ДЕПОНИРОВАННАЯ РУКОПИСЬ

УДК 52

Принципы моделирования экстремальных состояний космических объектов. Энергетический подход / Федосин С.Г., Шахурдин В.И., Ким А.С.; Перм. ун-т. – Пермь, 2000. – 12 с. – Ил., библиогр. 4 назв. – Рус. – Деп. в ВИНИТИ

Работа посвящена определению областей существования составных космических объектов типа планет и звёзд, которые целиком обусловлены наличием квантовых состояний составляющих их частиц., то есть атомов, нуклонов и т.д. Приведены оценки экстремальных значений масс и размеров планет, белых карликов и нейтронных звёзд. Показано, что удельные орбитальные и спиновые механические моменты вращения планет Солнечной системы могут быть описаны с помощью квантовой формулы Бора для атома водорода.

Введение

Такие далёкие друг от друга системы, как атомы и звёзды, имеют между собой немало сходства. Например, в каждой системе можно найти массивный центральный объект, окружённый спутниками (атомное ядро и электроны, звезда и её планеты). При этом оказывается, что отношения масс между основными объектами и спутниками, характерные размеры и энергии соответствующих систем подобны друг другу. Исходя из теории подобия, мы применяем простейшую известную квантовую формулу Бора к планетам Солнечной системы и находим дискретность их параметров. Далее с помощью единого энергетического подхода делаются оценки экстремальных значений параметров планет и вырожденных звёзд и тем самым определяются области существования этих объектов. Во всех рассмотренных случаях состояния объектов полностью определяются их внутренней структурой и составом вещества.

Характеристики вращения планет

Рассмотрим орбитальные вращения планет в Солнечной системе с точки зрения квантовой теории Бора. Сама возможность такого подхода диктуется тем, что график зависимости орбитальных радиусов от номера планеты оказывается весьма гладкой кривой, как и зависимость состояний электрона в атоме водорода. Лишь Юпитер вследствие своей большой массы несколько выпадает из общей зависимости. По формуле Бора для атома водорода орбитальный момент электрона квантуется и равен: , где – целое число, – постоянная Планка. Для того чтобы исключить влияние большого разброса масс планет, используем эту формулу для расчёта удельных орбитальных моментов:

(1)

где – орбитальный момент, масса и номер планеты соответственно,

= 0,5 – коэффициент пропорциональности,

Дж·с – характерный момент импульса для звёздных систем,

кг – масса планеты-аналога электрона.

Величины определены с помощью теории подобия в [1]. Спин Солнца согласно [2], равен Дж·с и близок к величине .

Точность соотношения (1) не хуже 25 %. Поскольку планеты слабо взаимодействуют друг с другом, Солнечная система по (1) аналогична атому водорода с тем отличием, что число планет увеличено до 9 с расположением их на эквивалентных боровских орбитах. Хотя атомы и планетные системы звёзд являются разными объектами, дискретность орбит планет с неизбежностью вытекает из теории возникновения Солнечной системы при учёте гравитационных волн плотности вещества в допланетном диске, распределения в нём температуры и других факторов.

Покажем теперь, что в Солнечной системе квантуются и спины планет. Введём понятия характерного момента импульса и характерной скорости для любого объекта: ,

здесь – масса, – радиус объекта, определяется через энергию связи объекта : .

Для планет энергия связи равна половине гравитационной энергии:

. Тогда ,

здесь – коэффициент порядка 1,

для однородного шара,

– гравитационная постоянная.

Спин электрона обычно определяют через постоянную Планка как характерный момент импульса: . Аналогично для планет считаем, что спин пропорционален . Учитывая определения и , находим:

(2)

где = 0,25 – коэффициент пропорциональности, а спин планеты пропорционален номеру планеты .

Соотношение (2) неплохо выполняется для большинства планет, за исключением Меркурия (заторможен Солнцем) и Венеры, слабое обратное вращение которой по-видимому было вызвано какими-то сильными столкновениями.

Планеты наибольшей массы

Квантование масс и энергий атомов и элементарных частиц обнаружено довольно давно. Так как при переходе из одного состояния в другое квантовая система изменяет свою массу и энергию порциями или квантами, то это означает, что сами состояния являются выделенными какими-то законами природы. Для планет и звёзд также имеются выделенные состояния. Покажем например, что при рождении планетной системы образование планет с массой более массы Юпитера становится маловероятным. Мы можем считать, что образующиеся большие планеты состоят в основном из водорода. Пока масса мала, гравитационная энергия планеты и её тепловая (внутренняя кинетическая) энергия в расчёте на один нуклон не превышают энергии электрона в атоме водорода. И наоборот, если масса планеты велика, электронные оболочки атомов будут существенно сминаться под действием высокого давления в недрах планеты, а электроны начинают вырождаться как в белых карликах (БК). Поэтому для самых массивных планет в качестве граничного условия можно записать равенство модулей гравитационной и электростатической потенциальных энергий:

,

где – число нуклонов,

– масса нуклона,

– электрический заряд,

м – радиус Бора,

– электрическая постоянная.

Учитывая равенство объёмов: ,

при = 0,6 находим массу и радиус планеты:

кг (3)

= м (4)

где - масса и радиус Юпитера.

Видно, что Юпитер по своим параметрам действительно близок к планете с предельной массой.

Экстремальные значения параметров белых карликов и нейтронных звёзд

Имеется немало точных расчётов параметров БК и нейтронных звёзд с интегрированием уравнений равновесия вещества и учётом различных эффектов. Метод сравнения энергий и в этом случае позволяет обойтись без интегрирования и даёт неплохие результаты. Давление в недрах БК и нейтронных звёзд поддерживается вырожденными электронами и нейтронами соответственно. Размер ячейки, в которой находятся вырожденные частицы, равен:

(5)

здесь – число вырожденных частиц на 1 нуклон.

Рассматривая движение частиц в ячейке как движение в потенциальной яме, с помощью квантовой механики [3] можно оценить их минимальную энергию в расчете на 1 нуклон:

(6)

где – масса вырожденной частицы.

В соответствии с теоремой вириала можно считать, что половина модуля гравитационной энергии звезды равна кинетической энергии движения вырожденных частиц, то есть:

.

С учётом (5) и соотношения получаем:

(7)

Приведём (7) к стандартному виду, введя = – число нуклонов на одну вырожденную частицу, и отсчитывая массу звезды в единицах массы Солнца . Для БК в (7) равна массе электрона и для радиуса находим:

м. (8)

У водородной звезды = 1, у гелиевых и углеродных БК можно принять равным 2.

Для нейтронной звезды в (7) будет массой нуклона, а = 1 :

км.

Водородный БК не может быть массивнее, чем 0,07 – 0,08 , поскольку водород загорится в термоядерной реакции и возникнет звезда главной последовательности (ГП). Соответствующий верхний предел массы для гелиевых БК согласно [4] составляет не менее 0,31 .

На рисунке представлена зависимость радиуса от массы для больших планет и звёзд ГП. Большой точкой обозначена планета с наибольшими массой и радиусом по соотношениям (3), (4). Короткая жирная линия для водородных БК построена по соотношению (8) при = 1 , её пересечение с общей зависимостью для планет и звёзд ГП отмечено значком . Величина массы имеет значение порядка 0,056 и может считаться минимальной массой наблюдаемых звёзд. Только в последнее время благодаря улучшенной технике инфракрасных измерений было обнаружено большое количество таких звёзд с характерной массой 0,06 и температурой 1500-2000 К, названных L-карликами (смотри новости интернет в УФН.1998.Т.168.Вып.7.С.792.).

Обозначения: 1 – Уран, 2 – Нептун, 3 – Сатурн, 4 – Юпитер, l – планета с предельной массой, – минимальная масса БК, r – звезда ГП с массой ê – звёзды ГП.

Предел Чандрасекхара для параметров вырожденной звезды с ультрарелятивистскими частицами получается, если (6) приравнять энергии покоя носителей:

(9)

а также считать, что полная энергия звезды равна нулю:

, (10)

здесь – коэффициент, задающий долю гравитационной энергии по отношению к энергии покоя. Комбинируя далее (5), (9), (10) с учётом выражений , , находим массу и радиус:

(11)

(12)

Величина не зависит от массы вырожденных частиц. Для неводородных БК используя вместо массу электрона и при , = 1, получается:

, м.

Величину для массивных нейтронных звёзд можно оценить с помощью результатов из [1], где исследовалось равновесие чёрного тела из нуклонов и электромагнитного поля с учётом энергии нулевых колебаний и временной устойчивости нуклонов. Для энергии колебаний найдено пороговое значение , так что принимая в (9) = 1/6, при , , из (11), (12) находим: , км.

Заключение

Представленная цепь рассуждений однозначно приводит нас к следующему выводу: области существования составных космических объектов типа планет и звёзд целиком обусловлены наличием квантованных состояний составляющих их частиц, то есть атомов, нуклонов, электронов, фотонов и т.д. По-видимому, та или иная степень квантования свойств и дискретности состояний характерна для всех устойчивых и долгоживущих систем. Как для планет дискретность момента импульса возникает вследствие эволюции протопланетного вещества вблизи звезды, так и состояния самих звёзд определяются эволюцией их собственного вещества. При этом чем больше уровень вырождения частиц, чем больше плотность вещества, тем более вероятно сужение области существования составных объектов вплоть до дискретных состояний. Так, массы большинства изученных нейтронных звёзд лежат вблизи значения 1,4 . Это можно объяснить тем, что в предсверхновой коллапс ядра звезды начинается при вполне определённой массе ядра и мало зависит от массы оболочки. Приблизительно такая же масса получается и из (11) для предельной массы БК при = 2 , причём ядра предсверхновых близки по своим свойствам к БК.

Переходя теперь к элементарным частицам, можно заключить по методу индукции и теории подобия, что квантованность и дискретность их состояний также возникает благодаря сложной структуре и как следствие многокомпонентности внутреннего состава самих частиц.

Библиографический список

1. Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик. Пермь: Стиль-МГ, 1999. 544 с.

2. Аллен К.У. Астрофизические величины. М.: Мир, 1977. 446 с.

3. Ахиезер А.И. Атомная физика. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1988. 267 с.

4. Kox J., Salpeter E.E. Equilibrium models for helium-burning star. III. Semi-degenerate stars of small mass // Astrophys. J. 1964. Vol. 140. P.485-498.