In English

Тензор поля давления

Из проекта Викизнание

Тензор поля давления — антисимметричный тензор, описывающий поле давления и состоящий из шести компонент. Компоненты тензора являются в то же время компонентами двух трёхмерных векторов – напряжённости поля давления, и соленоидального вектора давления. С помощью тензора поля давления определяются тензор энергии-импульса поля давления, уравнения поля давления и сила давления в веществе. Поле давления является компонентой общего поля.

 

Оглавление

  • 1 Определение
  • 2 Выражение для компонент
  • 3 Свойства тензора
  • 4 Поле давления
  • 5 Использование в ковариантной теории гравитации
    • 5.1 Действие и Лагранжиан
    • 5.2 Тензор энергии-импульса поля давления
    • 5.3 Обобщённая скорость и Гамильтониан
  • 6 См. также
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки

Определение

Выражение для тензора поля давления можно найти в работах Федосина, [1] где тензор определяется через 4-ротор:

f_{\mu \nu} = \nabla_\mu \pi_\nu - \nabla_\nu \pi_\mu = \frac{\partial \pi_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial \pi_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1)

Здесь 4-потенциал поля давления ~ \pi_\mu определяется по формуле:

~\pi_\mu = \left( \frac {\wp }{ c}, -\mathbf{\Pi } \right),

где ~\wp – скалярный потенциал, ~ \mathbf{\Pi } – векторный потенциал поля давления, ~ c – скорость света.

Выражение для компонент

С помощью (1) находятся вектор напряжённости поля давления и соленоидальный вектор давления:

~ C_i= c (\partial_0 \pi_i -\partial_i \pi_0),

 

~ I_k= \partial_i \pi_j -\partial_j \pi_i ,

и это же в векторной записи:

~\mathbf{C}= -\nabla \wp - \frac{\partial \mathbf{\Pi }} {\partial t},

 

~\mathbf{I }= \nabla \times \mathbf{\Pi }.

Тензор поля давления в декартовых координатах состоит из компонент данных векторов:

~ f_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {C_x}{ c} & \frac {C_y}{ c} & \frac {C_z}{ c} \\ -\frac {C_x}{ c} & 0 & - I_{z} & I_{y} \\ -\frac {C_y}{ c} & I_{z} & 0 & -I_{x} \\ -\frac {C_z}{ c}& -I_{y} & I_{x} & 0 \end{vmatrix}.

Переход к тензору поля давления с контравариантными индексами осуществляется путём двойного умножения на метрический тензор:

~ f^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta} f_{\mu \nu}.

В рамках специальной теории относительности этот тензор имеет вид:

~ f^{\alpha \beta}= \begin{vmatrix} 0 &- \frac {C_{x}}{ c} & -\frac {C_{y}}{ c} & -\frac {C_{z}}{ c} \\ \frac {C_{x}}{ c} & 0 & - I_{z} & I_{y} \\ \frac {C_{y}}{ c}& I_{z} & 0 & -I_{x} \\ \frac {C_{z}}{ c}& -I_{y} & I_{x} & 0 \end{vmatrix}.

Для преобразования компонент тензора поля давления из одной инерциальной системы отсчёта в другую нужно учитывать правило преобразования тензоров. Если система отсчёта K’  движется с произвольной постоянной скоростью ~\mathbf {V} относительно неподвижной системы отсчёта K, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость поля давления и соленоидальный вектор давления преобразуются так:

\mathbf {C}^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {C}) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {C}-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {C}) + [\mathbf {V} \times \mathbf {I }] \right),

 

\mathbf {I }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {I }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {I }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {I }) - \frac {1}{ c^2} [\mathbf {V} \times \mathbf {C}] \right).

Свойства тензора

f_{\mu \nu} f^{\mu \nu} = -\frac {2}{c^2} (C^2- c^2 I^2) = inv,

 

\frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}f_{\mu \nu} f_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c } \left( \mathbf C \cdot \mathbf {I} \right) = inv.

\det \left( f_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2} \left(\mathbf C \cdot \mathbf {I} \right)^{2}.

Поле давления

Через тензор поля давления записываются уравнения поля давления:

\nabla_\sigma f_{\mu \nu}+\nabla_\mu f_{\nu \sigma}+\nabla_\nu f_{\sigma \mu}=\frac{\partial f_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial f_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial f_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2)

 

~ \nabla_\nu f^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \sigma }{c^2} J^\mu, \qquad\qquad (3)

где  Jμ = ρ0uμ  есть массовый 4-ток, ρ0  – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, uμ  – 4-скорость движения элемента вещества, ~ \sigma – постоянная, определяемая в каждой задаче.

Вместо (2) можно использовать выражение:

~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial f_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 .

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора поля давления согласно (1). Если подставить в (2) компоненты тензора  fμν, можно получить два векторных уравнения:

~ \nabla \times \mathbf{C} = - \frac{\partial \mathbf{I} } {\partial t} , \qquad\qquad (4)

 

~ \nabla \cdot \mathbf{I} = 0 . \qquad\qquad (5)

Согласно (5), соленоидальный вектор давления не имеет источников, так как его дивергенция равна нулю. Из (4) следует, что изменение во времени соленоидального вектора давления приводит к появлению ротора напряжённости поля давления.

Уравнение (3) связывает поле давления с его источником в виде массового 4-тока. В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнения упрощается и становится следующим:

~ \nabla \cdot \mathbf{C} = 4 \pi \sigma \rho,

 

~ \nabla \times \mathbf{I} = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \sigma \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{C}} {\partial t} \right),

где ~ \rho – плотность движущейся массы, ~ \mathbf{J} – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость поля давления имеет источник в виде плотности вещества, а по второму уравнению ток массы либо изменение во времени вектора напряжённости поля давления порождают круговое поле соленоидального вектора давления.

Из (3) и (1) можно получить следующее: [1]

~R_{{\mu \alpha }}f^{{\mu \alpha }}={\frac {4\pi \sigma }{c^{2}}}\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}=0.

 

Уравнение непрерывности для массового 4-тока  ~\nabla _{{\alpha }}J^{{\alpha }}=0 является калибровочным условием, которое используется для получения уравнения поля (3) из принципа наименьшего действия. С другой стороны, свёртка тензора Риччи и тензора поля давления равняется нулю  ~R_{{\mu \alpha }}f^{{\mu \alpha }}=0.  Это является следствием того, что тензор Риччи симметричен в отношении перестановки своих индексов, а тензор поля давления – антисимметричен, и можно записать:

 

~R_{{\mu \alpha }}f^{{\mu \alpha }}=-R_{{\mu \alpha }}f^{{\alpha \mu }}=-R_{{\alpha \mu }}f^{{\alpha \mu }}=-R_{{\mu \alpha }}f^{{\mu \alpha }}=0.

В пространстве Минковского тензор Риччи  ~R_{{\mu \alpha }}  равен нулю, ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким:

~\partial _{{\alpha }}J^{\alpha }={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {J}}=0.

 

Волновое уравнение для тензора поля давления выглядит следующим образом: [2]

 

~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }f_{{\mu \nu }}={\frac {4\pi \sigma }{c^{2}}}\nabla _{\mu }J_{\nu }-{\frac {4\pi \sigma }{c^{2}}}\nabla _{\nu }J_{\mu }+f_{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }-f_{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu \lambda \eta }}f^{{\eta \lambda }}.

 

В этом выражении используется метрика с сигнатурой  (+---) и определение тензора Риччи согласно. [3] Если же тензор Риччи определяется как в книге, [4] то в волновом уравнении меняется знак перед тензорами Риччи:

 

~\nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }f_{{\mu \nu }}={\frac {4\pi \sigma }{c^{2}}}\nabla _{\mu }J_{\nu }-{\frac {4\pi \sigma }{c^{2}}}\nabla _{\nu }J_{\mu }-f_{{\nu \rho }}{R^{\rho }}_{\mu }+f_{{\mu \rho }}{R^{\rho }}_{\nu }+R_{{\mu \nu \lambda \eta }}f^{{\eta \lambda }}.

 

Использование в ковариантной теории гравитации

Действие и Лагранжиан

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор поля давления и содержится в функции действия: [1]

~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} - 

~-{\frac {1}{c}}U_{\mu }J^{\mu }-{\frac {c}{16\pi \eta }}u_{{\mu \nu }}u^{{\mu \nu }}-{\frac {1}{c}}\pi _{\mu }J^{\mu }-{\frac {c}{16\pi \sigma }}f_{{\mu \nu }}f^{{\mu \nu }}){\sqrt {-g}}d\Sigma ,

где ~L – функция Лагранжа или лагранжиан, ~dt – дифференциал времени используемой системы отсчёта, ~k – некоторый коэффициент, ~R – скалярная кривизна, ~\Lambda – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, ~c – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, ~ D_\mu – гравитационный 4-потенциал, ~ G –  гравитационная постоянная, ~ \Phi_{ \mu\nu} – тензор гравитационного поля, ~ A_\mu – электромагнитный 4-потенциал, ~ j^\mu – электрический 4-ток, ~\varepsilon_0 – электрическая постоянная, ~ F_{ \mu\nu} – тензор электромагнитного поля, ~U_{\mu }  – 4-потенциал поля ускорений, ~ \eta и  ~ \sigma – коэффициенты поля ускорений и поля давления, соответственно, ~ u_{ \mu\nu} – тензор ускорений, ~ \pi_\mu – 4-потенциал поля давления, ~ f_{ \mu\nu} – тензор поля давления, ~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3 – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты ~ dx^0=cdt, через произведение ~ dx^1 dx^2 dx^3 дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень ~\sqrt {-g}  из детерминанта ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления: [2] [5]

~\rho _{0}A_{\beta }=\rho _{0}{\frac {Du_{\beta }}{D\tau }}=-u_{{\beta \sigma }}\rho _{{0}}u^{\sigma }=\rho _{0}{\frac {dU_{\beta }}{d\tau }}-\rho _{0}u^{\sigma }\partial _{\beta }U_{\sigma }=\Phi _{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma }+F_{{\beta \sigma }}\rho _{{0q}}u^{\sigma }+f_{{\beta \sigma }}\rho _{0}u^{\sigma },

Здесь  ~A_{\beta }  есть 4-ускорение элемента вещества, ~u_{\beta }  есть 4-скорость с ковариантным индексом, ~\tau  есть собственное время в системе отсчёта элемента вещества, первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца с инвариантной плотностью заряда  ~\rho _{{0q}} , последний член определяет силу давления.

Варьирование функции действия по 4-потенциалу поля давления приводит к уравнению поля давления (3).

Тензор энергии-импульса поля давления

С помощью тензора поля давления в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса поля давления:

~ P^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \sigma }\left( -g^{im} f_{n m} f^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} f_{m r} f^{m r}\right).

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность 4-силы давления:

~f^{\alpha }=-\nabla _{\beta }P^{{\alpha \beta }}={f^{\alpha }}_{{k}}J^{k}.

Обобщённая скорость и Гамильтониан

Ковариантный 4-вектор обобщённой скорости (по своему смыслу это обобщённый 4-потенциал) определяется выражением:

~s_{{\mu }}=U_{{\mu }}+D_{{\mu }}+{\frac {\rho _{{0q}}}{\rho _{0}}}A_{{\mu }}+\pi _{{\mu }}.

С учётом обобщённой 4-скорости Гамильтониан содержит в себе тензор поля давления и имеет вид:

~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}, 

где ~ s_0  и  ~ J^0 обозначают временные компоненты 4-векторов ~ s_{\mu }  и  ~ J^{\mu }.

В системе отсчёта, неподвижной относительно центра импульсов системы, Гамильтониан определяет инвариантную энергию системы.

См. также

Ссылки

1.             1,0 1,1 1,2 Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

2.             2,0 2,1 Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

3.             Fock V.A. The Theory of Space, Time and Gravitation. Macmillan. (1964).

4.             Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny M. (1975). The Classical Theory of Fields. Vol. 2 (4th ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9,

5.             Fedosin S.G. Two components of the macroscopic general field. Reports in Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2, 1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025; статья на русском языке: Две компоненты макроскопического общего поля.

Внешние ссылки

 

Источник: http://sergf.ru/tpd.htm

На список страниц