In English

Тензор гравитационного поля

Из проекта Викизнание

Тензор гравитационного поля — это антисимметричный тензор, объединяющий в одно целое две компоненты гравитационного поля — напряжённость гравитационного поля и поле кручения. Он используется для описания гравитационного поля произвольной физической системы и для инвариантной формулировки уравнений гравитации в ковариантной теории гравитации. Гравитационное поле системы является компонентой общего поля.

1 Определение
2 Выражение для компонент
3 Свойства
4 Применение
5 Действие и Лагранжиан
6 Тензор энергии-импульса гравитационного поля
7 Обобщённый импульс и механика Гамильтона
8 См. также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Определение

Тензор гравитационного поля определяется через гравитационный 4-потенциал поля $~D_\mu$ по формуле: ^[1] ^[2]

$\Phi_{\mu \nu} = \nabla_\mu D_\nu - \nabla_\nu D_\mu = \frac{\partial D_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial D_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1)$

Вследствие антисимметричности данной формулы разность двух ковариантных производных оказывается равной разности двух частных производных по 4-координатам.

Выражение для компонент

Если учесть определение 4-потенциала гравитационного поля:

$~D_{\mu }=\left({\frac {\psi }{c}},-{\mathbf {D}}\right),$

где $~\psi$ – скалярный потенциал, $~ \mathbf{D}$ – векторный потенциал гравитационного поля, – скорость света, приблизительно равная скорости распространения гравитационного воздействия,

и для прямоугольных декартовых координат ввести напряжённости гравитационного поля по правилам:

$~\mathbf{\Gamma}= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t},$

$~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D},$

где $~\mathbf{\Gamma }$ есть напряжённость гравитационного поля или гравитационное ускорение, $~\mathbf{\Omega}$ – поле кручения,

то ковариантные компоненты тензора гравитационного поля согласно (1) будут иметь следующий вид:

$~\Phi _{{\mu \nu }}={\begin{vmatrix}0&{\frac {\Gamma _{{x}}}{c}}&{\frac {\Gamma _{{y}}}{c}}&{\frac {\Gamma _{{z}}}{c}}\\-{\frac {\Gamma _{{x}}}{c}}&0&-\Omega _{{z}}&\Omega _{{y}}\\-{\frac {\Gamma _{{y}}}{c}}&\Omega _{{z}}&0&-\Omega _{{x}}\\-{\frac {\Gamma _{{z}}}{c}}&-\Omega _{{y}}&\Omega _{{x}}&0\end{vmatrix}}.$

Согласно правилам тензорной алгебры, поднятие (опускание) индексов тензоров, то есть переход от ковариантных компонент к смешанным и контравариантным компонентам тензоров и обратно, осуществляется с помощью метрического тензора $~g_{\mu \nu}$ . В частности, $\Phi^{\mu}_\alpha= g^{\mu \nu}\Phi_{\nu \alpha}$ , а также $~ \Phi^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta}\Phi_{\mu \nu}.$

В пространстве Минковского метрический тензор превращается в тензор $~\eta_{\mu \nu}$ , не зависящий от координат и времени. В этом пространстве, используемом в специальной теории относительности, контравариантные компоненты тензора гравитационного поля имеют вид:

$~\Phi ^{{\mu \nu }}={\begin{vmatrix}0&-{\frac {\Gamma _{{x}}}{c}}&-{\frac {\Gamma _{{y}}}{c}}&-{\frac {\Gamma _{{z}}}{c}}\\{\frac {\Gamma _{{x}}}{c}}&0&-\Omega _{{z}}&\Omega _{{y}}\\{\frac {\Gamma _{{y}}}{c}}&\Omega _{{z}}&0&-\Omega _{{x}}\\{\frac {\Gamma _{{z}}}{c}}&-\Omega _{{y}}&\Omega _{{x}}&0\end{vmatrix}}.$

Так как векторы напряжённости гравитационного поля и поля кручения являются компонентами тензора гравитационного поля, они преобразуются не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон преобразования этих векторов при переходе из неподвижной системы отсчёта K в систему отсчёта K’, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид:

$\Gamma _{x}^{\prime }=\Gamma _{x},~~~\Gamma _{y}^{\prime }={\frac {\Gamma _{y}-V\Omega _{z}}{{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}},~~~\Gamma _{z}^{\prime }={\frac {\Gamma _{z}+V\Omega _{y}}{{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}},$

$\Omega _{x}^{\prime }=\Omega _{x},~~~\Omega _{y}^{\prime }={\frac {\Omega _{y}+V\Gamma _{z}/c^{2}}{{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}},~~~\Omega _{z}^{\prime }={\frac {\Omega _{z}-V\Gamma _{y}/c^{2}}{{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}.$

В более общем случае, когда скорость $~\mathbf {V}$ системы отсчёта K’ относительно системы отсчёта K направлена в произвольном направлении, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость гравитационного поля и поле кручения преобразуются так:

${\mathbf {\Gamma }}^{\prime }={\frac {{\mathbf {V}}}{V^{2}}}({\mathbf {V}}\cdot {\mathbf {\Gamma }})+{\frac {1}{{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}\left({\mathbf {\Gamma }}-{\frac {{\mathbf {V}}}{V^{2}}}({\mathbf {V}}\cdot {\mathbf {\Gamma }})+[{\mathbf {V}}\times {\mathbf {\Omega }}]\right),$

${\mathbf {\Omega }}^{\prime }={\frac {{\mathbf {V}}}{V^{2}}}({\mathbf {V}}\cdot {\mathbf {\Omega }})+{\frac {1}{{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}\left({\mathbf {\Omega }}-{\frac {{\mathbf {V}}}{V^{2}}}({\mathbf {V}}\cdot {\mathbf {\Omega }})-{\frac {1}{c^{2}}}[{\mathbf {V}}\times {\mathbf {\Gamma }}]\right).$

Свойства

$~ \Phi_{\mu \nu}$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, для него $~ \Phi_{\mu \nu}= -\Phi_{\nu \mu}$ . Тензор имеет 6 независимых компонент, из которых три связаны с компонентами вектора напряжённости гравитационного поля $~\mathbf{\Gamma }$ , а другие три – с компонентами вектора поля кручения $~\mathbf{\Omega}$ .
Лоренцевские преобразования координат сохраняют два инварианта, вытекающие из тензорных свойств поля:
$\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\nu \mu }}={\frac {2}{c^{2}}}(\Gamma ^{2}-c^{2}\Omega ^{2})=inv,$
${\frac {1}{4}}\varepsilon ^{{\mu \nu \sigma \rho }}\Phi _{{\mu \nu }}\Phi _{{\sigma \rho }}=-{\frac {2}{c}}\left({\mathbf {\Gamma }}\cdot {\mathbf {\Omega }}\right)=inv.$

Первое выражение есть свёртка тензора, а второе определяется как псевдоскалярный инвариант. В последнем выражении используется символ Леви-Чивиты $\varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}$ для четырёхмерного пространства, являющийся полностью антисимметричным единичным тензором, при его калибровке $\varepsilon^{0123}=1.$

Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:

$\det \left(\Phi _{{\mu \nu }}\right)={\frac {4}{c^{2}}}\left({\mathbf {\Gamma }}\cdot {\mathbf {\Omega }}\right)^{{2}}.$

Применение

Рассмотрим следующее выражение:

$\frac{\partial \Phi_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial \Phi_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial \Phi_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2)$

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора гравитационного поля согласно (1). Если в (2) в качестве индексов $~ \mu \nu \sigma$ использовать неповторяющиеся сочетания 012,013, 023 и 123, и от потенциалов поля перейти к напряжённостям, то это приводит к двум векторным уравнениям:

$~ \nabla \times \mathbf{\Gamma } = - \frac{\partial \mathbf{\Omega} } {\partial t} , \qquad\qquad (3)$

$~ \nabla \cdot \mathbf{\Omega} = 0 . \qquad\qquad (4)$

Уравнения (3) и (4) являются двумя из четырёх уравнений Хевисайда для напряжённостей гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Согласно (3), изменение во времени поля кручения создаёт круговое гравитационное ускорение, что приводит к эффекту гравитационной индукции, а уравнение (4) утверждает, что поле кручения, как и магнитное поле, не имеет источников. Уравнения (3) и (4) могут быть получены также из равенства нулю 4-вектора, находимого по формуле:

$~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial \Phi_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 .$

Другая пара уравнений гравитационного поля также выражается через тензор гравитационного поля:

$~\nabla _{\nu }\Phi ^{{\mu \nu }}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}J^{\mu },\qquad \qquad (5)$

где $J^{\mu }=\rho _{{0}}u^{\mu }=\left({\frac {c\rho _{{0}}}{{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}},{\frac {{\mathbf {V}}\rho _{{0}}}{{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}}\right)=(c\rho ,{\mathbf {J}})$ есть

4-вектор плотности массового тока, $ρ 0$ – плотность вещества в сопутствующей системе отсчёта, $\mathbf{V}$ – скорость движения элемента вещества, – гравитационная постоянная.

В развёрнутом виде уравнения для напряжённостей поля с источниками поля имеют вид:

$~ \nabla \cdot \mathbf{\Gamma } = -4 \pi G \rho,$

$~\nabla \times {\mathbf {\Omega }}={\frac {1}{c^{2}}}\left(-4\pi G{\mathbf {J}}+{\frac {\partial {\mathbf {\Gamma }}}{\partial t}}\right),$

где $~ \rho$ – плотность движущейся массы, $~ \mathbf{J}$ – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость гравитационного поля порождается плотностью вещества, а по второму уравнению круговое поле кручения всегда сопровождает ток массы либо возникает при изменении во времени вектора напряжённости гравитационного поля.

Гравитационная 4-сила, действующая на массу тела, может быть выражена через тензор гравитационного поля и 4-скорость тела:

$~ F_\mu = M \Phi_{\mu \nu} u^\nu.$

Данное выражение получается, в частности, как следствие аксиоматического построения ковариантной теории гравитации на языке 4-векторов и тензоров. ^[3]

Если взять ковариантную дивергенцию от обеих частей в (5), то с учётом (1) получится: ^[4]

$~\nabla _{{\alpha }}\nabla _{\beta }\Phi ^{{\alpha \beta }}=\nabla _{{\alpha }}\nabla _{\beta }\nabla ^{{\alpha }}D^{{\beta }}-\nabla _{{\alpha }}\nabla _{\beta }\nabla ^{{\beta }}D^{{\alpha }}=-R_{{\mu \alpha }}\Phi ^{{\mu \alpha }}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}.$

Уравнение непрерывности для массового 4-тока $~\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}=0$ является калибровочным условием, которое используется для получения уравнения поля (5) из принципа наименьшего действия. Cвёртка тензора Риччи $~R_{{\mu \alpha }}$ и тензора гравитационного поля $~\Phi ^{{\mu \alpha }}$ равняется нулю: $~R_{{\mu \alpha }}\Phi ^{{\mu \alpha }}=0$ , как следствие антисимметричности $~\Phi ^{{\mu \alpha }}$ и симметричности $~R_{{\mu \alpha }}$ . В пространстве Минковского ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким:

$~\partial_{\mu} J^\mu = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0.$

Волновое уравнение для тензора гравитационного поля выглядит следующим образом: ^[5]

$~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }\Phi _{{\mu \nu }}=-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\nabla _{\mu }J_{\nu }+{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\nabla _{\nu }J_{\mu }+\Phi _{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }-\Phi _{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu ,\lambda \eta }}\Phi ^{{\eta \lambda }}.$

Это уравнение справедливо при условии, что тензор Риччи определяется как результат свёртки метрического тензора и тензора кривизны в виде ^[6]

$~R_{{\mu \nu }}=g^{{\alpha \beta }}R_{{\mu \alpha \beta \nu }}.$

Если же тензор Риччи определяется в виде ^[7]

$~R_{{\alpha \nu }}=g^{{\mu \beta }}R_{{\mu \alpha \beta \nu }},$

то волновое уравнение для тензора гравитационного поля будет таким:

$~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }\Phi _{{\mu \nu }}=-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\nabla _{\mu }J_{\nu }+{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\nabla _{\nu }J_{\mu }-\Phi _{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }+\Phi _{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu ,\lambda \eta }}\Phi ^{{\eta \lambda }}.$

Действие и Лагранжиан

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор гравитационного поля и содержится в функции действия: ^[4] ^[8]

$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} -$

$~-{\frac {1}{c}}U_{\mu }J^{\mu }-{\frac {c}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}-{\frac {1}{c}}\pi _{\mu }J^{\mu }-{\frac {c}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}){\sqrt {-g}}d\Sigma ,$

где – функция Лагранжа или лагранжиан, – дифференциал времени используемой системы отсчёта, – некоторый коэффициент, – скалярная кривизна, $~\Lambda$ – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, электромагнитный 4-потенциал $~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{ c}, -\mathbf{A}\right)$ , где $~\varphi$ есть скалярный потенциал, а $~\mathbf{A}$ является векторным потенциалом, $~ j^\mu$ – электрический 4-ток, $~\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $~ F_{ \mu\nu}$ – тензор электромагнитного поля, $~U_{\mu }$ – 4-потенциал поля ускорений, $~ \eta$ и $~ \sigma$ – коэффициенты поля ускорений и поля давления, соответственно, $~ u_{ \mu\nu}$ – тензор ускорений, $~ \pi_\mu$ – 4-потенциал поля давления, $~ f_{ \mu\nu}$ – тензор поля давления,

$~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3$ – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты , через произведение дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам приводит к уравнению движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления:^[5]

$~-u_{{\beta \sigma }}\rho _{{0}}u^{\sigma }=\rho _{0}{\frac {dU_{\beta }}{d\tau }}-\rho _{0}u^{\sigma }\partial _{\beta }U_{\sigma }=\Phi _{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma }+F_{{\beta \sigma }}\rho _{{0q}}u^{\sigma }+f_{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma },$

здесь первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда $~ \rho_{0q}$ , измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, а последний член определяет силу давления.

Если варьировать функцию действия по гравитационному 4-потенциалу, получается уравнение гравитационного поля (5).

Тензор энергии-импульса гравитационного поля

С помощью тензора гравитационного поля в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса гравитационного поля:

$~U^{{ik}}={\frac {c^{2}}{4\pi G}}\left(-g^{{im}}\Phi _{{mr}}\Phi ^{{rk}}+{\frac {1}{4}}g^{{ik}}\Phi _{{rm}}\Phi ^{{mr}}\right)$ .

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса гравитационного поля задаёт 4-вектор плотности гравитационной силы:

$~f^{\alpha }=-\nabla _{\beta }U^{{\alpha \beta }}={\Phi ^{\alpha }}_{{k}}J^{k}.$

Обобщённый импульс и механика Гамильтона

По определению, обобщённый импульс $\mathbf {P}$ характеризует полный импульс элемента вещества с учётом импульсов от гравитационного и электромагнитного полей. В ковариантной теории гравитации обобщённая сила, как скорость изменения обобщённого импульса по координатному времени, зависит в том числе и от градиента от энергии гравитационного поля, связанного с элементом вещества и определяемого тензором гравитационного поля. ^[9]

В приближении слабого поля Гамильтониан как релятивистская энергия тела с массой и с зарядом равен:

$~H = c \sqrt {m^2 c^2 + (\mathbf {P}-m \mathbf {D}-q \mathbf {A})^2}+m \psi + q \varphi-$

$~ - \int {( \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}- \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu } )} dx^1 dx^2 dx^3 + const.$

Если использовать ковариантный 4-вектор обобщённой скорости

$~s_{{\mu }}=U_{{\mu }}+D_{{\mu }}+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}A_{{\mu }}+\pi _{{\mu }},$

то в общем случае Гамильтониан имеет вид: ^[4]

$~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$

где и обозначают временные компоненты 4-векторов $~ s_{\mu }$ и $~ J^{\mu }$ .

Если перейти в систему отсчёта, неподвижную относительно центра масс системы, Гамильтониан будет определять инвариантную энергию системы.

Тензор гравитационного поля используется для определения в искривлённом пространстве-времени обобщённого 4-импульса; ^[10] энергии, импульса и 4-импульса физической системы; ^[11] псевдотензора момента импульса. ^[12]

См. также

Ссылки

1. Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.

2. Strel'tsov V.N. On the Lorentz-Covariant Theory of Gravity. Apeiron, 1999, Vol. 6, Nr. 1–2, P. 55 – 61.

3. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

4. ^4.0 ^4.1 ^4.2 Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

5. ^5.0 ^5.1 Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

6. Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. М.: Физматгиз, 1961. 568 с. Fock V. A. The Theory of Space, Time and Gravitation (Pergamon Press, London, 1959).

7. Landau L.D., Lifshitz E.M. The Classical Theory of Fields, (1951). Pergamon Press. ISBN 7-5062-4256-7.

8. Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, Vol. 35, No. 1, pp. 35-70 (2012). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889804; статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.

9. Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, Vol. 5, No. 4, pp. 55-75 (2012). http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023 ; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.

10. Fedosin S.G. Generalized Four-momentum for Continuously Distributed Materials. Gazi University Journal of Science, Vol. 37, Issue 3, pp. 1509-1538 (2024). https://doi.org/10.35378/gujs.1231793. // Обобщённый 4-импульс для непрерывно распределённого вещества.

11. Fedosin S.G. What should we understand by the four-momentum of physical system? Physica Scripta, Vol. 99, No. 5, 055034 (2024). https://doi.org/10.1088/1402-4896/ad3b45. // Что мы должны понимать под 4-импульсом физической системы?

12. Fedosin S.G. Lagrangian formalism in the theory of relativistic vector fields. International Journal of Modern Physics A, Vol. 40, No. 02, 2450163 (2025). https://doi.org/10.1142/S0217751X2450163X. // Лагранжев формализм в теории релятивистских векторных полей.

Внешние ссылки

Gravitational tensor

Источник: http://sergf.ru/tgp.htm

На список страниц