Электромагнитное поле шара

Электромагнитное поле шара

Электромагнитное поле шара, если не учитывать влияние внешних полей и окружающей среды, полностью определяется уравнением движения электрических зарядов в веществе шара и уравнениями Максвелла. Ввиду симметрии шара, компоненты электромагнитного поля наиболее просто выражаются через сферические координаты $~r,\;\theta ,\;\phi .$ При этом в сферических координатах скалярный и векторный операторы Лапласа, градиент скалярной функции, дивергенция и ротор трёхмерного вектора не совпадают по своему виду с соответствующими выражениями в декартовых координатах.

Для электрического скалярного потенциала $~\varphi$ и для векторного потенциала $~{\mathbf A}$ однородно заряженного шара, вращающегося вокруг своей оси, из уравнений Максвелла в однородных и изотропных средах следуют уравнения:

$~\Delta \varphi -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\gamma \rho _{{0q}}}{\varepsilon \varepsilon _{0}}},\qquad (1)$

$~\Delta {\mathbf A}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf A}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mu \gamma \rho _{{0q}}}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\mathbf v},\qquad (2)$

где $~\Delta$ есть оператор Лапласа; $~\gamma$ – фактор Лоренца; $~\rho _{{0q}}$ – инвариантная плотность заряда вещества шара; $~\varepsilon$ – относительная диэлектрическая проницаемость; $~\varepsilon _{0}$ – электрическая постоянная; – скорость света; $~\mu$ – относительная магнитная проницаемость; $~{\mathbf v}$ – линейная скорость вращения заряженного элемента вещества, взятого в объёме шара.

Калибровочное условие Лоренца в данном случае записывается так:

$~\nabla \cdot {\mathbf A}+{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.\qquad (3)$

Напряжённость электрического поля $~{\mathbf E}$ и магнитная индукция $~{\mathbf B}$ выражаются через скалярный и векторные потенциалы:

$~{\mathbf E}=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf A}}{\partial t}}.\qquad (4)$

$~{\mathbf B}=\nabla \times {\mathbf A}.\qquad (5)$

При вращении с постоянной угловой скоростью поле стационарно и не зависит от времени. Это приводит к тому, что все временные производные в (1-4) равны нулю.

Относительная диэлектрическая проницаемость $~\varepsilon$ в веществе шара и в среде за пределами шара может иметь разные значения. Это же касается и относительной магнитной проницаемости $~\mu$ .

С целью упрощения, представленные далее результаты соответствуют значениям $~\varepsilon =1$ , $~\mu =1$ для случая, когда внутри и за пределами шара не учитываются такие явления, как поляризованность, намагниченность и электропроводность. Предполагается также, что все электромагнитные величины не зависят от времени.

Содержание

1 Неподвижный шар
2 Вращающийся шар

2.1 Скалярный потенциал и электрическое поле
2.2 Векторный потенциал и магнитное поле

3 Ссылки
4 См. также
5 Внешние ссылки

Неподвижный шар

Для неподвижного однородно заряженного шара в (1) и в (4) $~\gamma =1$ , и электрический потенциал и напряжённость электрического поля внутри шара равны: ^[1] ^[2]

$~\varphi _{i}={\frac {\rho _{{0q}}\left(3a^{2}-r^{2}\right)}{6\varepsilon _{0}}},$

$~{\mathbf E}_{i}={\frac {\rho _{{0q}}r}{3\varepsilon _{0}}}{\mathbf e}_{r},$

где – радиус шара, $~{\mathbf e}_{r}$ – единичный вектор, направленный вдоль радиальной координаты .

В центре шара при потенциал $~\varphi _{i}$ имеет максимальное значение, а на поверхности шара при потенциал уменьшается в полтора раза. Внутреннее электрическое поле $~{\mathbf E}_{i}$ в центре шара равно нулю и растёт пропорционально радиальной координате .

Соответствующий внешний электрический потенциал и напряжённость электрического поля за пределами шара имеют следующий вид:

$~\varphi _{o}={\frac {\rho _{{0q}}a^{3}}{3\varepsilon _{0}r}},$

$~{\mathbf E}_{o}={\frac {\rho _{{0q}}a^{3}}{3\varepsilon _{0}r^{2}}}{\mathbf e}_{r}.$

Ввиду отсутствия движения электрических зарядов в неподвижном шаре, векторный потенциал и магнитная индукция во всём пространстве системы равны нулю.

Вращающийся шар

Скалярный потенциал и электрическое поле

При вращении шара с постоянной угловой скоростью $~\omega$ фактор Лоренца заряженных частиц вещества становится функцией радиальной координаты и угла $~\theta$ :

$~\gamma ={\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}}}}}.$

С учётом этого решением уравнения (1) для скалярного потенциала, а также уравнения (4) для компонент напряжённости электрического поля внутри вращающегося однородно заряженного шара в сферических координатах будет следующее: ^[3]

$~\varphi _{i}\approx {\frac {\rho _{{0q}}a^{2}}{2\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}a^{4}}{12c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{6}}{30c^{4}\varepsilon _{0}}}+{\frac {c^{2}\rho _{{0q}}}{\omega ^{2}\varepsilon _{0}}}\left[{\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}}}-1+\ln 2-\ln \left(1+{\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}}}\right)\right]-$

$~-\left({\frac {\rho _{{0q}}}{12\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}a^{2}}{60c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{4}}{140c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)r^{2}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)+\left({\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}}{1120c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{2}}{1680c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)r^{4}\left(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3\right)-$

$~-{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}r^{6}}{22176c^{4}\varepsilon _{0}}}\left(231\cos ^{6}\theta -315\cos ^{4}\theta +105\cos ^{2}\theta -5\right).$

$~E_{{ir}}\approx \left({\frac {\rho _{{0q}}}{6\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}a^{2}}{30c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{4}}{70c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)r\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)+{\frac {\rho _{{0q}}r\sin ^{2}\theta }{\varepsilon _{0}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}}}\right)}}-$

$~-\left({\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}}{280c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{2}}{420c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)r^{3}\left(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3\right)+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}}{3696c^{4}\varepsilon _{0}}}r^{5}\left(231\cos ^{6}\theta -315\cos ^{4}\theta +105\cos ^{2}\theta -5\right).$

$~E_{{i\theta }}\approx -\left({\frac {\rho _{{0q}}}{2\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}a^{2}}{10c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {3\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{4}}{70c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)r\sin \theta \cos \theta +{\frac {\rho _{{0q}}r\sin \theta \cos \theta }{\varepsilon _{0}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}}}\right)}}+$

$~+\left({\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}}{56c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{2}}{84c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)r^{3}\sin \theta \cos \theta \left(7\cos ^{2}\theta -3\right)-{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}}{528c^{4}\varepsilon _{0}}}r^{5}\sin \theta \cos \theta \left(33\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +5\right).$

$~E_{{i\phi }}=0.$

За пределами вращающегося вокруг своей оси шара скалярный потенциал и напряжённость электрического поля выражаются формулами:

$~\varphi _{o}\approx {\frac {1}{r}}\left({\frac {\rho _{{0q}}a^{3}}{3\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}a^{5}}{15c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{7}}{35c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)-{\frac {1}{r^{3}}}\left({\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}a^{7}}{210c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{9}}{315c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)+$

$~+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{{11}}}{9240c^{4}\varepsilon _{0}r^{5}}}\left(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3\right).$

$~E_{{or}}\approx {\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\rho _{{0q}}a^{3}}{3\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}a^{5}}{15c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{7}}{35c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)-{\frac {1}{r^{4}}}\left({\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}a^{7}}{70c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{9}}{105c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)+$

$~+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{{11}}}{1848c^{4}\varepsilon _{0}r^{6}}}\left(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3\right).$

$~E_{{o\theta }}\approx -{\frac {1}{r^{4}}}\left({\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{2}a^{7}}{35c^{2}\varepsilon _{0}}}+{\frac {2\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{9}}{105c^{4}\varepsilon _{0}}}\right)\sin \theta \cos \theta +{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{4}a^{{11}}}{462c^{4}\varepsilon _{0}r^{6}}}sin\theta \cos \theta \left(7\cos ^{2}\theta -3\right).$

$~E_{{o\phi }}=0.$

Векторный потенциал и магнитное поле

Компоненты векторного потенциала $~{\mathbf A}$ и магнитной индукции $~{\mathbf B}$ внутри вращающегося вокруг своей оси однородно заряженного шара согласно уравнениям (2) и (5) имеют следующий вид: ^[4]

$~{\mathbf A}_{{ir}}=0.\qquad {\mathbf A}_{{i\theta }}=0.$

$~{\mathbf A}_{{i\phi }}\approx {\frac {c^{2}\rho _{{0q}}}{3\varepsilon _{0}\omega ^{3}r\sin \theta }}-{\frac {c^{2}\rho _{{0q}}\left(1-{\frac {\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}\right)^{{3/2}}}{3\varepsilon _{0}\omega ^{3}r\sin \theta }}-{\frac {\rho _{{0q}}r\sin \theta }{2\varepsilon _{0}\omega }}\left(1-{\frac {\omega ^{2}a^{2}}{3c^{2}}}-{\frac {\omega ^{4}a^{4}}{15c^{4}}}-{\frac {\omega ^{6}a^{6}}{35c^{6}}}\right)-$

$~-{\frac {\rho _{{0q}}\omega r^{3}\sin \theta \left(5\cos ^{2}\theta -1\right)}{40c^{2}\varepsilon _{0}}}\left(1+{\frac {2\omega ^{2}a^{2}}{7c^{2}}}+{\frac {\omega ^{4}a^{4}}{7c^{4}}}\right)+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{3}r^{5}\sin \theta \left(21\cos ^{4}\theta -14\cos ^{2}\theta +1\right)}{1008c^{4}\varepsilon _{0}}}\left(1+{\frac {9\omega ^{2}a^{2}}{11c^{2}}}\right)-$

$~-{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{5}r^{7}\sin \theta \left(429\cos ^{6}\theta -495\cos ^{4}\theta +135\cos ^{2}\theta -5\right)}{54912c^{6}\varepsilon _{0}}}.$

$~{\mathbf B}_{{ir}}\approx {\frac {\rho _{{0q}}\cos \theta {\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}}}}{\varepsilon _{0}\omega }}-{\frac {\rho _{{0q}}\cos \theta }{\varepsilon _{0}\omega }}\left(1-{\frac {\omega ^{2}a^{2}}{3c^{2}}}-{\frac {\omega ^{4}a^{4}}{15c^{4}}}-{\frac {\omega ^{6}a^{6}}{35c^{6}}}\right)-$

$~-{\frac {\rho _{{0q}}\omega r^{2}\cos \theta \left(5\cos ^{2}\theta -3\right)}{10c^{2}\varepsilon _{0}}}\left(1+{\frac {2\omega ^{2}a^{2}}{7c^{2}}}+{\frac {\omega ^{4}a^{4}}{7c^{4}}}\right)+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{3}r^{4}\cos \theta \left(63\cos ^{4}\theta -70\cos ^{2}\theta +15\right)}{504c^{4}\varepsilon _{0}}}\left(1+{\frac {9\omega ^{2}a^{2}}{11c^{2}}}\right)-$

$~-{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{5}r^{6}\cos \theta \left(429\cos ^{6}\theta -693\cos ^{4}\theta +315\cos ^{2}\theta -35\right)}{6864c^{6}\varepsilon _{0}}}.$

$~{\mathbf B}_{{i\theta }}\approx -{\frac {\rho _{{0q}}\sin \theta {\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}}}}{\varepsilon _{0}\omega }}+{\frac {\rho _{{0q}}\sin \theta }{\varepsilon _{0}\omega }}\left(1-{\frac {\omega ^{2}a^{2}}{3c^{2}}}-{\frac {\omega ^{4}a^{4}}{15c^{4}}}-{\frac {\omega ^{6}a^{6}}{35c^{6}}}\right)+$

$~+{\frac {\rho _{{0q}}\omega r^{2}\sin \theta \left(5\cos ^{2}\theta -1\right)}{10c^{2}\varepsilon _{0}}}\left(1+{\frac {2\omega ^{2}a^{2}}{7c^{2}}}+{\frac {\omega ^{4}a^{4}}{7c^{4}}}\right)-{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{3}r^{4}\sin \theta \left(21\cos ^{4}\theta -14\cos ^{2}\theta +1\right)}{168c^{4}\varepsilon _{0}}}\left(1+{\frac {9\omega ^{2}a^{2}}{11c^{2}}}\right)+$

$~+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{5}r^{6}\sin \theta \left(429\cos ^{6}\theta -495\cos ^{4}\theta +135\cos ^{2}\theta -5\right)}{6864c^{6}\varepsilon _{0}}}.$

$~{\mathbf B}_{{i\phi }}=0.$

Компоненты внешнего векторного потенциала и магнитной индукции вращающегося заряженного шара определяются формулами:

$~{\mathbf A}_{{or}}=0.\qquad {\mathbf A}_{{o\theta }}=0.$

$~{\mathbf A}_{{o\phi }}\approx {\frac {\rho _{{0q}}\omega a^{5}}{15c^{2}\varepsilon _{0}}}{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}\left(1+{\frac {2\omega ^{2}a^{2}}{7c^{2}}}+{\frac {\omega ^{4}a^{4}}{7c^{4}}}\right)-{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{3}a^{9}}{630c^{4}\varepsilon _{0}}}{\frac {\sin \theta \left(5\cos ^{2}\theta -1\right)}{r^{4}}}\left(1+{\frac {9\omega ^{2}a^{2}}{11c^{2}}}\right)+$

$~+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{5}a^{{13}}}{8008c^{6}\varepsilon _{0}}}{\frac {\sin \theta \left(21cos^{4}\theta -14\cos ^{2}\theta +1\right)}{r^{6}}}.$

$~{\mathbf B}_{{or}}\approx {\frac {2\rho _{{0q}}\omega a^{5}}{15c^{2}\varepsilon _{0}}}{\frac {\cos \theta }{r^{3}}}\left(1+{\frac {2\omega ^{2}a^{2}}{7c^{2}}}+{\frac {\omega ^{4}a^{4}}{7c^{4}}}\right)-{\frac {2\rho _{{0q}}\omega ^{3}a^{9}}{315c^{4}\varepsilon _{0}}}{\frac {\cos \theta }{r^{5}}}\left(5cos^{2}\theta -3\right)\left(1+{\frac {9\omega ^{2}a^{2}}{11c^{2}}}\right)+$

$~+{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{5}a^{{13}}}{4004c^{6}\varepsilon _{0}}}{\frac {\cos \theta }{r^{7}}}\left(63cos^{4}\theta -70cos^{2}\theta +15\right).$

$~{\mathbf B}_{{o\theta }}\approx {\frac {\rho _{{0q}}\omega a^{5}}{15c^{2}\varepsilon _{0}}}{\frac {\sin \theta }{r^{3}}}\left(1+{\frac {2\omega ^{2}a^{2}}{7c^{2}}}+{\frac {\omega ^{4}a^{4}}{7c^{4}}}\right)-{\frac {\rho _{{0q}}\omega ^{3}a^{9}}{210c^{4}\varepsilon _{0}}}{\frac {\sin \theta }{r^{5}}}\left(5cos^{2}\theta -1\right)\left(1+{\frac {9\omega ^{2}a^{2}}{11c^{2}}}\right)+$

$~+{\frac {5\rho _{{0q}}\omega ^{5}a^{{13}}}{8008c^{6}\varepsilon _{0}}}{\frac {\sin \theta }{r^{7}}}\left(21cos^{4}\theta -14cos^{2}\theta +1\right).$

$~{\mathbf B}_{{o\phi }}=0.$

Дивергенция вектора $~{\mathbf A}$ в сферических координатах записывается так:

$~\nabla \cdot {\mathbf A}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial \left(r^{2}A_{r}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \left(A_{\theta }\sin \theta \right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}.$

Подстановка в выражение для дивергенции компонент внутреннего векторного потенциала $~{\mathbf A}_{i}$ и компонент внешнего векторного потенциала $~{\mathbf A}_{o}$ вместо $~{\mathbf A}$ даёт соотношения $~\nabla \cdot {\mathbf A}_{i}=0$ и $~\nabla \cdot {\mathbf A}_{o}=0$ , поскольку векторный потенциал не зависит от угла $~\phi$ . Эти соотношения соответствуют калибровочному условию Лоренца (3), если учесть, что скалярный потенциал $~\varphi$ не зависит от времени.

Ссылки

Feynman R., Leighton R. and Sands M. The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2 (1964). Addison-Wesley, Massachusetts, Palo Alto, London.
Sergey G. Fedosin. The Electromagnetic Field of a Rotating Relativistic Uniform System. Chapter 2 in the book: Horizons in World Physics. Volume 306. Edited by Albert Reimer, New York, Nova Science Publishers Inc, pp. 53-128 (2021), ISBN: 978-1-68507-077-9, 978-1-68507-088-5 (e-book). https://doi.org/10.52305/RSRF2992. // Электромагнитное поле вращающейся релятивистской однородной системы.
Fedosin S.G. Electric field of rotating uniformly charged ball. TechRxiv. November 11, 2025. https://doi.org/10.36227/techrxiv.176289249.96428033/v1.
Fedosin S.G. Analysis of solution of equations for magnetic field of rotating ball using polynomials. Discover Physics, Vol. 2, 5 (2026). https://doi.org/10.1007/s44418-026-00008-w. TechRxiv. October 22, 2025. https://doi.org/10.36227/techrxiv.176116289.93994332/v1. // Анализ решения уравнений для магнитного поля вращающегося шара с помощью полиномов.

См. также

Внешние ссылки

Electromagnetic field of ball

Источник: http://sergf.ru/efb.htm

На список страниц