In English

 

 

Physica Scripta, Vol. 99, No. 5, 055034 (2024). https://doi.org/10.1088/1402-4896/ad3b45

 

 

Что мы должны понимать под 4-импульсом физической системы?

 

Федосин Сергей Григорьевич

ул. Свиязева 22-79, город Пермь, 614088, Пермский край, Россия

e-mail: fedosin@hotmail.com

 

Показывается, что в общем случае в искривлённом пространстве-времени ни одно известное определение 4-импульса не соответствует определению, в котором вклад в 4-импульс в явном виде дают все частицы и поля системы, включая поля за пределами вещества. Данный недостаток может быть устранён в предположении, что первичным представлением 4-импульса является сумма двух нелокальных 4-векторов интегрального типа с ковариантными индексами. Первым из этих 4-векторов является находимый через лагранжиан обобщённый 4-импульс, временная компонента которого в теории векторных полей пропорциональна энергии частиц в скалярных потенциалах полей, а пространственная компонента связана с векторными потенциалами полей. Второй 4-вектор представляет собой 4-импульс самих полей, и его временная компонента связана с энергией, задаваемой тензорными инвариантами. В результате 4-импульс системы определяется как 4-вектор с ковариантным индексом. Стандартный подход даёт возможность найти 4-импульс в ковариантном виде лишь для свободной точечной частицы. В отличие от этого, полученные формулы для вычисления компонент 4-импульса применяются к покоящейся и к движущейся релятивистской однородной системе, состоящей из множества частиц. При этом в учёт берутся основные собственные поля рассматриваемой системы, в том числе электромагнитное и гравитационное поля, поле ускорений и поле давления. Все эти поля рассматриваются как векторные поля, что позволяет однозначно определить уравнения движения самих полей и уравнения движения вещества в этих полях. Используемый формализм включает в себя принцип наименьшего действия, заряженные и нейтральные 4-токи, соответствующие 4-потенциалы и тензоры полей, что обеспечивает унификацию и возможность объединения полей в единое взаимодействие. В рамках специальной теории относительности показывается, что за счёт движения 4-импульс системы увеличивается пропорционально фактору Лоренца центра импульсов системы, при этом в веществе системы сумма энергий всех полей равна нулю. Вычисление компонент интегрального вектора в релятивистской однородной системе показывает, что так называемый интегральный вектор не равен 4-импульсу и вообще не является 4-вектором, хотя сохраняется в замкнутой системе. Таким образом, в теории релятивистских векторных полей 4-импульс не может быть найден через интегральный вектор и компоненты тензора энергии-импульса системы, в противоположность тому, как это предполагается в общей теории относительности.

Ключевые слова: обобщённый 4-импульс; 4-импульс поля; релятивистская однородная система; интегральный вектор.

 

What should we understand by the four-momentum of physical system?

 

Sergey G. Fedosin

PO box 614088, Sviazeva str. 22-79, Perm, Perm Krai, Russia

E-mail: fedosin@hotmail.com

 

It is shown that, in general, in curved spacetime, none of the known definitions of four-momentum correspond to the definition, in which all the system’s particles and fields, including fields outside matter, make an explicit contribution to the four-momentum. This drawback can be eliminated under the assumption that the primary representation of four-momentum is the sum of two nonlocal four-vectors of the integral type with covariant indices. The first of these four-vectors is the generalized four-momentum, found with the help of Lagrangian density. The time component of the generalized four-momentum, in theory of vector fields, is proportional to the particles’ energy in scalar field potentials, and the space component is related to vector field potentials. The second four-vector is the four-momentum of fields themselves, and its time component is related to the energy given by tensor invariants. As a result, the system’s four-momentum is defined as a four-vector with a covariant index. The standard approach makes it possible to find the four-momentum in covariant form only for a free point particle. In contrast, the obtained formulas for calculating the four-momentum components are applied to a stationary and moving relativistic uniform system, consisting of many particles. In this case, the main fields of the system under consideration are taken into account, including the electromagnetic and gravitational fields, the acceleration field and the pressure field. All these fields are considered vector fields, which makes it possible to unambiguously determine the equations of motion of the fields themselves and the equations of motion of matter in these fields. The formalism used includes the principle of least action, charged and neutral four-currents, corresponding four-potentials and field tensors, which ensures unification and the possibility of combining fields into a single interaction. Within the framework of the special theory of relativity, it is shown that due to motion, the four-momentum of the system increases in proportion to the Lorentz factor of the system’s center of momentum, while in the matter of the system the sum of the energies of all fields is equal to zero. The calculation of the integral vector’s components in the relativistic uniform system shows that the so-called integral vector is not equal to four-momentum and is not a four-vector at all, although it is conserved in a closed system. Thus, in the theory of relativistic vector fields, the four-momentum cannot be found with the help of an integral vector and components of the system’s stress-energy tensor, in contrast to how it is assumed in the general theory of relativity.

Keywords: generalized four-momentum; four-momentum of field; relativistic uniform system; integral vector.

 

1. Введение

По стандартному определению, принятому в теории относительности, 4-импульс физической системы есть 4-вектор следующего вида:

 

,                                                             (1)

 

где  есть энергия,  – скорость света,  – трёхмерный релятивистский импульс системы.

 

Определение (1) широко используется в механике в уравнении движения, где производная 4-импульса по собственному времени задаёт 4-силу, действующую на систему. Как , так и  являются аддитивными величинами, так что энергия получается путём суммирования энергий, содержащихся во всех элементах объёма системы. Что касается импульса системы, то он должен определяться путём векторного суммирования импульсов всех элементов объёма, включая и те, где нет вещества и имеется только поле.

Энергия и импульс системы, содержащей   частиц или отдельных элементов непрерывно распределённого вещества, могут быть выведены с помощью лагранжева формализма [1], для чего используется функция Лагранжа (Lagrangian)  как интеграл по бесконечному движущемуся объёму:

 

,                                                    (2)

 

,                                                     (3)

 

,                                                       (4)

 

здесь  – лагранжиан (Lagrangian density) как объёмная плотность функции Лагранжа,  есть произведение дифференциалов пространственных координат, величина  представляет собой детерминант метрического тензора ,  есть скорость движения частицы вещества с текущим номером ,  представляет собой трёхмерный импульс одного элемента объёма системы.

 

Подстановка (3) и (4) в (1) позволяет найти . Однако подобное определение 4-импульса является неудовлетворительным в том смысле, что оно не является прямым следствием лагранжева четырёхмерного формализма для 4-векторов и 4-тензоров. Насколько нам известно,  как 4-вектор не выражается в ковариантном виде ни с помощью функции Лагранжа , ни с помощью лагранжиана  , 4-импульс  просто конструируется вручную по формуле (1). Вместо этого в [2] можно найти ковариантное выражение 4-импульса, но лишь для одной свободной частицы, на которую не действуют внешние силы. При этом используется определение функции действии  с переменным верхним пределом интегрирования:

 

.                                                         (5)

 

.                                            (6)

 

Особенностью (5) является то, что верхний предел в интеграле по времени для функции действия не зафиксирован, в отличие от нижнего предела. Кроме этого, частица должна двигаться с нулевым 4-ускорением по некоторой истинной траектории согласно своему уравнению движения. При таких условиях вариация местоположения частицы в начальный момент времени равна нулю,, однако вариация в момент времени  нулю не равна. Согласно (6), 4-импульс  одной частицы оказывается 4-вектором с ковариантным индексом, в отличие от (1), где 4-импульс  системы частиц представляется как 4-вектор с контравариантным индексом.

В плоском пространстве-времени Минковского различие между 4-вектором с ковариантным индексом и тем же самым 4-вектором с контравариантным индексом заключается лишь в том, что их пространственные компоненты имеют противоположные знаки. В искривлённом пространстве-времени различие более существенно, так как для перехода к контравариантной форме 4-вектор с ковариантным индексом следует умножить на метрический тензор. В этом случае уравнения для частицы удобнее записывать через  (6), а не через , поскольку тогда метрический тензор не требуется. Это может существенно упростить решение уравнения движения, так как заранее метрический тензор может быть не известен.

В системе, состоящей из множества тесно взаимодействующих частиц, действуют различные силы и частицы приобретают некоторое 4-ускорение. Это нарушает условия, при которых действительно определение (6), так что суммирование 4-импульсов отдельных частиц может не дать суммарный 4-импульс  системы. Таким образом, для непрерывно распределённого вещества требуется другое ковариантное выражение как для 4-импульса отдельной частицы, так и для 4-импульса всей системы.

Согласно [3], ковариантное четырёхмерное уравнение Эйлера-Лагранжа должно иметь следующий вид:

 

,                                                      (7)

 

где  – 4-скорость,  – собственное время частицы,  – 4-радиус, задающий положение частицы.

 

Соотношение (7) является результатом вариации функции Лагранжа  в принципе наименьшего действия и представляет собой уравнение движения частицы. Для применения (7) необходимо знать зависимость  от значений  и  каждой индивидуальной частицы системы, что при большом количестве частиц оказывается затруднительно.

Величину  в (7) можно трактовать как 4-импульс произвольной частицы физической системы, величину  можно рассматривать как 4-силу, действующую на частицу, а полный 4-импульс должен получаться путём суммирования  отдельных  по всем частицам системы. Однако здесь возникает трудность с вкладом в 4-импульс от полей, выходящих за пределы вещества, и характеризующихся в функции Лагранжа с помощью интегралов по объёму от тензорных инвариантов. Дело в том, что выражение интегралов от тензорных инвариантов через 4-скорость частиц само по себе является достаточно сложной и нетривиальной задачей.

Существует совершенно другой подход к проблеме определения 4-импульса системы, связанный с общей теорией относительности. Так, в [2] можно найти следующее выражение:

 

,                                       (8)

 

где через  обозначены временные компоненты тензора энергии-импульса вещества и негравитационных полей, а через  обозначены временные компоненты псевдотензора гравитационного поля.

 

Утверждается, что величина  есть не что иное, как 4-импульс  физической системы с учётом вклада от гравитационного поля, причём в замкнутой системе  сохраняется. В связи с этим заметим, что для получения  необходимо исходить из уравнения движения в виде . Затем в это уравнение вводят такой псевдотензор гравитационного поля , чтобы от ковариантной производной перейти к частной производной. Уравнение движения приобретает вид , после чего оно интегрируется по объёму, приводя к (8).

Недостатком такого подхода является отсутствие доказательства того, что  действительно является 4-импульсом системы. Из (8) не следуют автоматически выражения (3) и (4) для энергии и импульса, и трудно понять, связано ли (8) с (6) или с  в (7). Более того, согласно [4] существует множество различных псевдотензоров гравитационного поля, дающих различные выражения для соответствующего , так что нет никакой гарантии, что хотя бы в одном случае выполняется равенство . Кроме этого, в [5] указывается, что в общей теории относительности не выполняется принцип соответствия, и инертная масса в общем случае в пределе слабого поля и малых скоростей не переходит в соответствующее выражение в теории Ньютона. Согласно [6], то же самое получается и для энергии, импульса и момента импульса системы.

В [7] было произведено сравнение вектора  с интегральным вектором, получаемым по формуле:

 

.                                                       (9)

 

Выражение (9) для интегрального вектора  справедливо для случая слабых полей и малых скоростей, когда в уравнении движения  ковариантную производную можно с небольшой погрешностью заменить на частную производную . Величина  со смешанными индексами в (9) задаёт временные компоненты тензора энергии-импульса системы, причём гравитационное поле рассматривается как векторное поле в рамках ковариантной теории гравитации [8]. Анализ вектора  показывает, что его временная компонента связана с суммой энергий всех полей системы, а пространственная компонента – с векторной суммой векторов потоков энергии полей. Если 4-импульс  задаёт энергию и импульс частиц и полей системы, то вектор  задаёт только энергии и потоки энергии полей.

По способу своего построения интегральный вектор  не является 4-вектором и может считаться четырёхмерным псевдовектором. Что касается вектора  в (8), то этот вектор обладает тем свойством, что нельзя одновременно выполнить два условия для замкнутой системы [9]: 1) Сохранение во времени суммы всех видов энергии, включая гравитационную энергию, задаваемую псевдотензором; 2) Независимость суммы всех видов энергии в данный момент времени от выбора системы отсчёта. В результате в [10] векторы типа  в общей теории относительности рассматриваются не как 4-векторы, а скорее как некоторые псевдовекторы, которые не могут задавать 4-импульс .

В связи с этим, целью данной работы является выведение ковариантной формулы для 4-импульса системы, действительной для искривлённого пространства-времени и для непрерывно распределённого вещества. Учёт последнего обстоятельства приводит к тому, что в расчётах вместо функции Лагранжа  на первое место выходит лагранжиан . В наш анализ будут включены четыре наиболее часто встречающиеся поля, такие как электромагнитное и гравитационное поля, поле ускорений [11] и поле давления [12], которые рассматриваются как векторные поля. Используемый нами лагранжев формализм позволяет рассматривать все эти поля как компоненты единого общего поля [13-15], при этом действующие в системе силы от каждого поля имеют один и тот же вид, подобный силе Лоренца.

Как мы покажем далее, выведенная формула для 4-импульса будет отличаться от известных стандартных определений. Кроме того, путём прямого расчёта интегрального вектора  будет показано его отличие от 4-импульса движущейся физической системы.

В Приложении A кратко описаны два способа представления 4-импульса  физической системы. В первом из этих способов необходимо вычислять энергию и импульс системы, а во втором способе 4-импульс  представляется суммой двух нелокальных интегральных векторов в виде . В Приложении B даются детали расчётов в соотношениях (119-122). В Приложении C представлен список используемых обозначений.

 

2. Методы

Прежде, чем рассматривать 4-импульс физической системы, необходимо определить обобщённый 4-импульс, являющийся основной частью 4-импульса.

При расчёте обобщённого 4-импульса будем исходить из лагранжева формализма для непрерывно распределённого вещества в четырёхмерной форме. В общем случае лагранжиан зависит от координатного времени , от 4-токов  и , от 4-потенциалов и тензоров полей в каждой точке поля, в том числе внутри частиц, а также от метрического тензора  и от скалярной кривизны :

 

,     (10)

 

где  задаёт точку наблюдения, в которой в данный момент времени находится типичная частица с номером ,   есть 4-скорость типичной частицы в этой точке.

 

Величины  в (10) обозначают 4-потенциалы электромагнитного и гравитационного полей, поля ускорений и поля давления, соответственно, а величины  представляют собой тензоры этих полей. С учётом (2) функция действия на интервале времени  с фиксированными пределами интегрирования равна:

 

.                                       (11)

 

После подстановки (10) в (11) можно произвести варьирование функции действия и получить уравнения для каждого поля, уравнение для метрики и уравнение движения частиц вещества [11], [16]. Кроме этого, для каждой типичной частицы получается четырёхмерное уравнение Эйлера-Лагранжа [17]:

 

.                                                  (12)

 

Величина  в (12) представляет ту часть лагранжиана , которая содержит массовый 4-ток  и зарядовый 4-ток , так как только 4-токи могут зависеть прямо от 4-радиуса  и от 4-скорости  частиц. Все остальные величины в лагранжиане, включая 4-потенциалы, тензоры полей и метрический тензор, становятся функциями от  и от  только после решения соответствующих уравнений и потому не дифференцируются в (12), ведя себя как постоянные.

Действительно, уравнение какого-либо поля получается лишь после варьировании лагранжиана в принципе наименьшего действия по 4-потенциалу соответствующего поля. Это уравнение даёт связь 4-тока, генерирующего поле, с тензором поля. Учитывая выражение тензора поля через 4-потенциал, уравнение поля можно представить также как связь 4-тока и 4-потенциала. При варьировании предполагается, что тензор поля прямо зависит только от 4-потенциала и от его производных. В качестве примера можно рассмотреть уравнения Максвелла для электромагнитного поля, решения которых дают либо электромагнитный тензор , либо 4-потенциал  как функции от 4-тока  с известной зависимостью  от времени, координат и скоростей.

С другой стороны, в (10) все величины в большой скобке предполагаются независимыми друг от друга с точки зрения процедуры варьирования этих величин. При этом  и  появляются в лагранжиане не прямо, а косвенно, поскольку от них зависят 4-токи  и . В итоге вариации 4-токов в лагранжиане сводятся к вариациям от  [8], [11], [18].

Особенностью (12) является то, что оно справедливо для малого интервала  , когда временные компоненты  4-скоростей частиц можно полагать неизменными. Если же интервал   нельзя считать малым, его следует разделить на малые временные промежутки и на каждом таком промежутке проводить синхронное варьирование функции действия и задавать усреднённые постоянные временные компоненты  4-скоростей частиц. С другой стороны, уравнение (12) можно понимать как уравнение для типичных частиц системы, в этом случае постоянство  для каждой из частиц получается автоматически как следствие усреднения параметров частиц в каждой точке системы.

В отличие от уравнения движения (7), в котором появляется 4-сила , уравнение движения (12) записано для скорости изменения плотности 4-импульса и для плотности 4-силы , действующей в единичном элементе объёма, в котором находится типичная частица.

 

3. Результаты

3.1. Обобщённый 4-импульс

С помощью (12) в [17] был определён обобщённый 4-импульс:

 

.              (13)

 

В (13)  есть объёмная плотность обобщённого 4-импульса, присутствующая в (12),  задаёт временную компоненту 4-скорости частиц в каждой точке интегрирования по объёму , занимаемому веществом. Кроме этого, используется соотношение из [2]:

 

,                               (14)

 

где  есть дифференциал собственного объёма любой из частиц непрерывно распределённого вещества, вычисляемый в сопутствующей частице системе отсчёта.

 

В замкнутой системе 4-вектор  сохраняется и представляет собой обобщённый 4-импульс всех частиц системы.

Кроме  в (13), может быть определена следующая четырёхмерная величина:

 

.                                      (15)

 

Величина  не является 4-вектором, но при условии постоянства  выражение (15) переходит в выражение (13) для . Как показывается в [17], для чисто векторных полей часть лагранжиана  такова, что пространственные компоненты  и  совпадают друг с другом и с точностью до знака дают релятивистский импульс  частиц, являющийся частью (4). Для вычисления  необходимо вместо всей функции Лагранжа  подставить в (4) её часть , связанную с 4-токами.

 

3.2. Энергия поля в веществе

Разрешив уравнения для полей и для метрики внутри вещества, мы можем выразить 4-потенциалы, тензоры полей, метрический тензор и скалярную кривизну через 4-радиусы  и 4-скорости  частиц системы. В этом случае внутри вещества лагранжиан (10) принимает вид . Учитывая это в (2) и используя (14), находим:

 

.           (16)

 

Кроме этого, можно записать:

 

.                                      (17)

 

Выражение (17) представляет собой производную функции Лагранжа  по координатному времени . Эта производная записана как производная от сложной функции в предположении, что  и  являются функциями от времени .

Изохронная вариация  функции Лагранжа  с учётом стандартного равенства нулю вариации координатного времени  выражается через вариации  и :

 

.                                           (18)

 

Так как , , то будет:

                (19)

 

 

В (19) было использовано варьирование произведения двух функций в виде

 

.

 

Подстановка  из (19) в (18) даёт следующее:

 

       (20)

 

Подставим  в (11) вместо , найдём вариацию действия и с учётом (20) приравняем её к нулю:

 

(21)

 

Действуя как в [17], будем считать, что в объёме каждой частицы временные компоненты  4-скорости частиц постоянны во время варьирования действия, так что  и последний член в (21) будет равен нулю. Для предпоследнего члена в (21) можно тогда записать:

 

       (22))

 

Равенство нулю в (22) следует из того, что вариации  в моменты времени  и  обращаются в нуль по условию варьирования. В (21) остаются первые два члена, разность которых должна быть равна нулю, как следствие  в принципе наименьшего действия. Это даёт следующее:

 

.                                                  (23)

 

Равенство (23) соответствует (7) с тем отличием, что вместо  используется функция Лагранжа  внутри вещества.

Выразим из (23)  и подставим в (17) с учётом соотношения :

 

                    (24)

 

Соотношение (24) можно записать так: , где

 

.                                                   (25)

 

Если лагранжиан  внутри вещества не зависит от времени, то  и тогда будет , , то есть величина  будет постоянна во времени и не зависеть от координат.

От суммы по частицам в (25) можно перейти к интегралу по объёму непрерывно распределённого вещества, выражая функцию Лагранжа  через лагранжиан  с помощью (16):

 

 

 

 

 

 

В представленном выше соотношении сумма  была заменена на сумму , в которой интеграл  берётся только по объёму одной частицы с номером . Это возможно потому, что производная  берётся только по 4-скорости  частицы с номером . Поэтому интеграл по объёму всех остальных частиц системы не зависит от 4-скорости частицы  с номером  и производная  для всех остальных частиц становится равной нулю.

После этого 4-скорость  вносится под знак интеграла  по инвариантному объёму  одной частицы, с учётом того, что  является постоянной в пределах объёма этой частицы. В интеграле  элемент объёма  не зависит от 4-скорости , поэтому производная  также вносится внутрь интеграла и действует там на .

Далее сумма  в выражении для  преобразуется в интеграл  по объёму всех частиц. Последующее использование выражение (14) для элемента объёма даёт:

 

                      (26)

 

 

 

 

 

В (21) мы предполагали, что временные компоненты  4-скорости частиц постоянны во время варьирования действия, В связи с этим временная компонента  4-скорости в (26) также рассматривается как постоянная величина при вычислении  производной  .

Из сравнения (25) и (3) видно, что величина  имеет размерность энергии. Чтобы лучше понять смысл , воспользуемся выражением лагранжиана для четырёх векторных полей [11], [19], состоящего из двух частей:

 

,                .                     (27)

 

(28)

 

где  – 4-потенциал электромагнитного поля, задаваемый с помощью скалярного потенциала  и векторного потенциала  этого поля,

 – зарядовый 4-ток,

– плотность заряда в сопутствующей частице системе отсчёта,

 – 4-скорость точечной частицы,

 – 4-потенциал гравитационного поля, описываемый через скалярный потенциал  и векторный потенциал  этого поля в рамках ковариантной теории гравитации,

 – массовый 4-ток,

 – плотность массы в сопутствующей частице системе отсчёта,

 – 4-потенциал поля ускорений, где  и  обозначают скалярный и векторный потенциалы, соответственно,

 – 4-потенциал поля давления, состоящий из скалярного потенциала