Гравитационный фазовый сдвиг

Гравитационный фазовый сдвиг представляет собой явление, в котором компоненты гравитационного 4-потенциала и тензора гравитационного поля независимо друг от друга изменяют фазу и частоту периодических процессов, а также скорость течения времени. Данное явление может быть зарегистрировано путём сравнения результатов двух экспериментов, проводимых в гравитационном поле с разными потенциалами или несовпадающими по величине напряжённостями поля.

Исторически вначале были предсказаны такие эффекты, как гравитационное замедление времени и гравитационное красное смещение. ^[1] В первом из них обнаруживается замедление хода часов, помещённых в гравитационное поле, что может быть объяснено влиянием на часы скалярного гравитационного потенциала. Во втором эффекте возникает отличие длины волны принимаемого излучения от стандартного значения в том случае, когда источник излучения и приёмник излучения находятся либо помещаются в области с различными гравитационными потенциалами. Как в общей теории относительности, так и в ковариантной теории гравитации данные эффекты обусловлены влиянием поля на собственное время в точке наблюдения и вычисляются с помощью метрического тензора.

В случае, когда напряжённость гравитационного поля и поле кручения в ковариантной теории гравитации (гравитомагнитное поле в общей теории относительности) равны нулю, фазовый сдвиг за счёт действия потенциалов гравитационного поля можно рассматривать как гравитационный аналог эффекта Эренберга — Сидая — Ааронова — Бома.

Представление о том, что функция действия имеет физический смысл функции, описывающей изменение таких внутренних свойств тел и систем отсчёта, как скорость течения собственного времени и скорость нарастания фазового угла периодических процессов, появилось в работах Сергея Федосина в 2012 г. ^[2]

Содержание

1 Теоретическое описание

1.1 Ковариантная теория гравитации

1.1.1 Влияние 4-потенциалов полей
1.1.2 Влияние тензоров полей

2 Ссылки
3 См. также
4 Внешние ссылки

Теоретическое описание

Ковариантная теория гравитации

Для сравнения, представленные далее формулы для расчёта гравитационного фазового сдвига сопровождаются аналогичными формулами для фазового сдвига за счёт электромагнитного поля.

Влияние 4-потенциалов полей

Для гравитационного и электромагнитного полей разность показаний часов в приближении слабого поля описывается соответственно формулами:^[2]

$~\tau _{1}-\tau _{2}={\frac {m}{mc^{2}}}\int _{{1}}^{{2}}D_{\mu }\,dx^{\mu },\qquad \tau _{1}-\tau _{2}={\frac {q}{mc^{2}}}\int _{{1}}^{{2}}A_{\mu }\,dx^{\mu }.$

Здесь гравитационный 4-потенциал $~D_{\mu }=\left({\frac {\psi }{c}},-{\mathbf {D}}\right)$ , где $~\psi$ есть скалярный потенциал, а $~{\mathbf {D}}$ является векторным потенциалом гравитационного поля; электромагнитный 4-потенциал $~A_{\mu }=\left({\frac {\varphi }{c}},-{\mathbf {A}}\right)$ , где $~\varphi$ есть скалярный потенциал, $~{\mathbf {A}}$ – векторный потенциал электромагнитного поля; $~dx^{\mu }$ обозначает 4-перемещение, – скорость света, а величины и задают массу и заряд часов.

При этом часы 2, измеряющие время $~\tau _{2}$ , являются контрольными и находятся вне поля, а часы 1 измеряют время $~\tau _{1}$ и находятся под воздействием 4-потенциалов поля $~D_{\mu }$ или $~A_{\mu }$ . Временные точки 1 и 2 в пределах интегралов обозначают начало и конец действия поля.

От разности времени можно перейти к сдвигу фаз для однотипных процессов, происходящих в поле и за его пределами, или протекающих в разных состояниях движения. Для этого необходимо в знаменателях заменить энергию $~mc^{2}$ на величину характерного момента импульса. Для уровня атомов это будет постоянная Дирака $~\hbar$ :

$~\theta _{1}-\theta _{2}={\frac {m}{\hbar }}\int _{{1}}^{{2}}D_{\mu }\,dx^{\mu },\qquad \theta _{1}-\theta _{2}={\frac {q}{\hbar }}\int _{{1}}^{{2}}A_{\mu }\,dx^{\mu }.$

Сдвиг фазы, получающийся за счёт электромагнитного 4-потенциала $~A_{\mu }$ , действующего на частицу с зарядом , подтверждается эффектом Ааронова-Бома в квантовой физике. Сдвиг фазы в гравитационном 4-потенциале подтверждается также в статьях,^[3] ^[4] где было найдено, что сдвиг фазы пропорционален криволинейному интегралу от векторного гравитационного потенциала $~{\mathbf {D}}$ :

$~\theta _{1}-\theta _{2}\sim \int _{{1}}^{{2}}{\mathbf {D}}\cdot d{\mathbf {\ell }}.$

От интегральных равенств, приведённых выше, можно перейти к дифференциальным равенствам. Обозначим через координатное время внешнего наблюдателя, находящегося за пределами досягаемости поля системы. Если $~d{\mathbf {r}}$ есть перемещение часов 1 в поле и $~{\mathbf {v}}$ есть скорость этих часов, то для гравитационного и электромагнитного полей соответственно можно записать:

$~D_{\mu }\,dx^{\mu }=\psi dt-{\mathbf {D}}\cdot d{\mathbf {r}}=(\psi -{\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {v}})dt.$

$~A_{\mu }\,dx^{\mu }=\varphi dt-{\mathbf {A}}\cdot d{\mathbf {r}}=(\varphi -{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {v}})dt.$

$~{\frac {d\tau _{1}}{dt}}={\frac {d\tau _{2}}{dt}}+{\frac {1}{c^{2}}}(\psi -{\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {v}}),\qquad {\frac {d\tau _{1}}{dt}}={\frac {d\tau _{2}}{dt}}+{\frac {q}{mc^{2}}}(\varphi -{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {v}}).$

$~\omega _{1}-\omega _{2}={\frac {m}{\hbar }}(\psi -{\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {v}}),\qquad \omega _{1}-\omega _{2}={\frac {q}{\hbar }}(\varphi -{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {v}}).$

Здесь $~{\frac {d\tau _{1}}{dt}}$ представляет собой скорость изменения времени часов 1 за счёт скалярного

потенциала поля и движения в векторном потенциале соответствующего поля, $~{\frac {d\tau _{2}}{dt}}$ обозначает скорость изменения времени контрольных часов 2 за счёт такого же движения,

но без поля, а $~\omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}$ есть угловая частота некоторого процесса, связанная с контрольным объектом 2, находящимся за пределами поля.

В статических экспериментах в гравитационном или электрическом поле удобно рассматривать разность скорости хода часов или разность частот периодических процессов в двух соседних точках пространства, когда все часы или объекты неподвижны и их скорости равны нулю. Последние четыре равенства можно записать для часов 3 и объекта 3, находящихся в соседней точке 3, а затем вычесть их из равенств для часов 1 и объекта 1. При $~{\mathbf {v}}=0$ имеем:

$~{\frac {d\tau _{1}}{dt}}-{\frac {d\tau _{3}}{dt}}={\frac {\psi _{1}-\psi _{3}}{c^{2}}},\qquad {\frac {d\tau _{1}}{dt}}-{\frac {d\tau _{3}}{dt}}={\frac {q(\varphi _{1}-\varphi _{3})}{mc^{2}}}.$

$~\omega _{1}-\omega _{3}={\frac {m(\psi _{1}-\psi _{3})}{\hbar }},\qquad \omega _{1}-\omega _{3}={\frac {q(\varphi _{1}-\varphi _{3})}{\hbar }}.$

Отсюда видно, что скорости хода часов в точках с разными скалярными потенциалами поля не совпадают. В случае гравитационного поля это даёт гравитационное замедление времени, из которого вытекает гравитационное красное смещение. Аналогичные эффекты ожидаются также, если гравитационное поле заменить электромагнитным полем. Указанные эффекты в электромагнитном поле ещё не измерены ввиду их малости.

На поверхности Земли гравитационный потенциал определяется формулой:

$~\psi _{1}=-{\frac {GM_{e}}{R_{e}}},$

где $~M_{e}$ и $~R_{e}$ есть масса и радиус Земли, – гравитационная постоянная.

В точке, которая выше поверхности Земли на расстояние метр, потенциал будет равен:

$~\psi _{3}=-{\frac {GM_{e}}{R_{e}+d}}.$

Следовательно, для разности хода часов в точках 1 и 3, различающихся по высоте на 1 метр, можно записать:

$~{\frac {d\tau _{1}}{dt}}-{\frac {d\tau _{3}}{dt}}\approx -{\frac {GM_{e}d}{R_{e}^{2}c^{2}}}={\frac {\Gamma _{e}d}{c^{2}}}=-1,1\cdot 10^{{-16}}.$

Здесь $~\Gamma _{e}=-{\frac {GM_{e}}{R_{e}^{2}}}$ есть напряжённость гравитационного поля, по модулю равная ускорению свободного падения 9,8 м/с². Как видно, если проходит период времени секунда, нижние часы отстанут от верхних приблизительно на 10^-16 секунды.

Угловые частоты в последних двух равенствах имеют смысл локальной приведённой угловой частоты Комптона в той или иной точке поля и связаны со скоростью хода неподвижных часов, поскольку можно записать:

$~\omega _{1}=\omega _{C}{\frac {d\tau _{1}}{dt}},\qquad \omega _{3}=\omega _{C}{\frac {d\tau _{3}}{dt}},$

здесь $~\omega _{C}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}$ есть угловая приведённая частота Комптона в отсутствие гравитационного или электромагнитного поля.

Работа в гравитационном поле по перемещению массы между точками с разными скалярными потенциалами равна $~W_{g}=m(\psi _{1}-\psi _{3})$ , а работа по переносу заряда в электрическом поле равна $~W_{e}=q(\varphi _{1}-\varphi _{3})$ . При выполнении такой работы происходит изменение местоположения массы или заряда в поле, а также изменение локальный приведённой угловой частоты Комптона. Можно заметить, что при этом работа равна произведению постоянной Планка на изменение приведённой угловой частоты Комптона: ^[5]

$~W=\hbar (\omega _{1}-\omega _{3}).$

Влияние тензоров полей

Энергия полей, связанных с элементом вещества с массой , зависит не только от абсолютной величины 4-потенциалов, но и от скоростей их изменения в пространстве-времени, то есть от напряжённостей полей. Каждая дополнительная энергия должна влиять на внутренние свойства вещества, в том числе и на скорость течения собственного времени. В функцию действия напряжённости полей входят через тензоры полей, так что для соответствующих временных сдвигов в гравитационном и электромагнитном полях можно ожидать следующее:

$~\tau _{1}-\tau _{2}=-{\frac {1}{16\pi Gm}}\int _{{1}}^{{2}}\left(\int \Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}\right)dt.$

$~\tau _{1}-\tau _{2}={\frac {1}{4\mu _{0}mc^{2}}}\int _{{1}}^{{2}}\left(\int F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}\right)dt.$

Здесь $~\mu _{0}$ – магнитная постоянная, $~\Phi _{{\mu \nu }}$ – тензор гравитационного поля,

$~F_{{\mu \nu }}$ – тензор электромагнитного поля, – детерминант метрического тензора.

Из этих формул следует, что напряжённость гравитационного поля внутри объёма часов должна ускорять их ход, а напряжённость электромагнитного поля, наоборот, должна замедлять ход часов, по сравнению со случаем, когда поля нет.

Для оценки эффекта в гравитационном поле используем приближение слабого поля, в котором можно положить, что $~\Phi _{{\mu \nu }}\Phi ^{{\mu \nu }}=-{\frac {2}{c^{2}}}(\Gamma ^{2}-c^{2}\Omega ^{2})$ , , и элемент объёма $~dV=dx^{1}dx^{2}dx^{3}$ . Для двух часов, находящихся в соседних точках 1 и 3, в отсутствие поля кручения $~\Omega$ , дающего обычно малый вклад, можно записать:

$~{\frac {d\tau _{1}}{dt}}-{\frac {d\tau _{3}}{dt}}\approx {\frac {1}{8\pi Gmc^{2}}}\int (\Gamma _{1}^{2}-\Gamma _{3}^{2})dV.$

Пусть точки 1 и 3 находятся вблизи поверхности Земли и разделены по высоте расстоянием метр. Выберем массу и объём часов таким образом, чтобы выполнялось соотношение $~m=\rho _{e}V$ , где $~\rho _{e}$ обозначает среднюю плотность Земли. При этих условиях находим:

$~{\frac {d\tau _{1}}{dt}}-{\frac {d\tau _{3}}{dt}}\approx {\frac {\Gamma _{e}^{2}d}{2\pi GR_{e}\rho _{e}c^{2}}}=7,3\cdot 10^{{-17}},$

что по величине сравнимо с эффектом гравитационного замедления времени от действия гравитационного скалярного потенциала, но имеет противоположный знак.

На линии, соединяющей два тела, можно найти точку, где суммарная напряжённость гравитационного поля обращается в нуль, а суммарный скалярный потенциал становится равным сумме потенциалов данных тел. В этой точке гравитационное замедление времени не зависит от напряжённостей полей указанных тел.

Ссылки

A. Einstein, "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 4, 411–462 (1907); English translation, in "On the relativity principle and the conclusions drawn from it", in "The Collected Papers", v.2, 433-484 (1989); also in H M Schwartz, "Einstein's comprehensive 1907 essay on relativity, part I", American Journal of Physics vol.45,no.6 (1977) pp.512-517; Part II in American Journal of Physics vol.45 no.9 (1977), pp.811–817; Part III in American Journal of Physics vol.45 no.10 (1977), pp.899-902, see parts I, II and III.
^2,0 ^2,1 Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, 2012, Vol. 5, No. 4, P. 55-75. http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.
B. S. DeWitt, Superconductors and gravitational drag. Phys. Rev. Lett., Vol. 24, 1092‒3 (1966).
G. Papini, Particle wave functions in weak gravitational fields. Nuovo Cimento B, Vol.v52, 136‒41 (1967).
John A. Macken. The Universe is Only Spacetime. Chapter 8. Analysis of Gravitational Attraction. Gravitational Energy Storage. p. 8-25.

См. также

Внешние ссылки