In English

Тензор энергии-импульса поля ускорений

Из проекта Викизнание

 

Тензор энергии-импульса поля ускорений — симметричный четырёхмерный тензор второго ранга, описывающий плотность и поток энергии и импульса поля ускорений в веществе. Данный тензор, а также тензор энергии-импульса гравитационного поля, тензор энергии-импульса электромагнитного поля, тензор энергии-импульса поля диссипации и тензор энергии-импульса поля давления входят в уравнение для определения метрики в ковариантной теории гравитации. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля ускорений позволяет вычислить плотность 4-силы, действующей в веществе.

Содержание

Ковариантная теория гравитации

Определение

В ковариантной теории гравитации (КТГ) поле ускорений считается не скалярным, а 4-векторным полем, 4-потенциал которого состоит из скалярной и 3-векторной компонент. В КТГ тензор энергии-импульса поля ускорений был определён Федосиным через тензор ускорений  ~u_{{ik}}  и метрический тензор  ~g^{{ik}}  из принципа наименьшего действия: [1]

~B^{{ik}}={\frac {c^{2}}{4\pi \eta }}\left(-g^{{im}}u_{{nm}}u^{{nk}}+{\frac {1}{4}}g^{{ik}}u_{{mr}}u^{{mr}}\right),

где ~\eta  – постоянная поля ускорения, определяемая через фундаментальные постоянные и физические параметры системы. Поле ускорений рассматривается как компонента общего поля.

Компоненты тензора энергии-импульса поля ускорений

Так как тензор ускорений состоит из компонент напряжённости поля ускорений  ~{\mathbf {S}}  и соленоидального вектора ускорений  ~{\mathbf {N}}, то тензор энергии-импульса поля ускорений можно выразить через эти компоненты. В пределе специальной теории относительности метрический тензор перестаёт зависеть от координат и времени и в этом случае тензор энергии-импульса поля ускорений приобретает наиболее простой вид:

~B^{{ik}}={\begin{vmatrix}\varepsilon _{a}&{\frac {K_{x}}{c}}&{\frac {K_{y}}{c}}&{\frac {K_{z}}{c}}\\cP_{{ax}}&\varepsilon _{a}-{\frac {S_{x}^{2}+c^{2}N_{x}^{2}}{4\pi \eta }}&-{\frac {S_{x}S_{y}+c^{2}N_{x}N_{y}}{4\pi \eta }}&-{\frac {S_{x}S_{z}+c^{2}N_{x}N_{z}}{4\pi \eta }}\\cP_{{ay}}&-{\frac {S_{x}S_{y}+c^{2}N_{x}N_{y}}{4\pi \eta }}&\varepsilon _{a}-{\frac {S_{y}^{2}+c^{2}N_{y}^{2}}{4\pi \eta }}&-{\frac {S_{y}S_{z}+c^{2}N_{y}N_{z}}{4\pi \eta }}\\cP_{{az}}&-{\frac {S_{x}S_{z}+c^{2}N_{x}N_{z}}{4\pi \eta }}&-{\frac {S_{y}S_{z}+c^{2}N_{y}N_{z}}{4\pi \eta }}&\varepsilon _{a}-{\frac {S_{z}^{2}+c^{2}N_{z}^{2}}{4\pi \eta }}\end{vmatrix}}.

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля ускорений

~B^{{00}}=\varepsilon _{a}={\frac {1}{8\pi \eta }}\left(S^{2}+c^{2}N^{2}\right).

2) вектор плотности импульса поля ускорений  ~{\mathbf {P_{a}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\mathbf {K}}, где вектор плотности потока энергии поля ускорений:

~{\mathbf {K}}={\frac {c^{2}}{4\pi \eta }}[{\mathbf {S}}\times {\mathbf {N}}].

Вследствие симметрии тензора по индексам  P^{{01}}=P^{{10}},P^{{02}}=P^{{20}},P^{{03}}=P^{{30}},  так что   {\frac {1}{c}}{\mathbf {K}}=c{\mathbf {P_{a}}}.

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля ускорений, взятым со знаком минус. Данный 3-мерный тензор можно записать в следующем виде:

~\sigma ^{{pq}}={\frac {1}{4\pi \eta }}\left(S^{p}S^{q}+c^{2}N^{p}N^{q}-{\frac {1}{2}}\delta ^{{pq}}(S^{2}+c^{2}N^{2})\right),

где  p,q=1,2,3,  компоненты  S^{1}=S_{x},  S^{2}=S_{y},  S^{3}=S_{z},  N^{1}=N_{x},  N^{2}=N_{y},  N^{3}=N_{z}, символ Кронекера  \delta ^{{pq}}  равен 1 при  p=q,  и равен нулю при  p\not =q.

Трёхмерная дивергенция тензора плотности потока импульса поля ускорений связывает плотность силы и скорость изменения плотности импульса поля ускорений:

~\partial _{q}\sigma ^{{pq}}=-f^{p}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial K^{p}}{\partial t}},

где  ~f^{p}  обозначают компоненты трёхмерной плотности силы ускорения, ~K^{p} – компоненты вектора плотности потока энергии поля ускорений.

Плотность 4-силы и уравнения поля

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы  ~f_{\alpha }  может быть найден через тензор энергии-импульса поля ускорений, либо через произведение тензора поля ускорений и массового 4-тока:

~f_{\alpha }=\nabla _{\beta }{B_{\alpha }}^{\beta }=-u_{{\alpha k}}J^{k}.\qquad (1)

Уравнения поля ускорений записываются следующим образом:

~\nabla _{n}u_{{ik}}+\nabla _{i}u_{{kn}}+\nabla _{k}u_{{ni}}=0,

 

~\nabla _{k}u^{{ik}}=-{\frac {4\pi \eta }{c^{2}}}J^{i}.

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы можно записать:

~f_{\alpha }=(-{\frac {{\mathbf {S}}\cdot {\mathbf {J}}}{c}},-{\mathbf {f}}),

где  ~{\mathbf {f}}=-\rho {\mathbf {S}}-[{\mathbf {J}}\times {\mathbf {N}}]  – 3-вектор плотности силы, ~\rho   – плотность движущегося вещества, ~{\mathbf {J}}=\rho {\mathbf {v}} – 3-вектор плотности массового тока, ~{\mathbf {v}} – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля ускорений превращаются в четыре уравнения для вектора напряжённости поля ускорений  ~{\mathbf {S}}  и соленоидального вектора ускорений  ~{\mathbf {N}} :

~\nabla \cdot {\mathbf {S}}=4\pi \eta \rho ,

 

~\nabla \times {\mathbf {N}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\mathbf {S}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi \eta \rho {\mathbf {v}}}{c^{2}}},

 

~\nabla \cdot {\mathbf {N}}=0,

 

~\nabla \times {\mathbf {S}}=-{\frac {\partial {\mathbf {N}}}{\partial t}}.

Уравнение для метрики

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля ускорений в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики:

~R_{{ik}}-{\frac {1}{4}}g_{{ik}}R={\frac {8\pi G\beta }{c^{4}}}\left(B_{{ik}}+P_{{ik}}+U_{{ik}}+W_{{ik}}\right),

где ~\beta  – коэффициент, подлежащий определению, ~B_{{ik}}, ~P_{{ik}}, ~U_{{ik}}и ~W_{{ik}} – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей, ~G – гравитационная постоянная.

Уравнение движения

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса поля ускорений  B^{{ik}} или тензора ускорений u_{{nk}} :

~-\nabla _{k}\left(B^{{ik}}+U^{{ik}}+W^{{ik}}+P^{{ik}}\right)=g^{{in}}\left(u_{{nk}}J^{k}+\Phi _{{nk}}J^{k}+F_{{nk}}j^{k}+f_{{nk}}J^{k}\right)=0.\qquad (2)

где  ~\Phi _{{nk}} – тензор гравитационного поля, ~F_{{nk}} – тензор электромагнитного поля, ~f_{{nk}} – тензор поля давления, ~j^{k}=\rho _{{0q}}u^{k} – зарядовый 4-ток, ~\rho _{{0q}} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, ~u^{k} – 4-скорость.

Учтём теперь, что  ~J^{k}=\rho _{{0}}u^{k}  есть массовый 4-ток, а тензор ускорений определяется через 4-потенциал в виде  ~u_{{nk}}=\nabla _{n}U_{k}-\nabla _{k}U_{n}.  Это даёт следующее: [2]

~\nabla _{\beta }{B_{n}}^{\beta }=-u_{{nk}}J^{k}=-\rho _{{0}}u^{k}(\nabla _{n}U_{k}-\nabla _{k}U_{n})=\rho _{{0}}{\frac {DU_{n}}{D\tau }}-\rho _{{0}}u^{k}\nabla _{n}U_{k}.\qquad (3)

Здесь использован оператор производной по собственному времени  ~u^{k}\nabla _{k}={\frac {D}{D\tau }} ,  где ~D – символ 4-дифференциала в искривлённом пространстве-времени, ~\tau  – собственное время, ~\rho _{0}  есть плотность массы в сопутствующей системе отсчёта.

С учётом этого уравнение движения (2) приобретает вид:

~\rho _{{0}}{\frac {DU_{n}}{D\tau }}-\rho _{{0}}u^{k}\nabla _{n}U_{k}=-\nabla ^{k}\left(U_{{nk}}+W_{{nk}}+P_{{nk}}\right)=\Phi _{{nk}}J^{k}+F_{{nk}}j^{k}+f_{{nk}}J^{k}.

Временная компонента данного уравнения при  ~n=0  описывает скорость изменения скалярного потенциала поля ускорений, а пространственная компонента при  ~n=1{,}2{,}3  связывает скорость изменения векторного потенциала поля ускорений с плотностями действующих сил.

Законы сохранения

При индексе  ~i=0  в (2), то есть для временной компоненты уравнения, в пределе специальной теории относительности из равенства нулю левой части (2) следует:

~\nabla \cdot ({\mathbf {K}}+{\mathbf {H}}+{\mathbf {P}}+{\mathbf {F}})=-{\frac {\partial (B^{{00}}+U^{{00}}+W^{{00}}+P^{{00}})}{\partial t}},

где  ~{\mathbf {K}}  – вектор плотности потока энергии поля ускорений, ~{\mathbf {H}} – вектор Хевисайда, ~{\mathbf {P}} – вектор Пойнтинга, ~{\mathbf {F}} – вектор плотности потока энергии поля давления.

Это соотношение можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса всех четырёх полей. [3]

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается интегральный вектор, равный нулю: [4]

~{\mathbb {Q}}^{i}=\int {\left(B^{{i0}}+U^{{i0}}+W^{{i0}}+P^{{i0}}\right)dV}.

Равенство нулю интегрального вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы. С другой стороны, согласно [3] обобщённая теорема Пойнтинга и интегральный вектор должны рассматриваться по разному в веществе и за его пределами. В результате возникновение проблемы 4/3 связывается с тем, что временные компоненты тензоров энергии-импульса не образуют 4-векторы и потому принципиально не могут задавать одну и ту же массу в энергии и в импульсе полей.

Релятивистская механика

Как в релятивистской механике, так и в общей теории относительности (ОТО), тензор энергии-импульса поля ускорений не используется. Вместо него применяется так называемый тензор энергии-импульса вещества, имеющий в простейшем случае следующий вид:  ~\phi _{{n\beta }}=\rho _{0}u_{n}u_{\beta } . В ОТО тензор  ~\phi _{{n\beta }}  подставляется в уравнение для метрики, а его ковариантная производная даёт следующее:

~\nabla ^{\beta }\phi _{{n\beta }}=\nabla ^{\beta }(\rho _{0}u_{n}u_{\beta })=u_{n}\nabla ^{\beta }J_{\beta }+\rho _{0}u_{\beta }\nabla ^{\beta }u_{n}.

В ОТО предполагается, что выполняется уравнение непрерывности в виде  ~\nabla ^{\beta }J_{\beta }=0. Тогда с учётом оператора производной по собственному времени ковариантная производная тензора  ~\phi _{{n\beta }}  даёт произведение плотности на 4-ускорение, то есть плотность 4-силы:

~\nabla ^{\beta }\phi _{{n\beta }}=\rho _{0}u_{\beta }\nabla ^{\beta }u_{n}=\rho _{0}{\frac {Du_{n}}{D\tau }}.\qquad (4)

Однако уравнение непрерывности справедливо лишь в рамках специальной теории относительности в виде  ~\partial ^{\beta }J_{\beta }=\partial _{\beta }J^{\beta }=0. В искривлённом пространстве-времени вместо этого должно было бы быть уравнение  ~\nabla ^{\beta }J_{\beta }=0  , однако вместо нуля в правой части в этом уравнении появляется дополнительный ненулевой член с тензором кривизны Римана. [1]  Вследствие этого (4) не является точным выражением, и тензор  ~\phi _{{n\beta }}  определяет свойства вещества лишь в специальной теории относительности. В противоположность этому, в ковариантной теории гравитации уравнение (3) записано в ковариантной форме, так что тензор энергии-импульса поля ускорений  ~B_{{n\beta }}  описывает поле ускорений частиц вещества в том числе и в римановом пространстве-времени.

См. также

Ссылки

1.      а б Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

2.      Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

3.      а б Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.

4.      Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. https://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/as.htm

На список страниц