Advances in Physics Theories and Applications, 2013,
Vol. 23, P. 19 – 25.
Проблема 4/3 для гравитационного поля
Федосин Сергей Григорьевич
г. Пермь, Пермский край, Россия
e-mail intelli@list.ru
С помощью принципа суперпозиции, метода запаздывающих потенциалов и преобразований
Лоренца определяются потенциалы гравитационного поля за пределами и внутри
однородного массивного шара. Вычисляются напряжённость гравитационного поля и
поле кручения, энергия и импульс поля, а также эффективные массы, связанные с
энергией поля и его импульсом. Показывается, что для гравитационного поля
существует проблема 4/3 аналогично ситуации для электромагнитного поля.
Ключевые слова: энергия; импульс; теория относительности; гравитация; потенциалы поля.
4/3 problem for the gravitational
field
Sergey G. Fedosin
Perm, Perm Region, Russia
e-mail intelli@list.ru
The gravitational field potentials
outside and inside a uniform massive ball are determined using the
superposition principle, the method of retarded potentials and Lorentz transformations.
The gravitational field strength, the torsion field, the energy and the
momentum of the field, as well as the effective masses associated with the
field energy and its momentum are calculated. It is shown that 4/3 problem
exists for the gravitational field as well as in the case of the
electromagnetic field.
Keywords: energy; momentum; theory of
relativity; gravitation; field potentials.
Введение
В теории поля существует ряд неразрешённых до конца проблем,
ожидающих более глубокого анализа и логического осмысления. Примером является
проблема выбора универсальной формы тензора энергии-импульса тела, которая
включала бы в себя как энергию покоя вещества, так и энергии поля, и при этом
давала бы однозначную связь с термодинамическими переменными вещества на языке
4-векторов и тензоров. Другой интересной проблемой является проблема 4/3,
согласно которой эффективная масса поля тела, вычисляемая через импульс поля, и
эффективная масса поля, находимая через энергию поля, по каким-то причинам не
совпадают друг с другом, при этом отношение указанных масс приблизительно равно
4/3. Проблема 4/3 известна достаточно давно в отношении массы электромагнитного
поля движущегося заряда. О ней писали в конце 19 века Д.Д. Томсон, Д.Ф.
Фицджеральд, О. Хевисайд [1], Сирл
(George
Frederick Charles Searle) [2] и многие другие авторы,
включая недавние работы [3]. Мы также рассматривали эту проблему ранее в рамках
лоренц-инвариантной теории гравитации, в отношении
гравитационного поля движущегося шара [4]. Целью настоящей работы является
более точное описание проблемы, не ограничиваясь приближением малых скоростей.
При вычислении энергии и
импульса гравитационного поля массивного однородного шара мы будем использовать
принцип суперпозиции путём суммирования энергий и импульсов поля от всех
материальных точек, образующих движущийся шар. Такой подход оправдан в случае
слабого поля, когда общая теория относительности переходит в гравимагнетизм, а ковариантная теория гравитации – в лоренц-инвариантную теорию гравитации [5]. Уравнения поля при этом становятся линейными,
обеспечивая возможность применения принципа суперпозиции. Заметим, что поле гравитации может считаться
слабым, если метрика пространства-времени достаточно мало отличается от метрики
пространства-времени Минковского (метрики пространства-времени специальной
теории относительности). Если эффекты гравитационного замедления времени и
сокращения размеров значительно меньше, чем аналогичные эффекты за счёт
скорости движения рассматриваемой системы отсчёта, то такое гравитационное поле
также можно считать слабым.
Гравитационное поле за пределами
массивного однородного шара
Определим вначале
потенциалы гравитационного поля для шара, движущегося с постоянной скоростью 
вдоль оси 
системы отсчёта 
. Будем исходить из так называемых потенциалов Лиенара-Вихерта [6, 7] для любой из материальных точек,
составляющих шар. Популярное изложение проблемы (для электромагнитного поля)
можно найти в книге Фейнмана [8]. Аналогично этому, дифференциальный скалярный
потенциал Лиенара-Вихерта для гравитационного поля от
материальной точки с массой 
имеет следующий вид:
,
(1)
где 
– гравитационная
постоянная,
– скорость
распространения гравитации,
вектор 
есть вектор,
соединяющий раннее положение материальной точки в момент времени 
, и точку 
, в которой определяется потенциал в момент времени 
. При этом должно выполняться равенство:
. (2)
Смысл равенства (2)
заключается в том, что за время 
гравитационное
воздействие от массы должно пройти путь 
со скоростью 
до точки 
для того, чтобы в этой
точке возник потенциал 
.
Пусть имеется некоторое
непрерывное распределение материальных точек, и при 
эти точки описываются
координатами 
, а центр распределения материальных точек совпадает с
началом системы отсчёта. Тогда при времени центр распределения
материальных точек передвинется вдоль оси в положение 
, а радиус-вектор произвольной точки распределения будет
равен 
. В ранний момент времени положение данной материальной точки
задаётся вектором 
. Поскольку 
, а также 
согласно (2), то для
квадрата 
можно записать:
.
(3)
Правая часть выражения
(3) представляет собой квадратное уравнение для времени . Найдя из (3) , можно затем определить из (2) и . Если учесть, что в (1) произведение векторов 
, то подставляя ещё в (1) , получаем следующее выражение [9]:
.
(4)
Согласно (4),
дифференциальный гравитационный потенциал в момент времени от точечной массы при её движении вдоль
оси зависит от начального
положения этой массы при . Если в (4) использовать расширенные преобразования Лоренца
для пространственных координат:
, 
, 
, (5)
и затем устремить
скорость 
к нулю, то получится
формула для потенциала в системе отсчёта 
, начало которой совпадает с точечной массой :
.
(6)
В (6) в системе отсчёта вектор 
в момент собственного
времени 
задаёт ту же самую
точку в пространстве, что и вектор в системе отсчёта в момент времени . Если ввести в рассмотрение гравитационный 4-потенциал 
, включающий в себя
скалярный потенциал 
и векторный потенциал 
[10],
то связь между скалярным
потенциалом (6) в системе отсчёта и скалярным
потенциалом (4) в системе отсчёта 
можно рассматривать
как следствие расширенных преобразований Лоренца в четырёхмерном формализме,
применяемых к дифференциальному 4-вектору потенциала
отдельной материальной точки. Данные преобразования осуществляются путём
умножения соответствующей матрицы преобразований на 4-вектор потенциала, что
даёт 4-вектор потенциала в другой системе отсчёта с её собственными
координатами и временем.
Поскольку в системе
отсчёта точечная масса
неподвижна, её векторный потенциал 
, и 4-потенциал имеет вид: 
.
Для перехода к системе
отсчёта , в которой система
отсчёта движется с постоянной
скоростью вдоль оси , используется матрица обратного частного преобразования
Лоренца [5]:
,
. (7)
Из (7) с учётом (6) и (5)
следуют соотношения:
,
, 
, 
.
(8)
Первое равенство в (8)
совпадает с (4), а дифференциальный векторный потенциал материальной точки
получается направленным вдоль её скорости движения.
После интегрирования (8) по всем точечным массам внутри шара на основе
принципа суперпозиции получаются формулы для потенциалов
гравитационного поля вокруг движущегося шара с
учётом запаздывания гравитационного взаимодействия:
, 
,
(9)
где – общий скалярный
потенциал движущегося шара,
– масса шара,
– координаты точки, в
которой определяется потенциал в момент времени (с условием, что при 
центр шара находился в
начале координат системы отсчёта),
– векторный потенциал
шара.
В (9) предполагается, что шар двигается вдоль оси 
с постоянной скоростью , так что 
, 
, 
. С помощью потенциалов поля можно
вычислить напряжённости гравитационного поля вокруг шара по формулам [10]:
,
, (10)
где 
есть напряжённость
гравитационного поля,
– гравитационное
кручение в лоренц-инвариантной теории гравитации
(гравимагнитное поле в гравитомагнетизме).
С учётом (9) и (10) находим:
, 
,
, 
, (11)
, 
.
Плотность энергии гравитационного поля определяется формулой
[10]:
. (12)
Полная энергия поля за пределами шара при постоянной скорости
движения не должна зависеть от момента времени. Положим в (12) и проинтегрируем
плотность энергии поля по всему внешнему объёму пространства. Для этого введём
новые координаты:
, 
, 
. (13)
Элемент объёма определяется формулой 
, где 
есть определитель
матрицы якобиана:
.
Отсюда следует, что 
. Интеграл по пространству от плотности энергии (12) будет
равен:
. (14)
Учтём, что за счёт лоренцевского
сокращения при движении вдоль оси шар должен
представляться эллипсоидом Хевисайда, уравнение
поверхности которого при следующее:
.
(15)
После подстановки (13) в (15) становится видно, что радиус 
при интегрировании в
(14) должен меняться от 
до 
, а углы 
и 
меняются так же, как и
в сферических координатах (от 0 до 
для угла , и от 0 до 
для угла ). Для энергии гравитационного поля за пределами движущегося
шара находим:
, (16)
где 
есть энергия поля
вокруг неподвижного шара.
Введём эффективную релятивистскую массу, связанную с энергией
поля движущегося шара:
. (17)
Рассмотрим теперь вопрос о плотности импульса гравитационного
поля:
,
(18)
где 
есть вектор плотности
потока энергии поля (вектор Хевисайда) [10].
Подставляя в (18) компоненты напряжённостей поля (11),
находим:
, (19)
,
.
Можно видеть, что компоненты плотности импульса
гравитационного поля (19) выглядят приблизительно так же, как если бы на шар со
стороны оси набегала жидкость,
перенося аналогичную плотность импульса – при встрече с шаром жидкость
растекается в стороны, чтобы слиться вновь на противоположной стороне шара.
Интегрируя компоненты плотности импульса гравитационного поля (19) по объёму за
пределами движущегося шара при аналогично (14),
получаем:
. (20)
,
.
В (20) суммарный импульс поля имеет лишь компоненту вдоль оси
. По аналогии с формулой для релятивистского импульса
коэффициент перед скоростью в (20) можно интерпретировать
как эффективную массу внешнего, передвигающегося вместе с шаром гравитационного
поля:
, (21)
где 
есть энергия внешнего
статического поля в системе отсчёта покоящегося шара.
Сравнение (21) с (17) даёт:
.
(22)
Несовпадение масс 
и 
в (22) демонстрирует
существование проблемы 4/3 для гравитационного поля в рамках
лоренц-инвариантной теории гравитации.
Гравитационное
поле внутри движущегося шара
Согласно [9] для
однородного шара с плотностью вещества 
(измеренной в
сопутствующей системе отсчёта), движущегося вдоль оси , потенциалы внутри шара (обозначенные индексом i ) зависят от времени и имеют следующий
вид:
, 
. (23)
С учётом (10) вычисляем внутреннюю напряжённость поля и
кручение:
, 
, 
,
, 
, 
. (24)
Аналогично (12) для плотности энергии поля находим:
. (25)
Из (25) вытекает, что минимальная плотность энергии внутри
движущегося шара достигается на его поверхности, а в самом центре при она равна нулю.
Интеграл от (25) по объёму шара при в координатах (13) с
элементом объёма даёт:
. (26)
Согласно теории относительности движущийся
шар представляет собой эллипсоид Хевисайда с
уравнением поверхности (15) при , и в координатах (13) радиус при интегрировании в (26)
изменяется от 0 до . С учётом этого для энергии гравитационного поля внутри
движущегося шара имеем:
, (27)
где 
есть энергия поля
внутри неподвижного шара радиуса .
Находим релятивистскую эффективную массу поля, связанную с
энергией (27):
. (28)
Подставляя в (18) компоненты напряжённостей поля (24),
находим компоненты вектора плотности импульса гравитационного поля:
, 
, 
.
(29)
Вектор, соединяющий начало координат и центр шара, зависит от
времени и имеет компоненты 
. Отсюда в точке, совпадающей с центром шара, компоненты
вектора плотности импульса гравитационного поля всегда равны нулю. При центр шара проходит
через начало координат, и в этот момент из (29) следует, что максимальная
плотность импульса поля 
достигается на поверхности шара, на окружности радиуса в плоскости 
, перпендикулярной линии движения шара. Это же следует и из (19).
Интегрируем компоненты плотности импульса гравитационного
поля (29) по объёму внутри движущегося шара при в координатах (13)
аналогично (20):
. (30)
,
.
Как и в (20), суммарный импульс поля (30) имеет лишь
компоненту вдоль оси . По аналогии с (21) коэффициент перед скоростью в (30) интерпретируем
как эффективную массу внутреннего, передвигающегося вместе с шаром
гравитационного поля:
, (31)
где есть энергия поля
внутри неподвижного шара.
Сравнение (28) и (31) даёт:
.
(32)
Связь (32) между массами поля внутри шара такая же, как и в
(22) для масс внешнего поля, то есть внутри шара тоже имеется проблема 4/3.
Заключение
Характерной чертой фундаментальных полей, к которым относятся
гравитационное и электромагнитное поля, является подобие их уравнений для
потенциалов и напряжённостей поля. Как было показано выше, внешние потенциалы (9)
гравитационного (и аналогично электромагнитного) поля движущегося шара по своей
форме подобны потенциалам точечной массы (точечного заряда) (8), и могут быть
получены как с помощью принципа суперпозиции потенциалов точечных масс внутри
шара, так и с помощью преобразования Лоренца. Мы представили также точные
потенциалы поля (23) внутри движущегося шара, для которых справедливы как
принцип суперпозиции, так и преобразования Лоренца.
Из изложенного выше видно, что проблема 4/3
является общей как для электромагнитного, так и для гравитационного поля.
Отсюда также следует, что учёт вклада энергии и импульса обоих полей в массу
движущегося тела должен осуществляться одним и тем же способом, с учётом
отрицательных значений энергии и импульса гравитационного поля и положительных
значений энергии и импульса электромагнитного поля.
Список использованных источников
1.
Heaviside, Oliver (1888/1894), "Electromagnetic
waves, the propagation of potential, and the electromagnetic effects of a
moving charge", Electrical papers, 2, pp. 490–499.
2. G. F. C. Searle : On the steady motion of an electrified ellipsoid. The Philosophical Magazine Series 5, 44 (269), 329-341(1897). doi: 10.1088/1478-7814/15/1/323.
3. S. Hajra, “Classical
Electrodynamics – Reexamined”, Indian Journal of Theoretical Physics, Vol.42,
No.2, 1991, p.164.
4. Fedosin S.G. Mass,
Momentum and Energy of Gravitational Field.
Journal of Vectorial Relativity, Vol. 3, No. 3,
September 2008, P. 30–35.
5. Федосин
С.Г. Физические теории и
бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009, 842
стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
6. Liénard A. M.
“Champ électrique et Magnétique,” L’éclairage électrique , Vol. 16, No. 27-29,
pp. 5-14, 53-59, 106-112 (1898).
7. E. Wiechert,
“Elektrodynamische Elementargesetze,” Archives Néerlandaises, Vol. 5, pp.
549-573 (1900).
8. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика. – М:
Мир, 1977.
9. Федосин
С.Г. Комментарии
к книге: Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009, 842
стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
10.
Федосин
С.Г. Физика
и философия подобия от преонов до метагалактик. Пермь, Стиль-МГ, 1999, 544 стр., Табл.66,
Ил.93, Библ. 377 назв. ISBN 5-8131-0012-1.
Источник:
http://sergf.ru/pg.htm