In English

Тензор энергии-импульса поля ускорений

Из проекта Викизнание

Тензор энергии-импульса поля ускорений — симметричный четырёхмерный тензор второго ранга, описывающий плотность и поток энергии и импульса поля ускорений в веществе. Данный тензор, а также тензор энергии-импульса гравитационного поля, тензор энергии-импульса электромагнитного поля, тензор энергии-импульса поля диссипации и тензор энергии-импульса поля давления входят в уравнение для определения метрики в ковариантной теории гравитации. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля ускорений позволяет вычислить плотность силы ускорений, действующей в веществе.

Оглавление

  • 1 Ковариантная теория гравитации
    • 1.1 Определение
    • 1.2 Компоненты тензора энергии-импульса поля ускорений
    • 1.3 Плотность 4-силы и уравнения поля
    • 1.4 Уравнение для метрики
    • 1.5 Уравнение движения
    • 1.6 Законы сохранения
  • 2 Релятивистская механика
  • 3 См. также
  • 4 Ссылки
  • 5 Внешние ссылки

Ковариантная теория гравитации

Определение

В ковариантной теории гравитации (КТГ) поле ускорений считается не скалярным, а 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент. В КТГ тензор энергии-импульса поля ускорений был определён Федосиным через тензор ускорений ~u_{ik} и метрический тензор  ~ g^{ik} из принципа наименьшего действия: [1]

~ B^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \eta } \left( - g^{im} u_{nm} u^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}u_{mr}u^{mr}\right) ,

где ~ \eta – некоторая постоянная, определяемая через фундаментальные постоянные и физические параметры системы. Поле ускорений рассматривается как компонента общего поля.

Компоненты тензора энергии-импульса поля ускорений

Так как тензор ускорений состоит из компонент напряжённости поля ускорений ~\mathbf{ S} и соленоидального вектора ускорений ~\mathbf{N}, то тензор энергии-импульса поля ускорений можно выразить через эти компоненты. В пределе специальной теории относительности метрический тензор перестаёт зависеть от координат и времени и в этом случае тензор энергии-импульса поля ускорений приобретает наиболее простой вид:

~ B^{ik} = \begin{vmatrix} \varepsilon_a & \frac {K_x}{c}  & \frac {K_y}{c} & \frac {K_z}{c} \\ c P_{ax} & \varepsilon_a - \frac{S^2_x+c^2 N^2_x}{4\pi \eta } & -\frac{S_x S_y+c^2 N_x N_y }{4\pi\eta } & -\frac{S_x S_z+c^2 N_x N_z }{4\pi\eta } \\ c P_{ay} & -\frac{S_x S_y+c^2 N_x N_y }{4\pi\eta } & \varepsilon_a -\frac{S^2_y+c^2 N^2_y }{4\pi\eta }  & -\frac{S_y S_z+c^2 N_y N_z }{4\pi\eta } \\ c P_{az} & -\frac{S_x S_z+c^2 N_x N_z }{4\pi\eta }  & -\frac{S_y S_z+c^2 N_y N_z }{4\pi\eta } & \varepsilon_a -\frac{S^2_z+c^2 N^2_z }{4\pi\eta }  \end{vmatrix}.

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля ускорений

~ B^{00} = \varepsilon_a = \frac{1}{8 \pi \eta }\left(S^2+ c^2 N^2 \right).

2) вектор плотности импульса поля ускорений  ~\mathbf{P_a} =\frac{ 1}{ c^2} \mathbf{K}, где вектор плотности потока энергии поля ускорений:

~\mathbf{K} = \frac{ c^2 }{4 \pi \eta }[\mathbf{S}\times \mathbf{N}].

Вследствие симметрии тензора по индексам P01 = P10, P02 = P20, P03 = P30, так что   \frac{ 1}{ c} \mathbf{K}=  c \mathbf{P_a} .

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля ускорений, взятым со знаком минус. Данный 3-мерный тензор можно записать в следующем виде:

~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi \eta } \left(  S^p S^q + c^2 N^p N^q - \frac {1}{2} \delta^{pq} (S^2 + c^2 N^2 ) \right) ,

Где  p,q = 1,2,3, компоненты S1 = Sx,  S2 = Sy,  S3 = Sz,  N1 = Nx,  N2 = Ny,  N3 = Nz, символ Кронекера  δpq  равен 1 при p = q, и равен нулю при p \not=q.

Трёхмерная дивергенция тензора плотности потока импульса поля ускорений связывает плотность силы и скорость изменения плотности импульса поля ускорений:

~ \partial_q \sigma^{p q} = - f^p +\frac {1}{c^2} \frac{ \partial K^p}{\partial t},

где ~ f^p обозначают компоненты трёхмерной плотности силы ускорения, ~ K^p – компоненты вектора плотности потока энергии поля ускорений.

Плотность 4-силы и уравнения поля

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы ~ f^\alpha может быть найден через тензор энергии-импульса поля ускорений, либо через произведение тензора поля ускорений и массового 4-тока:

~ f^\alpha = \nabla_\beta B^{\alpha \beta} = -u^{\alpha}_{i} J^i .  \qquad (1)

Уравнения поля ускорений записываются следующим образом:

~ \nabla_n u_{ik} + \nabla_i u_{kn} + \nabla_k u_{ni}=0,

 

~\nabla_k u^{ik} = -\frac {4 \pi \eta }{c^2} J^i .

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы можно записать:

~ f^\alpha = (- \frac {\mathbf{S} \cdot \mathbf{J} }{c}, \mathbf{f} ),

где  ~ \mathbf{f}= - \rho \mathbf{S} - [\mathbf{J} \times \mathbf{N} ] – 3-вектор плотности силы, ~ \rho – плотность движущегося вещества, ~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v} – 3-вектор плотности массового тока, ~\mathbf{v} – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля ускорений превращаются в 4 уравнения для вектора напряжённости поля ускорений ~ \mathbf{ S} и соленоидального вектора ускорений ~\mathbf{N} :

~\nabla \cdot \mathbf{ S} = 4 \pi \eta \rho,

 

~\nabla \times \mathbf{ N} =  \frac {1 }{c^2}\frac{\partial \mathbf{ S}}{\partial t}+\frac {4 \pi \eta \rho \mathbf{ v}}{c^2},

 

~\nabla \cdot \mathbf{ N} = 0,

 

~\nabla \times \mathbf{ S} =  - \frac{\partial \mathbf{ N}}{\partial t}.

Уравнение для метрики

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля ускорений в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики:

~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta  }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} \right),

где ~ \beta – коэффициент, подлежащий определению, ~ B_{ik},  ~ P_{ik},  ~ U_{ik} и  ~ W_{ik} – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей,  ~ G гравитационная постоянная.

Уравнение движения

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса поля ускорений  Bik  или тензора ускорений  unk :

~ - \nabla_k \left( B^{ik}+ U^{ik} +W^{ik}+ P^{ik}   \right) = g^{in}\left(u_{nk} J^k + \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k  + f_{nk} J^k  \right)  =0. \qquad (2)

где ~ \Phi_{nk} тензор гравитационного поля, ~F_{nk} – тензор электромагнитного поля, ~ f _{nk} тензор поля давления, ~j^k = \rho_{0q} u^k – зарядовый 4-ток, ~\rho_{0q} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, ~ u^k – 4-скорость.

Учтём теперь, что ~J^k = \rho_{0} u^k есть массовый 4-ток, а тензор ускорений определяется через ковариантную 4-скорость в виде ~ u _{nk}= \nabla_n u_k - \nabla_k u_n. Это даёт следующее:

~ \nabla^\beta B_{n \beta} = -u_{n i} J^i = - \rho_{0} u^i (\nabla_n u_i - \nabla_i u_n)= \rho_{0} u^i \nabla_i u_n= \rho_{0} \frac {Du_n}{D \tau }. \qquad (3)

Здесь использован оператор производной по собственному времени ~ u^i \nabla_i = \frac {D}{D \tau },  где ~ D – символ 4-дифференциала в искривлённом пространстве-времени, ~ \tau – собственное время, ~ \rho_0 есть плотность массы в сопутствующей системе отсчёта.

С учётом этого уравнение движения (2) приобретает вид:

~ \rho_{0} \frac {Du_n}{D \tau } = - \nabla^k \left(U_{nk} +W_{nk}+ P_{nk}   \right) =  \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k  + f_{nk} J^k.

Временная компонента данного уравнения при ~ n=0 описывает изменение энергии, а пространственная компонента при ~ n=1{,}2{,}3 связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохранения

При индексе ~ i=0 в (2), то есть для временной компоненты уравнения, в пределе специальной теории относительности из равенства нулю левой части (2) следует:

~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P}+ \mathbf{F} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00}+P^{00} )}{\partial t},

где ~ \mathbf{K} – вектор плотности потока энергии поля ускорений, ~ \mathbf{H} вектор Хевисайда, ~ \mathbf{P}– вектор Пойнтинга, ~ \mathbf{F}– вектор плотности потока энергии поля давления.

Это соотношение можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса всех четырёх полей.

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается сохраняющийся 4-вектор, равный нулю: [2]

~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0}+P^{i0} \right) dV }.

Равенство нулю этого 4-вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы.

Релятивистская механика

Как в релятивистской механике, так и в общей теории относительности (ОТО), тензор энергии-импульса поля ускорений не используется. Вместо него применяется так называемый тензор энергии-импульса вещества, имеющий в простейшем случае следующий вид: ~ \phi_{ n \beta }= \rho_0 u_n u_\beta. В ОТО тензор ~ \phi_{ n \beta } подставляется в уравнение для метрики, а его ковариантная производная даёт следующее:

~ \nabla^\beta \phi _{n \beta} = \nabla^\beta (\rho_0 u_n u_\beta) = u_n \nabla^\beta J_\beta + \rho_0 u_\beta \nabla^\beta u_n .

В ОТО предполагается, что выполняется уравнение непрерывности в виде ~ \nabla^\beta J_\beta =0 . Тогда с учётом оператора производной по собственному времени ковариантная производная тензора ~ \phi_{ n \beta } даёт произведение плотности на 4-ускорение, то есть плотность 4-силы:

~ \nabla^\beta \phi _{n \beta} = \rho_0 u_\beta \nabla^\beta u_n = \rho_0 \frac {Du_n}{D \tau }. \qquad (4)

Однако уравнение непрерывности справедливо лишь в рамках специальной теории относительности в виде ~ \partial^\beta J_\beta = \partial_\beta J^\beta =0 . В искривлённом пространстве-времени вместо этого должно было бы быть уравнение ~ \nabla^\beta J_\beta =0, однако вместо нуля в правой части в этом уравнении появляется дополнительный ненулевой член с тензором кривизны Римана. [1] Вследствие этого (4) не является точным выражением, и тензор ~ \phi_{ n \beta } определяет свойства вещества лишь в специальной теории относительности. В противоположность этому, в ковариантной теории гравитации уравнение (3) записано в ковариантной форме, так что тензор энергии-импульса поля ускорений ~ B_{ n \beta } описывает поле ускорений частиц вещества в том числе и в римановом пространстве-времени.

См. также

Ссылки

1.       а б Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

2.      Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

 Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/as.htm

На список страниц