Оператор производной по собственному времени

Оператор производной по собственному времени является дифференциальным оператором и релятивистским обобщением производной Лагранжа (субстанциональной производной) на четырёхмерное пространство-время. В координатной записи данный оператор записывается следующим образом: ^[1]

$~\frac{ D } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu$ ,

где – символ дифференциала в искривлённом пространстве-времени, $~ \tau$ – собственное время, измеряемое часами, движущимися с телом, $~ u^\mu$ – 4-скорость тела или элемента объёма вещества, $~ \nabla_\mu$ – ковариантная производная.

В плоском пространстве-времени Минковского оператор производной по собственному времени упрощается, так как ковариантная производная переходит в 4-градиент (оператор дифференцирования с частными производными по координатам):

$~\frac{ d } {d \tau }= u^\mu \partial_\mu$ .

Для доказательства данного выражения его можно применить к произвольному 4-вектору $~ A^\nu$ :

$~ u^\mu \partial_\mu A^\nu = \frac {c{} dt}{d\tau } \frac {\partial A^\nu }{c{}\partial t } + \frac {dx}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial x } + \frac {dy}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial y } + \frac {dz}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial z } =$

$~=\frac {dt}{d\tau } \left( \frac {\partial A^\nu }{\partial t } + \frac {dx}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial x }+ \frac {dy}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial y }+ \frac {dz}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial z }\right) =\frac {dt}{d\tau }\frac {dA^\nu }{dt }=\frac{ dA^\nu } {d \tau }$ .

Выше была использована производная Лагранжа в виде операторного равенства для произвольной функции :

$~ \frac {dF}{dt}= \frac {\partial F }{\partial t }+\mathbf{V}\cdot \nabla F$ ,

где $~ \mathbf{V}$ есть скорость движения элемента объёма вещества, $~ \nabla$ – оператор набла.

В свою очередь, производная Лагранжа вытекает из представления дифференциала функции от координат и времени:

$~ dF(t,x,y,z) = \frac {\partial F}{\partial t}dt + \frac {\partial F}{\partial x}dx + \frac {\partial F}{\partial y}dy + \frac {\partial F}{\partial z}dz$ .

Применение

Оператор производной по собственному времени применяется к различным четырёхмерным величинам – к скалярным функциям, 4-векторам и 4-тензорам. Одним из исключений является 4-радиус, в четырёхмерных декартовых координатах имеющий вид $~ x^\mu=(ct,x,y,z)=(ct, \mathbf{r} )$ , поскольку 4-вектором в искривлённом пространстве-времени является не 4-радиус, а его дифференциал (4-вектор сдвига) $~ dx^\mu=(c{}dt,dx,dy,dz)=(cdt, d\mathbf{r} )$ . Действие левой части оператора на 4-радиус определяет 4-скорость: $~ \frac{ D x^\mu } {D \tau }= u^\mu$ , но правая часть оператора 4-скорость не даёт: $~ u^\nu \nabla_\nu x^\mu \not = u^\mu$ .

В ковариантной теории гравитации оператор производной по собственному времени используется для определения плотности 4-силы, действующей на твёрдую точечную частицу в искривлённом пространстве-времени: ^[2]

$~f^\nu = \frac{ DJ^\nu } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu J^\nu =\frac{ dJ^\nu } {d \tau }+ \Gamma^\nu _{\mu \lambda} u^\mu J^\lambda$ ,

где $~ J^\nu = \rho_0 u^\nu$ есть 4-вектор плотности импульса вещества, $~ \rho_0$ – плотность вещества в системе его покоя, $~ \Gamma^\nu _{\mu \lambda}$ – символ Кристоффеля.

Однако в общем случае 4-сила определяется с помощью 4-потенциала поля ускорений: ^[3]

$~f_{\alpha }=\nabla _{\beta }{B_{\alpha }}^{\beta }=-u_{{\alpha k}}J^{k}=\rho _{0}{\frac {DU_{\alpha }}{D\tau }}-J^{k}\nabla _{\alpha }U_{k}=\rho _{0}{\frac {dU_{\alpha }}{d\tau }}-J^{k}\partial _{\alpha }U_{k},$

где $~{B_{\alpha }}^{\beta }$ – тензор энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами, $~u_{{\alpha k}}$ – тензор ускорений, 4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный $~\vartheta$ и векторный $~{\mathbf {U}}$ потенциалы:

$~U_{\alpha }=\left({\frac {\vartheta }{c}},-{\mathbf {U}}\right).$

В общей теории относительности свободно падающее в гравитационном поле тело движется по геодезической линии, причём 4-ускорение тела в этом случае считается равным нулю: ^[4]

$~a^\nu = \frac{Du^\nu } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu u^\nu =\frac{ du^\nu } {d \tau }+ \Gamma^\nu_{\mu \lambda} u^\mu u^\lambda=0$ .

Так как интервал $~ds = c d\tau$ , то уравнение движения тела по геодезической в общей теории относительности можно переписать в эквивалентной форме:

$~ \frac{ d } {d s }\left(\frac{ dx^\nu } {d s } \right) + \Gamma^\nu_{\mu \lambda } \frac{ dx^\mu } {d s } \frac{ dx^\lambda } {d s } = 0.$

Если вместо собственного времени использовать некоторый параметр , а уравнение кривой задать выражением $~x^\mu (p)$ , то может быть определён оператор производной по параметру вдоль кривой: ^[5]

$~\frac{ D } {D p }= \frac {d x^\mu }{dp} \nabla_\mu$ .

См. также

4-градиент
Инвариантная производная по времени
4-сила

Ссылки

1. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

2. Fedosin S.G. The General Theory of Relativity, Metric Theory of Relativity and Covariant Theory of Gravitation: Axiomatization and Critical Analysis. International Journal of Theoretical and Applied Physics, Vol. 4, No. 1, pp. 9-26 (2014). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.890781; статья на русском языке: Общая теория относительности, метрическая теория относительности и ковариантная теория гравитации. Аксиоматизация и критический анализ.

3. Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

4. Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. –568 с.

5. Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry, Addison Wesley, ISBN 0-8053-8732-3.

Внешние ссылки

Operator of proper-time-derivative

Источник: http://sergf.ru/od.htm

На список страниц

In English