In English

Тензор гравитационного поля

Из проекта Викизнание

Тензор гравитационного поля — это антисимметричный тензор, объединяющий в одно целое две компоненты гравитационного поля — напряжённость гравитационного поля и поле кручения. Он используется для описания гравитационного поля произвольной физической системы и для инвариантной формулировки уравнений гравитации в ковариантной теории гравитации. Гравитационное поле системы является компонентой общего поля.

Оглавление

  • 1 Определение
  • 2 Выражение для компонент
  • 3 Свойства
  • 4 Применение
  • 5 Действие и Лагранжиан
  • 6 Тензор энергии-импульса гравитационного поля
  • 7 Обобщённый импульс и механика Гамильтона
  • 8 См. также
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Определение

Тензор гравитационного поля определяется через гравитационный 4-потенциал поля ~D_\mu  по формуле: [1] [2]

\Phi_{\mu \nu} = \nabla_\mu D_\nu - \nabla_\nu D_\mu = \frac{\partial D_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial D_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1)

Вследствие антисимметричности данной формулы разность двух ковариантных производных оказывается равной разности двух частных производных по 4-координатам.

Выражение для компонент

Если учесть определение 4-потенциала гравитационного поля:

~D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c_{g}}, -\mathbf{D} \right),

где ~\psi – скалярный потенциал, ~ \mathbf{D} – векторный потенциал гравитационного поля, ~ c_{g}  скорость распространения гравитационного воздействия,

и для прямоугольных декартовых координат  ~ (c_{g}t, x, y, z)  ввести напряжённости гравитационного поля по правилам:

~\mathbf{\Gamma}= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t},

~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D},

где ~\mathbf{\Gamma }  есть напряжённость гравитационного поля или гравитационное ускорение, ~\mathbf{\Omega}  поле кручения,

то ковариантные компоненты тензора гравитационного поля согласно (1) будут иметь следующий вид:

~ \Phi_{\mu \nu}=  \begin{vmatrix} 0 & \frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & \frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}} & \frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}} \\ -\frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & 0 & -\Omega_{z} & \Omega_{y} \\ -\frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}}& \Omega_{z} & 0 & -\Omega_{x} \\ -\frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}}& -\Omega_{y} & \Omega_{x} & 0 \end{vmatrix}.

Согласно правилам тензорной алгебры, поднятие (опускание) индексов тензоров, то есть переход от ковариантных компонент к смешанным и контравариантным компонентам тензоров и обратно, осуществляется с помощью метрического тензора ~g_{\mu \nu}. В частности, \Phi^{\mu}_\alpha=  g^{\mu \nu}\Phi_{\nu \alpha}, а также ~ \Phi^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta}\Phi_{\mu \nu}.

В пространстве Минковского метрический тензор превращается в тензор ~\eta_{\mu \nu}, не зависящий от координат и времени. В этом пространстве, используемом в специальной теории относительности, контравариантные компоненты тензора гравитационного поля имеют вид:

~ \Phi^{\mu \nu}=  \begin{vmatrix} 0 & -\frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & -\frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}} & -\frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}} \\ \frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & 0 & -\Omega_{z} & \Omega_{y} \\ \frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}}& \Omega_{z} & 0 & -\Omega_{x} \\ \frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}}& -\Omega_{y} & \Omega_{x} & 0 \end{vmatrix}.

Так как векторы напряжённости гравитационного поля и поля кручения являются компонентами тензора гравитационного поля, они преобразуются не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон преобразования этих векторов при переходе из неподвижной системы отсчёта  K  в систему отсчёта  K’, движущуюся со скоростью  V  вдоль оси X, имеет вид:

\Gamma_x^\prime = \Gamma_x ,~~~ \Gamma_y^\prime = \frac{\Gamma_y - V  \Omega_z}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}},~~~ \Gamma_z^\prime = \frac{\Gamma_z + V \Omega_y}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}},

 

\Omega_x^\prime = \Omega_x ,~~~ \Omega_y^\prime = \frac{\Omega_y + V \Gamma_z / c^2_g}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}},~~~ \Omega_z^\prime = \frac{\Omega_z - V \Gamma_y / c^2_g}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}}.

 

В более общем случае, когда скорость ~\mathbf {V} системы отсчёта  K’ относительно системы отсчёта K направлена в произвольном направлении, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость гравитационного поля и поле кручения преобразуются так:

\mathbf {\Gamma }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot  \mathbf {\Gamma }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}} \left(\mathbf {\Gamma }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot  \mathbf {\Gamma }) + [\mathbf {V} \times \mathbf {\Omega }] \right),

\mathbf {\Omega }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot  \mathbf {\Omega }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}} \left(\mathbf {\Omega }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot  \mathbf {\Omega }) - \frac {1}{ c^2_{g}} [\mathbf {V} \times \mathbf {\Gamma }] \right).

 

Свойства

\Phi_{\mu \nu}\Phi^{\nu \mu} = \frac {2}{c^2_g} (\Gamma^2-c^2_g \Omega^2) = inv,

\frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\Phi_{\mu \nu}\Phi_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c_g } \left( \mathbf {\Gamma} \cdot \mathbf {\Omega} \right) = inv.

Первое выражение есть свёртка тензора, а второе определяется как псевдоскалярный инвариант. В последнем выражении используется символ Леви-Чивиты  \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}  для четырёхмерного пространства, являющийся полностью антисимметричным единичным тензором, при его калибровке  \varepsilon^{0123}=1.

\det \left(\Phi_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2_g} \left(\mathbf {\Gamma} \cdot \mathbf {\Omega} \right)^{2}.

Применение

Рассмотрим следующее выражение:

\frac{\partial \Phi_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial \Phi_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial \Phi_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2)

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора гравитационного поля согласно (1). Если в (2) в качестве индексов   ~ \mu \nu \sigma  использовать неповторяющиеся сочетания 012,013, 023 и 123, и от потенциалов поля перейти к напряжённостям, то это приводит к двум векторным уравнениям:

~ \nabla \times \mathbf{\Gamma } = - \frac{\partial \mathbf{\Omega} } {\partial t} , \qquad\qquad (3)

 

~ \nabla \cdot \mathbf{\Omega} = 0 . \qquad\qquad (4)

Уравнения (3) и (4) являются двумя из четырёх уравнений Хевисайда для напряжённостей гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Согласно (3), изменение во времени поля кручения создаёт круговое гравитационное ускорение, что приводит к эффекту гравитационной индукции, а уравнение (4) утверждает, что поле кручения, как и магнитное поле, не имеет источников. Уравнения (3) и (4) могут быть получены также из равенства нулю 4-вектора, находимого по формуле:

~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial \Phi_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 .

Другая пара уравнений гравитационного поля также выражается через тензор гравитационного поля:

~ \nabla_\nu \Phi^{\mu \nu} = \frac{4 \pi G }{c^2_{g}} J^\mu, \qquad\qquad (5)

где   J^\mu = \rho_{0} u^\mu = \left(\frac { c_{g}\rho_{0}}{ \sqrt{1-V^2/ c^2_{g}}} , \frac {\mathbf{V} \rho_{0}}{\sqrt{1-V^2/ c^2_{g}}} \right)=( c_{g}\rho , \mathbf{J})  есть 4-вектор плотности массового тока, ρ0  – плотность вещества в сопутствующей системе отсчёта, \mathbf{V}  – скорость движения элемента вещества, ~ G гравитационная постоянная.

В развёрнутом виде уравнения для напряжённостей поля с источниками поля имеют вид:

~ \nabla \cdot \mathbf{\Gamma } = -4 \pi G \rho,

 

~ \nabla \times \mathbf{\Omega} = \frac{1}{c^2_{g}} \left( -4 \pi G \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right),

где ~ \rho – плотность движущейся массы, ~ \mathbf{J} – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость гравитационного поля порождается плотностью вещества, а по второму уравнению круговое поле кручения всегда сопровождает ток массы либо возникает при изменении во времени вектора напряжённости гравитационного поля.

Гравитационная 4-сила, действующая на массу ~M  тела, может быть выражена через тензор гравитационного поля и 4-скорость тела:

~ F_\mu = M \Phi_{\mu \nu} u^\nu.

 Данное выражение получается, в частности, как следствие аксиоматического построения ковариантной теории гравитации на языке 4-векторов и тензоров. [3]

Если взять ковариантную дивергенцию от обеих частей в (5), то с учётом (1) получится уравнение непрерывности для массового 4-тока: [4]

~ \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \Phi^{\alpha \beta}= \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \nabla^{\alpha}D^{\beta}- \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \nabla^{\beta }D^{\alpha }= - R_{ \mu \alpha } \Phi^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi G }{c^2_g} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.

 

В пространстве Минковского тензор Риччи ~ R_{ \mu \alpha }  равен нулю, ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким:

~\partial_{\mu} J^\mu = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0.

Действие и Лагранжиан

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор гравитационного поля и содержится в функции действия: [4] [5]

~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda -  \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} -

~ -\frac {1}{c}u_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} -\frac {1}{c} \pi_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu}f^{ \mu\nu}  ) \sqrt {-g}d\Sigma,

где ~L – функция Лагранжа или лагранжиан, ~dt – дифференциал времени используемой системы отсчёта, ~k – некоторый коэффициент, ~R – скалярная кривизна, ~\Lambda – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, электромагнитный 4-потенциал ~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{ c}, -\mathbf{A}\right), где ~\varphi есть скалярный потенциал, а ~\mathbf{A} является векторным потенциалом, ~ j^\mu – электрический 4-ток, ~\varepsilon_0 – электрическая постоянная, ~ F_{ \mu\nu} – тензор электромагнитного поля, ~ u_\mu – ковариантная 4-скорость, ~ \eta  и  ~ \sigma – постоянные, подлежащие определению, ~ u_{ \mu\nu} – тензор ускорений~ \pi_\mu – 4-потенциал поля давления, ~ f_{ \mu\nu} – тензор поля давления,

~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3 – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты ~ dx^0=cdt, через произведение ~ dx^1 dx^2 dx^3 дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~\sqrt {-g} из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам приводит к уравнению движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления:

~ \rho_0 a_\beta = \rho_0 \frac {Du_\beta}{D \tau} = \rho_0 u^k \nabla_k u_\beta = \rho_0 \frac{ du_\beta } {d \tau }- \rho_0 \Gamma^s_{k \beta } u^k u_s = \Phi_{\beta \sigma} \rho_0  u^\sigma + F_{\beta \sigma} \rho_{0q}  u^\sigma + f_{\beta \sigma} \rho_0  u^\sigma ,

где ~ a_\beta – 4-ускорение с ковариантным индексом, использован оператор производной по собственному времени ~ \tau, ~ \Gamma^s_{k \beta } – символ Кристоффеля, первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда ~ \rho_{0q}, измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, а последний член определяет силу давления.

Если варьировать функцию действия по гравитационному 4-потенциалу, получается уравнение гравитационного поля (5).

Тензор энергии-импульса гравитационного поля

С помощью тензора гравитационного поля в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса гравитационного поля:

~ U^{ik} = \frac{c^2_{g}} {4 \pi G }\left( -g^{im}\Phi_{mr}\Phi^{rk}+ \frac{1} {4} g^{ik}\Phi_{rm}\Phi^{mr}\right).

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса гравитационного поля задаёт 4-вектор плотности гравитационной силы:

~ -\nabla_\beta U^{\alpha \beta} = \Phi^{\alpha}_{k} J^k .

Обобщённый импульс и механика Гамильтона

По определению, обобщённый импульс \mathbf {P}  характеризует полный импульс элемента вещества с учётом импульсов от гравитационного и электромагнитного полей. В ковариантной теории гравитации обобщённая сила, как скорость изменения обобщённого импульса по координатному времени, зависит в том числе и от градиента от энергии гравитационного поля, связанного с элементом вещества и определяемого тензором гравитационного поля. [6]

В приближении слабого поля Гамильтониан как релятивистская энергия тела с массой ~ m и с зарядом ~ q при ~ c = c_g  равен:

~H = c \sqrt {m^2 c^2 + (\mathbf {P}-m \mathbf {D}-q \mathbf {A})^2}+m \psi + q \varphi-

~ - \int {( \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}- \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu } )}  dx^1 dx^2 dx^3 + const.

 

Если использовать ковариантный 4-вектор обобщённой скорости

~ s_{\mu } =  u_{\mu } +D_{\mu } + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 }A_{\mu }+  \pi_{\mu },

то в общем случае Гамильтониан имеет вид: [4]

~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},

 

где ~ s_0  и ~ J^0  обозначают временные компоненты 4-векторов ~ s_{\mu }  и  ~ J^{\mu }.

Если перейти в систему отсчёта, неподвижную относительно центра масс системы, Гамильтониан будет определять инвариантную энергию системы.

См. также

Ссылки

1.       Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.

2.      Strel'tsov V.N. On the Lorentz-Covariant Theory of Gravity. Apeiron, 1999, Vol. 6, Nr. 1–2, P. 55 – 61.

3.       Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

4.      Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

5.       Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, 2012, Vol. 35, No. 1, P. 35 - 70. статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.

6.      Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, 2012, Vol. 5, No. 4, P. 55 – 75. http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023 ; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.

 Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/tgp.htm

        На список страниц