In English

Лоренц-инвариантная теория гравитации

Из проекта Викизнание

Лоренц-инвариантная теория гравитации (ЛИТГ) является одной из альтернативных теорий гравитации. Причиной её появления являются проблемы, имеющиеся у общей теории относительности (ОТО). Хотя ОТО и считается наиболее развитой теорией гравитации, в ней имеются затруднения фундаментального характера с объяснением факта неинвариантности энергии гравитационного поля. В классической ОТО возникают также проблемы описания спин-орбитального взаимодействия, однозначности результатов и обоснования непротиворечивости, ^[1] невозможности построения квантово-полевой модели каноническим образом.

Теория ЛИТГ имеет тот же теоретический уровень, что и теория электромагнетизма Максвелла. Это вытекает из подобия исходных уравнений этих теорий, описания поля с помощью двух потенциалов и двух напряжённостей, одинаковой степени инвариантности при преобразованиях координат между двумя системами отсчёта (смотри также максвеллоподобные гравитационные уравнения). ЛИТГ является тем пределом ковариантной теории гравитации, при котором можно пренебречь влиянием гравитационного поля на распространение волновых квантов и на результаты пространственно-временных измерений. Гравитационное поле рассматривается при этом как одна из компонент общего поля.^[2]

1 Историческое введение
2 Современный период
3 Невыясненные вопросы в ОТО
4 Описание теории
5 Уравнения ЛИТГ
6 Формулы для кручения поля
7 Потенциалы поля
8 Запись уравнений в четырёхмерном мире Минковского
9 Функция Лагранжа
10 Уравнения ЛИТГ в произвольной системе отсчёта
11 ЛИТГ и ОТО
12 Гравитационные эксперименты с полем кручения

12.1 Взаимодействие спинов
12.2 Орбитальная прецессия
12.3 Геодезическая прецессия

13 Массы и энергии
14 Ссылки
15 См. также
16 Внешние ссылки

Историческое введение

В одной из своих фундаментальных работ ^[3] Максвелл в 1865 г. использовал закон Ньютона для сравнения энергии гравитационного взаимодействия двух тел и энергии взаимодействия двух магнитов. Однако Максвелл на основе применяемых им механических аналогий не мог понять причину отрицательности как энергии статического гравитационного поля, так и потока гравитационной энергии. Это могло быть причиной того, что он не описал гравитацию уравнениями, подобными уравнениям электромагнетизма.

Аналогично тому, как Вебер модифицировал закон Кулона для электрических зарядов, так в 1870 г. Holzmüller ^[4] и затем Tisserand ^[5] изменили закон Ньютона, введя в выражение для гравитационной силы член, зависящий от относительной скорости движения двух притягивающихся частиц. Обсуждение этих нововведений в выражении для силы можно найти в следующих работах: ^[6] ^[7]

По-видимому, одним из первых учёных, описавших аналогию между электромагнитной и гравитационной теориями, был Оливер Хевисайд. В своей работе 1893 г. ^[8] ^[9] Хевисайд с точностью до знака и коэффициентов согласно используемой им системы физических единиц приводит правильное выражение для ротора гравитационной величины, подобной по смыслу индукции магнитного поля в электродинамике. Эта величина в настоящее время определяет поле кручения, а в гравитоэлектромагнетизме, если считать его частью ОТО в пределе малого поля, является напряжённостью гравитомагнитного поля.

Хевисайд вводит также вектор плотности потока энергии гравитационного поля и определяет обе компоненты, из которых состоит полная плотность энергии гравитационного поля, а затем приходит к выражению для ротора напряжённости гравитационного поля, связывая его со скоростью изменения кручения. Во второй части своей работы, ^[10] Хевисайд применяет полученные им результаты для оценки полной силы между Землёй и Солнцем, включающей в себя компоненту силы, возникающую от действия орбитального поля кручения Солнца на движущуюся по своей орбите Землю (если рассматривать только два гравитационно связанных тела, то каждое из них вращается вокруг общего центра инерции системы по собственным орбитам). Исходя из возможных возмущений в движении Земли вокруг Солнца за счёт силы от поля кручения, он делает вывод о том, что скорость гравитации должна быть велика, порядка скорости света. То, что Хевисайд пришёл к уравнениям ЛИТГ, неудивительно, если учесть, что именно он придал уравнениям Максвелла современный вид из 4 векторных дифференциальных уравнений (до этого использовались 20 уравнений с 12 неизвестными величинами).

В 1905 г. Пуанкаре в статье ^[11] утверждает необходимость лоренц-ковариантности гравитационной силы как следствие расширения принципа относительности не только на электромагнитные, но и на гравитационные явления непосредственно уже в инерциальных системах отсчёта. Именно такой подход соответствует сущности принципа относительности в специальной теории относительности (СТО). Далее Пуанкаре рассматривает параллельное движение двух тел, неподвижных друг относительно друга, в некоторой системе отсчёта. На основе преобразований группы Лоренца Пуанкаре в общем случае выводит ряд инвариантов, сохраняющихся при преобразованиях, а затем рассматривает их возможное значение. С точки зрения современной терминологии в СТО, инварианты можно понять как следствие сравнения длин 4-векторов положения, перемещения, скорости, силы и плотности силы в двух разных системах отсчёта. Поскольку в преобразованиях Лоренца присутствует скорость света как следствие процедуры пространственно-временных измерений с помощью электромагнитной волны, то это обстоятельство могло побудить Пуанкаре признать в статье, что скорость гравитации скорее всего равна скорости света. Возможно, этого не случилось бы, если бы Пуанкаре рассматривал теорию относительности на основе не электромагнитных, а гравитационных волн с соответствующей им скоростью.

У Пуанкаре как и у Хевисайда получается, что полная сила гравитации между двумя телами имеет две компоненты, одна из которых пропорциональна вектору до притягивающего тела, а вторая компонента связана с составляющими вектора скорости этого тела, взятых в момент, когда гравитационная волна покидает тело. Вторая компонента силы, как замечает Пуанкаре, ведёт себя как магнитная сила в электродинамике. Подробный расчёт похожей ситуации для двух тел был сделан также в книге ^[12] в качестве иллюстрации применения ЛИТГ к описанию движения тел. Вывод Пуанкаре о возникновении второй компоненты силы целиком подтверждается, поскольку без неё нарушаются и лоренц-ковариантность и известный результат СТО о замедлении времени в движущихся телах (изменение величины силы между телами сопровождается изменением длительности единицы времени, с учётом того, что сила в каждой системе отсчета определяется как изменение импульса тела за единицу времени). Важность вклада Пуанкаре в теорию гравитации подчёркивается в статье. ^[13]

Richard Gans в своей работе ^[14] также приходит к уравнениям гравитации, подобным уравнениям Максвелла.

В 1908–1909 гг. Минковский публикует две работы по лоренц-инвариантной теории гравитации. ^[15] ^[16] Для скорости гравитации Минковский принимает значение, равное скорости света, а преобразование силы происходит у него аналогично силе Лоренца в электродинамике.

Статья Зоммерфельда прояснила ряд вопросов в ЛИТГ. ^[17] Зоммерфельд, в частности, переписал результаты как Пуанкаре, так и Минковского в 4-векторном формализме и показал их общность и различие. В 1910 г. появляется также статья Лоренца. ^[18] Целью всех вышеуказанных работ являлось в первую очередь представление модифицированного закона Ньютона в его лоренц-ковариантной формулировке. ^[19]

В 1922 г. Felix Kottler выводит ряд соотношений ЛИТГ в терминах векторной и тензорной алгебры, даёт выражение для полной гравитационной силы и гравитационного 4-потенциала. ^[20]

К сожалению, указанным работам не было придано достаточного значения, поскольку считалось, что результаты ЛИТГ могут быть выведены из ОТО в пределе слабого поля. В таком случае ЛИТГ кажется некоторым промежуточным этапом в развитии теории гравитации. Кроме этого, ЛИТГ не могла самостоятельно объяснить сдвиг перигелия Меркурия и другие следствия ОТО. ^[21]

Типичным примером является статья J. J. Rawal и J. V. Narlikar, ^[22] в которой из соображений лоренц-инвариантности находится волновое уравнение ЛИТГ для гравитационного потенциала и результат применяется для анализа движения планет и гравитационного красного смещения.

Представление о том, что ОТО вероятно не полна и не достаточна для объяснения всего набора гравитационных явлений, в то время ещё отсутствовало либо полагалось необоснованным (смотри далее невыясненные вопросы в ОТО).

Современный период

Среди работ, посвящённых развитию ЛИТГ и учёту запаздывания действия гравитации в законе Ньютона, можно упомянуть статью Уитроу и Мордух 1960 г.,^[23] статью J. North,^[24] статьи Kustaanheimo P., Nuotio V. S.,^[25],^[26] и статью Coster, H. G. L. and J. R. Shepanski.^[27] J. Carstoiu представил уравнения гравитации как максвеллоподобные уравнения.^[28]

В статье ^[29] обсуждаются эмпирически эквивалентные теории гравитации – стандартная ОТО, Лоренц-инвариантная теория гравитации, гравитационные калибровочные теории типа теории Лоренца. Элементы теории ЛИТГ и некоторые следствия описываются в книге, ^[30] а также в статьях: ^[31] ^[32] ^[33] ^[34] ^[35] ^[36] ^[37]

Теория информатонов (theory of informatons) в работе Antoine Acke приводит к гравитационным уравнениям ЛИТГ. ^[38] Уравнения ЛИТГ также представлены в статьях. ^[39] ^[40] ^[41]

В своих работах Oleg D. Jefimenko, так же как Хевисайд и Пуанкаре, рассматривал обобщение ньютоновского закона гравитации, путём введения в теорию второй компоненты гравитационного поля. Это позволяет ЛИТГ удовлетворять принципу причинности и делает её возможной для описания зависящего от времени гравитационного взаимодействия. ^[42] ^[43] ^[44]

Полная версия ЛИТГ была опубликована также Сергеем Федосиным, физиком и философом из Перми, [2], в 1999 г. Фактически ЛИТГ была построена заново и независимо от предшественников, труды которых недостаточно цитируются и потому оказались вне поля зрения.

Невыясненные вопросы в ОТО

При анализе основ и результатов ОТО, считающейся современной теорией гравитации, обнаруживаются следующие моменты, которые требуют объяснения либо серьёзного научного обоснования:

ОТО является не теорией, использующей геометрию в качестве подчинённой науки для объяснения физических свойств взаимодействующих тел, а теорией, в которой геометрия пространства-времени занимает несвойственное ей главное место, ^[45] подменяя собой действие наблюдаемых гравитационных сил за счёт искривления пространства-времени.
Движение по геодезическим линиям в ОТО не одинаково для возможных пробных частиц: для нейтральных частиц возле массивного заряженного замагниченного и вращающегося тела, и для заряженных частиц траектории не совпадают, несмотря на одинаковую метрику пространства-времени. Тем самым ставится под сомнение универсальность принципа геометризации физической силы и возможность определения единой метрики с помощью пробных частиц.
Имеется отличие для движения двух пробных частиц в статическом гравитационном поле, если одна из них не имеет собственного вращения, а другая обладает спином. Учёт спина пробной частицы в последнем случае не является в ОТО однозначным, ^[46] так как существуют несовпадающие между собой подходы. Различие между движениями пробных частиц становится ещё больше, если они падают в гравитационном поле вращающегося массивного тела. В этом случае на пробную частицу со спином действует гравитомагнитное поле, приводящее к прецессии спина пробной частицы (спиновый эффект Шиффа). У пробной частицы без спина такая прецессия не может быть определена экспериментально из-за отсутствия спина.
В качестве оснований ОТО используются: а) принцип эквивалентности или принцип универсальности свободного падения (свободно падающие тела при одинаковых начальных условиях имеют одинаковое ускорение, не зависящее от массы и состава вещества этих тел); б) принцип локальной лоренц-инвариантности (ход часов не зависит от скорости часов); в) принцип локальной инвариантности местоположения (ход часов не зависит от того, когда и в каком месте пространства проводятся измерения). Эти принципы являются идеализацией и пригодны лишь для частиц малых размеров, которые не способны существенно изменить гравитационное поле, в котором они падают. Однако, если пробные тела достаточно массивны, они сами изменяют метрику пространства-времени вокруг себя, так что геодезические линии разных тел перестают совпадать. В массивных пробных телах могут появиться значительные внутренние гравитационные напряжения и давление вещества, так что ход часов в разных точках пробных тел будет зависеть от местоположения часов и даже от скорости центра инерции пробного тела. Пробные тела могут быть активными, они могут взаимодействовать друг с другом, излучать частицы и т.д. Всё это приводит к нарушению указанных выше принципов и невозможности их использования в качестве аксиом ОТО. Если же пробное тело становится сравнимым по влиянию с основным телом, в гравитационном поле которого оно находится, то ОТО не может построить аналитического решения для метрики системы этих двух тел даже для случая, когда тела представляются точками. В таком случае становится затруднительным вывести условия, при которых можно считать действенным принцип эквивалентности, если при этом учитывать гравитационную энергию связи и другие свойства пробного тела.
Даже если отвлечься от внутренних свойств пробных частиц и считать их идеальными, принцип эквивалентности ещё не выполняется. Дело в том, что при движении частиц возле реальных массивных тел возникают динамические гравитационные возмущения, зависящие от масс пробных частиц и свойств вещества массивных тел. Примером являются лунные приливы, замедляющие вращение Земли и приводящие к удалению Луны от Земли со скоростью порядка 3,82 см в год. ^[47]
В ОТО долгое время не была построена система исходных аксиом теории, что мешало очертить однозначные границы действия теории и убедиться в её достоверности в рамках принятых допущений. ^[48] Аксиоматизацию ОТО удалось осуществить, исходя из аксиом метрической теории относительности (МТО) и ковариантной теории гравитации (КТГ). ^[49] В результате оказалось, что общая относительность является частным случаем МТО, а уравнения движения ОТО являются частным случаем уравнений движения КТГ. ^[50]
Гравитационное поле в ОТО определено не как физический, а как геометрический объект, поскольку соответствующий тензор плотности энергии-импульса поля, взятый в ковариантном виде в любой системе отсчёта, отсутствует. Вместо него используется псевдотензор, однако даже его вид однозначно не определён – существуют различные варианты, например, Эйнштейна, Ландау-Лифшица, Меллера-Мицкевича. ^[⁵^1]
В ОТО неизвестно, где и в каком количестве сосредоточена гравитационная энергия. В связи с этим ОТО не может считаться самостоятельной теорией гравитационного поля, не имея представления о наиважнейшей характеристике поля как предмета своего исследования. Кроме этого, в ОТО энергия определяется локально, но есть затруднение в нахождении полной энергии, взятой по всему пространству. ^[52] ^[53] Законы сохранения в ОТО установлены лишь для двух экстремальных идеализированных ситуаций – для островных систем, окружённых пустым плоским пространством Минковского, и для вселенной в целом. Отсутствие общего выражения для энергии гравитационного поля приводит к тому, что вклад этой энергии в массу тела находится неточно.^[54] ^[55] Более того, принятое в ОТО определение массы тела в пределе слабого поля [3], согласно которому гравитационная масса уменьшается за счёт отрицательной массы-энергии гравитационного поля, не совпадает с определением массы в ЛИТГ, ^[56] где гравитационная масса тела увеличивается в собственном гравитационном поле.
У ОТО отсутствует однозначный предельный переход в СТО, то есть в случай слабых полей, основанный на принципе соответствия и законах сохранения физических величин типа энергии, импульса и момента импульса. ^[⁵^7]
В ОТО имеется проблема, связанная с анализом возникновения и распространения гравитационных волн. Вследствие отсутствия в ОТО аналитического решения в задаче двух тел, становится затруднительным сформулировать начальные условия для процесса генерации гравитационных волн какими-либо двумя взаимодействующими источниками. ^[58]
Гравитационное поле, рассматриваемое как метрическое поле, имеет исключительный статус – в него делают вклад все возможные источники энергии-импульса, что следует из расширенного на все явления принципа эквивалентности массы и энергии СТО. Однако само гравитационное поле в ОТО, не обязано прямо влиять на другие поля, например, на электромагнитное поле. Отсюда видно, что гравитационное поле определяется операционным, конвенциональным образом, проявляясь в результате как геометрический объект.
Гравитационное поле тела само по себе не учитывается при нахождении метрического поля возле этого тела, поскольку при расчётах метрики внутри тела в ОТО используется только тензор плотности энергии-импульса вещества, давления и электромагнитного поля тела, который равен нулю за пределами тела (за исключением вклада от тензора энергии-импульса электромагнитного поля). Но такой подход вступает в противоречие с тем, что находящиеся вблизи тела гравитационные поля от других источников неизбежно меняют метрику возле этого тела, демонстрируя зависимость метрики от гравитационного поля как такового, включая следовательно и собственное стационарное гравитационное поле тела. Имеются попытки учесть в ОТО самодействие метрического поля движущегося тела на метрику вокруг этого тела с помощью метода возмущений, что не может быть признано однозначным, удовлетворительным и общим описанием самодействия. ^[59]
ОТО не может вывести только из одних своих принципов метрику вокруг уединённого массивного тела, поскольку для этого не хватает уравнений для вычисления метрики по сравнению с количеством неизвестных величин. ^[60] Для получения результата делается приближение слабого поля ^[61] для возможности сравнения уравнения движения из метрики с уравнением движения и гравитационной силой из закона Ньютона, при этом все возможные поправки высшего порядка в метрике автоматически обнуляются (закон Ньютона есть приближение лишь первого порядка для гравитации). В таком случае оказывается, что точность определения метрики в ОТО не выше, чем точность классического закона Ньютона. Последующее применение полученной таким образом метрики делает действительными поправки только первого порядка к релятивистским явлениям вблизи массивных тел, затрудняя сравнение результатов ОТО с результатами альтернативных теорий гравитации. Особенно это касается теорий, которые отличаются от ОТО лишь во втором порядке точности относительно квадрата скорости света в метрике.
В ОТО нет обобщения известного принципа суперпозиции для классических потенциала и напряжённости ньютоновского гравитационного поля, поскольку метрика системы двух тел как олицетворение гравитационных потенциалов ОТО является функцией неопределённого вида от метрик обоих тел, взятых самих по себе. ^[62] Тем самым затрудняется решение задачи N тел, а у метрики уединённого массивного тела нет прямой связи с метриками отдельных частей этого тела.
ОТО отличается от других физических теорий также и в том смысле, что в ней возникают существенные проблемы при попытке найти квантово-полевое расширение теории. Выяснением природы гравитации на микроуровне занимается квантовая гравитация. [4] Дополнительное затруднение возникает в связи с квантовым принципом неопределённости – если положение и скорость частицы не определены точно, то как находить гравитационное поле отдельной частицы и композиции множества частиц?
Ограниченность и недостаточность философской основы ОТО проявляется при попытках представления внутренней структуры пространства-времени предсказываемых ОТО чёрных дыр, а также сингулярностей пространства-времени с неограниченной плотностью энергии. Внутренние свойства этих объектов получаются принципиально непознаваемыми и не проверяемыми внешним наблюдателем, так как никакая информация не может выйти за пределы их гравитационного радиуса. ^[63] Само появление подобных объектов есть следствие предельной геометризации физики гравитационного поля – в ОТО предполагается, что плотность гравитационной силы и мощности энергии поля характеризуются лишь искривлением пространства-времени и потому могут быть предельно большими. Но в ОТО отсутствуют доказательства существования настолько большой силы гравитации, которая была бы способна превратить вещество любой массы в чёрную дыру, преодолев при этом ядерные силы отталкивания нуклонов на стадии образования нейтронной звезды. С философской точки зрения теория не может считаться полной, если в ней допускаются недоступные для познания объекты или структуры.

Представленные выше особенности ОТО показывают, что большинство проблем теории гравитации могут быть сняты путём использования не ОТО, а ЛИТГ совместно с идеей использования метрики из ОТО, в качестве первого приближения к более точной теории гравитационного поля. В таком случае общая относительность становится продолжением специальной теории относительности и несёт её функции в том случае, когда результаты пространственно-временных измерений становятся зависимыми от действующих в рассматриваемой системе электромагнитных и гравитационных полей. Если бы не влияние гравитации на распространение света, вместо общей относительности продолжала бы действовать СТО и была бы справедлива ЛИТГ. Так же как СТО не подменяет собой электродинамику, так и общая относительность не может подменять собой ни ЛИТГ, ни электродинамику, которые возникают и существуют независимо от ОТО. С точки зрения ЛИТГ, уравнения для метрики необходимы для определения метрического тензора, задающего эффективные свойства пространства-времени при данном распределении источников энергии-импульса, и заменяющего собой единичный метрический тензор плоского пространства Минковского. После нахождения метрического тензора с помощью уравнений для метрики, электродинамика и ЛИТГ становятся не просто лоренц-инвариантными (это частный случай СТО), а ковариантными для всех тех возможных систем отсчёта, в которых найдена метрика. Это следует из возможности записи уравнений этих теорий в векторной и тензорной форме. ЛИТГ при этом переходит в ковариантную теорию гравитации (КТГ).

Описание теории

Особенностью ЛИТГ является то, что в ней сила гравитации, в отличие от ряда других теорий, включая ОТО, есть не следствие искривления пространства-времени, а реальная физическая сила. Учёт ограниченности скорости распространения гравитации с помощью методики вычисления потенциалов поля Лиенара-Вихерта (Alfred Lienard and Emil Wiechert) неизбежно приводит к лоренц-ковариантности гравитационного поля в пределе слабого поля и к необходимости введения гравитационного поля кручения. Структура ЛИТГ напоминает структуру теории электромагнитного поля, однако синтез идей ЛИТГ и ОТО в отличие от электромагнетизма существенно изменяет смысл самой теории гравитации, приводя в результате к ковариантной теории гравитации (КТГ). По своему положению ЛИТГ находится между статической теорией тяготения Ньютона, ещё не учитывающей скорость распространения гравитации и не позволяющей находить силу гравитации в произвольно движущейся инерциальной системе отсчёта, и общей теорией относительности, рассматривающей явления уже в неинерциальных системах отсчёта через неевклидовую геометрию. ЛИТГ пользуется обобщением расширенной специальной теории относительности на гравитационные явления.

В соответствии с метрической теорией относительности, описание физических явлений требует предварительного выбора способа регистрации пространственно-временных соотношений между физическими величинами .^[64] В настоящее время оптимальным выбором является электромагнитно-волновое представление, когда средствами определения расстояний и временных промежутков являются электромагнитные приборы. После такого выбора, все физические величины определяются таким образом, чтобы они соответствовали скорости света как скорости электромагнитной волны, используемой для измерений. Представленные далее соотношения ЛИТГ содержат такие гравитационные физические величины, которые определены в электромагнитно-волновом представлении.

Уравнения ЛИТГ

Уравнения гравитационного поля в евклидовом пространстве состоят из четырёх векторных дифференциальных уравнений и могут рассматриваться как максвеллоподобные гравитационные уравнения. В международной системе единиц СИ эти уравнения [5] имеют вид:^[8] ^[11]

$~ \nabla \cdot \mathbf{\Gamma } = -4 \pi G \rho,$

$~ \nabla \cdot \mathbf{\Omega} = 0 ,$

$~ \nabla \times \mathbf{\Gamma } = - \frac{\partial \mathbf{\Omega} } {\partial t} ,$

$~\nabla \times {\mathbf {\Omega }}={\frac {1}{c^{2}}}\left(-4\pi G{\mathbf {J}}+{\frac {\partial {\mathbf {\Gamma }}}{\partial t}}\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(-4\pi G\rho {\mathbf {v}}_{{\rho }}+{\frac {\partial {\mathbf {\Gamma }}}{\partial t}}\right),$

где:

$~ \mathbf{\Gamma }$ есть напряжённость гравитационного поля,
– гравитационная постоянная,
$~ \mathbf{\Omega}$ есть поле кручения, имеющее размерность как у частоты,
$~ \mathbf{J}$ – плотность тока массы, создающего гравитационное поле кручения,
$~ \rho$ – плотность массы,
$~ \mathbf{v}_{\rho}$ – скорость движения потока массы,
– скорость света.

Данные уравнения по своей форме почти точно совпадают с уравнениями, вытекающими из ОТО в пределе слабого поля (смотри гравитоэлектромагнетизм).

Линии поля кручения всегда замкнуты, как у магнитного поля, тогда как линии напряжённости гравитационного поля могут уходить в бесконечность. Поле кручения создаётся движением вещества и изменением во времени напряжённости гравитационного поля, а при вращении тела с постоянной угловой скоростью поле кручения носит стационарный характер. При изменении поля кручения со временем в пространстве вокруг тела появляется напряжённость вихревого гравитационного поля. Суммарная гравитационная сила, действующая на тело, имеет две компоненты. Одна из них есть обычная сила Ньютона, зависящая от напряжённости гравитационного поля и массы тела, а другая зависит от векторного произведения скорости тела на поле кручения, имеющееся в пространстве в месте расположения тела. Таким образом, каждое тело воздействует на другие тела не только посредством напряжённости гравитационного поля, но и посредством поля кручения, создаваемого движением или вращением тела.

Выражение для гравитационной силы имеет следующий вид:

$~\mathbf{F}_{m} = m \left( \mathbf{\Gamma } + \mathbf{v}_{m} \times \mathbf{\Omega} \right),$

где:

m – масса частицы, на которую действует сила,
v_m – скорость частицы.

Эта формула совпадает с выражением для силы из ОТО в пределе слабого поля, ^[65] ^[66] хотя в некоторых публикациях по ОТО перед скоростью v_m в формуле для силы стоит коэффициент 2 ввиду другого способа определения поля $~ \mathbf{\Omega}$ .

Для плотности энергии и вектора плотности потока энергии (вектора Хевисайда) гравитационного поля в ЛИТГ получается:

$~u=-{\frac {1}{8\pi G}}\left(\Gamma ^{2}+c^{2}\Omega ^{2}\right),$

$~{\mathbf {H}}=-{\frac {c^{2}}{4\pi G}}{\mathbf {\Gamma }}\times {\mathbf {\Omega }}.$

Формулы для поля кручения

Основная статья: Поле кручения

Для поля кручения за пределами вращающегося тела из уравнений поля путём интегрирования по всем точкам тела можно вывести формулу:

$~{\mathbf {\Omega }}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {{\mathbf {L}}-3({\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {r}}/r){\mathbf {r}}/r}{r^{3}}}$ ,

где $~ \mathbf{L}$ есть момент импульса вращения или спин тела, $\mathbf {r}$ — вектор от центра тела до точки, в которой находится кручение.

При прямолинейном движении тела поле кручения гравитационного поля равно:

$~{\mathbf {\Omega }}={\frac {{\mathbf {V}}\times {\mathbf {\Gamma }}}{c^{2}}},$

где $~\mathbf{V }$ – скорость движения тела, $~\mathbf{\Gamma }$ – напряжённость гравитационного поля от тела в той точке, где определяется поле кручения $~\mathbf{\Omega }$ , причём напряжённость $~\mathbf{\Gamma }$ берётся с учётом запаздывания распространения гравитационного возмущения.

В общем случае поле кручения от точечной произвольно движущейся массы можно выразить через величину создаваемой ею напряжённости гравитационного поля $~\mathbf{\Gamma }$ :

$~{\mathbf {\Omega }}={\frac {1}{c}}{\mathbf {e_{{r}}}}\times {\mathbf {\Gamma }},$

где $~ \mathbf{ e_{r}}$ есть единичный вектор, направленный от точечной массы в ту точку, где определяется поле кручения, взятый в раннее время с учётом запаздывания.

Формула для момента силы, действующего на вращающуюся частицу со спином $~ \mathbf{L}$ в поле кручения $~ \mathbf{\Omega }$ , записывается так:

$~\mathbf{K } = \frac{1}{2} \mathbf{L} \times \mathbf{\Omega }.$

Вращающуюся частицу можно считать волчком со спином $~ \mathbf{L}$ . Под действием момента сил $~\mathbf{K }$ от поля кручения частица будет прецессировать вдоль направления поля $~ \mathbf{\Omega }$ . Это следует из уравнения вращательного движения:

$~\mathbf{K } = \frac{d\mathbf{L} } {dt}$ .

Так как момент сил $~\mathbf{K }$ перпендикулярен спину $~\mathbf{L}$ и полю кручения $~\mathbf{\Omega }$ , то это же справедливо и для приращения спина $~d\mathbf{L}$ за время . Перпендикулярность $~\mathbf{L}$ и $~d\mathbf{L}$ приводит к прецессии спина частицы с угловой скоростью $~\mathbf{w } = -\frac{ \mathbf{\Omega }}{2}$ вокруг направления $~\mathbf{\Omega }$ (как видно, размерность кручения равна размерности угловой скорости).

Последнее равенство следует из того, что $~ \mathbf{K } = \frac{d\mathbf{L} } {dt} = \frac{1}{2} \mathbf{L} \times \mathbf{ \Omega }$ , а величина $~w= \frac{dL} {L \sin Q dt} = \frac{d\varphi} {dt}$ , где есть угол между $~ \mathbf{ \Omega }$ и $~\mathbf{L}$ , причём угол $~\varphi$ отсчитывается от проекции вектора $~\mathbf{L}$ на плоскость, перпендикулярную вектору $~\mathbf{\Omega}$ , до проекции вектора $~\mathbf{L} + d\mathbf{L}$ на эту плоскость.

При наличии неоднородного поля кручения частица со спином $~ \mathbf{L}$ будет увлекаться в область более сильного поля. Из уравнений ЛИТГ следует выражение для такой силы:

$~ \mathbf{F} = \frac{1}{2}\nabla \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{\Omega} \right).$

Механическая энергия частицы со спином в поле кручения будет равна:

$~U= -\frac{1}{2} \mathbf{L} \cdot \mathbf{\Omega}.$

Наличие поля кручения в гравитационных явлениях приводит к эффекту гравитационной индукции.

Потенциалы поля

Если ввести понятия скалярного $~\psi$ и векторного $~\mathbf{D}$ потенциалов гравитационного поля, то через них можно выразить напряжённость поля $~\mathbf{\Gamma }$ и поле кручения $~\mathbf{\Omega}$ :

$~\mathbf{\Gamma }=-\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t},$

$~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D}.$

Как для напряжённостей поля, так и для самих потенциалов в ЛИТГ справедливы волновые уравнения, зависящие от плотности вещества и плотности потока массы этого вещества. Эти волновые уравнения непосредственно вытекают из основных уравнений гравитационного поля и имеют вид:

$~\nabla ^{2}{\mathbf {\Gamma }}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Gamma }}}{\partial t^{2}}}=-4\pi G\nabla \rho -{\frac {4\pi G}{c^{2}}}{\frac {\partial {\mathbf {J}}}{\partial t}},$

$~\nabla ^{2}{\mathbf {\Omega }}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Omega }}}{\partial t^{2}}}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}\nabla \times {\mathbf {J}},$

$~\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=4\pi G\rho ,$

$~\nabla ^{2}{\mathbf {D}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {D}}}{\partial t^{2}}}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}{\mathbf {J}}.$

Для потенциалов использовано калибровочное условие, уменьшающее степень их неопределённости:

$~\nabla \cdot {\mathbf {D}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=0.$

Наличие волновых уравнений для напряжённостей и потенциалов говорит о том, что гравитационное поле распространяется в виде волн. Скорость распространения гравитационных волн предполагается достаточно близкой к скорости света.

Запись уравнений в четырёхмерном мире Минковского

Скалярный $~\psi$ и векторный потенциал $~\mathbf{D}$ гравитационного поля в совокупности составляют гравитационный 4-потенциал:

$~D_{i}=\left({\frac {\psi }{c}},-{\mathbf {D}}\right).$

Волновые уравнения гравитационного поля могут быть выражены одним уравнением через четырёхмерный даламбертиан $~\Box$ , действующий на четырёхмерный вектор потенциала, и с точностью до постоянного множителя равный массовому 4-току $~J^{i}$ : ^[67]

$~\Box D^{i}=-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}J^{i},$

где $~J^{i}=\rho _{{0}}u^{i}=\left({\frac {c\rho _{{0}}}{{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}},{\frac {{\mathbf {V}}\rho _{{0}}}{{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}}\right)=(c\rho ,{\mathbf {J}})$ есть массовый 4-ток, $~{\mathbf {J}}$ – плотность тока массы, есть 4-скорость, $~\rho_{0}$ – плотность вещества в системе его покоя.

4-дивергенции векторов $~D^{i}$ и $~J^{i}$ приравниваются нулю и тем самым задают калибровочное условие для потенциалов и уравнение неразрывности для массы вещества соответственно:

$~\partial _{{i}}D^{i}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {D}}=0.$

$~\partial _{{i}}J^{i}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {J}}=0.$

Через 4-вектор ковариантным образом определяется антисимметричный тензор гравитационного поля:

$~\Phi_{ik}= \partial_{i} D_{k}-\partial_{k} D_{i}.$

В пространстве Минковского компоненты этого тензора равны:

$~\Phi _{{ik}}={\begin{vmatrix}0&{\frac {\Gamma _{{x}}}{c}}&{\frac {\Gamma _{{y}}}{c}}&{\frac {\Gamma _{{z}}}{c}}\\-{\frac {\Gamma _{{x}}}{c}}&0&-\Omega _{{z}}&\Omega _{{y}}\\-{\frac {\Gamma _{{y}}}{c}}&\Omega _{{z}}&0&-\Omega _{{x}}\\-{\frac {\Gamma _{{z}}}{c}}&-\Omega _{{y}}&\Omega _{{x}}&0\end{vmatrix}}.$

С помощью тензора $~\Phi_{ik}$ четыре векторных уравнения гравитационного поля превращаются в два тензорных уравнения:

$~ \partial_n \Phi_{ik} + \partial_i \Phi_{kn} + \partial_k \Phi_{ni}=0$ ,

$~\partial _{k}\Phi ^{{ik}}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}J^{i}$

Плотность гравитационной силы задаётся соответствующим 4-вектором:

$~f_i = \Phi_{ik} J^k .$

Тензор $~\Phi_{ik}$ позволяет построить тензор энергии-импульса гравитационного поля:

$~U^{{ik}}={\frac {c^{2}}{4\pi G}}\left(-\eta ^{{im}}\Phi _{{mr}}\Phi ^{{rk}}+{\frac {1}{4}}\eta ^{{ik}}\Phi _{{rm}}\Phi ^{{mr}}\right),$

где:

$~ \eta^{ik}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

есть метрический тензор в четырёхмерном мире Минковского.

Временными компонентами тензора $~U^{ik}$ являются плотность энергии гравитационного поля и вектор Хевисайда, делённый на скорость света . Пространственные компоненты тензора образуют трёхмерный тензор гравитационных натяжений или объёмного гравитационного давления, взятый с обратным знаком. Тензор $~U^{ik}$ построен с помощью тензора $~\Phi_{ik}$ таким образом, что из него также можно найти 4-вектор плотности гравитационной силы: ^[68]

$~f^i = -\partial_k U^{ik}.$

Таким образом, данная теория гравитационного поля позволяет рассматривать явления вплоть до релятивистских скоростей движения тел.

Функция Лагранжа

Для одной частицы в гравитационном поле функция Лагранжа имеет вид: ^[12]

$~L=-mc{\frac {ds}{dt}}-m{\frac {D_{k}dx^{k}}{dt}}+{\frac {c}{16\pi G}}\int {\Phi _{{ik}}\Phi ^{{ik}}{\frac {dx^{4}}{dt}}}=$

$=-mc^{2}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}-m(\psi -{\mathbf {D\cdot V}})-{\frac {1}{8\pi G}}\int {(\Gamma ^{2}-c^{2}\Omega ^{2})}dx^{3}$ ,

где – интервал, – 4-вектор смещения частицы, $~ dx^3 =dx{}dy{}dz$ – элемент 3-объёма.

Интеграл по времени от функции Лагранжа есть функция действия, с помощью варьирования которой находятся уравнения Лагранжа, дающие уравнения движения частиц в поле и уравнения для самого гравитационного поля. В частности, для одной частицы выводится второй закон Ньютона в релятивистской форме, по которому скорость изменения импульса частицы равна гравитационной силе.

Уравнения ЛИТГ в произвольной системе отсчёта

Из различных экспериментов над распространением света вблизи массивных тел (смотри тесты ОТО) следует, что гравитационное поле этих тел искривляет лучи света, изменяет скорость и частоту электромагнитных волн. Это означает, что измеряемые размеры тел и ход часов зависят от их местоположения в гравитационном поле, в частности, от потенциалов поля. Тем самым возникает зависимость свойств пространства-времени в используемых системах отсчёта от поля гравитации. Гравитация эффективно искривляет плоский четырёхмерный мир Минковского. Для учёта этого обстоятельства вместо метрического тензора $~ \eta^{ik}$ в общем случае необходимо использовать метрический тензор $~ g^{ik}$ .

Тензор гравитационного поля по-прежнему определяется через 4-вектор потенциала: ^[69]

$~\Phi_{ik}= \partial_{i} D_{k}-\partial_{k} D_{i}.$

Уравнения поля в произвольной системе отсчёта через ковариантные производные от тензора гравитационного поля можно выразить двумя тензорными уравнениями:

$~ \nabla_n \Phi_{ik} + \nabla_i \Phi_{kn} + \nabla_k \Phi_{ni}=0$ ,

$~\nabla _{k}\Phi ^{{ik}}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}J^{i}.$

Тензор энергии-импульса гравитационного поля приобретает следующий вид:

$~U^{{ik}}={\frac {c^{2}}{4\pi G}}\left(-g^{{im}}\Phi _{{mr}}\Phi ^{{rk}}+{\frac {1}{4}}g^{{ik}}\Phi _{{rm}}\Phi ^{{mr}}\right).$

ЛИТГ и ОТО

В ОТО можно рассчитать метрику в пределе слабого поля внутри однородного шара без учёта внутреннего давления, энергий и импульсов полей, когда $~ g_{ik}= \eta_{ik}+h_{ik}$ , где $~ h_{ik}$ – маленькая добавка.

Решение для временных компонент тензора имеет вид: ^[12] $~ h_{00}= \frac {2\psi}{c^2}$ в статическом случае, и $~ h_{0p}= -\frac {4 D_p}{c}$ в динамическом случае, где Эти равенства с точки зрения ЛИТГ означают, что компоненты добавки к метрическому тензору $~ h_{0p}$ как бы в два раза сильнее зависят от векторного потенциала $~{\mathbf {D_{p}}}$ , чем компоненты $~ h_{00}$ зависят от скалярного гравитационного потенциала $~ \psi$ . В ОТО, в которой исходят из компонент метрического тензора, либо обнаруживают, что находимый из уравнений векторный потенциал в два раза «слабее», чем скалярный потенциал (это приводит к ЛИТГ), либо определяют новый векторный потенциал в виде $~ \mathbf {D}_{OTO}=2\mathbf {D}$ .

Отсюда в некоторых работах по гравитомагнетизму векторный гравитационный потенциал, а вслед за ним и вектор гравитомагнитного поля в два раза отличаются по значению соответственно от величины вектора $~\mathbf{D}$ и вектора поля кручения $~\mathbf{\Omega}$ , принятых в ЛИТГ. Одновременно это приводит и к отличию в два раза в формуле для силы компоненты, связанной с гравитомагнитным полем. При этом утверждается, что подобные отличия возникают вследствие тензорной природы метрического поля ОТО. ^[70]

В то же время, при классическом определении гравитационного векторного потенциала уравнения ОТО в пределе слабого поля совпадают с уравнениями ЛИТГ. Это показывается в гравитоэлектромагнетизме, ^[71] ^[72] ^[73] смотри также Gravitoelectromagnetism. Действительно, в слабом поле и ЛИТГ и ОТО оперируют фактически в пространстве Минковского и обязаны быть лоренц-ковариантны. В результате в публикациях по ОТО можно найти по крайней мере 5 различных вариантов формул для слабого гравитационного поля и полной силы: ^[74] ^[70] ^[75] ^[76] так что выводы ОТО для слабого поля пока нельзя признать однозначными или общепринятыми.

Как и в ОТО, для учёта сильных полей вместо метрического тензора $~ \eta^{ik}$ в формулах ЛИТГ применяется метрический тензор $~ g^{ik}$ . В результате ЛИТГ переходит в ковариантную теорию гравитации (КТГ). Однако подход ЛИТГ и КТГ в отношении сущности гравитационного поля противоположен ОТО – если в ОТО геометрия как бы порождает гравитацию, то в ЛИТГ гравитационные свойства тел и окружающего их пространства изменяют геометрию мира, наблюдаемую и измеряемую с помощью электромагнитных волн. Теория гравитации Лесажа находит причину гравитации в действии потоков гравитонов, ^[77] ^[78] ^[79] ^[80] что согласуется с ЛИТГ, но противоречит смыслу ОТО.

Благодаря тензору $~ U^{ik}$ в ЛИТГ и КТГ автоматически решается имеющаяся в ОТО проблема отсутствия тензора плотности энергии-импульса гравитационного поля. Тензор $~ U^{ik}$ участвует в решении всех задач при нахождении метрики. Совместно с граничными условиями (например, на поверхности массивных тел и на бесконечности) это задаёт условия, необходимые для правильной идентификации систем отсчёта, позволяя избежать соответствующей проблемы ОТО. Например, расчёты, произведённые в отношении вклада энергии гравитационного поля в метрику, показали, что добавка имеет величину второго порядка к квадрату скорости света и содержит члены с четвёртой степенью скорости света. ^[12] ^[81] ^[82]

Согласно ЛИТГ гравитационное поле является самостоятельным физическим полем. А метрическое поле, состоящее из компонент метрического тензора и зависящее от времени и координат точки, где оно определяется, является производным и суммарным эффектом от имеющейся плотности вещества, давления в нём, состояния движения этого вещества (скорости, ускорения), а также от имеющихся гравитационных и электромагнитных полей и других возможных источников энергии м потоков энергии. В отличие от ОТО, в ЛИТГ метрическое поле не отождествляется с гравитационным полем, а считается необходимым для правильного описания явлений.

Поскольку гравитационное поле в ЛИТГ является векторным (а не тензорным, как в ОТО), то в ЛИТГ допускается дипольное гравитационное излучение. Мощность этого излучения для случая периодического вращения тела массы вокруг притягивающего центра равна:^[83]

$~W=-{\frac {2Gm^{2}w^{4}R^{2}}{3c^{3}}},$

где есть угловая скорость вращения, – радиус вращения.

Из данной формулы следует, что гравитационная закрытая система из двух тел на стационарных орбитах может давать только квадрупольное излучение (у каждого тела дипольное излучение одинаково по мощности, но направлено противоположно другому, суммарное излучение этого типа равна нулю). Действительно, произведения и в формуле для излучения у обоих тел равны друг другу, а угловую скорость вращения можно считать одной и той же. Всё это коррелирует с обнаруженным отсутствием дипольного гравитационного излучения от тесных двойных нейтронных звёзд. Можно заметить ещё, что приведённая выше формула для дипольного гравитационного излучения соответствует формуле для дипольного электромагнитного излучения вращающегося заряда. А в системе множества частиц с одинаковым отношением заряда к массе дипольное электромагнитное излучение отсутствует. ^[84]

Гравитационные эксперименты с полем кручения

Взаимодействие спинов

Согласно ЛИТГ данное явление возникает уже в плоском пространстве Минковского между любыми двумя вращающимися объектами, обладающими собственными моментами импульса или спином. Интерпретация эффекта в ЛИТГ сводится к тому, что вращающиеся тела создают вокруг себя поля кручения, которые взаимодействуют между собой точно так же, как два магнитных диполя. Аналогичное взаимодействие спинов в ОТО носит названия спиновый эффект Лензе-Тирринга или эффект Шиффа. Этот эффект полагается одним из следствий увлечения инерциальных систем отсчёта ( frame dragging ), то есть увлечения свободно падающих тел вблизи массивного вращающегося объекта. В ОТО сила гравитации заменяется искривлением пространства, так что отклонение пробной частицы от её нормальной геодезической линии происходит вследствие вращения массивного тела и соответствующего изменения метрики.

Ввиду слабости эффекта желательно, чтобы хотя бы одно вращающееся тело имело большой спин и соответственно большое поле кручения. В качестве такого тела удобно выбрать Землю, в качестве второго тела – быстро вращающийся гироскоп на орбите вокруг Земли. Измерение эффекта проводилось на спутнике Gravity Probe B в 2004-2005 г.г. Формула для угловой скорости прецессии при взаимодействии спинов в ЛИТГ имеет вид:

$~\mathbf{w_{ss} } = -\frac{ \mathbf{\Omega }}{2},$

причём прецессия спина гироскопа происходит вокруг направления поля кручения $~\mathbf{\Omega }$ , создаваемого спином Земли. Земное поле кручения представляет собой дипольное поле и вычисляется по формуле:

$~{\mathbf {\Omega }}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {{\mathbf {L}}-3({\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {r}}/r){\mathbf {r}}/r}{r^{3}}},\qquad \qquad (1)$

где $~ \mathbf{L}$ – спин Земли, – расстояние от центра Земли до спутника, определяемое через радиус Земли и высоту спутника (для Gravity Probe B высота равна 640 км).

Поле кручения при движении спутника по орбите всё время меняется, поэтому для оценки прецессии удобнее использовать формулу для значения эффекта в постоянном поле. Предположим, что гироскоп находится всё время только над северным полюсом Земли, где $~ \mathbf{L}$ и $~ \mathbf{r}$ параллельны, а поле максимально. В этом случае формула для поля кручения Земли упрощается, и угловая скорость прецессии равна:

$~w_{{ss}}={\frac {GL}{2c^{2}r^{3}}}.$

Для Gravity Probe B значение $~w_{ss}$ должно быть приблизительно равно 0,0409 угловых секунд в год или 6,28•10^–15 рад/с. Такая же формула для эффекта, но после усреднения вдоль всей орбиты спутника, получается и в ОТО. ^[46]

Орбитальная прецессия

При движении пробной частицы по замкнутой траектории вокруг массивного тела, имеющего спин, возникает влияние поля кручения от спина тела на траекторию частицы. На частицу действует гравитационная сила Лоренца, создающая момент силы и приводящая к изменению направления орбитального момента частицы, то есть к прецессии. Уравнение вращательного движения частицы имеет вид:

$~\frac{d\mathbf{L_o} } {dt}= \mathbf{r}\times \mathbf{F},$

где сила равна: $~\mathbf{F} = m \left( \mathbf{\Gamma } + \mathbf{V} \times \mathbf{\Omega} \right)$ , величины и $~ \mathbf{V}$ обозначают массу и скорость частицы, а орбитальный момент частицы равен $~\mathbf{ L_o} = m \mathbf{r} \times \mathbf{V}.$

В системе отсчёта, связанной с центром Земли, векторы $~ \mathbf{r}$ и $~ \mathbf{\Gamma }$ параллельны друг другу, а их векторное произведение равно нулю. Для вычисления поля кручения Земли следует использовать формулу (1). С целью упрощения допустим, что орбита частицы чисто круговая, так что радиус-вектор частицы перпендикулярен её скорости и $~ \mathbf{r} \cdot \mathbf{V}=0$ . Это даёт:

$~{\frac {d{\mathbf {L_{o}}}}{dt}}=m{\mathbf {r}}\times [{\mathbf {V}}\times {\mathbf {\Omega }}]\approx m{\mathbf {V}}({\mathbf {r}}\cdot {\mathbf {\Omega }})=-{\frac {Gm}{c^{2}r^{3}}}{\mathbf {V}}({\mathbf {r}}\cdot {\mathbf {L}}).$

Отсюда следует, что угловая скорость прецессии орбитального момента равна:

$~w_{o}={\frac {GL}{c^{2}r^{3}}}.$

Учёт влияния гравитационного поля и вращения Земли на метрику пространства-времени с помощью ОТО приводит к тому, что результирующая угловая скорость прецессии орбитального момента становится больше и приблизительно равна . ^[85] Кроме того, прецессирует не только орбитальный момент пробной частицы, но и перигелий её орбиты. Для спутников LAGEOS и LAGEOS II угловая скорость прецессии узлов орбиты получается около 0,031 угловых секунд в год, причём расстояние от спутников до поверхности Земли порядка 6000 км.

Геодезическая прецессия

В данный эффект, называемый также прецессией де Ситтера (иногда прецессией Фоккера), вносят вклад два различных явления. Первое из них можно назвать спин-орбитальным взаимодействием. В случае гироскопа на орбите вокруг Земли это взаимодействие можно понять, как влияние поля кручения от орбитального вращения Земли (относительно системы отсчёта, жёстко связанной с центром инерции гироскопа), на спин гироскопа. Относительно гироскопа Земля вращается cо скоростью $~ \mathbf{V_E}$ , противоположной по направлению скорости $~ \mathbf{V_g}$ вращения гироскопа относительно Земли. Создаваемое Землёй орбитальное поля кручения можно оценить по формуле:

$~{\mathbf {\Omega }}={\frac {{\mathbf {V_{E}}}\times {\mathbf {\Gamma }}}{c^{2}}},$

где $~\mathbf{\Gamma }$ – напряжённость гравитационного поля Земли вблизи гироскопа.

Угловая скорость спин-орбитальной прецессии будет равна:

$~{\mathbf {w_{{so}}}}=-{\frac {{\mathbf {\Omega }}}{2}}={\frac {{\mathbf {V_{g}}}\times {\mathbf {\Gamma }}}{2c^{2}}},$

здесь было учтено, что $~ \mathbf{V_E} =-\mathbf{V_g}.$

Второй член, делающий вклад в прецессию де Ситтера, связан с влиянием гравитационного поля на метрику вокруг Земли. Наличие поля приводит к эффективному искривлению пространства-времени, что выражается соответствующей поправкой к метрическому тензору плоского пространства Минковского. ^[45] По величине второй член в два раза больше, чем $~\mathbf{w_{so} }.$ В результате угловая скорость прецессии де Ситтера равна:

$~{\mathbf {w}}={\frac {3{\mathbf {V_{g}}}\times {\mathbf {\Gamma }}}{2c^{2}}}.$

С учётом напряжённости земного гравитационного поля вблизи гироскопа $~\Gamma =- \frac{G M} {r^2},$ где – масса Земли, для гироскопа на спутнике Gravity Probe B угловая скорость прецессии получается порядка 6,6 угловой секунды в год.

Уточнение результатов ЛИТГ и сравнение с результатами гравитационных экспериментов осуществляется в ковариантной теории гравитации.^{[83] [86]}

Массы и энергии

Как было показано в одной из работ, принцип эквивалентности ОТО не выполняется в отношении массы-энергии самого гравитационного поля. ^[87] В частности, в пределе слабого поля масса-энергия гравитационного поля неподвижного тела, и масса-энергия поля движущегося с постоянной скоростью этого же тела не совпадают друг с другом. ^[88] Аналогичная ситуация известна и для электромагнитного поля и носит название «проблема 4/3». Одно из возможных объяснений этому заключается в следующем. Большинство теорий гравитации, включая ЛИТГ и ОТО, лишь математически, языком символов, или геометрически, с помощью пространственных представлений описывают явление гравитации, не вникая в его сущность и не предлагая конкретного физического механизма взаимодействия. Так, ОТО предсказывает чёрные дыры, вытекающие из предполагаемой большой силы гравитации по сравнению с ядерными силами отталкивания нуклонов в сверхплотном веществе нейтронных звёзд и более массивных объектов, а также сингулярности пространства-времени. Такие предположения приводят к противоречиям, наподобие принципиальной ненаблюдаемости внутренней структуры чёрных дыр. В подобных случаях, когда исследование достигает самих переносчиков поля и касается их взаимодействия с веществом, в отсутствие достоверных данных о свойствах и плотности энергии квантов поля выводы теории становятся неточными. Решение таких проблем ожидается с помощью перехода на квантово-полевой уровень теории, затруднительного для ОТО (смотри квантовая гравитация), но более простого для ЛИТГ в силу структуры её уравнений, совпадающей со структурой уравнений успешно проквантованной электродинамики.

С другой стороны, если использовать в качестве модели гравитации теорию гравитации Лесажа, то разница массы-энергии гравитационного поля покоящегося и движущегося тел могла бы показывать различие относительного покоя и движения – в движении масса-энергия поля увеличивается в 4/3 раз за счёт добавки в энергию поля работы против потоков гравитонов, необходимой для перевода тела из одного состояния движения в другое. Проблему 4/3 можно также решить в целом для системы, если ввести в рассмотрение два векторных поля – поле ускорений и поле давления. Оба этих поля, в совокупности с гравитационным и электромагнитным полем, комбинируются таким образом, что суммарная масса-энергия полей в системе обращается в нуль. ^[89]

В статьях ^[90] ^[91] в рамках уравнений ЛИТГ (а также уравнений гравитоэлектромагнетизма как приближения ОТО) уточняются релятивистские выражения для энергии и потока энергии гравитационного поля внутри и снаружи однородного шара. Делается вывод о том, что неравенство массы-энергии поля, находимой либо из гравитационной энергии и, либо из потока энергии поля, является внутренним свойством поля, противоречащим принципу эквивалентности ОТО между гравитационной и инертной массами.

Анализ проблемы 4/3 и способа включения массы поля в массу тела приводит к следующему выражению: $~ m = (E-E_{binding})/c^2$ , где есть энергия покоя, $~ E_{binding}$ представляет собой отрицательную энергию гравитационной связи. Между тем в ОТО используется другое выражение [6]: $~ m = (E+E_{binding})/c^2$ .

Если учесть теорему вириала, то из ЛИТГ следует формула для массы покоящегося тела через энергии фундаментальных полей:

$~ m = -(U_{0g}+W_{0g}+U_0 +W_0)/2c^2$ ,

где $U 0 g$ – энергия сильной гравитации, предполагаемой в качестве основы сильного взаимодействия в веществе нуклонов и атомов, $W 0 g$ – энергия электромагнитного поля в веществе нуклонов и на уровне атомов, $U 0$ – энергия обычной гравитации, $W 0$ – энергия электромагнитного поля в веществе тела и за его пределами.

В статическом случае $U 0 < 0$ , $W 0 > 0$ , и масса тела увеличивается за счёт гравитационной энергии и уменьшается за счёт электрической энергии. Данный вывод подлежит коррекции, поскольку было обнаружено различие между гравитационной массой и массой системы, состоящей из частиц и полей. ^[56] При этом получается, что масса системы может быть неизменна, но гравитационная масса растёт по мере уменьшения размеров системы за счёт вклада гравитационной энергии. В отличие от ОТО, гравитационная масса тела должна уменьшиться за счёт электрической массы-энергии, если на тело переносится электрический заряд.

Более точный анализ массы и энергии был осуществлён в статьях, ^[92] ^[93] ^[94] где представлено пять различных масс релятивистской однородной системы:

$~m'<M<m<m_{b}=m_{g}.$

Здесь калибровочная масса связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; есть инертная масса системы; вспомогательная масса равняется произведению инвариантной плотности массы частиц на объём вещества системы; масса $~m_{b}$ есть сумма масс-энергий движущихся частиц системы, равная по величине гравитационной массе $~m_{g}$ системы.

Вывод о том, что по мере увеличения электрического заряда масса системы может уменьшаться, остаётся справедливым, но это относится не к гравитационной массе $~m_{g}$ , а к инертной массе системы.

Ссылки

1. Логунов А.А., Мествиришвили М.А. Основы релятивистской теории гравитации. – Изд-во МГУ, 1986, с. 308.

2. Fedosin S.G. Two components of the macroscopic general field. Reports in Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2, 1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025. / Две компоненты макроскопического общего поля.

3. Maxwell J.C., Phil. Trans., 155, (1865), 492.

4. G. Holzmüller, Z. Math. Phys 15, (1870), 69.

5. F. Tisserand, Compte Rendu hebdomadaire des sc.eances de L’Acad.emie des Sciences, 75, (1872), 760; 110, (1890), 313.

6. J.D.North, The Measure of the Universe, Dover Publications, New York, 1989, ch.3.

7. Whittaker E., A History of the Theories of Aether and Electricity, Volume I: The Classical Theories, Harper and Brothers, New York, 1960.

8. ^а ^б OLIVER HEAVISIDE. A GRAVITATIONAL AND ELECTROMAGNETIC ANALOGY, Part I, The Electrician, 31, 281-282 (1893).

9. O. Heaviside, Electromagnetic Theory, The Electrician Printing and Publishing Co., London, 1894, Vol. I, Appendix B.

10. OLIVER HEAVISIDE. A GRAVITATIONAL AND ELECTROMAGNETIC ANALOGY, Part II, The Electrician, 31, 359 (1893).

11. ^а ^б Пуанкаре А. О динамике электрона. // Принцип относительности, сб. работ по специальной теории относительности, сост. А.А. Тяпкин, Атомиздат, 1973, стр. 118-161 (статья Poincaré H. “Sur la dynamique de l’electron”, Rendicenti del Circolo Matematico di Palermo, 1906, v.XXI, p. 129, поступила в печать 23 июля 1905 г.).

12. ^а ^б ^в ^г Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.

13. Lorentz-Poincaré relativity and a scalar theory of gravitation.

14. Gans, Richard. 1905. “Gravitation und Elektromagnetismus.” Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung 14: 578–581.

15. Minkowski, Hermann. 1908. “Die Grundgleichungen fur die electromagnetischen Vorgange in bewegten Korpern”. Nachrichten von der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, 53–111. (English translation of the appendix “Mechanics and the Relativity Postulate” in this volume.) .

16. Minkowski, Hermann. 1909. “Raum und Zeit.” Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung 18: 75–88.

17. Sommerfeld, Arnold. 1910. “Zur Relativitatstheorie, II: Vierdimensionale Vektoranalysis.” Annalen der Physik 33: 649–689 .

18. Lorentz H.A. “Alte und neue Fragen der Physik”, Physikalische Zeitschrift, 1910, 11, 1234–1257.

19. Lorentz-invariant gravitational law.

20. Kottler, Felix. 1922. “Gravitation und Relativitatstheorie.” In Karl Schwarzschild, Samuel Oppenheim, and Walther von Dyck (eds.), Astronomie, 2 vols, 2: 159–237. Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen 6. Leipzig: Teubner.

21. Walter, S. (2007). Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910, in Renn, J., The Genesis of General Relativity (Berlin: Springer) 3: 193–252.

22. J. J. Rawal and J. V. Narlikar. On a nonlinear and Lorentz-invariant version of Newtonian gravitation. Journal of Astrophysics and Astronomy. Volume 3, Number 4 / Декабрь 1982 г.

23. Whitrow, G. J. and Morduch, G. E. (1960) General relativity and Lorentz-invariant theories of gravitations, Nature 188, 790-794.

24. North, John D. 1965. The Measure of the Universe: A History of Modern Cosmology. Oxford: Oxford University Press.

25. Kustaanheimo P., Nuotio V. S.: Relativistic theories of gravitation I: The one-body problem. Preprint Dept. Appl. Math. Univ. Helsinki N. 3 (Publ.Astr.Obs. Helsinki 128), 1967.

26. P. E. KUSTAANHEIMO & V. S. NUOTIO, Relativistic Theories of Gravitation, Nature 220, 696-697 (16 November 1968) doi:10.1038/220696a0; Received 4 December 1967.

27. Coster, H. G. L. and J. R. Shepanski. 1969. “Gravito-inertial fields and relativity.” Journal of Physics A 2: 22–27. CPAE 2. 1989.

28. Carstoiu, J. (1969). Gravitation and electromagnetism – tentative synthesis and applications. (unpublished paper). The University of Paris, Theoretical Mechanics. Paris, France.

29. Lyre, Holger and Eynck, Tim Oliver. Curve It, Gauge It, or Leave It? Practical Underdetermination in Gravitational Theories. PhilSci-Archive, December 2001.

30. Robert L. Kirkwood. Lorentz Invariance in a Gravitational Field. RAND Corporation, 1970.

31. Louis Nielsen. A Maxwell Analog Gravitation Theory With Two Gravitational Fields.

32. Takeshi Shirafuji. Lorentz Invariant Theory of Gravitation. Progress of Theoretical Physics. Vol. 62 No. 3 (1979) pp. 802-822.

33. Rabounski, D. The theory of vortical gravitational fields. Progress in Physics, April 1, 2007.

34. Walter PETRY. Über eine Lorentzinvariante Gravitationstheorie. // Ann. Inst. Henri Poincare, Vol. XXII, n 4, 1975, p. 277-290.

35. Marije Ljolje. On the Lorentz Invariant Gravitation Field Theory. arXiv:gr-qc/0303088v1 , 2003.

36. Karl Kraus. Lorentzinvariante Gravitationstheorie. Zeitschrift für Physik, 168, 61- 68, (1962).

37. P. Mittelstaedt. Kosmologische Lösungen der lorentzinvarianten Gravitationstheorie. Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei, Volume 211, Number 3 / Июнь 1968 г., 271-292

38. Antoine Acke. Gravitation explained by the Theory of Informatons. academia.edu/43626998. (2020).

39. Nyambuya G.G. Fundamental Physical Basis for Maxwell-Heaviside Gravitomagnetism. Journal of Modern Physics, Vol. 6, pp. 1207-1219 (2015). http://dx.doi.org/10.4236/jmp.2015.69125.

40. Flanders W.D., Japaridze G.S. Photon deflection and precession of the periastron in terms of spatial gravitational fields. Class. Quant. Gravit. Vol. 21, pp. 1825-1831 (2004). https://doi.org/10.1088/0264-9381/21/7/007.

41. Behera H., Barik N. Attractive Heaviside-Maxwellian (Vector) Gravity from Special Relativity and Quantum Field Theory. arXiv: 1709.06876v2. (2017).

42. Jefimenko, Oleg D. (1992). Causality, electromagnetic induction, and gravitation: a different approach to the theory of electromagnetic and gravitational fields. Star City, West Virginia: Electret Scientific. ISBN 0917406095.

43. Jefimenko, Oleg D. Gravitational field of a point mass moving with uniform linear or circular velocity," Galilean Electrodynamics 5, 25-33 (1994).

44. Jefimenko, Oleg D. Gravitation and Cogravitation: Developing Newton's Theory of Gravitation to its Physical and Mathematical Conclusion (Electret Scientific, Star City, 2006).

45. ^а ^б Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology, John Wiley, ISBN 0-471-92567-5.

46. ^а ^б Yi Mao , Max Tegmark, Alan Guth, Serkan Cabi. Constraining Torsion with Gravity Probe B. arXiv:gr-qc/0608121v45, Phys. Rev. D. 76, 104029, 2007.

47. Dickey J.D., Bender P.L., Faller J.E. et al. Lunar laser ranging: A continuing legacy of the Apollo program // Science, 1994, Vol. 265, P.482–490.

48. Sotiriou Thomas P., Faraoni Valerio, Liberati Stefano. Theory of gravitation theories: a no-progress report. – arXiv: gr-qc / 0707.2748 v1, 18 Jul 2007.

49. Комментарии к книге: Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

50. Fedosin S.G. The General Theory of Relativity, Metric Theory of Relativity and Covariant Theory of Gravitation: Axiomatization and Critical Analysis. International Journal of Theoretical and Applied Physics (IJTAP), ISSN: 2250-0634, Vol.4, No. I (2014), pp. 9-26; статья на русском языке: Общая теория относительности, метрическая теория относительности и ковариантная теория гравитации. Аксиоматизация и критический анализ.

51. Мицкевич, Николай Всеволодович. Физические поля в общей теории относительности:[Монография]/Н. В. Мицкевич; Моск. о-во испытателей природы.-М.:Наука,1969.-323, [3] с.:ил. .-1.65.

52. The energy problem in Einstein's theory of gravitation (Dedicated to the memory of V. A. Fock) Lyudvig D. Faddeev, SOV.PHYS. USPEKHI, 1982, 25 (3), 130-142.

53. Logunov, Anatoly Alekseevich (1998). Relativistic Theory of Gravity. Commack, NY: Nova Science Publishers.

54. В. И. Денисов, А. А. Логунов. Инертная масса, определенная в общей теории относительности, не имеет физического смысла. ТМФ, 1982, том 51, номер 2, 163-70. V. I. Denisov, A. A. Logunov. The inertial mass defined in the general theory of relativity has no physical meaning. Theoretical and Mathematical Physics. May 1982, Volume 51, Issue 2, pp 421–426. http://dx.doi.org/10.1007/BF01036205.

55. R. I. Khrapko. The Truth about the Energy-Momentum Tensor and Pseudotensor. ISSN 0202-2893, Gravitation and Cosmology, 2014, Vol. 20, No. 4, pp. 264–273. Pleiades Publishing, Ltd., 2014. http://dx.doi.org/10.1134/S0202289314040082. Р.И. Храпко. Правда о тензоре и псевдотензоре энергии - импульса.

56. ^а ^б Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8 (No. 1), pp. 1-16, (2015); статья на русском языке: Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.

57. Gennady Gorelik. The Problem of Conservation and the Poincare Quasigroup in General Relativity.

58. Domenico Giulini, Norbert Straumann. Einstein’s Impact on the Physics of the Twentieth Century.

59. Eran Rosenthal. Second-order gravitational self-force. arXiv:gr-qc/0609069 v1 18 Sep 2006.

60. J. T. Combridge, Phil. Mag. 45, 726 (1923); H, Janne, Bull. Acad. R. Belg. 9, 484 (1923); F.J.Belinfante, Phys. Rev. 98, 793 (1955).

61. Утияма Р. Теория относительности. М. Атомиздат, 1979.

62. P. P. Fiziev. Static Fundamental Solutions of Einstein Equations and Superposition Principle in Relativistic Gravity. arxiv.gr-qc/0701108v1 2007.

63. Паули В. Теория относительности. М. Наука, 1983.

64. Fedosin S.G. Electromagnetic and Gravitational Pictures of the World. Apeiron, Vol. 14, no. 4, pp. 385-413 (2007); статья на русском языке: Электромагнитная и гравитационная картины мира.

65. V.B. Braginsky, C.M. Caves and K.S. Thorne, 1977, Phys. Rev. D15, 2047.

66. Matteo Luca Ruggiero, Angelo Tartaglia. Gravitomagnetic effects. 2008.

67. Федосин С.Г. Современные проблемы физики, М: Эдиториал УРСС, 2002, ISBN 5-8360-0435-8. 192 стр., Ил.26, Библ. 50 назв.

68. Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

69. Fedosin S.G. Lagrangian formalism in the theory of relativistic vector fields. International Journal of Modern Physics A, Vol. 40, No. 02, 2450163 (2025). https://doi.org/10.1142/S0217751X2450163X. // Лагранжев формализм в теории релятивистских векторных полей.

70. ^а ^б Mashhoon, Gronwald, Lichtenegger (1999-12-08). "Gravitomagnetism and the Clock Effect". arXiv:General Relativity and Quantum Cosmology 9912027.

71. H.C. Ohanian & R. Ruffini, Gravitation and Spacetime, W.W.Norton & Company, 1994.

72. J.-F. Pascual-Sánchez. On the (non) existence of several gravitomagnetic effects. arXiv:gr-qc/9906086v1.

73. M. Agop, C. Gh. Buzea and B. Ciobanu. On Gravitational Shielding in Electromagnetic Fields. arXiv: physics 9911011.

74. R.P. Lano (1996-03-12). "Gravitational Meissner Effect". arXiv: hep-th 9603077.

75. S.J. Clark and R.W. Tucker. Gauge Symmetry and Gravito-Magnetism.

76. Sergei M. Kopeikin. Gravitomagnetism and the Speed of Gravity. International Journal of Modern Physics, D15, (2006), 305-320.

77. Fedosin S.G. Model of Gravitational Interaction in the Concept of Gravitons. Journal of Vectorial Relativity, Vol. 4, No. 1, pp.1-24 (2009); статья на русском языке: Модель гравитационного взаимодействия в концепции гравитонов.

78. Fedosin S.G. The graviton field as the source of mass and gravitational force in the modernized Le Sage’s model. Physical Science International Journal, ISSN: 2348-0130, Vol. 8, Issue 4, pp. 1-18 (2015). http://dx.doi.org/10.9734/PSIJ/2015/22197. // Поле гравитонов как источник гравитационной силы и массы в модернизированной модели Лесажа.

79. Fedosin S.G. The force vacuum field as an alternative to the ether and quantum vacuum. WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics, Vol. 10, Art. #3, pp. 31-38 (2015). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.888979. // Силовое вакуумное поле как альтернатива эфиру и квантовому вакууму.

80. Fedosin S.G. The charged component of the vacuum field as the source of electric force in the modernized Le Sage’s model. Journal of Fundamental and Applied Sciences, Vol. 8, No. 3, pp. 971-1020 (2016). http://dx.doi.org/10.4314/jfas.v8i3.18, https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.845357. // Заряженная компонента вакуумного поля как источник электрической силы в модернизированной модели Лесажа/

81. ^а ^бFedosin S.G. The Metric Outside a Fixed Charged Body in the Covariant Theory of Gravitation. International Frontier Science Letters, ISSN: 2349 – 4484, Vol. 1, No. I (2014), pp. 41 – 46. http://dx.doi.org/10.18052/www.scipress.com/ifsl.1.41 ; статья на русском языке: Метрика за пределами неподвижного заряженного тела в ковариантной теории гравитации.

82. Fedosin S.G. The relativistic uniform model: the metric of the covariant theory of gravitation inside a body. St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics, Vol. 14, No. 3, pp.168-184 (2021). http://dx.doi.org/10.18721/JPM.14313. // О метрике ковариантной теории гравитации внутри тела в релятивистской однородной модели.

83. ^а ^{б с} Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв.ISBN 978-5-9901951-1-0.

84. Б.М. Яворский, А.А. Детлаф, А.К. Лебедев. Справочник по физике. М. Оникс, 2006.

85. Lorenzo Iorio, Alberto Morea. The impact of the new Earth gravity models on the measurement of the Lense-Thirring effect.Gen.Rel.Grav. 36 (2004) 1321-1333.

86. Sergey Fedosin, The physical theories and infinite hierarchical nesting of matter, Volume 2, LAP LAMBERT Academic Publishing, pages: 420, ISBN-13: 978-3-659-71511-2. (2015).

87. Fedosin S.G. Mass, Momentum and Energy of Gravitational Field. Journal of Vectorial Relativity, Vol. 3, No. 3, September 2008, P.30-35; статья на русском языке: Масса, импульс и энергия гравитационного поля.