In English

4-ускорение

Из проекта Викизнание

 

4-ускорение есть 4-вектор, рассматриваемый как релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора ускорения на четырёхмерное пространство-время. Любая физическая система, будь то точечная материальная частица или связанное множество частиц, обладает своим собственным 4-ускорением. Внутри тела с непрерывным распределением вещества как правило имеются градиенты скоростей движения типичных частиц этого вещества. В результате усреднённое по объёму с размерами таких частиц 4-ускорение типичных частиц внутри тел является некоторой функцией координат и времени, приводя к внутренним напряжениям в веществе.

Содержание 

Определение

В общем случае 4-ускорение частицы определяется как производная 4-скорости  ~u^{\lambda } по собственному времени  ~\tau   частицы:

~A^{\lambda }:={\frac  {Du^{\lambda }}{D\tau }}=u^{{\mu }}\nabla _{\mu }u^{\lambda }=u^{{\mu }}\partial _{\mu }u^{\lambda }+\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }u^{\mu }u^{\nu }={\frac  {du^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }u^{\mu }u^{\nu }.

В приведённом выражении используется оператор производной по собственному времени   ~{\frac  {D}{D\tau }}=u^{\mu }\nabla _{\mu },  обобщающий производную Лагранжа на искривлённое пространство-время, [1]  а величины  ~\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }  представляют собой символы Кристоффеля.

Для определения 4-ускорения с ковариантным индексом требуется метрический тензор  ~g_{{\nu \lambda }} :

~A_{\nu }=g_{{\nu \lambda }}A^{\lambda }={\frac  {Du_{\nu }}{D\tau }}=u^{{\mu }}\nabla _{\mu }u_{\nu }=u^{{\mu }}\partial _{\mu }u_{\nu }-\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }u^{\mu }u_{\lambda }={\frac  {du_{\nu }}{d\tau }}-\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }u^{\mu }u_{\lambda }.

Отдельная частица

Движение физических частиц, а также и физических систем из множества частиц, движущихся как единое целое, описывается с помощью 4-скорости. При этом скорость движения частицы или системы непосредственно входит в пространственную компоненту 4-скорости.

Иногда удобно от собственного времени  ~\tau   частицы перейти к координатному времени  ~t системы отсчёта, в которой движется частица. Учтём, что 4-скорость можно записать в следующем виде:

~u^{\lambda }:={\frac  {dx^{\lambda }}{d\tau }}=\left(c{\frac  {dt}{d\tau }},{\frac  {d{\mathbf  r}}{d\tau }}\right)={\frac  {u^{0}}{c}}\left(c,{\mathbf  v}\right),

где  ~x^{\lambda }=(ct,{\mathbf  r})  – мгновенное 4-положение частицы, ~c– скорость света, ~{\mathbf  r}  – 3-вектор положения частицы,  ~u^{0}=c{\frac  {dt}{d\tau }}  – временная компонента 4-скорости,  ~{\mathbf  v}={\frac  {d{\mathbf  r}}{dt}}=(v^{1},v^{2},v^{3})=(v_{x},v_{y},v_{z})  – 3-скорость частицы с соответствующими компонентами.

Для компонент 4-ускорения получается тогда следующее:

~A^{0}={\frac  {u^{0}}{c}}{\frac  {du^{0}}{dt}}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{0}u^{\mu }u^{\nu }.\qquad A^{1}={\frac  {u^{0}}{c^{2}}}{\frac  {d(u^{0}v^{1})}{dt}}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{1}u^{\mu }u^{\nu }.

 

~A^{2}={\frac  {u^{0}}{c^{2}}}{\frac  {d(u^{0}v^{2})}{dt}}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{2}u^{\mu }u^{\nu }.\qquad A^{3}={\frac  {u^{0}}{c^{2}}}{\frac  {d(u^{0}v^{3})}{dt}}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{3}u^{\mu }u^{\nu }.

В инерциальной системе отсчёта, мгновенно сопутствующей движущейся частице, скорость ~{\mathbf  v}=0,  фактор Лоренца  ~\gamma ={\frac  {dt}{d\tau }}={\sqrt  {{\frac  {1}{1-{\frac  {v^{2}}{c^{2}}}}}}}=1, символы Кристоффеля обнуляются,  ~u^{0}=\gamma c=c,  и обозначая в данной системе отсчёта собственное 3-ускорение в виде  ~{\mathbf  a}={\frac  {d{\mathbf  v}}{dt}},  для 4-ускорения получается: ~A^{\lambda }=(0,{\mathbf  a}).  Поскольку в этой системе отсчёта 4-скорости с контравариантным и ковариантным индексом совпадают,  ~u^{\lambda }=(c,0)=u_{\lambda },  то скалярное произведение  ~u_{\lambda }A^{\lambda }=0. Так как скалярное произведение любых 4-векторов есть инвариант, то из равенства нулю скалярного произведения следует, что и в любой другой системе отсчёта 4-скорость и 4-ускорение частицы всегда перпендикулярны друг другу.

Если считать, что 4-скорость направлена вдоль мировой линии частицы, то тогда 4-ускорение в каждой точке будет перпендикулярно этой линии и направлено так же, как вектор кривизны мировой линии.

Применение

В случае, когда на частицу действует некоторое силовое поле, ускорение частицы будет зависеть от обеих компонент этого поля, то есть от напряжённости и соответствующего соленоидального вектора. Так, напряжённость электрического поля, магнитная индукция, заряд и скорость частицы определяют величину силы Лоренца, ускоряющей частицу в электромагнитном поле. Такая же ситуация складывается и в ковариантной теории гравитации, где имеется напряжённость гравитационного поля и поле кручения.

Для полей справедлив принцип суперпозиции, согласно которому скалярный потенциал поля в некоторой точке есть арифметическая сумма скалярных потенциалов всех имеющихся источников поля, а векторный потенциал в этой точке есть векторная сумма векторных потенциалов источников поля. С помощью известных потенциалов поля нетрудно определить напряжённость и соответствующий соленоидальный вектор поля, а значит и соответствующее ускорение частицы. Для выражения силы в более общем, тензорном виде, используется понятие 4-сила, пропорциональное 4-ускорению.

В общей теории относительности гравитационная сила сводится к искривлению пространства-времени и находится через метрический тензор. В результате в отсутствие других сил частица в гравитационном поле движется по геодезической линии, причём 4-ускорение  ~A^{\lambda }  частицы и 4-сила оказываются равными нулю. Отсюда следует уравнение геодезической как уравнение движения частицы в заданной метрике:

~A^{\lambda }={\frac  {du^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }u^{\mu }u^{\nu }=0.

При аналогичных условиях в ковариантной теории гравитации гравитационное 4-ускорение частицы определяется либо через тензор гравитационного поля  ~\Phi _{{\mu \nu }}, либо через тензор энергии-импульса гравитационного поля  ~U_{{\mu \nu }}.  При этом 4-ускорение нулю не равно, пока существует не нулевая гравитационная сила. Уравнение движения есть равенство между 4-ускорением частицы и ускорением от гравитационного поля:

~A^{\lambda }=g^{{\lambda \mu }}\Phi _{{\mu \nu }}u^{\nu }=-{\frac  {1}{\rho _{0}}}\nabla _{\mu }U^{{\lambda \mu }}.

В присутствии других полей, действующих на частицу, указанные выше уравнения движения изменяются. Например, при наличии заряда ~q у частицы массы  ~m, уравнение движения в общей теории относительности будет следующим: [2]

~A^{\lambda }={\frac  {du^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }u^{\mu }u^{\nu }={\frac  {q}{m}}g^{{\lambda \mu }}F_{{\mu \nu }}u^{\nu }=-{\frac  {1}{\rho _{0}}}\nabla _{\mu }W^{{\lambda \mu }},

где  ~F_{{\mu \nu }}  есть тензор электромагнитного поля, ~W^{{\lambda \mu }}   тензор энергии-импульса электромагнитного поля, ~\rho _{{0}} – средняя плотность массы частицы в её собственной системе отсчёта.

В веществе внутри тела на частицу может действовать одновременно несколько полей, например, гравитационное и электромагнитное поля, поле давления, поле диссипации. В ковариантной теории гравитации гравитационное поле рассматривается как векторное поле, так же, как и электромагнитное поле. Если считать, что и другие поля в макроскопических телах описываются векторными полями и являются компонентами общего поля, то уравнение движения частицы в указанных четырёх полях имеет вид: [3]

~A^{\lambda }=g^{{\lambda \mu }}\left(\Phi _{{\mu \nu }}u^{\nu }+{\frac  {q}{m}}F_{{\mu \nu }}u^{\nu }+f_{{\mu \nu }}u^{\nu }+h_{{\mu \nu }}u^{\nu }\right)=-{\frac  {1}{\rho _{0}}}\nabla _{\mu }(U^{{\lambda \mu }}+W^{{\lambda \mu }}+P^{{\lambda \mu }}+Q^{{\lambda \mu }}).\qquad (1)

Здесь ~f_{{\mu \nu }}тензор поля давления, ~h_{{\mu \nu }}тензор поля диссипации, ~P^{{\lambda \mu }}тензор энергии-импульса поля давления, ~Q^{{\lambda \mu }}тензор энергии-импульса поля диссипации.

4-импульс и 4-сила

4-импульс частицы определяется как произведение массы  ~m частицы на 4-скорость:

~p^{\lambda }:=mu^{\lambda }=\left({\frac  {E}{c}},\quad {\mathbf  p}\right),

где  ~E=mcu^{0} – релятивистская энергия,  ~{\mathbf  p}={\frac  {mu^{0}{\mathbf  v}}{c}}  – 3-вектор релятивистского импульса частицы.

Для вычисления 4-силы необходимо применить к 4-импульсу оператор производной по собственному времени:

~F^{\lambda }:={\frac  {Dp^{\lambda }}{D\tau }}={\frac  {dp^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }p^{\mu }u^{\nu }.

Если масса постоянна, её можно вынести за знак дифференциала:

~F^{\lambda }=m{\frac  {Du^{\lambda }}{D\tau }}=mA^{\lambda }.

В этом случае 4-сила будет пропорциональна массе и 4-ускорению. Если определить, что  ~W={\frac  {dE}{dt}}  есть мощность как скорость изменения энергии частицы, а  ~{\mathbf  F}={\frac  {d{\mathbf  p}}{dt}}=(F_{x},F_{y},F_{z})  – 3-сила, записанная в том числе в декартовых координатах, и действующая на частицу, то компоненты 4-силы запишутся через мощность, компоненты 3-силы и через компоненты 4-ускорения так:

~F^{0}={\frac  {u^{0}W}{c^{2}}}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{0}p^{\mu }u^{\nu }=mA^{0}.\qquad F^{1}={\frac  {u^{0}F_{x}}{c}}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{1}p^{\mu }u^{\nu }=mA^{1}.\qquad (2)

 

~F^{2}={\frac  {u^{0}F_{y}}{c}}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{2}p^{\mu }u^{\nu }=mA^{2}.\qquad F^{3}={\frac  {u^{0}F_{z}}{c}}+\Gamma _{{\mu \nu }}^{3}p^{\mu }u^{\nu }=mA^{3}.

Определение 4-ускорения с помощью поля ускорений

Поле ускорений характеризуется своим собственным 4-потенциалом, тензором ускорений  ~u_{{\mu \nu }}  и тензором энергии-импульса поля ускорений  ~B_{{\mu \nu }}. Компонентами тензора ускорений являются компоненты двух 3-векторов – напряжённости  ~{\mathbf  S}  и соленоидального вектора  ~{\mathbf  N}  поля ускорений. 4-ускорение с ковариантным индексом может быть определено через эти величины: [4]

~A_{\mu }=-u_{{\mu \nu }}u^{{\nu }}={\frac  {u^{0}}{c}}\left(-{\frac  {1}{c}}{\mathbf  S}\cdot {\mathbf  v},\quad {\mathbf  S}+[{\mathbf  v}\times {\mathbf  N}]\right)={\frac  {1}{\rho _{0}}}g_{{\mu \beta }}\nabla _{\nu }B^{{\beta \nu }}.\qquad (3)

Равенство для 4-ускорения с правой частью, содержащей тензор энергии-импульса поля ускорений, следует из принципа наименьшего действия. Равенство для 4-ускорения с левой частью доказывается следующим образом. Для точечной частицы 4-потенциалом поля ускорений выступает 4-скорость частицы с ковариантным индексом  ~u_{\nu }, и тензор ускорений будет равен:

~u_{{\mu \nu }}=\nabla _{\mu }u_{\nu }-\nabla _{\nu }u_{\mu }.

Умножение этого равенства на  ~u^{\nu } даёт искомое соотношение:

~u_{{\mu \nu }}u^{\nu }=u^{\nu }\nabla _{\mu }u_{\nu }-u^{\nu }\nabla _{\nu }u_{\mu }=-u^{\nu }\nabla _{\nu }u_{\mu }=-A_{\mu }.

При этом было учтено равенство:  ~u_{\nu }u^{\nu }=c^{2}  и его ковариантная производная:

~\nabla _{\mu }(u_{\nu }u^{\nu })=u_{\nu }\nabla _{\mu }u^{\nu }+u^{\nu }\nabla _{\mu }u_{\nu }=2u^{\nu }\nabla _{\mu }u_{\nu }=\nabla _{\mu }c^{2}=0.

С помощью метрического тензора можно перейти к 4-ускорению с контравариантным индексом:

~A^{\lambda }=g^{{\lambda \mu }}A_{\mu }=-u_{\nu }^{\lambda }u^{{\nu }}={\frac  {1}{\rho _{0}}}\nabla _{\nu }B^{{\lambda \nu }}.\qquad (4)

После подстановки (4) в правую часть (2) становится видно, что имеется связь между мощностью  ~W и 3-силой  ~{\mathbf  F}, с одной стороны, и скалярным произведением  ~{\mathbf  S}\cdot {\mathbf  v}  и суммой  ~{\mathbf  S}+[{\mathbf  v}\times {\mathbf  N}],  с другой стороны.

В плоском пространстве-времени символы Кристоффеля обнуляются, ~u^{0}=c\gamma  , а метрический тензор имеет только диагональные компоненты, по модулю равные 1. В этом случае получается:

~W=-m{\mathbf  S}\cdot {\mathbf  v}={\mathbf  F}\cdot {\mathbf  v},\qquad {\mathbf  F}=-m\left({\mathbf  S}+[{\mathbf  v}\times {\mathbf  N}]\right).

Таким образом, мощность работы, совершаемой произвольной силой, и сама сила описываются через скорость движения ~{\mathbf  v}, напряжённость  ~{\mathbf  S}  и соленоидальный вектор  ~{\mathbf  N}  поля ускорений.

Из определения 4-потенциала и тензора ускорений следуют выражения для векторов  ~{\mathbf  S}  и  ~{\mathbf  N} :

~{\mathbf  {S}}=-\nabla \vartheta -{\frac  {\partial {\mathbf  {U}}}{\partial t}},\qquad \qquad {\mathbf  {N}}=\nabla \times {\mathbf  {U}}.

В плоском пространстве-времени скалярный потенциал поля ускорений частицы равен  ~\vartheta =\gamma c^{2}={\frac  {E}{m}} , а векторный потенциал поля ускорений равен  ~{\mathbf  {U}}=\gamma {\mathbf  v}={\frac  {{\mathbf  p}}{m}}  . Находя с помощью этих потенциалов векторы  ~{\mathbf  S}  и  ~{\mathbf  N}  и подставляя их в выражения для мощности и силы, получим следующее:

~W={\mathbf  v}\cdot \nabla E+{\mathbf  v}\cdot {\frac  {\partial {\mathbf  {p}}}{\partial t}}={\frac  {dE}{dt}}={\mathbf  v}\cdot {\frac  {d{\mathbf  p}}{dt}}.

 

~{\mathbf  F}=\nabla E+{\frac  {\partial {\mathbf  {p}}}{\partial t}}-{\mathbf  v}\times [\nabla \times {\mathbf  p}]={\frac  {d{\mathbf  p}}{dt}}.

Векторы  ~{\mathbf  S}  и  ~{\mathbf  N}  определены через частные производные, характерные для алгебры 4-векторов, и аналогично получились выражения для мощности и силы. Кроме этого, существуют ещё два выражения для силы, [2] [1] с участием 3-ускорения  ~a  частицы:

~{\mathbf  F}=m\gamma \left({\mathbf  {a}}+\gamma ^{2}{\frac  {({\mathbf  {v}}\cdot {\mathbf  {a}})}{c^{2}}}{\mathbf  {v}}\right)=m\gamma ^{3}\left({\mathbf  {a}}+{\frac  {{\mathbf  {v}}\times [{\mathbf  {v}}\times {\mathbf  {a}}]}{c^{2}}}\right).

Система тесно взаимодействующих частиц

Концепция 4-ускорения для достаточно большой системы частиц существенно отличается от 4-ускорения одиночной частицы. Многочастичные взаимодействия в системе порождают новое качество, когда важным становится не движение конкретной физической частицы, а движение некоторых типичных частиц, которые в среднем характеризуют рассматриваемую систему. В результате усреднения кинетических энергий и импульсов отдельных частиц возникают ещё такие макроскопические параметры, как температура и давление. Особенностью типичной частицы является то, что скорость её движения становится функцией местоположения в системе. В простых физических системах, состоящих из частиц одной фазы или имеющих достаточно однородный состав, давление, температура и скорость типичных частиц в центре системы как правило достигают максимальной величины.

Для описания движения типичной частицы пригодны те же уравнения, что и для физической частицы, с тем отличием, что эти уравнения должны быть усреднены. Для этого требуется усреднение напряжённостей и соленоидальных векторов всех действующих полей по объёму типичной частицы по месту её нахождения. Фактически усреднение осуществляется путём решения соответствующих уравнений поля, при этом часто используется приближение сплошной среды.

В концепции общего поля и ковариантной теории гравитации для вычисления 4-ускорения в веществе могут понадобиться следующие выражения:

1) Уравнение для вычисления метрики:

~R^{{\lambda \mu }}-{\frac  {1}{4}}g^{{\lambda \mu }}R={\frac  {8\pi G\beta }{c^{4}}}(U^{{\lambda \mu }}+W^{{\lambda \mu }}+P^{{\lambda \mu }}+Q^{{\lambda \mu }}),

где ~R – скалярная кривизна, ~G гравитационная постоянная, ~\beta  – некоторая постоянная, и использовано условие калибровки космологической постоянной.

2) Уравнения поля ускорений для вычисления векторов  ~{\mathbf  S}  и  ~{\mathbf  N}  как компонент тензора ускорений  ~u_{{\mu \nu }}:

\nabla _{\sigma }u_{{\mu \nu }}+\nabla _{\mu }u_{{\nu \sigma }}+\nabla _{\nu }u_{{\sigma \mu }}={\frac  {\partial u_{{\mu \nu }}}{\partial x^{\sigma }}}+{\frac  {\partial u_{{\nu \sigma }}}{\partial x^{\mu }}}+{\frac  {\partial u_{{\sigma \mu }}}{\partial x^{\nu }}}=0.

 

~\nabla _{\nu }u^{{\mu \nu }}=-{\frac  {4\pi \eta }{c^{2}}}J^{\mu },

где  J^{\mu }=\rho _{{0}}u^{\mu }  есть массовый 4-ток, ~\eta  – постоянная поля ускорений.

Иногда проще вначале использовать волновое уравнение для вычисления 4-потенцала поля ускорения  ~u_{\mu }

~\nabla ^{\nu }\nabla _{\nu }u_{\mu }+R_{{\mu \nu }}u^{\nu }={\frac  {4\pi \eta }{c^{2}}}J_{\mu },

а затем применить 4-ротор к  ~u_{\mu }  для определения  ~u_{{\mu \nu }}.

3) Уравнение движения (1).

4) Условие калибровки 4-потенциала поля ускорений и уравнение непрерывности для массового 4-тока, соответственно:

~\nabla ^{\mu }u_{{\mu }}=0.

 

~R_{{\mu \alpha }}u^{{\mu \alpha }}={\frac  {4\pi \eta }{c^{2}}}\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}.

Связь метрики с 4-потенциалом поля ускорений содержится также в инварианте поля ускорений:

~g^{{\mu \nu }}u_{{\mu }}u_{{\nu }}=u_{{\mu }}u^{{\mu }}=c^{2}.

Как было сказано, все физические величины в этих уравнениях должны относиться к типичным частицам и потому должны быть усреднены. Это относится в том числе к тензору Риччи, к скалярной кривизне и к космологической постоянной внутри тела. [5]

В пунктах 1) и 2) векторы  ~{\mathbf  S}  и  ~{\mathbf  N} , необходимые для вычисления 4-ускорения в соотношении (3), выражаются через метрику и коэффициент ~\eta   поля ускорений. С помощью пункта 3) коэффициент ~\eta   выражается через коэффициенты других полей. В пункте 4) накладываются дополнительные ограничения на допустимый вид функций, в том числе на скорости частиц и их потенциалы. В связи со сложностью и взаимозависимостью уравнений их часто приходится решать одновременно.

При использовании общей теории относительности вместо ковариантной теории гравитации, описанный выше порядок вычисления 4-ускорения в целом остаётся. Исключением является то, что в общей теории относительности гравитационная сила и её вклад в 4-ускорение включены в метрику, что изменяет как уравнение для метрики, так и уравнение движения.

См. также

Ссылки

1.      а б Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

2.      а б Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. – Издание 7-е, исправленное. – М.: Наука, 1988. – 512 с. – (Теоретическая физика, том II).

3.      Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics. Vol. 18, No. 1, P. 13 – 24 (2015). http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003; статья на русском языке: Четырёхмерное уравнение движения вязкого сжимаемого вещества с учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.

4.      Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9, No. 1, pp. 1-30 (2016). статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

5.      Федосин С.Г. Калибровка энергии и метрики в ковариантной теории гравитации. Препринт, апрель 2017.

 Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/fa.htm

На список страниц