In English

Поле ускорений

Из проекта Викизнание

Поле ускорений — двухкомпонентное векторное поле, ковариантным образом описывающее 4-ускорение отдельных частиц и плотность 4-силы, возникающие в системах с множеством тесно взаимодействующих частиц. Поле ускорений является компонентой общего поля, представленной в лагранжиане и в гамильтониане произвольной физической системы членом с энергией движения частиц, и членом с энергией поля. [1] [2] В уравнение движения поле ускорений входит через тензор ускорений, а в уравнение для метрики – через тензор энергии-импульса поля ускорений.

Поле ускорений было представлено Сергеем Федосиным в рамках метрической теории относительности и ковариантной теории гравитации, а уравнения этого поля появились как следствие принципа наименьшего действия. [3] [4]

Содержание

Математическое описание

4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный  ~\vartheta  и векторный  ~{\mathbf  {U}} потенциалы:

~U_{\mu }=\left({\frac  {\vartheta }{c}},-{\mathbf  {U}}\right).

Антисимметричный тензор ускорений вычисляется через 4-ротор от 4-потенциала:

~u_{{\mu \nu }}=\nabla _{\mu }U_{\nu }-\nabla _{\nu }U_{\mu }=\partial _{\mu }U_{\nu }-\partial _{\nu }U_{\mu }.

Компонентами тензора ускорений являются компоненты напряжённости поля  ~{\mathbf  {S}}  и компоненты соленоидального вектора  ~{\mathbf  {N}}:

~u_{{\mu \nu }}={\begin{vmatrix}0&{\frac  {S_{x}}{c}}&{\frac  {S_{y}}{c}}&{\frac  {S_{z}}{c}}\\-{\frac  {S_{x}}{c}}&0&-N_{{z}}&N_{{y}}\\-{\frac  {S_{y}}{c}}&N_{{z}}&0&-N_{{x}}\\-{\frac  {S_{z}}{c}}&-N_{{y}}&N_{{x}}&0\end{vmatrix}}.

При этом получается следующее:

~{\mathbf  {S}}=-\nabla \vartheta -{\frac  {\partial {\mathbf  {U}}}{\partial t}},\qquad \qquad {\mathbf  {N}}=\nabla \times {\mathbf  {U}}.\qquad \qquad (1)

В общем случае скалярный и векторный потенциалы находятся путём решения волновых уравнений для потенциалов поля ускорений.

Действие, Лагранжиан и энергия

В ковариантной теории гравитации 4-потенциал  ~U_{\mu }  поля ускорений является частью 4-потенциала общего поля  ~s_{\mu }, который является суммой 4-потенциалов таких частных полей, как электромагнитное и гравитационное поля, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, поле сильного взаимодействия, поле слабого взаимодействия, других векторных полей, действующих на вещество и его частицы. Все эти поля так или иначе представлены в веществе, так что 4-потенциал  ~s_{\mu }  не может состоять только из одного 4-потенциала  ~U_{\mu }. Плотность энергии взаимодействия общего поля с веществом задаётся произведением 4-потенциала общего поля на массовый 4-ток:  ~s_{\mu }J^{\mu }. Из 4-потенциала общего поля путём применения 4-ротора получается тензор общего поля:

~s_{{\mu \nu }}=\nabla _{\mu }s_{\nu }-\nabla _{\nu }s_{\mu }.

Тензорный инвариант, в виде  ~s_{{\mu \nu }}s^{{\mu \nu }}, с точностью до постоянного коэффициента пропорционален плотности энергии общего поля. В результате функция действия, содержащая скалярную кривизну  ~R и космологическую постоянную ~\Lambda  , определяется выражением: [1]

~S=\int {Ldt}=\int (kR-2k\Lambda -{\frac  {1}{c}}s_{\mu }J^{\mu }-{\frac  {c}{16\pi \varpi }}s_{{\mu \nu }}s^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}d\Sigma ,

где  ~L – функция Лагранжа или лагранжиан, ~dt – дифференциал времени координатной системы отсчёта, ~k  и  ~\varpi   – постоянные, подлежащие определению, ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, ~{\sqrt  {-g}}d\Sigma ={\sqrt  {-g}}cdtdx^{1}dx^{2}dx^{3} – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты ~dx^{0}=cdt, через произведение  ~dx^{1}dx^{2}dx^{3}  дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~{\sqrt  {-g}}  из детерминанта  ~g  метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия даёт уравнения общего поля, четырёхмерное уравнение движения и уравнение для определения метрики. Так как поле ускорений является компонентой общего поля, то из уравнений общего поля вытекают соответствующие уравнения поля ускорений.

При выполнении условия калибровки космологической постоянной в виде

~ck\Lambda =-s_{\mu }J^{\mu },

энергия системы не зависит от члена со скалярной кривизной и становится однозначно определённой: [4]

~E=\int {(s_{0}J^{0}+{\frac  {c^{2}}{16\pi \varpi }}s_{{\mu \nu }}s^{{\mu \nu }}){\sqrt  {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}},

где  ~s_{0}  и ~J^{0}  обозначают временные компоненты 4-векторов  ~s_{{\mu }}  и  ~J^{{\mu }}.

4-импульс системы определяется формулой:

~p^{\mu }=\left({\frac  {E}{c}}{,}{\mathbf  {p}}\right)=\left({\frac  {E}{c}}{,}{\frac  {E}{c^{2}}}{\mathbf  {v}}\right),

где  ~{\mathbf  {p}}  и  ~{\mathbf  {v}}  обозначают импульс системы и скорость движения центра импульсов системы.

Уравнения

Четырёхмерные уравнения поля ускорений по своей форме оказываются подобными уравнениям Максвелла и имеют следующий вид:

\nabla _{\sigma }u_{{\mu \nu }}+\nabla _{\mu }u_{{\nu \sigma }}+\nabla _{\nu }u_{{\sigma \mu }}={\frac  {\partial u_{{\mu \nu }}}{\partial x^{\sigma }}}+{\frac  {\partial u_{{\nu \sigma }}}{\partial x^{\mu }}}+{\frac  {\partial u_{{\sigma \mu }}}{\partial x^{\nu }}}=0.

~\nabla _{\nu }u^{{\mu \nu }}=-{\frac  {4\pi \eta }{c^{2}}}J^{\mu },

где  J^{\mu }=\rho _{{0}}u^{\mu }  есть массовый 4-ток, \rho _{{0}}  – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, u^{\mu } – 4-скорость движения элемента вещества, ~\eta   – постоянная, определяемая в каждой задаче, и предполагается, что имеется равновесие между всеми полями в рассматриваемой физической системе.

Условие калибровки 4-потенциала поля ускорений:

~\nabla ^{\mu }U_{{\mu }}=0.

Если второе уравнение с источником поля записать с ковариантным индексом в следующем виде:

~\nabla ^{\nu }u_{{\mu \nu }}=-{\frac  {4\pi \eta }{c^{2}}}J_{\mu },

то после подстановки сюда выражения тензора ускорений  u_{{\mu \nu }}  через 4-потенциал поля ускорений  ~U_{\mu }  получается волновое уравнение для вычисления потенциалов поля ускорения:

~\nabla ^{\nu }\nabla _{\nu }U_{\mu }+R_{{\mu \nu }}U^{\nu }={\frac  {4\pi \eta }{c^{2}}}J_{\mu },

где  ~R_{{\mu \nu }}  – тензор Риччи.

Уравнение непрерывности в искривлённом пространстве-времени:

~R_{{\mu \alpha }}u^{{\mu \alpha }}={\frac  {4\pi \eta }{c^{2}}}\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}.

В пространстве Минковского специальной теории относительности тензор Риччи обнуляется, вид уравнений поля ускорений упрощается и их можно выразить через напряжённость поля  ~{\mathbf  {S}}  и соленоидальный вектор  ~{\mathbf  {N}}:

~\nabla \cdot {\mathbf  {S}}=4\pi \eta \gamma \rho _{0},\qquad \qquad \nabla \times {\mathbf  {N}}={\frac  {1}{c^{2}}}\left(4\pi \eta {\mathbf  {J}}+{\frac  {\partial {\mathbf  {S}}}{\partial t}}\right),

~\nabla \times {\mathbf  {S}}=-{\frac  {\partial {\mathbf  {N}}}{\partial t}},\qquad \qquad \nabla \cdot {\mathbf  {N}}=0.

где   ~\gamma ={\frac  {1}{{\sqrt  {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}}  есть фактор Лоренца, ~{\mathbf  {J}}=\gamma \rho _{0}{\mathbf  {v}}  – плотность тока массы, ~{\mathbf  {v}} – скорость элемента вещества.

Упрощается и волновое уравнение, которое может быть записано отдельно для скалярного и векторного потенциалов:

~\partial ^{\nu }\partial _{\nu }\vartheta ={\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}\vartheta }{\partial t^{2}}}-\Delta \vartheta =4\pi \eta \gamma \rho _{0},\qquad \qquad (2)

~\partial ^{\nu }\partial _{\nu }{\mathbf  {U}}={\frac  {1}{c^{2}}}{\frac  {\partial ^{2}{\mathbf  {U}}}{\partial t^{2}}}-\Delta {\mathbf  {U}}={\frac  {4\pi \eta }{c^{2}}}{\mathbf  {J}}.\qquad \qquad (3)

Уравнение движения элемента вещества в общем поле описывается формулой:

~s_{{\mu \nu }}J^{\nu }=0.

Так как  ~J^{\nu }=\rho _{0}u^{\nu }, а тензор общего поля выражается через тензоры частных полей, то уравнение движения можно представить через эти тензоры:

~-u_{{\mu \nu }}J^{\nu }=F_{{\mu \nu }}j^{\nu }+\Phi _{{\mu \nu }}J^{\nu }+f_{{\mu \nu }}J^{\nu }+h_{{\mu \nu }}J^{\nu }+\gamma _{{\mu \nu }}J^{\nu }+w_{{\mu \nu }}J^{\nu }.

Здесь ~F_{{\mu \nu }}  – тензор электромагнитного поля,  ~j^{\nu } – зарядовый 4-ток, ~\Phi _{{\mu \nu }}  тензор гравитационного поля,  ~f_{{\mu \nu }}  тензор поля давления,  ~h_{{\mu \nu }}  тензор поля диссипации,  ~\gamma _{{\mu \nu }}  – тензор поля сильного взаимодействия, ~w_{{\mu \nu }}  – тензор поля слабого взаимодействия.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса поля ускорений вычисляется с помощью тензора ускорений:

~B^{{ik}}={\frac  {c^{2}}{4\pi \eta }}\left(-g^{{im}}u_{{nm}}u^{{nk}}+{\frac  {1}{4}}g^{{ik}}u_{{mr}}u^{{mr}}\right).

В составе тензора ~B^{{ik}} находится 3-вектор потока энергии-импульса ~{\mathbf  {K}} , подобный по смыслу вектору Пойнтинга и вектору Хевисайда. Вектор ~{\mathbf  {K}}   можно представить через векторное произведение вектора напряжённости поля ~{\mathbf  {S}}  и соленоидального вектора ~{\mathbf  {N}} :

~{\mathbf  {K}}=cB^{{0i}}={\frac  {c^{2}}{4\pi \eta }}[{\mathbf  {S}}\times {\mathbf  {N}}],

здесь индекс ~i=1,2,3.

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами задаёт плотность 4-силы:

~f_{\alpha }=\nabla _{\beta }{B_{\alpha }}^{\beta }=-u_{{\alpha k}}J^{k}=-\rho _{0}u_{{\alpha k}}u^{k}=\rho _{0}{\frac  {DU_{\alpha }}{D\tau }}-J^{k}\nabla _{\alpha }U_{k}=\rho _{0}{\frac  {dU_{\alpha }}{d\tau }}-J^{k}\partial _{\alpha }U_{k},\qquad \qquad (4)

 

где ~D\tau  обозначает дифференциал собственного времени в искривлённом пространстве-времени.

Тензор энергии-импульса поля ускорений входит в состав тензора энергии-импульса общего поля  ~T^{{ik}}:

~T^{{ik}}=W^{{ik}}+U^{{ik}}+B^{{ik}}+P^{{ik}}+Q^{{ik}}+L^{{ik}}+A^{{ik}},

где  ~W^{{ik}} – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, ~U^{{ik}} тензор энергии-импульса гравитационного поля, ~P^{{ik}} тензор энергии-импульса поля давления, ~Q^{{ik}} тензор энергии-импульса поля диссипации, ~L^{{ik}} – тензор энергии-импульса поля сильного взаимодействия, ~A^{{ik}} – тензор энергии-импульса поля слабого взаимодействия.

 

Через тензор  ~T^{{ik}} тензор энергии-импульса поля ускорений входит в уравнение для метрики:

~R^{{ik}}-{\frac  {1}{4}}g^{{ik}}R={\frac  {8\pi G\beta }{c^{4}}}T^{{ik}},

где ~R^{{ik}} – тензор Риччи,  ~G  гравитационная постоянная, ~\beta  – некоторая постоянная, и использовано условие калибровки космологической постоянной.

 

Частные решения для функций поля ускорений

4-потенциал любого векторного поля, глобальный векторный потенциал которого равен нулю в собственной системе отсчёта K', то есть в системе центра импульсов, при прямолинейном движении в лабораторной системе отсчёта K может быть представлен так: [3] [5]

~L_{{\mu L}}={\frac  {k_{f}\varepsilon }{\rho _{0}c^{2}}}u_{{\mu L}},

где  ~k_{f}={\frac  {\rho _{0}}{\rho _{{0q}}}}  для электромагнитного поля и  ~k_{f}=1 для остальных полей; ~\rho _{{0}}  и ~\rho _{{0q}}  – инвариантная плотность массы и соответственно плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта; ~\varepsilon  – инвариантная плотность энергии взаимодействия, вычисляемая как произведение 4-потенциала поля на соответствующий 4-ток; ~u_{{\mu L}}  – ковариантная 4-скорость, задающая движение центра импульсов физической системы в K.

В специальной теории относительности (СТО), в системе центра импульсов K'  плотность энергии  ~\varepsilon =\gamma '\rho _{0}c^{2} , где  ~\gamma '  есть фактор Лоренца, и для поля ускорений при движении физической системы в K  4-потенциал поля ускорений будет равен   ~U_{{\mu L}}=\gamma 'u_{{\mu L}}.

В том случае, когда физическая система неподвижна в K, будет  ~u_{{\mu L}}=(c,0,0,0), и следовательно, скалярный потенциал  ~\vartheta =\gamma 'c^{2} . Если в физической системе в среднем имеются направленные потоки вещества или вращение вещества, векторный потенциал  ~{\mathbf  {U}}  поля ускорений перестаёт быть равен нулю.

Идеально твёрдая частица

В приближении, когда частица рассматривается как идеально твёрдый объект, вещество внутри частицы неподвижно. Это означает, что фактор Лоренца ~\gamma '  этого вещества в системе центра импульсов K'  равен единице, так что 4-потенциал поля ускорений становится равным 4-скорости движения центра импульсов:

~U_{\mu }=u_{\mu }.

В СТО выражение для 4-скорости упрощается и можно записать:

~U_{\mu }=\left({\frac  {\vartheta }{c}},-{\mathbf  {U}}\right)=u_{\mu }=\left(\gamma c,-\gamma {\mathbf  {v}}\right).

Компоненты тензора ускорений согласно (1) будут равны: