Discover Physics, Vol. 2, 5 (2026). https://doi.org/10.1007/s44418-026-00008-w
. https://rdcu.be/fgOlw
Анализ решения уравнений для
магнитного поля вращающегося шара с помощью полиномов
Федосин Сергей Григорьевич
ул. Свиязева 22-79, город Пермь, 614088, Пермский
край, Россия
e-mail: sergey.fedosin@gmail.com
В явном виде найден точный вид решения для векторного потенциала и магнитного поля вращающегося однородно заряженного шара. Для представления решения использованы выражения для специфических векторных сферических полиномов, связанных с соответствующими компонентами потенциала. Внутри и снаружи равномерно вращающегося вокруг своей оси заряженного шара компоненты потенциала и магнитного поля определены с точностью до членов, содержащих в знаменателе шестую степень скорости света. Для этого понадобилось использовать сферические координаты и восемь полиномов каждого типа. Кроме этого, решения внутри и снаружи шара приравнивались друг к другу на поверхности шара с учётом симметрии шара. Точность применяемого подхода может быть увеличена, так как она определяется лишь количеством используемых полиномов, вклад которых в решения быстро уменьшается по мере увеличения степени полиномов. Для вычисления векторного потенциала и магнитного поля вращающегося шара в рамках специальной теории относительности достаточно подставить в формулы координаты точки наблюдения, инвариантную объёмную плотность заряда, угловую скорость вращения и радиус шара.
Ключевые слова: полиномиальное разложение; векторный
потенциал; магнитное поле; вращающийся шар.
Analysis
of solution of equations for magnetic field of rotating ball using polynomials
Sergey G.
Fedosin
PO box
614088, Sviazeva
str. 22-79, Perm, Perm Krai, Russia
E-mail: sergey.fedosin@gmail.com
The exact form of the solution
for the vector potential and magnetic field of a rotating uniformly charged
ball is explicitly found. Expressions for specific vector spherical polynomials
associated with the corresponding components of the potential are used to
represent the solution. Inside and outside a charged ball uniformly rotating
around its axis, the components of the potential and magnetic field are
determined up to terms containing the sixth power of the speed of light in the
denominator. To do this, it was necessary to use spherical coordinates and
eight polynomials of each type. In addition, the solutions inside and outside
the ball were equated to each other on the surface of the ball, taking into
account the symmetry of the ball. The accuracy of the approach used can be
increased, since it is determined only by the number of polynomials used, whose
contribution to solutions decreases rapidly as the degree of the polynomials
increases. To calculate the vector potential and magnetic field of a rotating
ball within the framework of special relativity, it is sufficient to substitute
the coordinates of the observation point, the invariant volumetric charge
density, the angular velocity of rotation and the radius of the ball into the
formulas.
Keywords: polynomial
expansion; vector potential; magnetic field;
rotating ball.
1. Введение
Существуют
различные способы определения магнитного поля движущихся зарядовых
конфигураций. Так, в [1] вращающиеся заряды создают токи, которые
рассматриваются как токи в катушках из множества витков. В [2],
[3] для определения магнитного поля используется закон Био-Савара [Biot-Savart law]. Эти подходы
позволяют достичь лишь точности первого порядка, когда определяются члены,
содержащие в знаменателе квадрат скорости света. Расчёты с помощью
запаздывающих потенциалов позволяют улучшить точность [4], однако сложность
расчётов быстро нарастает по мере увеличения точности.
Известны
работы, в которых различными способами вычисляется электромагнитное поле внутри
и за пределами вращающегося однородно заряженного либо проводящего тела [5-8]. В случае, когда в сферической
конфигурации имеются произвольно направленные токи, решение уравнения Лапласа
содержит в себе сферические гармонические функции [9]. С целью упрощения решения
для магнитного поля вращающихся зарядовых конфигураций, в [10-11] магнитное
поле вычислялось через электрический потенциал и напряжённость электрического
поля. В [12] для определения магнитного поля сферической системы хаотически
движущихся частиц использовались цилиндрические и сферические координаты, а
также сферические полиномы.
Одним
из широко распространённых способов приблизительного решения дифференциальных
уравнений в современной технике является метод ограниченных элементов (FEM). Некоторые примеры
использования этого метода для определения
магнитного поля можно найти в [13-15]. Сравнение метода ограниченных
элементов с гармоническим методом представлено в [16], при этом указывается, что
в некоторых ситуациях гармонический метод обеспечивает более высокую скорость
сходимости решений для компонент векторного потенциала и магнитного поля, чем в
методе ограниченных элементов (FEM).
В
магнитостатике часто используется способ определения магнитного поля в виде
градиента от скалярного магнитного потенциала. Так, в [17] можно найти решение для магнитного поля однородно
намагниченного шара, которое выражается через полиномы Лежандра. Этот способ
пригоден за пределами тела, а также и в веществе тела в случае, когда токи в
этом веществе отсутствуют. Начиная с классической работы Гаусса [18],
аналогичным способом моделируют и магнитное поле Земли, причём для изучения
мелкомасштабного магнитного поля литосферы в [19] было использовано порядка 150
сферических гармоник.
Более
общий подход, пригодный в случае электрических токов, предполагает
использование векторного магнитного потенциала. Это было использовано, например,
в [20], где представлены формулы, связывающие скалярный магнитный потенциал с
векторным магнитным потенциалом.
Применение
полиномов позволяет найти решение достаточно просто также и в случае
вращающихся заряженных тел. При этом в решении уравнения Лапласа для векторного
магнитного потенциала за пределами вращающегося тела, генерирующего
стационарное магнитное поле, как правило появляются присоединённые полиномы
Лежандра.
Целью
данной работы является детальный вывод конкретных формул.
описывающих векторный магнитный потенциал и магнитное поле внутри и снаружи
однородно заряженного вращающегося шара. В сферических координатах 
радиальная
компонента 
векторного
потенциала 
получается зависящей от
полиномов, являющихся произведением 
на присоединённые
полиномы Лежандра порядка 1 в виде 
. Что касается компоненты 
, то она оказывается зависящей от произведений 
на . Однако решение неоднородного уравнения Лапласа внутри тела
приводит к неожиданной особенности, заключающейся в том, что компонента 
содержит полином 
, не совпадающий с полиномом 
. Различие возникает как следствие того, что полином не только является
одним из решений уравнения Лапласа для компоненты , но и точно согласуется с фактором Лоренца вращающихся
зарядов, учёт которого необходим в специальной теории относительности.
Другой целью является не просто представление решения в общем
виде с неопределёнными коэффициентами, как это имеет место в большинстве работ,
но и описание конкретной процедуры для определения таких коэффициентов. Для
вращающегося шара, используя достаточное количество полиномов,
можно с необходимой точностью получить значения векторного потенциала и
магнитного поля в любой точке системы. При этом для определения компонент поля в
произвольной точке с заданными координатами достаточно знать лишь инвариантную
объёмную плотность заряда, угловую скорость вращения и радиус вращающегося
шара. Существенной
частью метода является использование специфических сферических полиномов,
содержащих в качестве множителей присоединённые полиномы Лежандра и
гармонические функции.
Полученные результаты могут быть актуальны в тех моделях генерации магнитного поля Земли и планет, в которых предполагается пространственное радиальное разделение зарядов в веществе в условиях высоких температур и сильного давления. Вращение разделённых друг от друга положительных и отрицательных зарядов вместе с веществом вращающейся планеты может служить источником наблюдаемого магнитного поля [21-26]. Дополнительный эффект возникает, если учитываются приливные силы от Солнца или спутников планет [27].
Особый интерес представляет расчёт магнитного
поля тех нейтронных звёзд, которые имеют электрический заряд подобно протону [28-31],
и при этом настолько быстро вращаются, что скорость движения поверхности звёзд
становится сравнимой со скоростью света. В этом случае даже те члены в
формулах, которые содержат в знаменателе 
и 
, перестают быть малыми и требуют своего учёта. Из связи
между плотностью заряда, угловой скоростью вращения и радиусом звезды с
наблюдаемым магнитным полем можно получить оценку заряда, который могли бы
иметь такие звёзды. Кроме этого, становится возможным вычислить энергию и момент импульса
электромагнитного поля нейтронной звезды с увеличенной точностью.
Полученные
формулы для магнитного поля шара, учитывая их простой вид и достаточно высокую
точность, могут найти применение для калибровки эталонов и датчиков магнитного
поля в технике и в прикладных исследованиях. В случае
необходимости в этих формулах нетрудно учесть магнитную проницаемость вещества
самого шара и магнитную проницаемость среды, окружающей шар.
2. Метод
Пусть в декартовой системе отсчёта имеется
непрерывно распределённое в некотором объёме заряженное вещество. Предположим,
что это вещество находится в стационарном движении в плоскостях, параллельных
плоскости 
, но не движется в направлении оси 
. Такое возможно, например,
когда заряженное вещество вращается относительно оси . Другим примером
является неподвижное в целом тело, в котором распределённые по объёму
электрические токи переносят заряд в плоскостях, параллельных плоскости .
Для
определённости рассмотрим первый случай, соответствующий вращению некоторого
тела в форме шара, однородно заряженного по всему своему объёму. При равномерном вращении такого
шара вокруг своей оси векторный потенциал 
не зависит от времени
и удовлетворяет следующему уравнению
[32-33], вытекающему из уравнений Максвелла:
.
(1)
где
есть векторный
оператор Лапласа, действующий на
векторный потенциал ; 
есть магнитная
постоянная; 
– магнитная
проницаемость; 
– электрическая постоянная; 
– скорость света; 
– плотность тока; 
– фактор Лоренца
движения заряженного элемента вещества в точке наблюдения; 
– инвариантная
плотность заряда элемента вещества;
– скорость движения
элемента вещества. С целью упрощения далее будем
полагать, что 
и в веществе шара и в
пространстве за пределами шара отсутствуют магнитные моменты частиц, которые
могли бы привести к намагниченности вещества и к изменению векторного
потенциала и магнитного поля.
Если рассматривать уравнение (1) в декартовых
координатах, то компонента 
векторного потенциала,
направленная в сторону оси , согласно [34] равна нулю, 
. Это связано с условием равенства нулю компоненты скорости 
в (1), поскольку
элементы заряженного вещества при вращении движутся в плоскостях,
перпендикулярных оси .
Исходя из симметрии шара, компоненты векторного потенциала следует
выражать в сферических трёхмерных координатах в виде 
. Среди всех возможных решений ограничимся такими решениями,
в которых компоненты 
векторного потенциала
не зависят от угла 
точки наблюдения. В
таком случае все решения будут симметричными относительно оси шара, связанной с
осью 
декартовой системы
координат и имеющей начало в центре шара.
С
учётом этого, для векторного потенциала можно записать:
, (2)
где
, 
, 
есть единичные векторы
сферической системы координат. При этом единичный вектор 
направлен вдоль
радиальной координаты 
; радиус-вектор 
направлен от центра
сферической системы отсчёта в точку наблюдения; единичный вектор направлен параллельно
линии меридианов в сторону, противоположную оси , то есть в сторону южного полюса; единичный вектор направлен параллельно
линии параллелей и против часовой стрелки, если смотреть со стороны оси . В (2) компоненты векторного потенциала 
, 
и 
зависят только от
радиальной координаты и от угла 
.
В общем случае векторный оператор
Лапласа для некоторого вектора 
со сферическими
компонентами 
в сферических
координатах имеет следующий вид:
(3)
Делая в (3) замену вектора на вектор из (2), перепишем
уравнение (1) в сферических координатах так:
(4)
В
(4) было учтено, что фактор Лоренца в правой части (1) выражается формулой 
,
а производные компонент векторного
потенциала по углу равны нулю. При этом
компоненты скорости заряженного элемента вещества шара в сферических
координатах имеют вид 
, где 
есть угловая скорость
вращения шара; есть радиальная
координата, задающее расстояние от начала координат в центре шара до элемента
вещества; есть угол между осью декартовой системы
координат и радиус-вектором , задающим положение элемента вещества.
В сферических координатах для произвольной скалярной функции 
лапласиан этой функции
для случая 
имеет вид:
. (5)
Мы
будем использовать (5) для представления лапласианов 
, 
и 
в (4). Компоненты вектора магнитной индукции могут
быть вычислены через ротор векторного потенциала в сферических координатах по
формуле
(6)
3. Результаты
3.1 Внешний векторный потенциал
Аналогично (2 ) для компонент внешнего векторного потенциала имеем:
. (7)
За пределами шара заряженное вещество
отсутствует, поэтому в правой части (1) следует считать 
, так что уравнение для векторного потенциала приобретает вид
. В сферических координатах с учётом равенства нулю правой
части (4) при получается следующее:
(8)
Учтём теперь, что согласно (1)
компонента 
векторного потенциала,
выраженная в декартовых координатах, равна нулю, 
. Воспользуемся тем, что компоненты произвольного вектора в
декартовых координатах могут быть выражены через компоненты этого же вектора в
сферических координатах. Исходим из соотношений между единичными векторами в
декартовых и в сферических координатах:
.
.
. (9)
.
.
.
(10)
В декартовых координатах внешний векторный потенциал запишется так:
. (11)
Приравняем 
в (7) к в (11) и используем
выражения единичных векторов 
, , из (10). В результате
для декартовых компонент векторного потенциала за пределами вращающегося
заряженного шара получаются соотношения:
.
.
. (12)
Из(12) при условии следует соотношение
. (13)
Для того, чтобы выполнялось векторное уравнение (8), необходимо, чтобы каждая круглая скобка в (8) обратилась в нуль. С учётом (13) это приводит к трём уравнениям
. (14)
. (15)
. (16)
Соотношение (13) привело к тому, что в каждом уравнении в (14-16)
присутствует только одна из компонент внешнего векторного потенциала. Поскольку
компоненты 
. 
и 
в уравнениях не
смешиваются друг с другом, это обстоятельство заметно облегчает решение
уравнений (14-16).
Подставим в (5) вместо 
компоненты . , и найдём лапласианы 
, 
, 
, соответственно, учитывая, что компоненты . , не зависят от угла . Подставляя затем , , в (14-16), приходим к
трём уравнениям с частными производными для компонент векторного потенциала:
. (18)
. (19)
.
(20)
После подстановки (20) в (17) и разделения переменных имеем:
Левая часть (21) зависит только от , а средняя часть равенства зависит только от . В связи с этим обе части равенства согласно стандартной
процедуре при разделении переменных приравниваются к некоторой постоянной
величине 
.
Отсюда следуют два уравнения для функций 
и 
, выраженные через параметр :
. (22)
.
(23)
Подстановка в (22) пробного решения вида 
, где 
есть некоторая
постоянная, позволяет найти два возможных значения показателя степени 
путём решения
квадратного уравнения. Так получается решение уравнения (22), выраженное через и два неопределённых
коэффициента 
и 
:
. (24)
Для того, чтобы найти регулярные решения для 
в (20), необходимо в (24)
получить целые степени. Для этого следует положить
, 
.
(25)
, (26)
где есть целое число, при
этом 
; 
и 
есть постоянные
коэффициенты, зависящие от .
Уравнение (23) с учётом (25) приобретает зависимость от как от дискретного
параметра:
.
(27)
Отдельные решения уравнения (27) можно представить в виде 
, где 
зависят от и представляют собой
векторные сферические полиномы для , 
есть постоянные
коэффициенты, связанные с соответствующими полиномами .
Первые восемь таких векторных сферических полиномов имеют следующий вид:
, 
, 
.
, 
.
.
.
.
(28)
Чтобы получить полином , необходимо найти решение уравнения (27) при данном . Можно считать, что каждое такое решение зависит от . Полиномы в (28) не нормированы и даны с точностью до
произвольного постоянного коэффициента. Это связано с тем, что уравнение (27)
линейно в отношении любого постоянного коэффициента, умноженного на полиномы в
(28), так что каждый такой коэффициент в результате сокращается.
Полагая, что функция в (27) зависит только
от , находим
.
. (29)
Подстановка (29) в (27) приводит к уравнению
. (30)
Делая в (30) замены 
, 
, получим:
. (31)
В (31) осуществим замену функции в виде 
, переходя от 
к новой функции 
. Для производных функции и уравнения (31) в
целом, находим:
.
.
(32)
По определению, присоединённые полиномы
Лежандра (associated Legendre
polynomials) 
степени (degree) и порядка (order) 
выражаются через
полиномы Лежандра 
по формуле [17]:
. (33)
Первые восемь полиномов Лежандра таковы:
, 
, 
, 
, 
.
, 
.
. (34)
Полиномы Лежандра удовлетворяют уравнению Лежандра [35]
, (35)
и находятся по формуле Родрига (Rodrigues' formula) [36]
. (36)
Для присоединённых полиномов Лежандра
справедливы
дифференциальное уравнение и формула Родрига для
нормированных решений этого уравнения следующего вида [17]:
. (37)
. (38)
Сравнений уравнений (32) и (37) показывает, что при 
и при 
вид уравнений
совпадает, при этом решения 
в (32) с точностью до
знака и постоянных коэффициентов будут равны присоединённым полиномам Лежандра 
. Первые восемь таких присоединённых полиномов Лежандра имеют
следующий вид:
, 
, 
.
, 
.
, 
.
.
(39)
Для вычисления полиномов в (39) можно
пользоваться формулами (33) с учётом (34), или использовать (38) при .
В (31-32) была использована замена в виде . Подставляя вместо 
полиномы , при , получим с точностью до постоянных коэффициентов 
, где представлены в (39).
Делая замену 
, приходим к тому, что 
. Так как , получается, что полиномы 
в (28) с точностью до
знака и постоянных коэффициентов выражаются через произведение на присоединённые
полиномы Лежандра порядка и при . Исключением является лишь полином в (28), для которого
соотношение 
не выполняется.
Общее решение для компоненты можно представить в
виде суммы частных решений (20): 
. Подставляя в это выражение 
(26) и с учётом (28), находим :
, (40)
где постоянные коэффициенты , и с целью их различия
друг от друга задаются двумя индексами.
3.3 Определение компоненты
Частное решение для компоненты в (18) можно выразить через
произведение двух функций:
.
(41)
Подставим (41) в (18) и разделим переменные:
.
(42)
Как следствие (42), получаются два уравнения для функций 
, 
и параметра 
:
. (43)
(44)
Регулярные решения уравнения (43) аналогично (26) получаются
при 
в виде:
,
(45)
где есть целое число,
причём ; 
и 
есть постоянные
коэффициенты, зависящие от .
Подстановка в (44) приводит к
уравнению, в котором функция будет зависеть как от
угла , так и от параметра :
(46)
Решения (46) в зависимости от можно представить в
виде 
, где 
есть векторные
сферические полиномы для , 
есть постоянные коэффициенты,
связанные с соответствующими полиномами 
. Первые восемь таких полиномов имеют следующий вид:
, 
, 
.
, 
.
.
.
. (47)
Считая, что функция является функцией от , производные в уравнении (46) и само это уравнение можно
выразить так:
.
.
(48)
Сделаем в (48) замену переменных в виде и от функции перейдём к функции 
:
.
(49)
Представим функцию в виде 
. Это даёт в (49) следующее:
.
.
(50)
Сравнение последнего уравнения (50) и уравнения (37) при 
и при 
даёт совпадение
уравнений и равенство функций 
. Следовательно, 
, где 
представлены в (39). После
замены 
имеем 
. С другой стороны, в (46) было 
. Отсюда, с точностью до знака и постоянных коэффициентов, мы
получаем выражение для полиномов (47) в виде 
, то есть через присоединённые полиномы Лежандра 
порядка , в которых . Однако таким способом первый полином 
, представленный в (47), не определяется.
Общее решение для компоненты 
можно представить в
виде суммы частных решений (41): 
. Подставляя в это выражение 
(45) и с учётом 
(47), находим 
:
, (51)
где 
, 
и 
есть постоянные
коэффициенты.
3.4 Определение компоненты 
С целью решения уравнения (19) для
компоненты векторного потенциала
считаем, что частное решение для компоненты может быть представлено
в виде 
. Это
приводит к разделению переменных в (19) и к двум уравнениям для 
и 
:
.
. (52)
.
(53)
Регулярные решения уравнений (52-53)
зависят от 
. Решением (52) является выражение
,
(54)
где есть целое число,
причём 
; 
и 
есть постоянные
коэффициенты, зависящие от .
Обозначая частное решение уравнения (53)
в виде 
, где 
есть постоянные
коэффициенты, связанные с соответствующими полиномами 
, для векторных сферических полиномов получаем следующее:
, 
, 
.
, 
.
, 
.
.
(55)
В (55) представлены первые восемь
векторных полиномов для вычисления .
Считая, что функция является функцией от 
в виде 
, определим производные в уравнении (53) и преобразуем само
уравнение:
.
.
. (56)
Обозначая 
, сделаем замену переменных в (56), переходя от к 
:
. (57)
Сравнение уравнения (57) и уравнения
(37) показывает, что 
, где полиномы представлены в (39).
Следовательно, при будет 
. Поскольку , то полиномы 
в (55) с точностью до
знака и постоянных коэффициентов есть присоединённые полиномы Лежандра 
, в которых .
В (55) при видно, что 
. При этом подстановка полинома в уравнение (37)
вместо при и при 
удовлетворяет этому
уравнению. Получается, что не равно в (39), хотя для
остальных полиномов при 
с точностью до знака и
постоянного коэффициента имеет место равенство 
.
Суммируя
все возможные частные решения 
, с
учётом 
(54) и соотношения , где представлены в (55),
находим 
:
, (58)
где , , являются постоянными
коэффициентами.
3.5 Выражения для
внешнего векторного потенциала и внешнего магнитного поля
Учитывая, что в (6) компоненты
векторного потенциала не зависят от угла 
, для компонент внешнего магнитного поля получается следующее:
(59)
Подставим полиномы 
(28) в выражение 
(40), используя первые
восемь полиномов:
(60)
Аналогично подставим полиномы 
(47) в выражение (51), а также полиномы
(55) в выражение (58):
(61)
(62)
Из связи между декартовыми и
сферическими координатами получается соотношение 
. Поскольку заряженный шар вращается относительно оси 
, из симметрии следует, что при замене 
на 
компоненты векторного
потенциала в (60-62) должны остаться неизменными.
Этому условию отвечают только 
и другие чётные
степени вида 
. Поэтому в (60-62) следует выбрать соответствующие
коэффициенты равными нулю в тех членах, где содержится 
.
Всё это даёт следующее:
(63)
(64)
(65)
Подставим (63-65) в (59) и после
дифференцирования по сферическим координатам определим вид компонент внешнего
магнитного поля 
, 
и 
:
(66)
(67)
(68)
Выражения для компонент векторного
потенциала в (63-65) и для компонент магнитного поля в (66-68) могут быть ещё
упрощены. Действительно, векторный потенциал и магнитное поле за пределами шара
не могут быть прямо пропорциональны радиальной координате 
во избежание
бесконечных значений при больших значениях . Соответствующие коэффициенты в членах, пропорциональных , должны равняться нулю. Кроме этого, все члены в компонентах
векторного потенциала и магнитного поля так или иначе должны зависеть от , иначе даже на бесконечности появляются ненулевые члены,
зависящие только от угла 
. Следовательно, коэффициенты 
, 
, 
и 
для внешнего поля
должны равняться нулю. С учётом этого имеем:
(69)
(70)
(71)
(72)
(73)
(74)
3.6 Компоненты векторного
потенциала внутри шара
Рассмотрим подробнее, как получается
выражение 
для скорости
заряженного элемента вещества шара в сферических координатах. Скорость 
возникает за счёт
вращения шара вокруг оси 
. Декартовые координаты вращающегося элемента вещества
определяются через сферические координаты выражениями:
, 
, 
. (75)
При вращении шара радиальная
координата и угол произвольного элемента
вещества шара остаются постоянными. Если обозначить угловую скорость вращения в
виде 
, то компоненты скорости с учётом (75) будут равны:
, 
, 
.
(76)
Используя (76), выразим скорость через декартовые единичные векторы:
.
(77)
Аналогично, в сферических координатах скорость можно представить через сферические единичные векторы:
. (78)
Заменяя в (77) декартовые единичные векторы с помощью (9) и сравнивая с (78), находим компоненты скорости в сферических координатах:
.
(79)
Согласно (79) компоненты скорости 
и 
равны нулю, а
ненулевая компонента 
скорости в каждой
точке направлена вдоль единичного вектора 
, то есть вдоль параллелей соответствующей сферической
поверхности.
Векторный потенциал внутри шара запишется аналогично (2):
. (80)
В силу симметрии в рассматриваемом
случае компоненты векторного потенциала не зависят от угла .
Из (4) следует уравнение для компонент векторного потенциала внутри шара:
(81)
В соответствии с (1), компонента
векторного потенциала в декартовых координатах, направленная вдоль оси 
, должна равняться нулю. Это приводит к соотношению (13), в
также к аналогичному соотношению для компонент векторного потенциала внутри шара:
.
(82)
С учётом (82) из (81) следуют три уравнения для компонент векторного потенциала:
. (83)
. (84)
. (85)
Уравнения (83-84), а также уравнение (85) с нулевой правой частью имеют тот же вид, что и уравнения (14-16). Следовательно, для решений уравнений (83-84), а также уравнения (85) с нулевой правой частью, мы можем использовать ранее найденные решения уравнений (14-16).
Общие решения уравнений (14-16)
представлены в (63-65). Заменим в (63-65)
коэффициенты 
на коэффициенты 
и запишем
соответствующие решения уравнений (83-84), а также уравнения (85) с нулевой
правой частью:
(86)
(87)
(88)
В (88) величина 
является общим
решением уравнения (85) с нулевой правой частью. Теперь необходимо найти частное
решение 
уравнения с ненулевой
правой частью в (85).
Чтобы определить 
в (85) в сферических
координатах, используем выражение (5), в котором вместо 
следует подставить с учётом того, что 
и не зависят от угла и потому 
. Для величины согласно (5) и (85)
следует уравнение:
. (89)
.
.
(90)
С учётом (90) соотношение (89)
преобразуется в уравнение для функции 
:
Чтобы найти решение уравнения (91),
удобно поступить следующим образом. Заменим на функцию 
и рассмотрим
вначале однородное уравнение, являющееся частью (91). Этому уравнению должна
соответствовать некоторая функция 
:
.
(92)
Подставим в (92) пробное решение в
виде 
, полагая, что 
зависит только от 
. Получаются два допустимых значения для показателя степени , так что 
и 
оказываются двумя
независимыми частными решениями (92). При этом 
, где 
и 
есть произвольные постоянные
коэффициенты, будет общим решением (92).
Далее, подставим 
вместо в (91), и ввиду
того, что 
зависит только от , заменим частные производные на обычные производные:
Чтобы
найти частное решение уравнения (93), используем метод Лагранжа (метод вариации
произвольных постоянных) (Variation of parameters
method). Для этого заменим постоянные
коэффициенты и на функции 
и 
, подлежащие определению, в виде
. (94)
Производные
функции равны
.
. (95)
В (95)
сделаны обозначения вида 
, 
, 
.
Подстановка (94-95) в (93) даёт:
(96)
В (96) считаем, что
, 
.
(97)
.
(98)
. (99)
Соотношения
(97) выполняются потому, что и являются двумя
независимыми частными решениями однородного уравнения (92). Подстановка , 
, , 
в (98-99) даёт:
.
(100)
. (101)
Выражая 
из (100) и подставляя
в (101), приходим к дифференциальному уравнению первого порядка для определения
и к решению этого
уравнения:
. (102)
. (103)
Из (100) и (102) следует:
.
.
(104)
Из (94), (103-104) находим частное решение уравнения (93):
. (105)
Преобразуем в (105) скобку в третьем члене правой части:
.
Это даёт в (105) следующее:
. (106)
Учитывая
соответствие и в (91) и в (93), и
делая в (106) замену 
, для частного решения неоднородного уравнения (89) находим:
.
(107)
Полное решение уравнения (85) будет
тогда равно сумме 
. С учётом (88) и (107) находим:
(108)
В выражениях для компонент векторного
потенциала (86-87) и (108) следует приравнять к нулю коэффициенты при тех
членах, которые содержат в знаменателе 
, 
, 
и т.д. Это необходимо
для того, чтобы компоненты векторного потенциала не обратились в бесконечность
внутри шара при 
. С учётом этого имеем:
(109)
(110)
(111)
В (110-111) были оставлены члены,
содержащие 
и 
, которые зависят от угла 
, но не зависят от . Подобные члены и в (64-65) в
компонентах векторного потенциала за пределами шара были приравнены к нулю
исходя их того, что на бесконечности векторный потенциал в любом случае
обращается в нуль. Но внутри шара, ввиду ограниченности его размеров,
радиальная координата не может быть
бесконечной. В таком случае члены, содержащие и , допустимы.
3.7 Компоненты вектора индукции магнитного поля внутри шара
Исходя из формулы (6) для индукции магнитного поля в сферических координатах, для компонент магнитного поля внутри вращающегося шара подобно (59) имеем:
(112)
Подставляя компоненты векторного потенциала внутри шара (109-111) в (112), находим компоненты внутреннего магнитного поля:
(113)
(114)
(115)
3.8 Уточнение компонент векторного потенциала и вектора индукции
магнитного поля
Преобразуем в (111), используя
разложение следующей функции в виде
,
(116)
и затем выражая только через 
:
(117)
Аналогично выразим в (71) только через :
(118)
На поверхности вращающегося
заряженного шара радиуса 
внешний и внутренний
векторные потенциалы должны совпадать и переходить друг в друга. В связи с этим
при произвольно выбранном угле и при 
приравняем компоненты
внешнего векторного потенциала (69-70) к компонентам внутреннего векторного
потенциала (109-110), а также приравняем (117) и (118).
Рассматривая члены с одинаковыми зависимостями от и , получим следующие равенства:
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
, 
, 
.
(119)
(120)
(121)
. (122)
. (123)
Из (120-123) находим следующее:
, 
.
.
. (124)
Таким образом постоянные коэффициенты в компонентах внешнего векторного потенциала оказываются выраженными через коэффициенты в компонентах внутреннего векторного потенциала.
Сравним теперь компоненты магнитного
поля на поверхности шара при . Аналогично (116), разложим 
в виде
(125)
а затем подставим (125)
в (113) и в (114). При этом выразим 
в (113) только через , а 
в (114) только через :
(126)
(127)
Аналогично, выразим в (72) через степени , а также 
в (73) через степени :
(128)
(129)
Сравнение (126)
и (128), (127) и (129), (74) и (115) при даёт соотношения между
коэффициентами:
.
.
.
. (130)
, , 
, 
.
, 
, 
.
, 
.
(131)
В (130) можно разделить коэффициенты друг от друга:
.
, 
.
. (132)
, 
.
,
.
(133)
Подстановкой коэффициентов (132-133) в соотношения (124) можно убедиться в том, что эти соотношения удовлетворяются.
Для того, чтобы значения коэффициентов в (119) совпадали со значениями коэффициентов, найденными в (131), необходимо считать, что
, 
, 
, 
, 
, 
. (134)
Учитывая (119) и (132-134), можно уточнить вид компонент векторного потенциала (109-111) и компонент магнитного поля (113-115) внутри вращающегося заряженного шара:
(135)
.
(136)
(137)
(138)
(139)
(140)
Точно также с учётом (119) и (132-134) можно уточнить вид компонент векторного потенциала (69-71) и компонент магнитного поля (72-74) за пределами шара:
(141)
.
(142)
(143)
(144)
(145)
(146)
Обратим внимание на то, что в (143-145)
имеются члены с круглыми скобками, содержащими величины типа 
, 
и т.д. Эти величины
появились в результате учёта фактора Лоренца 
в неоднородном
уравнении Лапласа (81) и применения процедуры сравнения внешних и внутренних
компонент поля на поверхности шара. В результате компоненты внешнего магнитного
поля в (144-145) приобретают дополнительную и нелинейную зависимость
от радиуса шара и от угловой скорости
вращения 
. Величины типа 
появились и в [4]
при расчёте компонент поля с помощью запаздывающих потенциалов, но по другой
причине. связанной с интегрированием по объёму шара.
Согласно (136) и (142), выражения для компоненты внутреннего векторного
потенциала 
и для компоненты
внешнего векторного потенциала по своему виду
совпадают. Однако компонента в (136)
при и при угле 
обращается в
бесконечность, чего для шара быть не должно. Поэтому в (119) необходимо выбрать 
, 
. В этом случае вместо (136) и (142)
будет следующее:
,
. (147)
Если в (137) учесть (116), получится следующее:
(148)
В (148)
компонента при и при угле обращается в
бесконечность, что для шара не допустимо. Следовательно, для коэффициентов
должно выполняться условие
. (149)
Подстановка (149) в (137) и в (143) даёт следующее:
(150)
(151)
Заметим теперь, что все члены 
в (140)
содержат как множитель.
Известно, что 
. Получается, что если на глобусе откладывать угол от северного полюса в
сторону экватора и при этом оказывается положительна,
то если откладывать такой же угол от южного полюса в
сторону экватора, получая угол 
, величина будет отрицательна.
Получается противоречие: при вращении
заряженного шара возникают токи от движущихся зарядов шара, которые все
направлены в одну сторону, задаваемую угловой скоростью вращения. В таком
случае следует ожидать, что и компонента , направленная вдоль параллелей шара, должна быть симметрична
относительно плоскости экватора и везде иметь один и тот знак. Но согласно (140)
знаки компоненты в северном и в южном
полушарии получаются противоположными. С точки зрения магнитных линий
получается следующая картина: в одном из полушарий магнитные линии проходят
внутри шара, выходят наружу и затем идут к экватору, закручиваяcь при этом относительно оси
вращения шара . После того, как лини магнитного поля проходят экватор, они
начинают закручиваться в обратную сторону, приходя внутри шара в исходное
состояние.
Чтобы избежать противоречия, следует
считать, что 
. Для этого необходимо, чтобы были равны нулю коэффициенты 
, 
, 
и 
. Это приводит к изменениям в (135),
(140-141),
(146)
и даёт следующее:
, , 
, 
.
(152)
Из (138-152) получается следующее:
,
.
(153)
.
(154)
,
.
(155)
.
(156)
4. Обсуждение
Полученные нами результаты можно
сравнить с результатами в статье [37], где исследовалось магнитное поле
осесимметричных токовых конфигураций и рассматривались случаи, когда внутри
неподвижного тела в некотором слое протекали круговые токи. При этом было
обнаружено, аналогично (153) и (155), что основная компонента векторного
потенциала выражается через сумму членов в виде 
, где функции 
зависят от радиальной
координаты и от степени 
присоединённых
полиномов Лежандра .
В [2] внутри вращающегося однородно заряженного шара было найдено следующее:
, 
. (157)
. (158)
Если в (154) разложить квадратный
корень по формуле (125), то становится видно, что выражения для и 
совпадают с
выражениями (157) в первом приближении, учитывая, что в (157) 
есть магнитная
вакуумная постоянная. Аналогично, если разложить выражение 
в (153) по формуле (116),
то и в (153) совпадёт с
(158) в первом приближении. Однако выражения (154) и (153) гораздо более
точные, поскольку содержат добавочные члены, содержащие в знаменателе 
. Кроме этого, в [2]
при расчёте поля не учитывался фактор Лоренца 
движущихся зарядов.
С
целью проверки полученных решений для индукции магнитного поля 
вращающегося шара, подставим эти решения в
уравнение Максвелла с источником в виде плотности тока 
:
.
(159)
В
сферических координатах уравнение (159) с учётом соотношений 
, 
, 
, 
, запишется
так:
(160)
Учитывая,
что компоненты вектора индукции магнитного поля не зависят от угла , из (160) следуют три уравнения:
, 
.
. (161)
За
пределами шара нет заряженного вещества, 
, и для внешнего магнитного поля (161) упрощается:
.
(162)
Соответствующие
компоненты индукции магнитного поля внутри шара (154) и снаружи шара (156)
точно удовлетворяют уравнениям (161-162).
Одно из уравнений Максвелла для
магнитного поля 
представляет собой
равенство нулю дивергенции этого поля в любой точке пространства. В сферических
координатах это выглядит так:
. (163)
Уравнение (163) удовлетворяется как для компонент индукции магнитного поля (154) внутри шара, так и для компонент индукции магнитного поля (156) за пределами шара.
В искривлённом пространстве-времени
уравнение для тензора 
электромагнитного поля
имеет следующий вид [32]:
, (164)
где есть магнитная вакуумная
постоянная; 
– зарядовый 4-ток с ковариантным
индексом; 
– инвариантная плотность
заряда; 
– 4-скорость с ковариантным
индексом; 
– тензор Риччи (Ricci curvature tensor) со смешанными индексами;
– тензор кривизны Римана
(Riemann curvature tensor).
При выводе уравнения (164) предполагалось,
что согласно [38] при сигнатуре метрики 
для тензора кривизны и
тензора Риччи выполняются соотношения:
, 
. (165)
Если же использовать для тензора кривизны и тензора Риччи соотношения согласно [39] в виде
, 
, (166)
то уравнение для тензора запишется так:
. (167)
Компоненты тензора в декартовой системе
отсчёта выражаются через компоненты электрического 
и магнитного полей так:
. (168)
В специальной теории относительности
пространство-время не искривлено, так что тензоры и обнуляются. При этом
ковариантные производные 
переходят в частные
производные 
по четырёхмерным
координатам 
. 4-скорость с ковариантным индексом становится равной 
, где есть фактор Лоренца, – скорость малого
элемента заряда. Соответственно, зарядовый 4-ток с ковариантным индексом будет
равен
, (169)
где 
есть плотность тока.
Всё это с учётом (168-169) приводит к упрощению уравнений (164) и (167):
. (170)
В (170) оператор 
есть оператор Д’Аламбера (d'Alembert operator), оператор 
есть Лапласиан. С
учётом этого из (170) следует:
. (171)
Подстановка (168) в (171) с учётом
соотношения 
даёт два неоднородных
волновых уравнения, для напряжённости электрического поля 
и для индукции
магнитного поля 
:
.
. (172)
В рассматриваемом нами случае
вращение заряженного тела постоянно, так что магнитное поле и фактор Лоренца 
движущихся зарядов
тела не зависят от времени. Однако внутри тела зависит от координат
вращающихся зарядов, которые совпадают с координатами точки наблюдения, в
которой ищется магнитное поле. Поэтому оператор ротора действует и на фактор
Лоренца . Из (172) следует тогда неоднородное уравнение Лапласа для
магнитного поля:
. (173)
Уравнение (173) записано в векторной форме и потому справедливо в любой системе координат.
В сферических координатах векторный
оператор Лапласа 
выражается формулой
(3), где вместо сферических компонент вектора 
следует подставить
сферические компоненты вектора магнитного поля . Для вычисления ротора 
следует использовать
(6), где вместо 
нужно подставить
произведение 
:
(174)
Внутри вращающегося заряженного тела
скорость имеет сферические
компоненты согласно (79) в виде , так что компоненты
скорости 
и 
в (174) равны нулю.
Всё это с учётом (174) даёт в (173) следующее:
(175)
За пределами тела, где плотности тока
нет
и зарядовая плотность 
обнуляется, согласно (173)
получается следующее уравнение:
(176)
В (175-176) можно учесть, что для
равномерно вращающегося осесимметричного заряженного тела ни одна из компонент
магнитного поля не зависит от угла 
. Подставляя в (175) выражение для компоненты скорости 
и выражение фактора
Лоренца 
, приходим к трём уравнениям для компонент внутреннего
магнитного поля:
.
.
.
(177)
В правой части уравнений (177) содержится
магнитная вакуумная постоянная 
.
Нетрудно проверить, что с учётом выражения для лапласиана (5) в сферических координатах, компоненты внешнего магнитного поля (156) удовлетворяют векторному уравнению (176), а компоненты внутреннего магнитного поля (154) удовлетворяют уравнениям (177).
5. Заключение
Использование
гармонического метода для нахождения решений уравнений для магнитного поля
вращающегося вокруг своей оси однородно заряженного шара приводит к решениям (153-156).
Эти решения дают формулы для компонент векторного потенциала и вектора индукции
магнитного поля, выраженные в сферических координатах.
В ходе решения было использовано то обстоятельство, что
векторный потенциал осесимметричного вращающегося тела не зависит от угла
вращения . Использование соображений симметрии при замене на в решениях позволяет
исключить часть неопределённых постоянных коэффициентов и считать их равными
нулю, что упрощает решения. К этому же приводит то обстоятельство, что на
бесконечности потенциалы и поля должны обнуляться, а в центре вращающегося тела
не должны давать бесконечность. Часть коэффициентов может быть также исключена
исходя из того условия, что на поверхности тела внешние и внутренние компоненты
векторного потенциала и магнитного поля должны равняться друг другу.
С учётом этого мы вычислили компоненты векторного потенциала
и магнитного поля внутри и снаружи равномерно вращающегося однородно заряженного
шара с точностью до членов, содержащих в знаменателе. Способ
вычислений позволяет находить в явном виде компоненты полей с любой заданной
точностью, необходимо лишь использовать достаточное количество векторных
сферических полиномов 
(28), (47) и (55). При
этом полиномы выражаются через
произведение 
на присоединённые
полиномы Лежандра , полиномы выражаются через
произведение 
на , а полиномы с точностью до постоянного
коэффициента равны .
Найденной нами особенностью
оказывается то, что полиномы 
, 
и 
степени 0 имеют
значения, не выражающиеся через полином . Однако полином для равномерно
вращающихся осесимметричных тел оказывается необходимым, поскольку он
присутствует в компоненте векторного потенциала внутри
шара, на что указывает наличие в знаменателе первых
членов в (153). Это говорит о том, что при вычислении векторного потенциала
недостаточно использовать присоединённые полиномы Лежандра и их произведения с и . Вместо этого целесообразнее учитывать сферические полиномы 
, 
и 
как специфические,
самостоятельные векторные полиномы при решении задач с векторными функциями в криволинейных
координатах.
Следует отметить те ограничения,
которые были использованы в представленном методе. К основным предположениям
относятся постоянство углового вращения шара вокруг своей оси и
однородное распределение электрического заряда по всему объёму шара. С целью
упрощения расчётов все возможные решения были ограничены такими решениями, в
которых компоненты 
векторного потенциала
не зависят от угла точки наблюдения и
симметричны относительно оси вращения и центра шара.
При расчётах также предполагалось,
что магнитная
проницаемость вещества самого шара и магнитная проницаемость среды, окружающей
шар, такие же как в вакууме, то есть
. В
случае необходимости формулы, полученные для векторного потенциала и магнитного
поля, нетрудно скорректировать с тем, чтобы учесть значения магнитной
проницаемости и магнитной восприимчивости вещества шара и среды вокруг него.
Список использованных источников
1.
Ávila M.A. Magnetic fields of spherical, cylindrical,
and elipsoidal electric charge superficial
distributions at rotation. Revista Mexicana De Fisica,
Vol. 49(2), pp. 182-190 (2003).
2.
Griffiths D. J. Introduction to
Electrodynamics, 3rd Edition; Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey
(2007).
3.
Fedosin S.G. The Theorem on the Magnetic Field of
Rotating Charged Bodies. Progress In Electromagnetics Research M, Vol. 103, pp.
115-127 (2021). http://dx.doi.org/10.2528/PIERM21041203. // Теорема о магнитном поле вращающихся заряженных тел.
4. Fedosin S.G. The Electromagnetic Field outside the Steadily Rotating Relativistic Uniform System. Jordan Journal of Physics. Vol. 14, No. 5, pp. 379-408 (2021). https://doi.org/10.47011/14.5.1. // Электромагнитное поле за пределами равномерно вращающейся релятивистской однородной системы.
5.
Redzic D.V. Electromagnetostatic charges and
fields in a rotating conducting sphere. Progress In Electromagnetics Research,
Vol. 110, pp. 83-401 (2010). http://dx.doi.org/10.2528/PIER10100504.
6.
Gron O. and Voyenli K. Charge distributions in
rotating conductors. European Journal of Physics, Vol. 3, Number 4, pp. 210-214
(1982). https://doi.org/10.1088/0143-0807/3/4/004.
7.
Healy W.P. Comment on ‘The effect of radial acceleration on the electric
and magnetic fields of circular currents and rotating charges’.
J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 35, pp. 2527-2531 (2002). https://doi.org/10.1088/0305-4470/35/10/403.
8.
Díaz G.A., Mombello E.E., Stephan V. Magnetic
vector potential and magnetic field intensity due to a finite current carrying
cylinder considering a variable current density along its axial dimension.
International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, Vol. 40, no.
2, pp. 133-147 (2012). https://doi.org/10.3233/JAE-2012-1434.
9.
Granzow K.D. Spherical harmonic representation of the
magnetic field in the presence of a current density. Geophysical Journal of the
Royal Astronomical Society, Vol. 74, Issue2, pp. 489-505 (1983). https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1983.tb01886.x.
10. Marsh J.S. Magnetic and electric fields of rotating charge distributions. American Journal of Physics, Vol. 50 (1), pp. 51-53 (1982). https://doi.org/10.1119/1.13006.
11. Marsh J.S. Magnetic and electric fields of rotating charge distributions II. American Journal of Physics, Vol. 52 (8), pp. 758-759 (1984). https://doi.org/10.1119/1.13852.
12. Fedosin S.G. The Electromagnetic Field of a Rotating Relativistic Uniform System. Chapter 2 in the book: Horizons in World Physics. Volume 306. Edited by Albert Reimer, New York, Nova Science Publishers Inc, pp. 53-128 (2021), ISBN: 978-1-68507-077-9, 978-1-68507-088-5 (e-book). https://doi.org/10.52305/RSRF2992.
13. Sabrina Bénard, Loic Cappanera, Wietze Herreman and
Caroline Nore. Magnetic field based finite element method for magneto-static
problems with discontinuous electric potential distributions. Comptes Rendus Mécanique, Vol. 351, Special Issue S1, pp. 53-72 (2023). https://doi.org/10.5802/crmeca.184.
14. Lager, Ioan and Mur, Gerrit. The finite
element modeling of static and stationary electric and magnetic fields. IEEE
Transactions on Magnetics, Vol. 32, pp. 631- 634 (1996). https://doi.org/10.1109/20.497317.
15. Persova M.G., Soloveichik Y.G., Temlyakova Z.S. et al. Finite element method for modeling
three-dimensional nonlinear magnetic fields in electrotechnical devices. Russ. Electr. Engin. Vol. 82, pp. 292-297 (2011). https://doi.org/10.3103/S1068371211060113.
16. Curti M., Paulides
J.J.H., and Lomonova E.A. An Overview of Analytical
Methods for Magnetic Field Computation. Proc. 10th Int. Conf. Ecological Veh.
Renew. Energies, pp. 1-7 (2015). IEEE, http://dx.doi.org/10.1109/EVER.2015.7112938.
17. Jackson J. D., Classical Electrodynamics,
2nd Edition. John Wiley and Sons (1975).
18. Gauss C.F. Allgemeine Theorie
des Erdmagnetismus. Resultate,
(1839); Werke, VВ., SS. 119-175, Nachtrag,
SS. 175-180.
19. Hulot G., Thébault E., Langlais B. and
Vigneron P. A Spherical Harmonic Model of Earth’s
Lithospheric Magnetic Field up to Degree 1050. Geophysical Research Letters, Vol. 48 (21), e2021GL09514 (2021). https://doi.org/10.1029/2021gl095147.
20. Lowes F.J. and Duka B. Magnetic multipole
moments (Gauss coefficients) and vector potential given by an arbitrary current
distribution. Earth Planets Space, Vol. 63, pp. i–vi,
(2012). https://doi.org/10.5047/eps.2011.08.005.
21. Gunn R. A Theory of the Permanent
Magnetic Fields of the Sun and Earth. Phys. Rev. Vol. 34, pp. 335 (1929). https://doi.org/10.1103/PhysRev.34.335.
22. Elsasser W.M. On the Origin of the
Earth’s Magnetic Field. Phys. Rev. Vol. 55, pp. 489-498 (1939). https://doi.org/10.1103/PhysRev.55.489.
23. Arteha S.N. On the magnetism of stars and
planets. Astrophysics and Space Science, Vol. 246. pp 51-64 (1996). https://doi.org/10.1007/BF00637399.
24. Fedosin S.G. Generation of magnetic fields in cosmic objects: electrokinetic model. Advances in Physics
Theories and Applications, Vol. 44,
pp. 123-138 (2015). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.888921. // Возникновение магнитных полей в космических объектах: электрокинетическая модель.
25. Babenko I. A., Vladimirov Yu. S. The
Sutherland–Einstein Hypothesis is on the Origin of Magnetic Fields of
Astrophysical Objects // Gravitation and Cosmology, Vol. 27, Issue 2,
pp.105-112 (2021). https://doi.org/10.1134/S0202289321020043.
26. V. I. Grigoriev, E. V. Grigoriev,
and V. S. Rostovskij, Baroelectric
effect and electromagnetic fields of planets and stars (PHYSMATLIT, Moscow,
2003, in Russian).
27. Kochnev V.A. Kinematic-gravitational ion
model of planetary dynamo. Journal of Physics: Conference Series. Vol. 1103,
No. 1. Art. no. 12009 (2018). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1103/1/012009.
28. Neslušan L. On the global electrostatic
charge of stars. Astronomy & Astrophysics, Vol. 372, pp. 913–915 (2001). https://doi.org/10.1051/0004-6361:20010533.
29. Siffert B.B., de Mello Neto J.R.T.
and Calvão
M.O. Compact Charged Stars. Brazilian Journal of Physics, Vol. 37, No. 2B, pp.
609-612 (2007). https://doi.org/10.1590/S0103-97332007000400023.
30. Gonçalves V.P. and Lazzari L.
Charged charm stars. Nuclear Physics A, Vol.1004, 122043 (2020). https://doi.org/10.1016/j.nuclphysa.2020.122043.
31. Fedosin S.G. Fizika
i filosofiia podobiia ot preonov
do metagalaktik. (Physics and Phylosophy
of Similarity From Preons to
Metagalaxies). Perm’: S.G. Fedosin, 544
p. (1999). ISBN 5-8131-0012-1. In Russian.
32. Fedosin S.G. Equations of Motion in
the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry,
Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12 // Уравнения движения в
теории релятивистских векторных полей.
33. Mark D. Semon and John R. Taylor. Thoughts
on the magnetic vector potential. American Journal of Physics, Vol. 64 (11):
pp. 1361-1369 (1996). https://doi.org/10.1119%2F1.18400.
34. Feynman R., Leighton R. and Sands M. The Feynman Lectures on Physics.
Vol. 2, Ch. 21 (1964). Addison-Wesley, Massachusetts, Palo Alto, London.
35. Courant. R and Hilbert D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1, New
York: Interscience Publischer,
Inc. (1953).
36. Arfken G.B. and Weber H.J. Mathematical
Methods for Physicists Sixth Edition. Elsevier Academic Press. p. 741. ISBN
0-12-059876-0. (2005).
37. Kendall P.C., Chapman S., Akasofu
S.-I. and Swartztrauber P.N. The Computation of the
Magnetic Field of any Axisymmetric Current Distribution - with Magnetospheric
Applications. Geophys. J. R. astr. Soc. Vol. 11, pp.
349-364 (1966).
38. Fock V.A. The Theory of Space, Time and Gravitation. Macmillan. (1964); Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. М.: Физматгиз, 1961. 568 с.
39. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. – Издание 7-е, исправленное. – М.: Наука, 1988. – 512 с. – (Теоретическая физика, том II). Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny M. (1975). The Classical Theory of Fields. Vol. 2 (4th ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
Источник http://sergf.ru/an.htm