Canadian Journal of Physics, Vol.
93, no. 11, P. 1335-1342 (2015). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2015-0134
Эффект
"Пионера" в ковариантной теории гравитации
Федосин Сергей Григорьевич
г. Пермь, Пермский край, Россия
E-mail: intelli@list.ru
С целью объяснения эффекта «Пионера» используется различие уравнений движения в ковариантной теории гравитации и в общей теории относительности. Расчёты показывают, что скорости космических аппаратов в обеих теориях при одинаковых пройденных расстояниях могут различаться на несколько сантиметров в секунду. Это приводит также к возможному объяснению пролётной аномалии и возмущений комет, которые не учитываются общей теорией относительности.
Ключевые слова: эффект «Пионера»; ковариантная теории
гравитации; общая теория относительности; уравнение движения; пролётная
аномалия.
The Pioneer Anomaly in Covariant Theory of Gravitation
Sergey G. Fedosin
Sviazeva Str. 22-79, Perm, 614088,
Russian Federation
e-mail intelli@list.ru
Abstract: The difference of equations of motion in the covariant theory of gravitation
and in the general theory of relativity is used to explain the Pioneer anomaly. Calculation shows that the
velocities of a spacecraft in both theories at equal distances can differ by
several centimetres per second. This leads also to a possible explanation of
the flyby anomaly and comet disturbances which are not taken into account by
the general theory of relativity.
Keywords: Pioneer anomaly, covariant theory of gravitation, general theory of relativity, equation of motion, flyby anomaly.
PACS: 04.50.Kd, 04.20.Jb, 04.80.-y,
95.55.Pe
Résumé: Les differences entre les équations de mouvement dans la théorie
covariante de la gravitation et dans la théorie générale de la gravitation sont
utilisées pour expliquer “l'anomalie Pioneer”. Le calcul montre que les
vélocités des sondes spatiales dans les deux theories aux distances différentes
peuvent se différencier à plusieurs cm/s. Cela amène à l’explication possible
de l'anomalie “flyby” et aux perturbations de la comète qui ne sont pas pris en
compte dans la théorie générale de la relativité.
1. Введение
История с американскими космическими аппаратами «Пионер-10» и «Пионер-11» началась 2 марта 1972 года и соответственно 6 апреля 1973 года, в момент их запуска. Оба аппарата прошли в плоскости эклиптики всю Солнечную систему в двух противоположных направлениях, проходя вблизи различных планет. «Пионер-10» 4 декабря 1973 года достиг Юпитера, расположенного на расстоянии 5,2 астрономических единиц от Солнца (1 а.е. = 1,496·1011 м), в июне 1983 года прошёл Плутон (39,4 а.е.), в мае 2001 года он был на расстоянии 78 а.е., двигаясь со скоростью почти 13 км/c.
Начиная с расстояния около 20 а.е., когда в доплеровском сигнале от «Пионер-10» существенно уменьшился сдвиг скорости движения, вызванный давлением солнечной плазмы на аппарат, после учёта всех возможных других причин ускорений, остаточный сигнал от аппарата стал показывать наличие аномального ускорения к Солнцу величиной порядка 8·10–10 м/с2 [1]. Для «Пионер-11» подобное ускорение было около 8,6·10–10 м/с2 , у аппарата Ulysses на расстояниях 1,3 – 5,2 а.е. ускорение достигало (12 ± 3)·10–10 м/с2 , а у аппарата Galileo – 8·10–10 м/с2 .
Имеется несколько возможных объяснений для аномального ускорения космических аппаратов. Одно из них для «Пионера-10» и «Пионера-11» предполагает силу отдачи, связанную с анизотропной тепловой радиацией от двигателей [2-3]. Другие объяснения эффекта «Пионера» основываются на новых физических гравитационных механизмах [4-10].
Ковариантная теория гравитации (КТГ) является альтернативной теорией по отношению к общей теории относительности (ОТО). Далее мы представляем подход КТГ к проблеме эффекта «Пионера» и сравниваем его с подходом ОТО.
2. Метрический тензор в КТГ
Метрический тензор в сферических координатах 
, 
, 
, 
имеет следующий вид:
, (1)
и для функций 
мы предполагаем, что они являются только
функциями радиальной координаты 
как расстояния от центра массивного тела (где
находится начало системы отсчёта) до точки наблюдения, находящейся за пределами
тела.
Компоненты
метрического тензора 
следующие [11-12]:
, 
, (2)
, 
,
, 
, 
, 
,
где коэффициенты 
и 
не определяются из уравнений для метрики, что
ведёт к возможной их зависимости от свойств пробных тел в гравитационном поле,
– масса тела, около которого определяется
метрика,
– гравитационная постоянная,
есть скорость распространения гравитации.
Мы будем искать метрический тензор 
в декартовых координатах. Связь между
декартовыми и сферическим координатами выражается соотношениями:
, 
, 
. (3)
.
(4)
,
,
.
(5)
,
, 
. (6)
Соотношения (3) являются правилами, с помощью которых по известным сферическим
координатам 
находятся декартовые координаты точки. В силу
такого определения равенство (4) для декартовых координат будет выполняться и в
римановом пространстве.
В (6) у 3-вектора смещения пробного тела 
имеются проекции на три взаимно
перпендикулярные оси декартовой системы координат, равные 
, 
и 
.
Аналогичные проекции 3-вектора 
на три взаимно перпендикулярные оси
сферической системы координат равны 
, 
и 
. Один
единичный вектор сферической системы координат направлен вдоль радиальной
координаты 
, а
два других перпендикулярны ему и направлены вдоль меридианов и параллелей, где
и отсчитываются изменения углов 
и 
.
С учётом (6) симметричный по размерностям 4-вектор смещения (4-вектор дифференциала расстояния) в сферических координатах имеет вид:
. (7)
Для нахождения в декартовых координатах через его форму в
сферических координатах (2) надо учесть существующую связь между координатами и
компонентами 4-вектора смещения. В декартовых координатах , 
, 
, 
, и 
, так
что для получения 4-вектора смещения достаточно взять дифференциалы от
координат. Для сферических координат , 
, , , но
для получения соответствующего 4-вектора смещения недостаточно просто
использовать дифференциалы от координат, нужно ещё умножить их на некоторые
функции от координат, как это видно в (7). Только в этом случае становится возможным
производить сравнение 4-векторов смещения, выраженных в разных системах отсчёта.
Однако, как следует из метрики (2), различные компоненты метрического тензора в сферических координатах, а также и соответствующие коэффициенты Кристоффеля имеют разную размерность. Это значит, что и 4-вектор смещения в сферических координатах должен быть несимметричным по размерности и иметь вид:
.
(8)
В общем случае
преобразование 4-векторов и тензоров из одной системы отсчёта в другую
осуществляется с помощью матриц преобразования вида 
и 
, так
что для произвольного тензора справедливо преобразование от 4-координат 
к 4-координатам 
:
. (9)
Найдём матрицу преобразования 
такую, чтобы с её помощью 4-вектор (8)
преобразовывался в 4-вектор смещения в декартовых координатах. Если учесть
соотношения для дифференциалов (5), дающие выражения для соответствующих
частных производных, стоящих перед дифференциалами, то получим:
, (10)
, (11)
где 
из (8).
Для завершения перехода от сферических переменных к декартовым переменным
углы 
и 
в (10) следует ещё выразить через 
, 
и 
с помощью (3).
Применяя к тензору 
из (2) преобразование (9) с помощью 
из (10), находим соответствующий метрический
тензор в декартовых переменных:
, (12)
где 
.
После замены тригонометрических функций от углов 
и 
через , и с помощью (3) метрический тензор (12) в декартовых координатах становится таким:
. (13)
Поскольку для метрического тензора справедливо равенство: 
, где 
, то это позволяет отыскать 
по известному виду 
. В
частности, для каждой компоненты метрического тензора с ковариантными индексами
можно записать:
,
где 
– алгебраическое дополнение для компоненты
метрического тензора 
с контравариантными индексами, являющееся
минором матрицы тензора с соответствующим знаком,
детерминант метрического тензора , в
нашем случае 
.
Пользуясь данным правилом, находим :
. (14)
С помощью компонент метрического тензора (13) и (14) находим ненулевые коэффициенты Кристоффеля для декартовых координат:
,
, 
, 
, 
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, 
,
,
,
, 
, 
,
,
,
,
,
, (15)
здесь были использованы равенства типа 
, а
также 
, 
.
С помощью (14) и выражения для 4-вектора смещения 
находим квадрат интервала:
(16)
Выражение для квадрата интервала (16) согласно [11] совпадает с одной из двух
так называемых нормальных форм для декартовых координат [13]. Мы получили её,
не решая уравнений для метрики в декартовых координатах, а делая пересчёт из
метрики в сферических координатах.
Из (16) для дифференциала собственного времени пробного тела около массивного тела находим:
, (17)
где 
– полная скорость пробного тела,
и при выводе
(17) были использованы соотношения: 
, 
.
3. Уравнение движения в КТГ
В КТГ, в отличие от ОТО, имеются своё собственное уравнение движения пробных тел, что изменяет результаты расчётов. Мы будем использовать уравнение движения пробных тел в гравитационном поле, выведенное из принципа наименьшего действия для КТГ [11], [14-16]:
,
(18)
где 
– плотность массы в системе отсчёта, связанной
с пробным телом,
– 4-скорость пробного тела,
– плотность массового 4-тока,
– дифференциал собственного динамического
времени пробного тела,
–
тензор гравитационного поля,
–
символ Кристоффеля.
4-вектор 
в декартовых координатах можно представить
следующим образом:
,
(19)
где 
.
В статическом случае 4-вектор гравитационного потенциала имеет вид 
, где
скалярный потенциал 
. Это
даёт тензор напряжённостей гравитационного поля с компонентами:
. (20)
Подставляя (19) и (20) в уравнения движения (18) с учётом метрического
тензора (13) и ненулевых коэффициентов Кристоффеля (15), при значениях индекса 
получаем 4 уравнения движения в декартовых
координатах:
здесь указаны ненулевые члены, причём по повторяющемуся индексу 
, со
значениями 
,
делается как обычно суммирование.
Запишем уравнения для движения во времени и для движения вдоль оси 
в явном виде:
(21)
(22)
В (21)-(22) можно сократить плотность массы 
.
Путём внесения 
, 
, 
в (21) под знаки дифференциалов и последующего
суммирования с учётом равенства 
можно преобразовать уравнение (21). Тогда
после умножения всех частей равенства (21) на 
будет:
, (23)
здесь мы использовали равенство 
.
Равенство (22), с учётом соотношений:
,
,
может быть преобразовано в следующую форму:
(24)
Для движения
вдоль осей 
и 
соответственно получается:
(25)
(26)
В (24) – (26) величина 
есть полная, а 
– радиальная скорость пробного тела. В
дальнейшем будем рассматривать случай движения пробного тела около Солнца,
когда орбита всё время находится в экваториальной плоскости сферической системы
координат, и соответственно в плоскости 
декартовой системы координат. Тогда для
пробного тела 
,
скорость 
, в
(26) 
, и с
течением времени координата 
не меняется.
После сокращения на 
уравнение (23) можно проинтегрировать:
.
(27)
На бесконечности влиянием гравитации Солнца можно будет пренебречь и
полагать, что пробное тело движется инерциально. Тогда координатное время 
отличается от собственного времени пробного
тела 
только на лоренцевский фактор, так что можно
определить значение постоянной: 
,
где 
– скорость пробного тела на бесконечности.
Можно ещё уточнить, что скорость 
на бесконечности должна быть хотя бы в малой
степени направлена на Солнце, иначе пробное тело никогда не сблизится с ним.
Для упрощения дальнейшего решения перейдём в уравнениях (27), (24), (25)
к полярным координатам в плоскости движения пробного тела , в
центре этой системы координат находится Солнце. Подставляя 
и 
в (24) и (25), выражая полную скорость через
радиальную и тангенциальную составляющие скорости в виде: 
,
находим:
(28)
(29)
Мы можем избавиться от синусов и косинусов, если умножим (28) на 
, а
(29) на 
, а
затем соответственно сложим оба уравнения. Можно также умножить (28) на , а
(29) на , и
вычесть уравнения друг из друга. Результаты
будут таковы:
(30)
.
(31)
Уравнение (31) сразу интегрируется:
.
(32)
Из (32) видно, что при движении пробного тела сохраняется величина 
,
пропорциональная плотности орбитального момента импульса. Разделив (32) на (27), находим:
.
(33)
Так как квадрат полной скорости 
пробного тела в полярных координатах
складывается из квадрата радиальной компоненты 
и квадрата тангенциальной компоненты 
: 
, то
дифференциал собственного динамического времени (17) с учётом (33) будет равен:
. (34)
Из (34) и (27)
находим 
и затем 
:
. (35)
. (36)
После использования (32) в (30) получается:
. (37)
Подставим 
из (27) в (37):
. (38)
Фактически мы уже нашли в (36) через интервал, и нетрудно
проверить, что его значение является решением уравнения движения (38).
Так как
согласно (32) 
, то
разделив из (36) на 
,
находим уравнение движения пробного тела вблизи Солнца в полярных координатах:
. (39)
. (40)
Соотношение (40) является решением задачи в общем случае. Имеется частный
случай, в котором начальная скорость пробного тела равна нулю либо направлена прямо
на Солнце. При этом момент импульса пробного тела равен нулю, 
, и
угол падения пробного тела не меняется со временем. В остальных случаях при
движении пробного тела оно может в зависимости от направления и значения
начальной скорости приблизиться к Солнцу на некоторое минимальное расстояние 
и затем снова уйти от Солнца, отклоняясь на
какой-то угол. При расстоянии 
радиальная скорость становится равной нулю: 
. В
этот момент полная скорость пробного тела направлена перпендикулярно радиус-вектору,
направленного от Солнца, и равна тангенциальной составляющей скорости. Из (35)
при 
с учётом
соотношения (2) для 
видно, что постоянную 
можно найти через и начальную скорость, входящую через 
в (27):
. (41)
Мы можем сравнить релятивистское решение (40) с формулой для движения частицы в гравитационном поле центрального типа в классическом случае [17]:
, (42)
где 
– величина, пропорциональная полной энергии
частицы, на бесконечности равная 
,
– потенциал гравитационного поля.
Если в (40) пренебречь искривлением пространства-времени, положив 
,
исключив малые члены вида 
и 
, и
вычесть под корнем энергию покоя единицы массы, равную 
, то
(40) переходит в (42).
4. Уравнение радиального движения в ОТО
Стандартное уравнение движения пробного тела возле массивного тела в ОТО было описано, например, в [18]:
,
(43)
где 
есть собственное время движущегося пробного
тела согласно ОТО.
Поскольку интервал может быть выражен через дифференциал собственного
времени пробного тела в виде 
, то
(16) может быть записано так:
.
(44)
Ненулевые символы Кристоффеля для сферических координат будут следующие:
,
,
,
,
,
, 
, 
.
(45)
При 
в (43) и метрическом тензоре (1) только два
символа Кристоффеля в (45) не равны нулю: 
.
Используя 
и 
, используя определение 
и
умножая (43) на 
, находим:
, 
, 
, (46)
где 
– некоторая константа, которую удобно связать
с начальной скоростью на бесконечности. Действительно, на бесконечности 
, а
координатное время 
становится временем инерциальной системы
отсчёта, в которой движется частица с постоянной скоростью .
Тогда согласно специальной теории относительности, 
и 
.
Для движения частицы вдоль радиуса угловые координаты 
и 
не меняются, и 
. В
этом случае из (44) для координат и 
с учётом (1) и значения из (46) получается:
.
Согласно метрике Шварцшильда 
,
так что обозначая 
,
для радиального движения находим:
. (47)
В более общем случае, переходя от сферических координат к декартовым и затем к полярным координатам, как в предыдущем разделе, уравнения (43) можно привести к следующему виду:
.
(48)
, 
.
Данные уравнения используются в ОТО для описания плоского движения тел относительно неподвижного центра в полярных координатах.
5. Эффект
«Пионера»
5.1. Качественный подход
Предположим, что космический аппарат
удаляется от Земли и Солнца почти радиально, передавая на станцию слежения
радиосигнал известной частоты 
.
Вследствие эффекта Доплера частота, принимаемая на Земле, изменится до
величины:
,
(49)
где 
− скорость
движения аппарата относительно Земли,
− угол между
скоростью и направлением на приёмник излучения.
По мере удаления аппарата от Солнца при
выключенных двигателях под действием солнечного притяжения постепенно
уменьшается скорость , так что частота 
должна расти. Из (49) можно получить изменение
скорости аппарата и относительное изменение частоты за то время 
,
когда сигнал проходит путь от аппарата до Земли:
, (50)
где 
− полное ускорение аппарата.
Ускорение отрицательно, поскольку создаётся в основном
Солнцем и направлено к Солнцу, а скорость направлена под углом 
в сторону
от направления с аппарата на Солнце. Будем далее считать, что относительное
изменение частоты сигнала в (50) таково, что в нём учтены все возможные
источники ускорения и факторы, влияющие на результат. Тогда остаточный сигнал,
который ничем не моделируется, можно также представить формулой (50), в которой
на месте ускорения стоит величина аномального ускорения 
:
.
(51)
Оценить скорость аппарата в зависимости от радиального расстояния 
можно из уравнения его свободного радиального
движения в классической механике:
, (52)
где 
– масса Солнца.
Полагая в первом приближении движение аппарата чисто радиальным,
интегрируем данное уравнение: 
.
Допустим, скорость аппарата на расстоянии 87 а.е. была 12,2 км/с, отсюда
находим 
м2/c2. Следовательно,
при расстоянии 
а.е.
для скорости аппарата в приближении свободного радиального движения следует
положить около 14,7 км/с.
Объяснить эффект «Пионера» можно следующим образом. Из (35) в приближении
радиального движения, когда плотность момента импульса 
, и
при 
,
для радиальной скорости свободно летящего космического аппарата в КТГ можно
записать:
.
(53)
Если исходить из (52), при расстоянии 1 а.е. можно принять, что начальная
скорость равна 
м/с. Это даёт возможность оценить в (53)
значение постоянной 
, а
также найти скорости аппарата при различных расстояниях.
В ОТО имеем аналогичную формулу согласно (47):
. (54)
Подставляя в (54) 
м/с при 
а.е., находим 
. С
помощью (53) и (54) вычисляем скорости аппарата согласно КТГ и ОТО на разных
расстояниях для случая условно радиального движения. Результаты приведены в
Таблице 1.
Как видно, скорости аппарата в ОТО и в КТГ немного различаются. Если
аппарат стартует при 
а.е., то время его движения до 
а.е. будет порядка 
с
(это приблизительное значение получается путём деления пройденного расстояния
на среднюю скорость). За это время к положению при а.е. вследствие различных скоростей разница
между положениями аппарата согласно уравнений ОТО и КТГ вырастет до 
м.
Для передвижения аппарата от 5 до 10 а.е. соответственно требуется время около 
с,
что и указано в Таблице 1.
Таблица 1. Данные по движению космического аппарата
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4,361 |
|
|
|
|
5 |
2,196624147 КТГ 2,196620538 ОТО |
3,29 |
1,82 |
19,8 |
|
10 |
1,746714927 КТГ 1,746712488 ОТО |
13,2 |
3,79 |
18,3 |
|
15 |
1,568321059 КТГ 1,568319299 ОТО |
9,47 |
4,51 |
9,31 |
|
20 |
1,471033615 КТГ 1,471032248 ОТО |
7,69 |
4,92 |
6,4 |
Так как скорость аппарата в КТГ несколько больше, чем в ОТО, то при
измерениях по эффекту Доплера в каждый момент времени аппарат находится дальше,
чем полагается согласно ОТО. За счёт этой разницы в расстояниях скорость
аппарата, постоянно убывающая со временем из-за притяжения к Солнцу, становится
меньше, чем скорость аппарата согласно ОТО. Например, при расстоянии 
= 5
а.е. + 3,29·105 м согласно КТГ скорость аппарата в наших модельных
вычислениях будет 2,196478495·104 м/с, тогда как по ОТО аппарат
находится на расстоянии 5 а.е. и имеет скорость 2,196620538·104 м/с.
В результате с помощью эффекта Доплера у аппарата регистрируется скорость,
уменьшенная по отношению к данным ОТО. Данное уменьшение приписывается
аномальному ускорению, действующему по направлению к Солнцу.
В последнем столбце Таблицы 1 мы оценили аномальное ускорение по формуле:
.
Это ускорение означает, что аппарат находится как будто бы на меньшем
расстоянии на величину 
,
возникающем за время 
за счёт различия в скоростях. Расстояния в Таблице 1 вычислены по средней скорости
движения на каждом интервале движения, поэтому для общего итога надо сложить
все 
.
Это приведёт с течением времени к нарастанию расстояния между положениями
аппарата согласно ОТО и КТГ и к замедлению уменьшения аномального ускорения 
с расстоянием по сравнению с данными в Таблице
1. Как видно из Таблицы 1, значения аномального ускорения достаточно близки к
данным, полученным для эффекта «Пионера», при этом на малых расстояниях до 5–10
а.е. они маскируются ускорением от силы давления солнечного ветра.
5.2.
Аналитический подход
Попробуем теперь вывести для
аномального ускорения соответствующую формулу, снова для случая чисто
радиального движения. Положив в (35) 
,
для скорости аппарата в КТГ и для его текущего положения относительно Солнца
находим:
, (55)
(56)
где 
есть временная компонента метрики в КТГ,
,
где 
есть скорость аппарата на бесконечности,
радиальная координата 
является функцией времени 
движения от Солнца, а константа 
является параметром интегрирования.
Если в заданный момент времени 
известны радиальное расстояние 
и скорость 
, то
это позволяет вычислить в (55) и (56) постоянные 
и .
Так, в предыдущем разделе мы положили для
упрощения, что 
,
при 
аппарат был на расстоянии 
a.u., а
постоянная 
.
Эти данные могут быть использованы для оценки постоянной 
в (56).
Проинтегрируем теперь уравнение (54) для радиального движения в ОТО:
(57)
В (57) появляется постоянная 
,
которая вместе с постоянной 
должна находиться из начальных условий движения.
Предположим теперь, что мы
извлекли из (56) зависимость радиального
расстояния в КТГ как функцию от времени: 
.
Аналогично, из (57) можно определить зависимость
радиального расстояния в ОТО как функцию от времени: 
. В
первом приближении гравитационное ускорение Солнца зависит от радиального расстояния по формуле Ньютона, и для ускорений КТГ
и ОТО можно записать соответственно:
, 
.
Аномальное ускорение как функция
от времени радиального движения аппарата получается как разница этих ускорений:
.
Смысл этого равенства в том, что в
случае «Пионеров» вычисляемое в ОТО
ускорение 
является завышенным по абсолютной величине по
сравнению с измеряемым ускорением. Если ускорение 
в КТГ более точно описывает движение и
равняется измеряемому ускорению, то для его получения необходимо из ускорения
ОТО вычесть аномальное ускорение: 
.
6. Заключение
В ОТО гравитационное поле есть метрическое поле, описываемое метрическим тензором. В результате гравитационное поле не может генерировать метрику так, как это делает электромагнитное поле в уравнении для метрики, при этом метрический тензор калибруется с помощью Ньютоновского закона всемирной гравитации. Можно предположить, что такая калибровка не точна, так как закон Ньютона не учитывает релятивистских поправок.
С другой стороны, в КТГ гравитационное поле является фундаментальным
полем, которое имеет свой тензор энергии-импульса и может влиять на метрику в
уравнении для метрики. Компонента метрического тензора 
в КТГ зависит от энергии гравитационного поля
и вероятно, является более точной, чем 
в ОТО. Компонента метрики 
входит в уравнения движения и в КТГ и в ОТО,
но уравнения отличаются друг от друга.
С точки зрения КТГ эффект «Пионера» объясняется как результат применения уравнения движения, не совпадающего с уравнением движения в ОТО.
Все компьютерные расчёты, связанные с движением космических аппаратов, в обязательном порядке используют ОТО и учитывают влияние не только Солнца, но и других планет. Если верно уравнение движения КТГ, в эффекте «Пионера» нет аномального ускорения, а сам эффект обусловлен использованием ОТО вместо КТГ. На вероятную неточность ОТО указывает и то, что в сигнале от «Пионеров» были видны не моделируемые периодические изменения, связанные с суточным вращением Земли и с её годовым обращением вокруг Солнца. Из Таблицы 1 следует ещё, что скорости аппарата в ОТО и в КТГ при одинаковых расстояниях могут отличаться на несколько см/с. В то же время уже в нескольких статьях описывается так называемый fly-by эффект (пролётная аномалия), когда скорость космических аппаратов отличается от рассчитанных значений вплоть до единиц см/с [19-20].
Имеются также работы, например [21] – [23], согласно которым в движении комет Галлея, Энке и других после прохождения их возле планет обнаруживаются возмущения неизвестной природы, не учитываемые уравнениями ОТО (48). Можно предположить, что пересчёт движения космических аппаратов и комет с помощью уравнений КТГ (35), (36) и (40) улучшит ситуацию.
Список использованных источников
1. J.D. Anderson, P.A. Laing, E.L. Lau,
A.S. Liu, M.M. Nieto and S.G. Turyshev. Phys. Rev. D 65, 082004 (2002). doi:10.1103/PhysRevD.65.082004.
2. S.G. Turyshev, V.T.
Toth, G. Kinsella, Siu-Chun Lee, S.M. Lok, and J. Ellis. Phys. Rev. Lett. 108,
241101 (2012). doi:10.1103/PhysRevLett.108.241101.
3. D. Modenini and P.
Tortora. Phys. Rev. D 90, 022004 (2014). doi:10.1103/PhysRevD.90.022004.
4. G.U. Varieschi. Phys.
Res. Int. 2012, 469095 (2012). doi:10.1155/2012/469095.
5. A.F. Rañada and A.
Tiemblo. Can. J. Phys. 90, 931 (2012). doi:10.1139/p2012-086.
6. M.W. Kalinowski. CEAS
Space J. 5, 19 (2013). doi:10.1007/s12567-013-0042-9.
7. J.D. Anderson and J.R.
Morris. Phys. Rev. D 86, 064023 (2012). doi:10.1103/PhysRevD.86.064023.
8. G.S.M. Moore and R.E.M.
Moore. Astrophys. Space. Sci. 347, 235 (2013). doi:10.1007/s10509-013-1514-2.
9. P.C. Ferreira. Adv.
Space Res. 51, 1266 (2013). doi:10.1016/j.asr.2012.11.004.
10.
M.R. Feldman. PLoS ONE. 8, e78114 (2013). doi:10.1371/journal.pone.0078114.
11.
S.G. Fedosin. Fizicheskie teorii i beskonechnaia vlozhennost’ materii.
Perm. 2009.
12.
S.G. Fedosin. Int. Front. Sci. Lett. 1, 48 (2014).
13.
W. Pauli. Theory of Relativity. Dover Publications, New York. 1981.
14.
S.G. Fedosin. Adv. Nat. Sci. 5, 55 (2012). doi:10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023.
15.
S.G. Fedosin. Int. J. Thermo. 18, 13 (2015). doi:10.5541/ijot.34003.
16.
S.G. Fedosin. The concept of
the general force vector field. vixra.org, 28 June 2014. http://vixra.org/abs/1406.0173.
17.
L.D.
Landau and E.M. Lifshitz. Mechanics, Vol. 1, 3th ed. Butterworth–Heinemann,
Oxford, 1976.
18.
L.D.
Landau and E.M. Lifshitz. The Classical Theory of Fields, Vol. 2, 4th ed.
Butterworth-Heinemann, Oxford, 1975.
19.
J.D.
Anderson and J.G. Williams. Class. Quantum
Gravity. 18, 2447 (2001).
doi:10.1088/0264-9381/18/13/307.
20.
J.D.
Anderson, J.K. Campbell and M.M. Nieto. New Astron. 12,
383 (2007). doi:10.1016/j.newast.2006.11.004.
21.
F.L.
Whipple. Astrophys. J. 111, 375 (1950). doi:10.1086/145272.
22.
B.G.
Marsden. Planet. Space Sci. 57, 1098 (2009).
doi:10.1016/j.pss.2008.12.007.
23.
T.
Kiang. Mon. Not. R. Astron. Soc. 162, 271. (1973).
doi:10.1093/mnras/162.3.271.
Источник: http://sergf.ru/ap.htm