International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12
Уравнения движения в теории
релятивистских векторных полей
Федосин Сергей Григорьевич
ул. Свиязева 22-79,
город Пермь, 614088, Пермский край, Россия
e-mail: fedosin@hotmail.com
В рамках теории релятивистских векторных
полей представляются ковариантные выражения для уравнений движения вещества и
поля. Данные выражения могут быть записаны либо с помощью тензоров полей, то
есть через напряжённости и соленоидальные векторы полей, либо через
4-потенциалы, то есть через скалярные и векторные потенциалы полей. Такое
положение вещей связано с тем фактом, что в функции Лагранжа изначально
заложена взаимодополнительность описания через напряжённости и потенциалы
полей. Показывается, что уравнение для полей, получающееся путём взятия
ковариантной производной в уравнении для метрики, имеет более глубокий смысл,
чем обычное уравнение движения вещества, находимое с помощью принципа
наименьшего действия. В частности, указанное уравнение для полей приводит к
обобщённой теореме Пойнтинга, а после интегрирования по объёму позволяет ввести
в рассмотрение интегральный вектор как меру энергии и потоков энергии полей,
связанных с системой из частиц и полей.
Ключевые слова: векторное
поле; уравнение движения;
уравнения поля.
Equations of motion in the theory
of relativistic vector fields
Sergey G. Fedosin
PO box 614088, Sviazeva str. 22-79, Perm, Perm Krai, Russia
E-mail: fedosin@hotmail.com
Within the framework
of the theory of relativistic vector fields, the covariant expressions are
presented for the equations of motion of the matter and the field. These
expressions can be written either in terms of the field tensors, that is, the
fields’ strengths and solenoidal vectors, or in terms the four-potentials, that
is, the fields’ scalar and vector potentials. This state of things is due to
the fact that the Lagrange function initially implied the complementarity of
description in terms of the strengths and the field potentials. It is shown
that the equation for the fields, obtained by taking the covariant derivative
in the equation for the metric, has a deeper meaning than the ordinary equation
of motion of the matter, found with the help of the principle of least action.
In particular, the above-mentioned equation for the fields leads to the
generalized Poynting theorem, and after integration over the volume it allows
us to introduce for consideration the integral vector as a measure of the
energy and the fields’ energy fluxes, associated with a system of particles and
fields.
Keywords: vector field; equation of motion; covariant theory of gravitation.
1. Введение
Одним из самых эффективных способов получения
уравнений движения является применение принципа наименьшего действия [1-3]. При этом как правило
описывается либо движение заряженных частиц в электромагнитном поле, либо
движение частиц в потенциальном поле или в скалярном поле давления. Что касается
гравитационного поля, то оно обычно представляется тензорным полем в рамках
общей теории относительности, включая использование модифицированных версий
этой теории для описания
динамических свойств вещества [4-6].
Понятие электромагнитного поля, являющегося
векторным полем, успешно используется в науке и технике для всестороннего
описания электромагнитных явлений. Существует возможность так же представить
все действующие в макроскопических системах поля как соответствующие векторные
поля [7-9]. Это позволяет
применить хорошо развитый математический аппарат теории релятивистских
векторных полей и с его помощью описать как уравнение движения вещества под
действием полей, так и распространение полей при движении вещества.
Основной целью данной работы является
представление уравнений движения вещества и поля в ковариантном виде, пригодном
в том числе для использования в искривлённом пространстве-времени и в любых
системах отсчёта. Мы систематизируем результаты, изложенные в предыдущих
работах, и дополняем их в отношении уравнений для скалярных и векторных
потенциалов полей.
Среди множества векторных полей будут
рассмотрены лишь четыре поля, включая электромагнитное поле, гравитацию в
рамках ковариантной теории гравитации [10], поле ускорений и векторное поле
давления [11]. Другие макроскопические векторные поля могут быть легко
добавлены в представленные уравнения, как это было уже сделано для поля
диссипации [12] и полей сильного и
слабого взаимодействий [13].
В наших расчётах мы будем везде
использовать сигнатуру метрики вида (+,–,–,–).
2. Общие формы уравнения движения
Применение принципа наименьшего
действия с учётом калибровки энергии посредством космологической постоянной в
рамках ковариантной теории гравитации и четырёх векторных полей приводит к уравнению
для нахождения компонент метрического тензора [14]:
,
(1)
где 
– тензор Риччи; 
– скалярная кривизна; 
– метрический тензор; 
– скорость света, 
, где 
– гравитационная
постоянная; 
– некоторый
коэффициент порядка единицы, подлежащий определению; 
, 
, 
и 
– тензоры
энергии-импульса гравитационного и электромагнитного полей, поля ускорений и
поля давления, соответственно.
С помощью ковариантной производной 
можно найти
4-дивергенцию обеих частей (1). Дивергенция левой части равна нулю в силу
равенства нулю дивергенции тензора Эйнштейна, 
, а также как следствие того, что за пределами тела скалярная
кривизна обращается в нуль, 
, а внутри тела она считается постоянной. Последнее вытекает
из условия калибровки энергии системы в [14].
Дивергенция правой части (1) также равна нулю:
. (2)
Выражение (2) для пространственных
компонент тензоров при индексе 
показывает, что
изменение во времени потоков энергии полей приводит к так называемым натяжениям
полей. Что касается временных компонент тензоров при индексе 
, то для них (2) есть выражение обобщённой теоремы Пойнтинга
для всех полей, как внутри, так и снаружи вещества, определяющее баланс энергии
в системе.
Тензоры энергии-импульса гравитационного поля [10], [15], электромагнитного поля, поля ускорений и поля давления [11], [14], представленные в (2), выводятся из принципа наименьшего действия:
,
.
,
. (3)
Здесь 
, 
, 
и 
представляют собой
соответственно гравитационный тензор, электромагнитный тензор, тензор ускорений
и тензор поля давления; 
– электрическая
постоянная, 
– коэффициент поля
ускорений; 
– коэффициент поля
давления.
Все тензоры в (2) и в (3) выражаются
через соответствующие напряжённости и соленоидальные векторы полей. Например,
электромагнитный тензор и тензор
энергии-импульса электромагнитного поля 
выражаются через
напряжённость поля 
и магнитное поле 
.
Уравнение (2) внутри вещества может
быть преобразовано таким образом, что вместо тензоров энергии-импульса в нём
появляются непосредственно тензоры полей. В частности, можно доказать следующие
равенства [15, 16]:
, 
,
, 
.
(4)
Для
доказательства справедливости (4) следует подставить (3) в (4), применить
ковариантные производные к
произведениям тензоров полей и затем использовать уравнения соответствующего
поля, так что в (4) появляются массовый 4-ток 
и зарядовый 4-ток 
.
С учётом (4) уравнение (2) внутри вещества превращается в уравнение движения и принимает следующую форму:
Уравнение
движения в форме (5) может быть получено и непосредственно из принципа
наименьшего действия [15], вне зависимости от (1) и (2).
Для
приведения (5) к более удобной форме следует учесть выражение для массового
тока 
через инвариантную
плотность массы 
и 4-скорость 
частиц, а также
определение тензора ускорений 
, где 
есть 4-потенциал поля
ускорений. С учётом этого имеем:
.
(6)
При этом
был использован оператор производной по собственному
времени 
, где 
– символ 4-дифференциала в искривлённом
пространстве-времени, 
– собственное время [10].
Подстановка (6) в (5) даёт:
. (7)
Если в системе учитываются другие векторные поля, например поле диссипации [12] или макроскопические векторные поля сильного и слабого взаимодействий [13], то в правой части (7) появляются соответствующие добавочные члены с тензорами этих полей.
Для произвольного вектора 
можно записать:
, 
, (8)
где 
есть символ
Кристоффеля.
Замена в (8) на 4-потенциал поля
ускорений 
даёт:
, 
.
(9)
Подставим оба равенства (9) в (7):
. (10)
Разделим уравнение (10) на два
уравнения, одно для временных, а другое для пространственных векторных
компонент, при этом индекс 
:
.
. (11)
В (11) дифференцирование по
собственному времени можно заменить на
дифференцирование по координатному времени 
так: 
. При этом для массового 4-тока 
и для зарядового
4-тока 
можно записать:
, 
, (12)
где 
есть инвариантная
плотность заряда, 
– скорость движения частиц вещества. В декартовых
пространственных координатах четырёхмерная величина 
выражается через
скорость света и компоненты скорости частиц.
Учитывая ещё, что тензоры полей в (11)
выражаются через напряжённости и соленоидальные векторы, а 4-потенциал поля
ускорений 
определяется через скалярный
потенциал 
и векторный потенциал 
, с учётом (12) находим:
.
,
(13)
где 
, 
и 
обозначают
соответственно напряжённости гравитационного поля, электромагнитного поля и
поля давления; аналогично, 
есть поле
гравитационного кручения; 
есть магнитная
индукция и 
есть соленоидальный
вектор поля давления.
По определению тензора поля ускорений,
его компоненты включают в себя напряжённость 
и соленоидальный
вектор 
, выражаемые через потенциалы поля ускорений:
,
.
Векторы 
и могут быть включены в
уравнения (13). Для этого в левой части (13) надо учесть операторное
соотношение 
, а в правой части (13) с учётом определений 
и 
раскрыть произведения
4-векторов через их компоненты:
.
.
С учётом этого из (13) следует:
.
.
(14)
Если второе уравнение в (14) умножить
скалярно на скорость 
, получится первое уравнение в (14).
Ковариантно определённые уравнения
(10), (11), (13) и (14) не содержат символов Кристоффеля, что упрощает решение
этих уравнений. Заметим, что уравнения (14) полностью симметричны в отношении всех
четырёх векторных полей. Это означает например, что если известны напряжённости
полей и скорость движения типичных частиц
системы как функции времени и координат, то тем самым из первого уравнения (14)
находится связь между коэффициентами полей, то есть между 
, 
, 
и 
.
3. Прямолинейное движение
идеального твёрдого тела
Идеальное твёрдое тело можно
рассматривать как предельный случай релятивистской однородной системы, в
которой частицы системы неподвижны друг относительно друга. Это означает, что
фактор Лоренца 
частиц равен 1, а
скорость 
их движения равна нулю
в системе центра импульсов тела.
Это обстоятельство позволяет существенно упростить уравнение движения тела.
Начнём с определения 4-потенциала поля ускорений произвольной физической системы. В соответствии с [11], 4-потенциал любого векторного поля, векторный потенциал которого равен нулю в собственной системе отсчёта, то есть в системе центра импульсов, при прямолинейном движении в лабораторной системе отсчёта может быть представлен по формуле:
, (15)
где 
для электромагнитного
поля и 
для остальных полей; 
есть инвариантная
плотность энергии взаимодействия 4-потенциала поля с соответствующим 4-током; 
есть 4-скорость с
ковариантным индексом, задающая движение центра импульсов физической системы в
лабораторной системе отсчёта.
В
собственной системе отсчёта 
и векторный потенциал
как пространственная компонента 
согласно (15)
обнуляется. Однако некоторые физические системы, даже имея неподвижным свой центр
импульсов, обладают не только скалярным, но и векторным потенциалом поля в
пределах системы. Поэтому более общим выражением для 4-потенциала поля в
лабораторной системе отсчёта будет следующее:
где 
есть матрица,
связывающая координаты и время двух систем отсчёта, одна из которых является
лабораторной, а другая движется вместе с центром импульсов рассматриваемой
физической системой, так что в ней имеется 4-потенциал поля 
. В частном случае движения системы с постоянной скоростью представляет собой
матрицу преобразований Лоренца [10].
Предположим
теперь простейший случай, когда физическая система в виде сферы не имеет общего
вращения, типичные частицы системы движутся хаотически и также не имеют ни
собственного вращения, ни собственных векторных потенциалов в системах центра
импульсов частиц. В этом случае для определения 4-потенциала поля ускорений при
прямолинейном движении можно использовать более простую формулу (15) вместо
(16).
У
неподвижной сферы плотность энергии в объёме каждой частицы 
, и для поля ускорений при движении сферы в лабораторной
системе отсчёта согласно (15) 4-потенциал будет равен 
. Это означает, что если для наблюдателя внутри сферы с
частицами в рамках релятивистской однородной модели величина 
есть инвариантно
определённый фактор Лоренца как некоторая функция координат и времени, то для
наблюдателя в лабораторной системе отсчёта, в которой центр сферы имеет
4-скорость 
, 4-потенциал поля ускорений для
каждой точки внутри движущейся сферы будет равен 
.
По
определению 4-потенциал поля ускорений есть 4-вектор 
, где 
и 
обозначают
скалярный и векторный потенциалы, соответственно. С учётом (15) и соотношения 
получается, что в
релятивистской однородной системе в виде неподвижной сферы скалярный потенциала
будет 
. Что касается глобального векторного потенциала поля
ускорений , то он будет отличаться от нуля только в таких системах, где
имеются направленные потоки частиц.
В идеальном
случае, когда система частиц составляет не вращающееся абсолютно твёрдое тело и
частицы внутри системы неподвижны, должно быть 
, и тогда 4-потенциал поля ускорений совпадает с 4-скоростью
центра импульсов системы, 
. Материальная точка представляет собой миниатюрную
физическую систему, и если не вникать в структуру внутреннего движения её
вещества и рассматривать данную точку как твёрдое тело, то 4-потенциал поля ускорений такой точки также будет равен
4-скорости её движения.
Таким
образом, для прямолинейного движения идеального твёрдого тела в отсутствие вращения
в уравнении движения (7) 4-потенциал поля ускорений 
можно заменить на
4-скорость центра импульсов тела 
. Учитывая ещё соотношение 
, вытекающее из равенства 
, вместо (7) получаем следующее:
. (17)
В левой части (17) присутствует
ковариантное 4-ускорение 
, а в правой части стоит сумма плотностей гравитационной и
электромагнитной сил, и плотности силы давления. В частности, выражение 
задаёт плотность
электромагнитной силы Лоренца. Уравнения (10) и (11) с учётом соотношения 
запишутся так:
.
, 
. (18)
Используем в левой части (18) выражение
для 4-скорости 
, а в правой части выразим тензоры полей через напряжённости
и соленоидальные векторы. Тогда с учётом (12) уравнения (18) можно
преобразовать так:
,
.
(19)
В плоском пространстве-времени
Минковского 
, где 
есть фактор Лоренца,
символы Кристоффеля исчезают, а метрический тензор 
превращается в
метрический тензор 
, не зависящий от времени и координат и имеющий только
диагональные компоненты. В результате уравнения (19) также упрощаются:
.
(21)
Трёхмерный вектор ускорения твёрдого
тела или частицы есть 
, так что 
. Подставляя сюда выражение 
из (20) и сравнивая с
(21), получаем уравнение для ускорения в рамках специальной теории
относительности, выраженное через напряжённости и соленоидальные векторы полей:
. (22)
Если обозначить плотность силы в виде
,
то (20-22) можно переписать так:
, 
, 
.
Релятивистская энергия и импульс
твёрдого тела с массой 
и зарядом 
определяются
выражениями 
, 
. Пусть масса и заряд тела при движении постоянны. Тогда
после умножения уравнений (20) и (21) на массу можно ввести силу 
и представить
уравнения так:
,
.
В общем случае поля внутри твёрдого
тела неоднородны и отличаются по величине в разных точках. В этом случае тело
можно разделить на 
частей с массами 
, где индекс 
меняется от 0 до . Умножая уравнения (20) и (21) на 
, 
…, , затем суммируя
уравнения и переходя от сумм к интегралам по всему тела, приходим к следующему:
,
Сравнение с предыдущими уравнениями даёт:
, 
, 
,
.
В данных соотношениях учтено, что для
прямолинейного движения твёрдого тела без вращения этого тела скорость 
и фактор Лоренца 
постоянны для всех
точек тела.
Возможен случай, когда тело не вращается в системе центра импульсов, но движется не по прямой линии. Это приводит к тому, что тело вращается относительно точки, находящейся на мгновенном радиусе кривизны траектории движения, и тогда скорости точек внутри тела становятся различными. В этом случае движение точек тела следует описывать более общими уравнениями (14).
4. Выражение уравнения движения
через 4-потенциалы полей
По определению, тензоры полей выражаются через 4-ротор, применяемый к 4-потенциалам полей. Для поля ускорений, гравитационного и электромагнитного полей и поля давления это даёт следующее:
, 
,
, 
,
(23)
где 
– 4-потенциал поля
ускорений, 
и 
обозначают скалярный и
векторный потенциалы, соответственно,
– 4-потенциал
гравитационного поля, описываемый через скалярный потенциал
и векторный потенциал 
этого поля,
– 4-потенциал
электромагнитного поля, задаваемый с помощью скалярного потенциала
и векторного
потенциала 
этого поля,
– 4-потенциал поля
давления, содержащий скалярный потенциал 
и векторный потенциал 
.
Подставим (23) в (7) с учётом выражений
для массового тока 
и для зарядового тока 
, а также с учётом правила (8) для оператора производной по собственному времени.
Используем также выражение ковариантной производной для произвольного
4-вектора 
:
.
Всё это даёт следующее уравнение:
. (24)
Уравнение движения (24) распадается на
два уравнения, поскольку его можно записать отдельно для временных и
пространственных векторных компонент 4-потенциалов полей. Используя выражение 
для временной
компоненты частной производной, имеем:
,
. (25)
В (25) трёхмерный пространственный
оператор градиента в декартовых координатах имеет компоненты 
, при этом индекс 
в 
задаёт компоненты,
соответствующие компонентам 
, 
, 
и 
векторных потенциалов
полей.
Особенностью ковариантных уравнений движения (24) и (25) является то, что они полностью выражены через 4-потенциалы полей либо через их компоненты в виде скалярных и векторных потенциалов полей. Напомним, что в отличие от этого, уравнения движения в виде (7), (10) и (11) выражены через тензоры, то есть через напряжённости и соленоидальные векторы полей, как это показано в (13) и (14).
Используем в уравнениях (25)
соотношение 
. Это даёт следующее:
, (26)
. (27)
Для случая прямолинейного движения
идеального твёрдого тела без вращения 4-потенциал 
поля ускорений в
каждой точке тела совпадает с 4-скоростью 
движения центра
импульсов тела. При этом в (25), (26) и (27) будет 
, 
.
В пространстве-времени Минковского 
и уравнения движения
твёрдого тела дополнительно упрощаются, поскольку тогда в (26) и (27) 
, 
, 
. Кроме этого, так как
, выполняются соотношения:
,
.
С учётом этого вместо (26) и (27) можно записать:
, (28)
. (29)
5. Взаимодополнительность
описания через потенциалы и напряжённости полей
Покажем эквивалентность уравнений движения (26), (27) и уравнений (14). Для этого понадобятся выражения (23), записанные в ковариантной векторной форме. Компонентами тензоров полей согласно (23) являются напряжённости и соленоидальные векторы, которые по определению зависят от временных и пространственных производных соответствующих скалярных и векторных потенциалов:
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
. (30)
Используем в левой части уравнения (26)
операторное соотношение 
, а в правой части (26) с учётом определений 
и 
раскроем произведения
4-векторов через их компоненты, так что, например, получится:
.
Преобразуя также остальные члены в правой части (26), приходим к следующему:
.
Теперь можно учесть (30):
.
Данное равенство совпадает с первым равенством в (14).
Беря теперь с целью упрощения декартовые координаты, спроектируем все члены
в (27) на ось 
, так что в уравнении будет 
, 
:
. (31)
Раскроем с учётом (30) произведения 4-векторов через их компоненты в правой части (31):
, 
,
.
Подстановка всего этого в (31) даёт:
.
Данное уравнение совпадает с проекцией
второго уравнения в (14) на ось . Таким образом, уравнения движения (26) и (27) эквивалентны
уравнениям (14), что является следствием связи напряжённостей и потенциалов
полей в (30).
Кроме наличия своих собственных уравнений движения, взаимодополнительность потенциалов и напряжённостей полей подчёркивается ещё тем, что для них существуют свои собственные уравнения поля. Так, для четырёх используемых здесь полей уравнения поля для определения напряжённостей и соленоидальных векторов имеют следующий вид [14]:
, 
,
, 
,
, 
,
, 
.
(32)
В первых
уравнениях в (32) можно заменить тензоры полей их выражениями через
4-потенциалы согласно (23). После этого следует
использовать правило для разности двойных ковариантных производных от
произвольного 4-вектора 
:
.
где 
– тензор Риччи со
смешанными индексами.
С учётом этого приходим к уравнениям поля для 4-потенциалов полей:
, 
.
, 
.
(33)
Как правило, 4-потенциалы полей калибруются таким образом, что их ковариантные дивергенции равны нулю:
, 
, 
, 
. (34)
Использование (34) приводит к упрощению (33):
, 
.
, 
. (35)
Интересно, что уравнения с даламбертианом 
можно получить не
только для 4-потенциалов, но и для самих тензоров полей. Вывод одного такого
уравнения показан в Приложении A на примере уравнений электромагнитного поля в (25). Согласно
соотношению (A10),
получается следующее:
.
Аналогично можно записать для тензоров гравитационного поля, поля ускорений и поля давления:
,
,
. (36)
Уравнения (36) представляют собой волновые уравнения для тензоров полей в искривлённом пространстве-времени.
В пространстве-времени Минковского
ковариантная производная становится 4-градиентом, ковариантный даламбертиан 
превращается в
обычный даламбертиан 
, тензор Риччи 
и тензор кривизны 
обнуляются.
В этом случае уравнения (32) можно представить как уравнения для определения напряжённостей и соленоидальных векторов полей:
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
. (37)
В (37) 
есть плотность
электрического тока, 
– фактор Лоренца, 
– инвариантная плотность заряда, 
– скорость движения частиц
вещества, 
– плотность массового
тока.
При этом уравнения (35) переходят в волновые уравнения для 4-потенциалов в рамках специальной теории относительности. Мы можем раскрыть эти уравнения и записать их отдельно для скалярных и отдельно для векторных потенциалов:
, 
,
, 
,
, 
.
(38)
Упрощаются также и неоднородные волновые уравнения (36) для тензоров полей, так как исчезают члены с кривизной. Поскольку компоненты тензоров выражаются через векторы напряжённостей и соленоидальные векторы полей, волновые уравнения можно записать для каждого такого вектора:
, 
,
, 
,
, 
,
, 
. (39)
Из (38) и (39) следует, что в пустом
пространстве, где нет зарядов и токов и значит 
, 
, для потенциалов поля, напряжённости электрического поля и
магнитного поля электромагнитной волны должны выполняться соотношения: 
, 
, 
, 
. Аналогичные соотношения в пустом пространстве в отсутствие
вещества и его потоков должны быть справедливы и для гравитационного поля в
рамках ковариантной теории гравитации: 
, 
, 
, 
.
Хотя уравнения (37) первого порядка,
они векторные и для каждого поля содержат четыре отдельные сцепленные уравнения
для соответствующих напряжённостей и соленоидальных векторов, что затрудняет их
решение. В отличие от этого, решения уравнений (38) для потенциалов имеют
стандартный вид и называются решениями с запаздывающими потенциалами. В
результате найденные из (38) потенциалы можно подставить в уравнения прямолинейного
движения твёрдого тела (28) и (29) и определить фактор Лоренца 
и скорость как функции от времени
и координат в пространстве-времени Минковского. Но на практике поступают обычно
по-другому – вначале через найденные потенциалы с помощью (30) вычисляют
напряжённости и соленоидальные векторы полей, а затем подставляют их в
уравнения прямолинейного движения твёрдого тела (20), (21), (22).
Так как компоненты тензоров полей становятся известными, их можно использовать для вычисления тензоров энергии-импульса полей в (3).
В разделе (2) мы представили уравнение (2), следующее из уравнения для метрики и выраженное через тензоры энергии-импульса гравитационного и электромагнитного полей, поля ускорений и поля давления. Внутри вещества уравнение (2) эквивалентно уравнению движения вещества, записанному в виде (5), (7), (13), (14). Это становится возможным благодаря тому, что потоки энергии полей переносят импульсы полей, которые передаются частицам вещества в ходе взаимодействия.
Однако значение уравнения (2) гораздо шире и не сводится только к уравнению движения. Действительно, уравнение (2) справедливо и для пространства за пределами вещества, определяя там как баланс энергии полей в соответствии с обобщённой теоремой Пойнтинга, так и создаваемые потоками энергии соответствующие напряжения полей в пространстве. Более того, уравнение (2) в пределе слабого поля и малых скоростей, когда можно пренебречь эффектами искривления пространства-времени, может быть проинтегрировано по 4-объёму. Последующее применение теоремы о дивергенции (divergence theorem) сводит интегрирование по 4-объёму к интегрированию временных компонент суммарного тензора энергии-импульса полей по 3-объёму, если рассматривается мгновенная ситуация в некоторый заданный момент времени. Это приводит к определению интегрального вектора, который сохраняется для замкнутых систем. В отличие от этого, уравнение движения вещества в виде (5) не может быть проинтегрировано по объёму и не даёт интегральный вектор.
Уравнения движения упрощаются для идеального твёрдого тела, которое не вращается в собственной системе центра импульсов и движется прямолинейно параллельно себе. Для описания такого движения можно применять уравнения (17) и (18), где используются тензоры полей, и уравнения (19) с напряжённостями и соленоидальными векторами полей. В плоском пространстве-времени Минковского уравнения движения ещё более упрощаются и могут быть представлены в виде уравнений (20), (21) и (22), показывающих скорость изменения плотности энергии и плотности импульса соответственно, в зависимости от величины напряжённостей и соленоидальных векторов внутри вещества.
В разделе 4 уравнение движения в виде (24-27) было полностью выражено через производные по времени и по координатам от скалярных и векторных потенциалов полей. Для прямолинейного движения твёрдого тела в плоском пространстве-времени Минковского уравнение движения может быть записано в виде двух уравнений (28) и (29), эквивалентных уравнениям (20) и (21).
То, что уравнения движения (26) и (27) совпадают с уравнениями (14), можно доказать, используя определения напряжённостей и соленоидальных векторов через скалярные и векторные потенциалы полей, указанные в (30). Мы привели это доказательство в разделе 5.
Благодаря связи между напряжённостями и соленоидальными векторами с одной стороны, и скалярных и векторных потенциалов полей, с другой стороны, уравнения поля (32) для напряжённостей и соленоидальных векторов могут быть преобразованы в волновые уравнения (35) для скалярных и векторных потенциалов полей. Для тензоров полей также получены волновые уравнения (36) в искривлённом пространстве-времени. Для всех указанных уравнений приведены их выражения в рамках специальной теории относительности.
Так взаимодополнительность напряжённостей и потенциалов полей проявляется не только в их присутствии в функции Лагранжа и в участии в уравнении движения, но и в соответствующих уравнениях для самих полей.
Если
известны зависимости плотности массы 
и плотности заряда , а также 4-скорости 
движения вещества в
каждой точке системы в любой момент времени, этого достаточно, чтобы определить
все характеристики системы. Действительно, вначале находятся массовый 4-ток 
и зарядовый 4-ток 
, а затем с помощью уравнений соответствующих полей
вычисляются как тензоры полей, так и 4-потенциалы полей. После этого можно
найти тензоры энергии-импульса полей, метрику системы, плотности 4-сил, решить
уравнение движения, а также вычислить энергию, импульс, момент импульса и
интегральный вектор полей системы, связанный с потоками энергии полей и
находимый путём интегрирования уравнения (2) по 4-объёму. При этом определяется
и 4-ускорение вещества как производная 4-скорости по собственному времени в
искривлённом пространстве-времени: 
.
Решение обратных задач, в которых неизвестна, например, зависимость 4-скорости вещества, но задано распределение полей и распределение массы и заряда, может оказаться более сложным. В этом случае вначале требуется восстановить зависимость 4-скорости вещества с помощью уравнений поля, а потом определять остальные характеристики системы, включая 4-ускорение.
Список использованных источников
1. Landau L.D. and Lifshitz
E.M. Mechanics, 3-rd edition. Pergamon, Oxford (1974).
2. José J.V. and Saletan
E.J. Classical dynamics: a contemporary approach. Cambridge University Press
(1998).
3. Goldstein H. Classical mechanics,
2-nd edition. Addison-Wesley, Reading (1981).
4. Yousaf Z. Spherical relativistic vacuum core models in a Λ-dominated era.
Eur. Phys. J. Plus, Vol.
132, 71 (2017). http://dx.doi.org/10.1140/epjp/i2017-11336-9.
5. Yousaf Z. Stellar filaments with Minkowskian
core in the Einstein-Λ gravity. Eur. Phys. J. Plus, Vol. 132,
276 (2017). http://dx.doi.org/10.1140/epjp/i2017-11547-0.
6. Yousaf Z. Structure scalars of spherically symmetric dissipative fluids
with f(G,T) gravity. Astrophys. Space Sci., Vol. 363,
226 (2018). http://dx.doi.org/10.1007/s10509-018-3450-7.
7.
Fedosin S.G. Estimation of the physical
parameters of planets and stars in the gravitational equilibrium model. Canadian Journal of
Physics, Vol. 94, No. 4, pp. 370-379 (2016). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2015-0593;
Оценка физических параметров планет и звёзд в
модели гравитационного равновесия.
8.
Fedosin S.G. Two components of the macroscopic general field. Reports in
Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2, 1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025;
Две компоненты макроскопического общего поля.
9. Fedosin S.G. The virial theorem and the kinetic energy of particles of a macroscopic
system in the general field concept. Continuum Mechanics and Thermodynamics, Vol.
29, Issue 2, pp. 361-371 (2016). https://dx.doi.org/10.1007/s00161-016-0536-8; Теорема вириала и
кинетическая энергия частиц макроскопической системы в
концепции общего поля.
10.
Федосин С. Г. Физические теории и бесконечная
вложенность материи.
Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
11. Fedosin S.G.
The
procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any
form.
Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, pp. 771-779 (2014). doi:10.12988/astp.2014.47101; Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.
12.
Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion
for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration
Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of
Thermodynamics, Vol. 18, No. 1, pp. 13-24, (2015). doi: 10.5541/ijot.5000034003; Четырёхмерное
уравнение движения вязкого сжимаемого вещества с
учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.
13. Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, pp. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; Концепция общего силового векторного поля.
14. Fedosin S.G. About the cosmological
constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics, Vol. 9, No. 1, pp. 1-30 (2016}. http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304;
О космологической постоянной,
поле ускорения, поле давления и об энергии.
15.
Fedosin S.G. The Principle of Least Action in
Covariant Theory of Gravitation. Hadronic
Journal, Vol. 35, No. 1, pp. 35-70 (2012). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889804; Принцип
наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.
16. Фок
В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. М.: Физматгиз, 1961. 568 с. Fock V. A.
The Theory of Space, Time and Gravitation. (Pergamon Press, London, 1959).
Приложение A. Вывод ковариантного волнового уравнения для тензора
электромагнитного поля
Ковариантные уравнения
электромагнитного поля для электромагнитного тензора 
имеют следующий вид:
, 
, (A1)
где 
есть магнитная
постоянная, 
– зарядовый 4-ток.
Возьмём в (A1) второе уравнение без
источников поля, и применим к нему ковариантную производную 
:
. (A2)
Далее используем правило для разности двойных ковариантных производных:
,
где 
есть тензор кривизны.
С учётом этого правила находим:
. (A3)
. (A4)
Учтём теперь первое уравнение электромагнитного поля из (A1) и антисимметричность электромагнитного тензора:
,
.
Следовательно, в (A3) и (A4) будет:
, 
.
(A5)
Для тензора кривизны существует правило:
.
После умножения этого равенства на 
получается следующее:
.
Если здесь положить, что индекс 
, то будет справедливо соотношение:
.
(A6)
С учётом этого второй член в правой части (A3) и третий член в правой части (A4) преобразуются так:
, 
. (A7)
Преобразуем третий член в правой части
(A3) и
второй член в правой части (A4),
в последнем случае применим операцию замены индексов 
и 
друг на друга:
,
(A8)
С учётом (A5), (A7) и (A8) находим для суммы (A3) и (A4) в (A2):
. (A9)
Последний член в правой части (A9) можно ещё преобразовать:
При этом для тензора кривизны было применено правило
,
использована операция замены индексов 
и друг на друга в одном
из тензорных произведений, и учтена антисимметричность электромагнитного
тензора 
, а также антисимметричность тензора кривизны при замене
соседних индексов в каждой паре индексов.
Окончательно получаем следующее:
. (A10)
В (A10) скалярный оператор 
представляет собой
четырёхмерный даламбертиан в искривлённом пространстве-времени.
Источник: http://sergf.ru/eq.htm