In English

 

Continuum Mechanics and Thermodynamics, Vol. 29, Issue 2, pp. 361-371 (2016). https://dx.doi.org/10.1007/s00161-016-0536-8.

 

 

Теорема вириала и кинетическая энергия частиц макроскопической системы в концепции общего поля

 

Федосин Сергей Григорьевич

ул. Свиязева 22-79, город Пермь, 614088, Пермский край, Россия

e-mail intelli@list.ru

 

Рассматривается теорема вириала для системы хаотически движущихся частиц, тесно связанных друг с другом посредством гравитационного и электромагнитного полей, поля ускорений и поля давления. Тремя способами оценивается кинетическая энергия частиц данной системы и определяется отношение кинетической энергии к модулю энергии сил, связывающих частицы, приблизительно равное 0,6. Для простых систем в классической механике подобное отношение равно 0,5. Различие данных отношений возникает из-за учёта поля давления и поля ускорений внутри тел, которые вносят дополнительный вклад в ускорение, действующее на частицы. Найдено, что полная временная производная вириала системы не равна нулю, как это предполагается в классической механике для систем с потенциальными полями. Это связано с тем, что хотя частная временная производная вириала для стационарных систем стремится к нулю, однако в реальных телах вириал зависит ещё от координат, и конвективная производная вириала как часть полной временной производной внутри тел нулю не равна. Показывается, что конвективная производная необходима также для корректного описания уравнения движения частиц.

Ключевые слова: теорема вириала; поле ускорений; поле давления; общее поле; кинетическая энергия.

 

The virial theorem and the kinetic energy of particles of a macroscopic system in the general field concept

 

Sergey G. Fedosin

Sviazeva Str. 22-79, Perm, 614088, Perm Krai, Russian Federation

e-mail intelli@list.ru

 

The virial theorem is considered for a system of randomly moving particles that are tightly bound to each other by the gravitational and electromagnetic fields, acceleration field and pressure field. The kinetic energy of the particles of this system is estimated by three methods and the ratio of the kinetic energy to the absolute value of the energy of forces, binding the particles, is determined, which is approximately equal to 0.6. For simple systems in classical mechanics, this ratio equals 0.5. The difference between these ratios arises by the consideration of the pressure field and acceleration field inside the bodies, which make additional contribution to the acceleration of the particles. It is found that the total time derivative of the system’s virial is not equal to zero, as is assumed in classical mechanics for systems with potential fields. This is due to the fact that although the partial time derivative of the virial for stationary systems tends to zero, but in real bodies the virial also depends on the coordinates and the convective derivative of the virial, as part of the total time derivative inside the body, is not equal to zero. It is shown that the convective derivative is also necessary for correct description of the equations of motion of particles.

Keywords: virial theorem; acceleration field; pressure field; general field; kinetic energy.

 

1. Введение

Теорема вириала связывает кинетическую и потенциальную энергии стационарной системы в нерелятивистской механике и широко применяется в астрофизике для приблизительной оценки массы больших космических систем, исходя из их размеров и распределения скоростей движения отдельных объектов [1]. В формулировку теоремы кроме гравитационного поля могут быть включены другие поля, например, электромагнитное поле и поле давления [2]. Релятивистская модификация теоремы учитывает, что в определение импульса и кинетической энергии каждой частицы системы входит ещё соответствующий фактор Лоренца. В [3] кинетическая энергия через теорему вириала в тензорной форме связывается на микроскопическом уровне с тензором напряжений (Eshelby stress) для учёта эффектов давления в рамках классической физики, а в [4] аналогичный подход используется в системах с переменной массой, где в рассмотрение вводятся потоки массы и энергии.

В отличие от этого мы проанализируем теорему вириала для системы из тесно взаимодействующих частиц, связанных друг с другом посредством гравитационного и электромагнитного полей. При этом мы будем использовать концепцию векторного поля давления, а также концепцию векторного поля ускорений, в которой роль тензора энергии-импульса вещества играет тензор энергии-импульса поля ускорений [5, 6]. Все эти поля являются составными частями общего поля [7]. В [8] общее поле раскладывается на две основные компоненты. Источником первой компоненты является массовый 4-ток , который генерирует такие векторные поля, как гравитационное поле, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, макроскопические поля сильного и слабого взаимодействий. Второй компонентой общего поля является электромагнитное поле, источником которого является зарядовый 4-ток .

При выводе теоремы вириала как правило предполагается, что временная производная вириала системы, усреднённая по времени, стремится к нулю. Путём прямого расчёта мы покажем, что в нашей модели это не совсем точно, и дадим своё объяснение такому положению дел, учитывающее взаимосвязь компонент общего поля.

 

2. Теорема вириала

Пусть имеется ограниченная система из множества хаотически движущихся малых частиц, имеющая сферическую форму и находящаяся в равновесии под действием собственных гравитационного и электромагнитного полей, поля ускорений и поля давления. Если промежутки между частицами малы, как в жидкости, можно считать, что вещество внутри данной сферы распределено непрерывно. Мы изучали такую физическую систему в [9], где впервые были определены напряжённости, потенциалы и энергии всех четырёх полей в рамках релятивистской однородной модели.

Поместим центр системы координат в центре сферы и применим теорему о вириале для этой системы из частиц и полей. Данная система стабильна, частицы связаны силами, возникающими от действия полей, и потому условия применения теоремы выполняются. Теорема вириала в релятивистской форме может быть записана следующим образом:

 

,                                               (1)

 

где  есть вириал как некоторая скалярная функция, символ  обозначает усреднение за достаточно большой интервал времени,  представляет собой величину, которая в пределе малых скоростей стремится к полной кинетической энергии всех  частиц системы,  есть фактор Лоренца -й частицы с массой  и скоростью , векторы  и   обозначают радиус-вектор и релятивистский импульс -й частицы,  есть полная сила, действующая на -ю частицу.

 

Для того, чтобы перейти к теореме вириала в её классической форме, достаточно в (1) приравнять факторы Лоренца всех частиц к единице, то есть положить .

На рисунке 1 показано, что в отличие от дискретного распределения частиц, для использования приближения непрерывного распределения необходимо в веществе рассматриваемой системы выделить частицы такого размера, чтобы промежутки между ними были близки к нулю, и считать, что объём сферы состоит из объёмов этих частиц. Каждая такая частица занимает некоторый репрезентативный элемент объёма системы, достаточный для корректного описания свойств типичных частиц и действующих полей.

 

 

Вычислим вначале величину  в левой части (1), заменяя  на , а сумму по всем частицам на интеграл по объёму неподвижной сферы. Величина  есть плотность массы в сопутствующих частицам системах отсчёта,  представляет собой фактор Лоренца движущихся частиц, произведение  даёт плотность массы частиц с точки зрения неподвижного относительно сферы наблюдателя, а элемент объёма  внутри сферы соответствует объёму частицы с точки зрения этого наблюдателя. Мы можем считать, что суммарный объём покоящихся частиц больше, чем объём сферы, но вследствие движения объём каждой частицы уменьшается в силу эффекта сокращения длины в специальной теории относительности.

Действительно, для корректного применения релятивистских формул объём любой движущейся сферической частицы моделируют так называемым эллипсоидом Хевисайда, на что впервые было указано в [10]. При этом оказывается, что объём данного эллипсоида меньше объёма рассматриваемой частицы в сопутствующей частице системе отсчёта, на величину фактора Лоренца. Всё это приводит к тому, что суммарный объём движущихся внутри сферы частиц становится равным объёму сферы.

То же самое можно сказать другими словами. Если вещество системы разделить на отдельные самостоятельно движущиеся частицы, как на рисунке 1 b( , то сумма объёмов эллипсоидов Хевисайда всех частиц должна быть равной объёму сферы, а сумма собственных объёмов этих частиц соответственно будет больше объёма сферы. 

Согласно [9], фактор Лоренца  для частиц внутри неподвижной сферы является функцией текущего радиуса :

 

,                            (2)

 

где  – скорость света,  – коэффициент поля ускорений,  есть фактор Лоренца для скоростей  частиц в центре сферы, и ввиду малости аргумента синус может быть разложен до членов второго порядка.

 

Второй член разложения в (2) может быть представлен следующим образом:

 

,

 

где выражение даёт оценку массы, заключённой внутри текущего радиуса  сферы,   есть гравитационный потенциал, который создаёт сферическая масса  на радиусе .

 

В космических телах, удерживаемых собственной гравитацией, коэффициент поля ускорений  отличается от постоянной гравитации  лишь небольшим численным множителем порядка единицы, а фактор Лоренца  лишь незначительно превышает единицу для большинства тел. В результате второй член разложения в (2) можно рассматривать как отношение модуля среднего гравитационного потенциала внутри тела к квадрату скорости света. Это отношение мало и начинает заметно расти лишь в белых карликах и нейтронных звёздах. Несмотря на малость второго члена, он является совершенно необходимым для обоснования нашего релятивистского подхода. Действительно, возведём в квадрат равенство для  в (2) и приблизительно получим:

 

.                                                      (3)

 

Скорость  хаотического движения частиц внутри сферы является функцией только текущего радиуса . В этом случае в качестве элемента объёма можно взять объём тонкого сферического слоя: . Приравнивая  и  из (1) и соответственно  в (2) и  в (3), и заменяя  на , для  имеем:

 

             (4)

 

 

 

Здесь масса , носящая вспомогательный характер, равна произведению плотности  на объём сферы, причём радиус сферы равен .

По аналогии с [5], уравнение движения частиц может быть записано в следующем виде:

 

.                    (5)

 

Особенностью данного уравнения в отличие от уравнения движения в [5] является то, что оно записано не для конкретной физической частицы, а для репрезентативной частицы, ведущей себя как некоторая усреднённая по всем параметрам типичная частица. На это указывает то, что в качестве фактора Лоренца используется , а также скорость , находимые из уравнений поля ускорений, тогда как для физической частицы обычно учитывается её мгновенная скорость и соответствующий этой скорости фактор Лоренца. Можно считать, что уравнение (5) есть результат усреднения уравнений движения некоторого ансамбля физических частиц, так что получается уравнение движения для типичных частиц.

Правая часть (5) представляет собой суммарную плотность силы, действующую на некоторую типичную частицу внутри сферы. Эту плотность силы следует умножить на радиус , где находится данная частица, и затем проинтегрировать по всему объёму сферы для того, чтобы вычислить второй член в правой части в (1). Плотность силы в (5) следует ещё умножить на , чтобы получить произведение , которое после интегрирования по объёму с учётом выражения  будет эквивалентно выражению для силы .

 

Учтём, что вектор магнитной индукции , соленоидальный вектор (поле кручения)  гравитационного поля и соленоидальный вектор  поля давления внутри неподвижной сферы равны нулю вследствие хаотического движения частиц. В этом случае согласно [9]

 

,         ,         ,

 

и можно записать:

 

                         (6)

 

 

 

 

В (5-6) ,  и  – напряжённости электрического поля, гравитационного поля и поля давления соответственно,  есть плотность заряда частиц в сопутствующих частицам системах отсчёта,  – электрическая постоянная,  – гравитационная постоянная,  – коэффициент поля давления. Кроме этого, было использовано соотношение между коэффициентами полей, полученное в [11, 12] с помощью уравнения движения и обобщённой теоремы Пойнтинга:

 

.                                                     (7)

 

Для того, чтобы прийти к (7), достаточно выразить в (5) левую часть через напряжённость  и соленоидальный вектор  поля ускорения в рамках специальной теории относительности [5]:

 

.

 

Затем следует учесть равенство нулю соленоидального вектора  и векторного потенциала  в рассматриваемой системе, а также выражение для скалярного потенциала поля ускорений в виде . Тогда напряжённость поля ускорений с учётом (2) определяется по формуле:

 

.

 

Используя далее в (5) приведённые выше выражения ,  и , приходим к (7). Фактически соотношение (7) для коэффициентов полей есть следствие локального баланса сил и энергий, связанных с полями, действующими на частицы.

Вириал  содержит скалярные произведения векторов вида . В этих произведениях заменим скорости частиц  на усреднённые скорости хаотического движения , которые зависят от текущего радиуса согласно (3). Положим далее, что , где  обозначает усреднённую компоненту скорости, направленную вдоль радиуса, а  является усреднённой компонентой скорости, перпендикулярной текущему радиусу. Тогда для частиц внутри сферы . Из статистических соображений следует, что:

 

.                                                       (8)

 

Для зависимости амплитуды радиальной компоненты скорости от текущего радиуса запишем в первом приближении:

 

.                                                         (9)

 

Тем самым мы предполагаем, что зависимость радиальной компоненты скорости  от радиуса по своей форме может быть представлена аналогично зависимости квадрата скорости  в (3). Для проверки этого предположения возведём выражение (9) в квадрат и подставим вместо  в (8), найдём значение   и сравним его с (3). Это позволяет оценить коэффициенты  и  и переписать (9) в следующем виде:

 

.                                                (10)

 

Следовательно, для произведения векторов в вириале приблизительно получится:

 

.                                         (11)

 

Временная производная вириала в (1) должна рассматриваться как производная Лагранжа (материальная производная):

 

,                                                   (12)

 

причём в нашем случае вириал не зависит от времени и .

 

Мы можем вычислить произведение , заменяя в нём  на , так как вириал  зависит только от радиуса, а градиент вириала  направлен вдоль радиуса. Учитывая (11), (2) для фактора Лоренца, (10) для амплитуды радиальной скорости , а также выражение  вместо массы  , которую предварительно необходимо вынести за знак градиента, находим:

 

(13)

 

 

 

Подставляя (13) в (12) при условии, что , находя  и используя его в (1), с учётом (4) и (6) получаем приблизительное соотношение:

 

.

 

Рассматривая это соотношение как квадратное уравнение для  и решая это уравнение, приходим к следующему:

 

.                                          (14)

 

 

При  и с учётом (14) равенство (3) даёт выражение для квадрата скорости частиц вблизи поверхности сферы:

 

.

 

Отсюда следует, что . Это означает, что как следствие теоремы вириала, квадрат скорости частиц  в центре получается приблизительно в 4 раз больше, чем квадрат скорости частиц  вблизи поверхности сферы. Так как квадраты скоростей пропорциональны кинетической энергии и температуре, то при условии постоянной плотности массы  в рассматриваемой нами идеализированной системе температуры в центре и вблизи поверхности не должны отличаться друг от друга более чем в 4,1 раз. Из реальных объектов, плотность которых не сильно изменяется с текущим радиусом, можно взять глобулы Бока. Их типичный радиус составляет 0,35 парсек, масса 11 масс Солнца, а регистрируемая температура пыли в некоторых глобулах может достигать 26 К [13]. В [11], исходя из уравнения движения частиц, была сделана оценка кинетической температуры частиц вблизи поверхности глобулы: К. Если положить, что , то центральная температура будет  К, что достаточно близко к наблюдениям.

Используем (14) для подстановки в (4) и в (13) с учётом (12):

 

,                  .                   (15)

 

Выражения (15) и (6) хорошо соответствуют теореме вириала (1) в рассматриваемом приближении. Кроме этого в (15) видно, что временная производная вириала  после усреднения не равна нулю, как это обычно допускается в классической механике. Из (15) и (6) следует соотношение:

 

.                                                 (16)

 

Между тем, в обычной трактовке теоремы вириала кинетическая энергия системы частиц должна быть в два раза меньше энергии, связанной с силами, удерживающими частицы:

 

,                                             (17)

 

Если подставить (14) в (10), получится следующее:

 

.

 

Если учесть (8), то для амплитуд скоростей можно записать, что . Мы видим, что внутри сферы имеются радиальные градиенты как радиальной компоненты , так и перпендикулярной радиусу компоненты скорости  , а также имеется градиент квадрата скорости частиц  в (3), причём . Скорость  приводит к некоторому центростремительному ускорению, направленному вдоль радиуса. Благодаря этому в совокупности с радиальным действием поля давления и электрического поля возникает то ускорение, которое противодействует гравитационному ускорению и приводит к заметному различию (16) и (17).

Отличие (16) от классического случая (17) обусловлено тем, что мы учитываем не обычную однородность массы и заряда в системе отсчёта сферы, а релятивистскую однородность, когда плотность массы и заряда постоянны в собственных системах отсчёта, сопровождающих отдельные частицы. Это приводит к изменению значений напряжённостей всех полей внутри сферы и напряжённостей гравитационного и электромагнитного полей снаружи сферы, и к изменению ускорений от действия соответствующих сил.

Из (16) следует, что при неизменной потенциальной энергии (6), связанной с силами, удерживающими частицы системы, кинетическая энергия движения должна быть больше, чем в (17), на величину порядка 20 %. По мере нарастания неоднородности плотности внутри системы различие между (16) и (17) может измениться ещё более.

 

3. Кинетическая энергия: стандартное определение

В рамках специальной теории относительности кинетическая энергия частицы вычисляется как разность между релятивисткой энергией движущейся частицы и энергией покоящейся частицы. Для системы из  частиц получается следующее:

 

.                                                    (18)

 

Используем в (18) вместо  фактор Лоренца  из (2), массу  заменим на , а сумму по всем частицам на интеграл по объёму неподвижной сферы:

 

.

 

          (19)

 

Подставим фактор Лоренца в (19):

 

,        .

(20)

 

Подставляя  из (14) в (20), находим приблизительное выражение кинетической энергии:

 

.                                       (21)

 

В пределе малых скоростей, с точностью до членов второго порядка малости, выражение для  в (21) совпадает с энергией  в (15), подтверждая наши расчёты кинетической энергии из релятивистского определения энергии и оценку энергии из теоремы вириала.

Заметим, что при определении  мы используем фактор Лоренца  из (2), находимый через поле ускорений частиц внутри сферы, вместо фактора Лоренца индивидуальных частиц, движущихся хаотически. Таким образом кинетическая энергия  в (19) и (21) получается как некоторое приближение к фактической кинетической энергии частиц.

 

4. Энергия движения

В [5] было дано определение энергии движения частиц через обобщённые 3-импульсы  частиц системы:

 

,

 

где  есть 3-вектор скорости частицы с номером ,  задаёт число частиц в системе, а обобщённый импульс каждой частицы выражается через лагранжиан частицы  по формуле: .

 

Данная энергия может быть записана также как полусумма гамильтониана  и лагранжиана  системы из частиц и четырёх полей:

 

(22)

 

где , ,  и  представляют собой векторные потенциалы поля ускорений, гравитационного поля, электромагнитного поля и поля давления соответственно, – временная компонента 4-скорости частицы,  детерминант метрического тензора,   произведение дифференциалов пространственных координат.

 

Присутствующие в (22) гамильтониан  и лагранжиан  системы были определены в [5] ковариантным образом для искривлённого пространства-времени, при этом выражение для сохраняющейся во времени релятивисткой энергии произвольной замкнутой системы совпадает с выражением для гамильтониана . Заметим, что энергия движения  не содержит ни скалярной кривизны, ни космологической константы, и тем самым не зависит от способа калибровки релятивисткой энергии системы.

В рамках специальной теории относительности для частиц внутри неподвижной сферы можно считать, что . При хаотическом движении частиц суммарные векторные потенциалы всех полей, усреднённые по всему множеству частиц, равны нулю. Однако векторные потенциалы каждой индивидуальной частицы равны нулю только в случае покоя, а при движении они пропорциональны скорости частицы и скалярным потенциалам собственных полей частицы, и обратно пропорциональны квадрату скорости света. Это следует из определения 4-потенциала каждого поля [6], а также из решения волнового уравнения для векторного потенциала соответствующего поля при постоянной скорости движения частицы.

Следует учесть, что в (22) интегрирование делается по объёму каждой частицы отдельно, а затем осуществляется суммирование по всем частицам. При интегрировании по объёму в пределах одной частицы скорость этой частицы рассматривается как постоянная величина и может быть вынесена за знак интеграла. В результате (22) можно переписать следующим образом:

 

.                     (23)

 

В (23) , ,  и  обозначают собственные скалярные потенциалы движущихся частиц для поля ускорений, гравитационного поля, электромагнитного поля и поля давления соответственно, величина  есть фактор Лоренца частиц согласно (2). Как было показано в [12] и в [14], из калибровки энергии системы с помощью космологической постоянной  следует выражение:

 

,

 

 где ;

 есть константа порядка единицы, входящая как множитель в уравнении для метрики;

   калибровочная масса как суммарная масса частиц системы, разнесённых на бесконечность и находящихся там неподвижно, с учётом энергии частиц в потенциалах собственных полей, но без учёта энергии полей как таковых.

 

Из (23) вытекает тогда следующее:

 

.                                                      (24)

 

Сравнение с выражением  из (1) показывает, что  лишь в пределе малых скоростей, когда можно пренебречь факторами Лоренца частиц, стремится к энергии .

В качестве первого приближения заменим в (24) массу  на , квадрат скорости  заменим на  из (3), используем  из (2), а сумму по всем частицам представим как интеграл по объёму неподвижной сферы:

 

.

 

Если приравнять интеграл для  и первый интеграл для  в (19), то это даёт соотношение для фактора Лоренца вида , которое можно считать справедливым в приближении первого порядка. Различие между  и  в (20) возникает в членах, содержащих в знаменателе квадрат скорости света. Отсюда следует, что энергия движения (22), определяемая через обобщённые импульсы и собственные поля частиц, достаточно близка к кинетической энергии частиц , находимой через распределение частиц в поле ускорений.

 

5. Анализ уравнения движения

Преобразуем уравнение движения типичных частиц (5), скалярно умножив его на векторную величину :

 

.               (25)

 

Вычислим член в левой части этого уравнения, подставляя фактор Лоренца  из (2) и значение  из (3). При этом полную временную производную будем рассматривать как производную Лагранжа, в которой в конвективной производной вместо скорости  можно использовать скорость  с амплитудой (10). Пренебрегая малыми членами с квадратом скорости света, находим:

 

               (26)

 

 

 

Так как рассматриваемая нами система стационарна, то частная временная производная  в (26) равна нулю. Необходимость использования производной Лагранжа в (25-26) связана с тем, что произведение  является функцией пространственных координат, но не времени. Однако соотношение (25) должно быть справедливым для всех систем отсчёта, в том числе и для системы отсчёта, движущейся радиально со скоростью . В этой системе отсчёта градиент  отличен от нуля и тогда производная  не равна нулю.

Вычислим теперь правую часть (25), подставляя туда выражения для напряжённостей полей , и , использованные в (6). При этом учтём, что все силы направлены вдоль радиуса и потому скорость  может быть заменена на :

 

      (27)

 

 

 

 

В (27) было использовано соотношение (7) для коэффициентов полей. В пределах точности принятых допущений для скоростей и фактора Лоренца выражения (26) и (27) совпадают, иллюстрируя действие уравнения движения (5) для усреднённых скоростей частиц внутри сферы и необходимость использования производной Лагранжа.

 

6. Заключение

В (1) мы представили релятивистское выражение теоремы вириала и затем вычислили каждый член этого выражения. В (10) мы получили приблизительную зависимость амплитуды радиальной компоненты скорости частиц от текущего радиуса, связанную с действующим в системе полем ускорений. Для стационарной системы частная временная производная вириала обращается в нуль и становится важным учесть зависимость вириала от пространственных координат в выражении производной Лагранжа (12). Как следствие теоремы вириала становится возможным оценить скорость частиц в самом центре системы в соотношении (14) и затем выразить кинетическую энергию через коэффициент поля ускорений в (15).

В (16) мы получаем коэффициент, связывающий кинетическую энергию частиц и энергию действующих на них сил, приблизительно равный 0,6. Учёт поля давления и поля ускорений приводит к различию в 20 % этого коэффициента от стандартного значения 0,5 в (17) для систем без давления.

С физической точки зрения несовпадение указанных коэффициентов возникает как следствие различной трактовки понятия однородной системы: в классической механике плотность массы тела в каждой точке полагается одной и той же в системе отсчёта, связанной с телом, а в релятивистской механике плотность массы должна быть одной и той же для каждой частицы тела независимо от её движения, то есть являться инвариантом при преобразованиях Лоренца. Инвариантная плотность массы частицы тела – это та плотность, которая обнаруживается в системе отсчёта, связанной с этой частицей. В результате частицы, движущиеся в центре тела и имеющие увеличенную скорость, обладают большей плотностью массы в системе отсчёта, связанной с телом, что приводит к радиальному градиенту плотности и других величин внутри рассматриваемого тела, и к корректировке теоремы вириала.

Для проверки наших расчётов кинетическая энергия была вычислена в (21) другим способом, как разность между энергиями движущихся и покоящихся частиц. В (24) мы оценили ещё энергию движения частиц с помощью обобщённых импульсов и собственных полей частиц, которая оказалась почти точно равной кинетической энергии.

Мы также проверили в (26) и (27), как конкретно выполняется уравнение движения (5) при использовании выражения для радиальной скорости (10) для случая, когда в уравнение движения подставляется не скорость конкретной частицы, а усреднённая хаотическая скорость частиц как функция радиуса. Оказывается, что тогда временная производная в уравнении движения должна рассматриваться как производная Лагранжа, учитывающая не только изменение скорости во времени, но и зависимость скорости от координат.

Действительно, в стационарном случае временные производные физических величин равны нулю и становятся важны угловые и радиальные зависимости этих величин. При этом в реальных телах полю гравитации противодействуют поле ускорений, поле давления и электромагнитное поле. Если разложить движение частиц на колебательные движения вдоль радиуса и на движения перпендикулярно радиуса, то с точки зрения кинетической теории радиальные движения приводят к обычному давлению, а движения перпендикулярно радиусу должны сопровождаться центростремительной силой, которую можно связать с силой от поля ускорений. Отсюда следует, что простое приравнивание гравитационной силы и силы давления в расчётах состояния вещества космических тел не вполне обосновано, поскольку не учитывает действие поля ускорений. 

 

Список использованных источников

1.  Saslaw W.C. Gravitational physics of stellar and galactic systems. Cambridge U. Press, Cambridge (1985).

2.  Schmidt G. Physics of High Temperature Plasmas (Second ed.). Academic Press, New York. p. 72. (1979).

3.  Ganghoffer J. F. On the generalized virial theorem and Eshelby tensors. Int. J. Solids Struct., Vol. 47, No. 9, pp. 1209-1220 (2010). doi: 10.1016/j.ijsolstr.2010.01.009.

4.  Ganghoffer J. and Rahouadj R. On the generalized virial theorem for systems with variable mass. Continuum Mech. Thermodyn. Vol. 28, No. 1, pp. 443-463 (2016). doi: 10.1007/s00161-015-0444-3.

5.  Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics, Vol. 9, No. 1, pp. 1-30 (2016);  О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

6.  Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, pp. 771 – 779 (2014). doi: 10.12988/astp.2014.47101; Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.

7.  Fedosin S.G. The concept of the general force vector field. OALib Journal, Vol. 3, pp. 1-15 (2016). doi: 10.4236/oalib.1102459; Концепция общего силового векторного поля.

8.  Fedosin S.G. Two components of the macroscopic general field. Reports in Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2, 1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025; Две компоненты макроскопического общего поля.

9.  Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics, Vol. 3, No. 4, pp. 152-167 (2014). doi: 10.11648/j.ajmp.20140304.12; Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

10.                 Heaviside O. On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric. Philosophical Magazine, 5, Vol. 27 (167), pp. 324-339 (1889).

11.                 Fedosin S.G. Estimation of the physical parameters of planets and stars in the gravitational equilibrium model. Canadian Journal of Physics, Vol. 94, No. 4, pp. 370-379 (2016). doi: 10.1139/cjp-2015-0593; Оценка физических параметров планет и звёзд в модели гравитационного равновесия.

12.                 Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. Preprint, February 2016.

13.                   Clemens, Dan P.; Yun, Joao Lin; Meyer, Mark H. BOK globules and small molecular clouds – Deep IRAS photometry and 12CO spectroscopy. Astrophysical Journal Supplement, Vol. 75, pp. 877-904 (1991). doi: 10.1086/191552.

14.                   Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8, No. 1, pp. 1-16 (2015); Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.

 

Источник: http://sergf.ru/vt.htm

На научный сайт