее выражение:

$\frac{\partial \Phi_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial \Phi_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial \Phi_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2)$

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора гравитационного поля согласно (1). Если в (2) в качестве индексов $~ \mu \nu \sigma$ использовать неповторяющиеся сочетания 012,013, 023 и 123, и от потенциалов поля перейти к напряжённостям, то это приводит к двум векторным уравнениям:

$~ \nabla \times \mathbf{\Gamma } = - \frac{\partial \mathbf{\Omega} } {\partial t} , \qquad\qquad (3)$

$~ \nabla \cdot \mathbf{\Omega} = 0 . \qquad\qquad (4)$

Уравнения (3) и (4) являются двумя из четырёх уравнений Хевисайда для напряжённостей гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Согласно (3), изменение во времени поля кручения создаёт круговое гравитационное ускорение, что приводит к эффекту гравитационной индукции, а уравнение (4) утверждает, что поле кручения, как и магнитное поле, не имеет источников. Уравнения (3) и (4) могут быть получены также из равенства нулю 4-вектора, находимого по формуле:

$~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial \Phi_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 .$

Другая пара уравнений гравитационного поля также выражается через тензор гравитационного поля:

$~ \nabla_\nu \Phi^{\mu \nu} = \frac{4 \pi G }{c^2_{g}} J^\mu, \qquad\qquad (5)$

где $J^\mu = \rho_{0} u^\mu = \left(\frac { c_{g}\rho_{0}}{ \sqrt{1-V^2/ c^2_{g}}} , \frac {\mathbf{V} \rho_{0}}{\sqrt{1-V^2/ c^2_{g}}} \right)=( c_{g}\rho , \mathbf{J})$ есть 4-вектор плотности массового тока, $ρ 0$ – плотность вещества в сопутствующей системе отсчёта, $\mathbf{V}$ – скорость движения элемента вещества, – гравитационная постоянная.

В развёрнутом виде уравнения для напряжённостей поля с источниками поля имеют вид:

$~ \nabla \cdot \mathbf{\Gamma } = -4 \pi G \rho,$

$~ \nabla \times \mathbf{\Omega} = \frac{1}{c^2_{g}} \left( -4 \pi G \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right),$

где $~ \rho$ – плотность движущейся массы, $~ \mathbf{J}$ – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость гравитационного поля порождается плотностью вещества, а по второму уравнению круговое поле кручения всегда сопровождает ток массы либо возникает при изменении во времени вектора напряжённости гравитационного поля.

Гравитационная 4-сила, действующая на массу тела, может быть выражена через тензор гравитационного поля и 4-скорость тела:

$~ F_\mu = M \Phi_{\mu \nu} u^\nu.$

Данное выражение получается, в частности, как следствие аксиоматического построения ковариантной теории гравитации на языке 4-векторов и тензоров. ^[3]

Если взять ковариантную дивергенцию от обеих частей в (5), то с учётом (1) получится: ^[4]

$~ \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \Phi^{\alpha \beta}= \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \nabla^{\alpha}D^{\beta}- \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \nabla^{\beta }D^{\alpha }= - R_{ \mu \alpha } \Phi^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi G }{c^2_g} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.$

Уравнение непрерывности для массового 4-тока $~\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}=0$ является калибровочным условием, которое используется для получения уравнения поля (5) из принципа наименьшего действия. Следовательно, свёртка тензора гравитационного поля и тензора Риччи должна равняться нулю: $~R_{{\mu \alpha }}\Phi ^{{\mu \alpha }}=0$ . В пространстве Минковского тензор Риччи $~ R_{ \mu \alpha }$ равен нулю, ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким:

$~\partial_{\mu} J^\mu = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0.$

Волновое уравнение для тензора гравитационного поля выглядит следующим образом: ^[5]

$~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }\Phi _{{\mu \nu }}=-{\frac {4\pi G}{c_{g}^{2}}}\nabla _{\mu }J_{\nu }+{\frac {4\pi G}{c_{g}^{2}}}\nabla _{\nu }J_{\mu }+\Phi _{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }-\Phi _{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu ,\lambda \eta }}\Phi ^{{\eta \lambda }}.$

Действие и Лагранжиан

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор гравитационного поля и содержится в функции действия: ^[4] ^[6]

$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} -$

$~-{\frac {1}{c}}U_{\mu }J^{\mu }-{\frac {c}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}-{\frac {1}{c}}\pi _{\mu }J^{\mu }-{\frac {c}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}){\sqrt {-g}}d\Sigma ,$

где – функция Лагранжа или лагранжиан, – дифференциал времени используемой системы отсчёта, – некоторый коэффициент, – скалярная кривизна, $~\Lambda$ – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, электромагнитный 4-потенциал $~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{ c}, -\mathbf{A}\right)$ , где $~\varphi$ есть скалярный потенциал, а $~\mathbf{A}$ является векторным потенциалом, $~ j^\mu$ – электрический 4-ток, $~\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $~ F_{ \mu\nu}$ – тензор электромагнитного поля, $~U_{\mu }$ – 4-потенциал поля ускорений, $~ \eta$ и $~ \sigma$ – коэффициенты поля ускорений и поля давления, соответственно, $~ u_{ \mu\nu}$ – тензор ускорений, $~ \pi_\mu$ – 4-потенциал поля давления, $~ f_{ \mu\nu}$ – тензор поля давления,

$~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3$ – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты , через произведение дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам приводит к уравнению движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления:^[5]

$~-u_{{\beta \sigma }}\rho _{{0}}u^{\sigma }=\rho _{0}{\frac {dU_{\beta }}{d\tau }}-\rho _{0}u^{\sigma }\partial _{\beta }U_{\sigma }=\Phi _{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma }+F_{{\beta \sigma }}\rho _{{0q}}u^{\sigma }+f_{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma },$

здесь первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда $~ \rho_{0q}$ , измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, а последний член определяет силу давления.

Если варьировать функцию действия по гравитационному 4-потенциалу, получается уравнение гравитационного поля (5).

Тензор энергии-импульса гравитационного поля

С помощью тензора гравитационного поля в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса гравитационного поля:

$~ U^{ik} = \frac{c^2_{g}} {4 \pi G }\left( -g^{im}\Phi_{mr}\Phi^{rk}+ \frac{1} {4} g^{ik}\Phi_{rm}\Phi^{mr}\right)$ .

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса гравитационного поля задаёт 4-вектор плотности гравитационной силы:

$~f^{\alpha }=-\nabla _{\beta }U^{{\alpha \beta }}={\Phi ^{\alpha }}_{{k}}J^{k}.$

Обобщённый импульс и механика Гамильтона

По определению, обобщённый импульс $\mathbf {P}$ характеризует полный импульс элемента вещества с учётом импульсов от гравитационного и электромагнитного полей. В ковариантной теории гравитации обобщённая сила, как скорость изменения обобщённого импульса по координатному времени, зависит в том числе и от градиента от энергии гравитационного поля, связанного с элементом вещества и определяемого тензором гравитационного поля. ^[7]

В приближении слабого поля Гамильтониан как релятивистская энергия тела с массой и с зарядом при равен:

$~H = c \sqrt {m^2 c^2 + (\mathbf {P}-m \mathbf {D}-q \mathbf {A})^2}+m \psi + q \varphi-$

$~ - \int {( \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}- \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu } )} dx^1 dx^2 dx^3 + const.$

Если использовать ковариантный 4-вектор обобщённой скорости

$~s_{{\mu }}=U_{{\mu }}+D_{{\mu }}+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}A_{{\mu }}+\pi _{{\mu }},$

то в общем случае Гамильтониан имеет вид: ^[4]

$~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$

где и обозначают временные компоненты 4-векторов $~ s_{\mu }$ и $~ J^{\mu }$ .

Если перейти в систему отсчёта, неподвижную относительно центра масс системы, Гамильтониан будет определять инвариантную энергию системы.

См. также

Ссылки

1. Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.

2. Strel'tsov V.N. On the Lorentz-Covariant Theory of Gravity. Apeiron, 1999, Vol. 6, Nr. 1–2, P. 55 – 61.

3. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

4. ^4.0 ^4.1 ^4.2 Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

5. ^5.0 ^5.1 Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

6. Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, Vol. 35, No. 1, pp. 35-70 (2012). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889804; статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.

7. Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, Vol. 5, No. 4, pp. 55-75 (2012). http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023 ; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.

Внешние ссылки

Gravitational tensor

Источник: http://sergf.ru/tgp.htm

На список страниц