In English

 

Iranian Journal of Physics Research, Vol. 25, Issue 3, pp. 61-87 (2025). https://ijpr.iut.ac.ir/article_3636_42baaa1a75b6c2906396b5b02f1bd012.pdf?lang=en,   https://doi.org/10.47176/ijpr.25.1.01981

 

Сравнение тензорной и векторной теорий гравитации

 

Федосин Сергей Григорьевич

ул. Свиязева 22-79, город Пермь, 614088, Пермский край, Россия

e-mail: sergey.fedosin@gmail.com

 

Физические величины в непрерывно распределённом веществе в искривлённом пространстве-времени, и уравнения для вещества и полей рассматриваются как с точки зрения тензорной теории гравитации, так и на основе векторной теории гравитации. В качестве примера в первом случае выступает общая теория относительности (ОТО), в которой используется скалярное поле давления и скалярное поле ускорений. Во втором случае в учёт берутся релятивистские векторные поля, включая ковариантную теорию гравитации, векторное поле давления и векторное поле ускорений. Для анализа и сравнения результатов в каждом подходе используются формулы, выведенные из принципа наименьшего действия и из соответствующего лагранжиана. Рассматривается проблема согласования скалярного давления с принципом наименьшего действия в общей теории относительности. Делается вывод о том, что результаты общей теории относительности при учёте скалярного давления справедливы для релятивистских однородных систем, но в более общем случае требуют коррекции. Анализируются три версии общей теории относительности – ОТО1, ОТО2 и ОТОm. Версия ОТО1 наиболее близка к стандартной общей теории относительности, версия ОТО2 точно следует принципу наименьшего действия, а версия ОТОm отличается тем, что в ней поле ускорений и поле давления представлены не как скалярные, а как векторные поля. Для всех версий общей теории относительности представлены уравнения для метрики, уравнения движения, уравнения для полей, формулы для энергии и импульса, вытекающие из лагранжева формализма. Даётся объяснение тому, откуда берётся и что представляет собой тёмная энергия в общей теории относительности.

Ключевые слова: Лагранжев формализм; интеграл движения; векторное поле; общая теория относительности; ковариантная теория гравитации; интегральный вектор.

 

Comparison of tensor and vector theories of gravitation

 

Sergey G. Fedosin

22 Sviazeva str., apt. 79, Perm, Perm Krai, 614088, Russia

E-mail: sergey.fedosin@gmail.com

 

Abstract: Physical quantities in continuously distributed matter in curved spacetime, and equations for matter and fields are considered both from the point of view of tensor theory of gravitation and on the basis of vector theory of gravitation. An example in the first case is the general theory of relativity (GTR), which uses a scalar pressure field and a scalar acceleration field. In the second case, relativistic vector fields are taken into account, including the covariant theory of gravitation, the pressure vector field and the acceleration vector field. To analyze and compare the results in each approach, formulas derived from the principle of least action and from the corresponding Lagrangian are used. The problem of correlating scalar pressure with the principle of least action in the general relativity is considered. The conclusion is drawn that results of the general relativity, when scalar pressure is taken into account, are valid for relativistic uniform systems, but in a more general case, they require correction. Three versions of general relativity were analyzed: GTR1, GTR2 and GTRm. The GTR1 version is the closest version to the standard general theory of relativity, the GTR2 version follows exactly the principle of least action, and the GTRm version is characterized by the fact that the acceleration field and pressure field are represented not as scalar fields but as vector fields. Equations for metric, equations of motion, equations for fields, formulas for the energy and momentum, which follow from the Lagrangian formalism, are presented for all versions of general relativity. An explanation is given of where dark energy comes from and what it is within general relativity.

Keywords: Lagrangian formalism; integral of motion; vector field; general theory of relativity; covariant theory of gravitation.

PACS: 04.20.-q; 04.20.Fy; 04.40.-b; 04.50.kd

 

1. Введение

Общая теория относительности представляет собой одну из наиболее развитых тензорных теорий гравитации. В общей теории относительности метрический тензор рассматривается как характеристика особого метрического поля, которое полностью описывает гравитационное поле. Тем самым свойства гравитационного поля и его действие сводятся к геометрии пространства-времени и к метрическому полю. Если в физической системе необходимо учесть действие какого-нибудь другого поля, то это другое поле должно делать свой вклад в метрический тензор и в метрическое поле, Каждое последующее поле изменяет метрический тензор и через него изменяет наблюдаемое действие других полей в системе. Таким образом получается, что все поля посредством метрики влияют друг на друга.

Благодаря включению гравитационного поля в метрическое поле, в общей теории относительности появляется особенность в том, как понимаются принцип общей  ковариантности (general covariance) и принцип соответствия. Принцип общей ковариантности подразумевает, что физические уравнения должны быть записаны таким образом, чтобы  вид этих уравнений не зависел от выбора системы отсчёта и от выбора системы координат. Согласно принципу соответствия, ковариантно записанные уравнения в стремящемся к нулю гравитационном поле должны переходить в соответствующие уравнения специальной теории относительности. В большинстве ситуаций именно гравитационное поле делает максимальный вклад в искривление пространства-времени. В более общем виде и особенно в альтернативных теориях гравитации, где гравитация определяется  независимо от метрики и действует несколько различных полей одновременно, принцип соответствия следовало бы сформулировать так: в слабых полях, которые делают незначительный вклад в искривление пространства-времени, ковариантно записанные уравнения должны переходить в соответствующие уравнения специальной теории относительности.

Как правило, принцип общей ковариантности выполняется, если уравнения записывать через инвариантные скалярные функции, 4-векторы и 4-тензоры. Для выполнения условий принципа соответствия уменьшают суммарную массу частиц системы и удаляются от источников внешних гравитационных полей так, чтобы негравитационные силы преобладали и вели себя так же, как в специальной теории относительности. В этом случае эффекты искривления пространства-времени становятся незначительными и гравитационные явления в движущихся системах должны соответствовать закону Ньютона с учётом преобразований Лоренца для гравитационной силы.

Пусть имеются ковариантные уравнения некоторой малой по размерам физической системы, и выбирается такая система отсчёта, в которой гравитационные явления в системе исчезают. В общей теории относительности такая ситуация приводит к принципу эквивалентности сил гравитации и сил инерции, и к равенству гравитационной массы и инертной массы для тел точечных размеров.

Однако в общем случае принцип эквивалентности нельзя рассматривать как единый общий принцип для каждой теории гравитации и особенно в том случае, когда рассматриваются тела, имеющие большие размеры. В больших телах гравитационное ускорение различно в каждой точке и направлено в различные стороны. Поэтому локально-инерциальные системы отсчёта, которые можно представить в каждой точке тела, будут ускорены друг относительно друга в разных направлениях. Это означает, что друг для друга локально-инерциальные системы отсчёта не являются инерциальными системами и не могут быть связаны друг с другом преобразованиями Лоренца. Такая ситуация не соответствует условиям принципа соответствия.

Поскольку в больших системах нельзя уменьшить массы этих систем, то в таких системах остаются значительные гравитационные поля. Следовательно, принцип эквивалентности выполняется лишь локально, в малых областях пространства-времени, но не для всей системы в целом. Поэтому равенство гравитационной и инертной массы, постулируемое для точечных тел, не может считаться точным для больших массивных тел. При этом инертная масса системы взаимодействующих частиц определяется внутренними свойствами системы и измеряется через ускорение центра импульсов системы при заданной силе. Гравитационная масса системы частиц находится другим способом, через взаимодействие системы с малым пробным телом известной массы, находящимся на некотором расстоянии от системы. Ввиду разницы в определении этих масс, предполагаемое равенство гравитационной и инертной масс системы, а также и само определение инертной массы системы, в общей теории относительности остаётся предметом дискуссии.

В отличие от общей теории относительности, в ковариантной теории гравитации, представляющей собой векторную теорию, гравитационное взаимодействие не сводится полностью к искривлению пространства-времени. При этом даже в идеальном случае, в плоском пространстве-времени Минковского, когда метрический тензор не зависит от времени и координат, сила гравитации полагается такой же самостоятельно существующей физической силой, как и электромагнитная сила.

В ковариантной теории гравитации исходят из 4-потенциала , который описывается через скалярный потенциал  и векторный потенциал  гравитационного поля. Через 4-ротор  находится тензор гравитационного поля , что позволяет определить тензор энергии-импульса гравитационного поля, включая энергию и потоки энергии поля [1].

Вместо этого в общей теории относительности исходят не из 4-вектора в виде 4-потенциала, а из 4-тензора, а именно из метрического тензора . Через производные от метрического тензора по координатам и времени выражаются символы Кристоффеля и тензор кривизны, с помощью которых задаются затем все эффекты гравитации.

В случае непрерывного распределения вещества во многих работах в общей теории относительности возникают затруднения, связанные с тем, что либо используется не ковариантный лагранжиан, либо применяются не четырёхмерные координаты и импульсы. С целью преодоления этих трудностей и выражения Гамильтониана в ковариантном виде, в [2] предлагается использовать DeDonder-Weyl формализм, при этом в учёт берутся четыре дополнительные аксиомы.

Анализ общей теории относительности и сравнение её с теорией векторных полей приводит к следующему. Прямое включение скалярного давления  в лагранжиан общей теории относительности оказывается затруднительным, так как отсутствует прямая связь вариации  с другими переменными при применении принципа наименьшего действия. В связи с этим в общей теории относительности отсутствует стандартное выражение для лагранжиана, из которого следовало бы ковариантное выражение как для  в четырёхмерной форме, так и соответствующее выражение для тензора энергии-импульса в непрерывной среде. Вместо этого предлагаются самые различные формы такого лагранжиана [3-5].

Cвязь гравитации с геометрией, сведение физики к математике создаёт в общей теории относительности дополнительные существенные проблемы. Среди недавних работ, направленных на решение этих проблем, можно указать на статью [6], в которой анализируются способы определения энергии и импульса гравитационного поля, делается попытка объяснить проблему космологической постоянной и найти закон сохранения энергии-импульса в общей теории относительности. В [7] энергия и импульс звезды оцениваются с помощью векторов Киллинга, при этом используется модель вещества как идеального флюида, в котором действует скалярное поле давления.

Самым крупным недостатком общей теории относительности является то, что в ней энергия и импульс системы как правило выражаются не стандартными формулами лагранжева формализма, а путём интегрирования по объёму временных компонент тензора энергии-импульса в сумме с компонентами гравитационного псевдотензора. Считается, что получаемая таким образом четырёхмерная величина (интегральный псевдовектор) даёт возможность найти 4-импульс системы. Однако если вычислить интегральный псевдовектор в теории векторных полей, то окажется, что такой псевдовектор описывает распределение энергии и потоков энергии полей системы и не является 4-вектором [8].

Действительно, в замкнутой стационарной системе с неизменной метрикой сохраняется не только энергия, импульс и момент импульса, но и конфигурация пространственного распределения энергии полей. При этом в общей теории относительности можно насчитать не менее 7 различных форм гравитационного псевдотензора [9], что приводит к различным интегральным псевдовекторам с несовпадающим пространственным распределением энергии полей и к проблеме интерпретации интегрального псевдовектора как однозначно заданного интеграла движения.

При построении космологических моделей в общей теории относительности возникает ряд проблем, связанных с космологической константой, с сингулярностями, с аномалиями космического микроволнового фонового излучения и с необходимостью введения таких понятий, как тёмная материя и тёмная энергия. С целью решения этих проблем появляются работы, в которых рассматриваются в том числе и вектор-тензорные теории гравитации [10-16], и показывается перспективность этих теорий для будущих исследований. Это может относиться и к ковариантной теории гравитации, являющейся векторной теории гравитации. В частности, в [17] была вычислена метрика за пределами массивного тела, характеризующая пространство-время в рамках ковариантной теории гравитации, а в [18] была найдена метрика внутри тела. Аналогичные расчёты могут быть сделаны и для определения метрики в космологии. В ковариантной теории гравитации находит объяснение эффект Пионеров, которого не должно быть согласно общей теории относительности [19].

Как известно, физическая система, состоящая из частиц с одинаковым отношением заряда к массе частицы, не может излучать дипольным образом. Это же относится и к излучению гравитационных волн системой из нейтральных массивных частиц. В ковариантной теории гравитации гравитационное дипольное излучение возможно от каждой ускоренной массы, однако суммарное дипольное излучение от замкнутой физической системы близко к нулю из-за взаимной компенсации противоположно направленных излучений частей системы. Остаётся квадрупольное излучение так же, как это следует и в общей теории относительности. Таким образом, и ковариантная теория гравитации и общая теория относительности предсказывают гравитационные волны квадрупольного типа от массивных космических объектов, недавно открытые и представленные в [20-21.

Как правило, при расчётах с помощью общей теории относительности давление в веществе рассматривается как скалярное поле. В простейшем случае неподвижного вещества предполагается, что скалярное изотропное давление  не влияет на плотность энергии во временной компоненте тензора энергии-импульса вещества. В отличие от этого, при расчётах с помощью ковариантной теории гравитации давление рассматривается как векторное поле, так что плотность энергии оказывается зависимой от скалярного потенциала поля давления [22]. Аналогичная ситуация складывается и в отношении поля ускорений, которое в общей теории относительности представляется как скалярное поле. Таким образом, лагранжиан общей теории относительности со скалярным полями в веществе существенно отличается от лагранжиана для векторных полей и ковариантной теории гравитации.

В [23] было показано, как векторные поля объединяются в единое общее поле. В концепции векторных полей удалось найти формулы для кинетической энергии и для распределения скоростей частиц внутри релятивистской однородной системы [24], а также вывести интегральную теорему обобщённого вириала [25], уравнение Навье–Стокса [22], уравнения движения частиц вещества [26], выражения для ковариантных аддитивных интегралов движения [27], вывести обобщённую теорему Пойнтинга и дать решение проблемы 4/3 [28], оценить параметры планет и звёзд [29], доказать интегральную теорему поля [30], найти обобщённый 4-импульс [31] и 4-импульс физической системы [8] в искривлённом пространстве-времени в непрерывно распределённом веществе.

Целью данной работы является использование лагранжева формализма [32] для анализа общей теории относительности, с указанием тех трудностей, которые появляются с точки зрения теоретического подхода. В частности, известная проблема общей теории относительности с определением массы, энергии и импульса системы в гравитационном поле решается путём использования вспомогательных величин, представляющих гравитационное поле как векторное поле.

Принцип наименьшего действия позволяет изучать физические системы и находить уравнения движения не только в Лагранжевой, но и в Гамильтоновой формулировке [33], [34]. Однако Лагранжева формулировка считается более фундаментальной [35], при этом хорошо известный лагранжиан для векторных полей нетрудно адаптировать для общей теории относительности. Это позволяет достаточно просто сравнивать результаты, полученные в общей теории относительности и в теории векторных полей.

В наших расчётах мы будем везде использовать сигнатуру метрики вида (+,–,–,–).

 

2. Методы

Рассмотрим особенности применения лагранжева формализма в общей теории относительности. Проштудировав множество работ, мы так и не обнаружили лагранжиан, который позволял бы однозначно выразить в четырёхмерном виде скалярное изотропное давление и давал бы при этом стандартный тензор энергии-импульса общей теории относительности для непрерывной среды. В результате нам пришлось самостоятельно сконструировать такой лагранжиан , состоящий из двух частей:

 

                         (1)

 

,        (2)

 

где  – 4-потенциал электромагнитного поля, задаваемый с помощью скалярного потенциала  и векторного потенциала  этого поля,

 – зарядовый 4-ток,

– инвариантная плотность заряда, определяемая в сопутствующей частице системе отсчёта,

 – 4-скорость частицы или элемента вещества,

 – временная компонента 4-скорости,

 – трёхмерная скорость частицы или элемента вещества,

 – скорость света,

 – массовый 4-ток,

 – инвариантная плотность массы, определяемая в сопутствующей частице системе отсчёта,

 – скалярная функция, зависящая от 4-тока  и метрического тензора ,

 – магнитная постоянная,

 – электромагнитный тензор,

, где ϰ есть гравитационная постоянная Эйнштейна,

 есть тензор Риччи,  и  обозначают скалярную кривизну и космологическую постоянную.

 

Лагранжиан  с компонентами  (1) и  (2) имеет небольшое отличие от стандартного лагранжиана общей теории относительности в [36-38] для вещества с учётом электромагнитного поля. Это различие заключается только в том, что в (1) введена скалярная функция . С учётом функции , исходя из принципа наименьшего действия, в уравнении для метрики и в уравнении движении вещества появляются те члены, которые можно связать со скалярным давлением  и с силой давления в веществе.

4-токи  и  в (1) являются 4-векторами, как это определено в [36-37], где также вычисляются и вариации этих 4-токов, необходимые в принципе наименьшего действия. При этом уравнения неразрывности имеют вид , . Ковариантные выражения 4-токов  и  точно соответствуют алгебре 4-векторов, поскольку они получаются умножением инвариантных скалярных величин  и  на 4-скорость .

Особенностью  (1) является прямая зависимость от 4-токов  и , тогда как в  (2) такой зависимости нет. Заметим, что член  в (1) при его интегрировании по инвариантному 4-объёму в функции действия и при последующем варьировании даёт тот же результат в принципе наименьшего действия, что и соответствующий член в [37].

В (1) существенно, что под знаком корня  массовый 4-ток  используется  всегда в виде контравариантного 4-вектора, а метрический тензор берётся как дважды ковариантный тензор . Именно благодаря такому выбору тензор энергии-импульса вещества в общей теории относительности получается с положительным знаком.

Далее нам понадобится лагранжиан  для четырёх векторных полей согласно [1], [22]:

 

.

 

,

(3)

 

где  – 4-потенциал гравитационного поля, описываемый через скалярный потенциал  и векторный потенциал  этого поля в рамках ковариантной теории гравитации,

 – 4-потенциал поля ускорений, где  и  обозначают скалярный и векторный потенциалы, соответственно,

 – 4-потенциал поля давления, состоящий из скалярного потенциала  и векторного потенциала .

 

 – гравитационная постоянная,

 – гравитационный тензор,

 – коэффициент поля ускорений,

 – тензор ускорений, вычисляемый как 4-ротор от 4-потенциала поля ускорений,

 – коэффициент поля давления,

 – тензор поля давления.

 

Аналогично уравнениям электромагнитного поля, уравнения гравитационного поля связывают гравитационный тензор  с массовым 4-током  и позволяют вычислить компоненты гравитационного тензора [1]. Уравнение для вычисления 4-потенциала  имеет следующий вид [26]:

 

,

 

где  представляет собой тензор Риччи.

 

Согласно (1-2), в лагранжиане общей теории относительности электромагнитное поле полностью учитывается как векторное поле, а гравитационное поле проявляется исключительно через метрический тензор  и потому определяется как тензорное поле. Поле ускорений имеет плотность энергии  и представляется как скалярное поле. Это видно из того, что в лагранжиане (1-2) отсутствует второй тензорный инвариант , связанный с векторным полем ускорений, тогда как в лагранжиане для векторных полей (3) этот тензорный инвариант имеется.

Одной из причин того, что в лагранжианах (1-3) представлено электромагнитное поле, является то, что и в ковариантной теории гравитации, и в общей теории относительности члены с электромагнитным полем имеют один и тот же вид. С другой стороны, электромагнитные поля имеют большое значение в физике релятивистских заряженных частиц и в астрофизике звёзд, особенно для белых карликов и нейтронных звёзд. Тем самым полученные в данной работе результаты могут быть полезны при анализе явлений с участием электромагнитных полей.

Заметим, что 4-скорость  является частным и предельным случаем 4-потенциала  поля ускорений, когда каждая частица рассматривается как точечное твёрдое тело, движущееся по инерции. Выражение  в (1) по своему смыслу соответствует члену  в лагранжиане (3) для векторных полей. Таким образом. векторное поле ускорений в лагранжиане (3) для векторных полей включает в себя скалярное поле ускорений общей теории относительности в (1) как частный случай.

Плотность массы , плотность заряда  и скалярная функция  в (1) являются инвариантными величинами, так как задаются в системе отсчёта, сопутствующей рассматриваемому элементу вещества. Это означает, например, что плотность массы  выражена через тензорный инвариант и потому является скалярной функцией. Хотя  в каждой системе отсчёта 4-ток  и 4-скорость  элемента вещества имеют свои собственные значения, но тензорный инвариант этих величин всегда задаёт плотность массы, равную плотности массы  в сопутствующей системе отсчёта. Аналогичные рассуждения применимы и для функции .

Нашей целью будет найти уравнение для метрики в общей теории относительности, вывести формулы для энергии и импульса, получить уравнение движения и связать функцию  со скалярным изотропным давлением  в веществе.

Рассмотрим вначале, как получается уравнение для метрики. Поскольку 4-токи  и , 4-потенциал , и метрический тензор  при варьировании являются независимыми переменными, вариация  (1) по метрическому тензору  запишется так:

 

.              (4)

 

Так как в (4) , то вариация  по метрическому тензору  и соответствующая функциональная производная будут равны:

 

.

 

.                                            (5)

 

Для вариации  (2) по метрическому тензору  и для соответствующей функциональной производной можно записать аналогично [36], [38]:

 

 

.                                                (6)

 

С учётом (5-6) найдём производную всего лагранжиана  по метрическому тензору в общей теории относительности:

 

.                          (7)

 

В соответствии с принципом наименьшего действия, для нахождения уравнений движения частиц и полей следует приравнять к нулю вариацию действия :

 

.                                (8)

 

В (8)  есть функция Лагранжа, находимая путём интегрирования лагранжиана  по движущему объёму системы. Поскольку , из (8) следует выражение

 

.                (9)

 

Метрический тензор  входит в набор независимых переменных, по которым осуществляется варьирование лагранжиана. Мы можем считать, что лагранжиан  в (1-2) зависит от следующих переменных

 

.                                               (10)

 

Следовательно,

 

.                  (11)

 

Подстановка (11) в (9) даёт:

 

(12)

 

 

 

Уравнение для метрики следует из равенства нулю последнего члена в квадратной скобке в (12):

 

.                                                     (13)

 

Подстановка (1-2) и (7) в (13) даёт следующее:

 

               (14)

 

 

 

Запишем стандартное выражение для тензора энергии-импульса электромагнитного поля , а также выражение для тензора  энергии-импульса вещества с учётом скалярного давления , которое применяется в общей теории относительности в пределе непрерывной среды:

 

.                                       (15)

 

.                                             (16)

 

Подстановка (15-16) в (14) с учётом соотношения  даёт:

 

 

(17)

 

Свернём уравнение для метрики (17) путём умножения на  и учтём выражение  (16), а также соотношения , ,  :

 

.                            (18)

 

В разделах 3.1 и 3.2 мы обратимся к уравнениям (17-18) в связи с вопросом калибровки энергии и определения смысла космологической постоянной .

Согласно [8], энергия физической системы записывается так:

 

.     (19)

 

В (19)  есть скорость частицы или элемента вещества системы с номером , величина  есть функция Лагранжа, связанная с лагранжианом . Подставляя в (19)  (1) и (2), с учётом равенства  находим:

 

(20)

 

Если потенциалы  и  электромагнитного поля зависят от скорости, то члены с частными производными  в (20) не будут равны нулю. В ряде случаев можно считать, что сумма  не зависит прямо от скорости  частиц, однако временная компонента  4-скорости частиц в общем случае зависит от скорости . Действительно, в пределе специальной теории относительности .

 

 

Согласно [8], релятивистский импульс системы выражается формулой:

 

.                                   (21)

 

Подстановка в (21)  (1) и (2) с учётом соотношения  даёт:

 

(22)

 

 

 

Для получения уравнения движения частиц необходимо вычислить такую вариацию действия в (9), которая содержит лишь вариации 4-токов, и приравнять эту вариацию к нулю. Следовательно, в (9) необходимо использовать лишь первый интеграл в правой части:

 

.                                       (23)

 

Вариация лагранжиана  по 4-токам сводится к вариации от , так как  (2) не зависит от 4-токов. С учётом (1) для вариации  по 4-токам находим:

 

(24)

 

Согласно [36], вариации 4-токов равны:

 

,

 

.                (25)

 

Подставим в (24)  и  из (25), а затем подставим  в (23) вместо :

 

          (26)

 

Действуя как в [36], в Приложении A в (A11) были найдены вариация действия и уравнение движения:

 

.

 

.                                    (27)

 

Учитывая в (27) выражение для 4-тока , запишем уравнение движения через оператор производной по собственному времени :

 

.                                    (28)

 

В общей теории относительности используется тензор  энергии-импульса вещества с давлением . При этом уравнение движения находится путём взятия дивергенции этого тензора: . Учитывая выражения для  (15) и для  (16), используя  известное равенство для электромагнитного поля , выразим уравнение движения  через давление:

 

.                                     (29)

 

Уравнение (29) есть уравнение движения в общей теории относительности для заряженного вещества в скалярном поле давления , в электромагнитном поле с тензором  и в гравитационном поле, определяемом через метрический тензор.

При выводе уравнения движения (27) мы использовали вариации  и  (25). Согласно [36], выражения для этих вариаций справедливы при условии, что для 4-токов выполняются уравнения непрерывности: , . Используя уравнение непрерывности , подставим  из (29) в (27). Это приводит к следующему:

 

.                             (30)

 

Если умножить (30) на , левая часть в (30) с учётом равенств ,  обратится в нуль:

 

.                  (31)

 

Для правой части (30) после умножения на  с учётом равенств ,  получается следующее:

 

(32)

 

Из (30-32) следует, что уравнения движения (27) и (29) будут совместимы при условии, что в (32) . Тогда из уравнения непрерывности  следует, что в рассматриваемой системе должно быть , то есть плотность массы  должна быть постоянной в сопутствующей каждому элементу вещества системе отсчёта. Это означает, что  не должна зависеть от времени и от координат в пределах каждого элемента вещества.

Указанные ограничения на совместность уравнений движения (27) и (29) показывают, что уравнение (29) в общем случае не является полным описанием движения реального вещества. Это же относится и к тензору энергии-импульса  (16), который в таком случае должен содержать дополнительные уточняющие члены.

Соотношение (30) можно рассматривать как уравнение для определения величины . Так, при условии , частным решением (30) является . Для доказательства этого при  следует, кроме условия  , учесть в (30) соотношения:

 

,           ,            .             (33)

 

Условие  эквивалентно условию , чему соответствует вещество с однородной плотностью, например, несжимаемая жидкость или тело, плотно составленное из одинаковых твёрдых песчинок с постоянной плотностью массы.

Для свободного вещества без электромагнитного поля и без учёта давления из (29) следует:

.

 

.

 

.               (34)

 

Уравнения (34) для ковариантного 4-ускорения  и контравариантного ускорения  показывают, что свободное вещество в отсутствие внешних полей и без учёта внутреннего давления движется с нулевым 4-ускорением по так называемой геодезической линии. Это означает, что гравитационное поле меняется синхронно с изменением метрического тензора таким образом, что малые пробные частицы при прочих равных условиях движутся одинаково и независимо от их массы. Однако в присутствии внешних негравитационных полей, с учётом давления и для достаточно больших пробных частиц (34) будет уже не справедливо.

Последнее следует из того, что метрика внутри пробной частицы возникает не только от действия внешнего гравитационного поля, в котором движется частица, но и от собственного гравитационного поля частицы. Гравитация неизбежно изменяет внутреннее давление  в веществе, градиенты давления создают внутренние силы и 4-ускорение становится отличным от нуля. Уравнения (34) являются уравнениями движения одиночной точечной частицы, но не реального вещества, для которого следует использовать (27) совместно с (30) для определения связи функции  с давлением  .

Наличие электромагнитного поля сказывается в общей теории относительности двояко – с одной стороны, изменяется метрический тензор и соответствующее ему гравитационное поле, с другой стороны, заряженные частицы испытывают силу Лоренца и генерируют электромагнитное излучение. Таким образом в общем случае движение нейтральных и заряженных частиц существенно отличается друг от друга.

Полученные выше результаты не изменятся, если в качестве  взять следующее выражение:

 

                       (35)

 

В (35) используется величина  вместо  в (1), при этом результат варьирования действия остаётся тем же самым.

 

3. Результаты

3.1. Вариант ОТО1

В этом разделе рассмотрим вариант теории, названный нами ОТО1, который максимально приближен к стандартной общей теории относительности. При анализе ОТО1 мы будем опираться на результаты Раздела 2, полученные из принципа наименьшего действия.

Уравнение для метрики в общей теории относительности, содержащее космологическую постоянную , выглядит следующим образом [36-39]:

 

,                  (36)

 

где тензор  есть сумма тензора (16) энергии-импульса вещества и тензора (15) энергии-импульса электромагнитного поля, .

 

Следует заметить, что левая часть (36) состоит из геометрических величин, связанных с метрикой пространства-времени, а физические величины сосредоточены в правой части (36). Коэффициент  перед тензором энергии-импульса  в (36) выбран из того условия, чтобы общая теория относительности в пределе слабого поля воспроизводила закон гравитации Ньютона. Однако тем самым заранее исключаются те малые добавки, которые могут присутствовать в величине коэффициента . Это означает, что фактически коэффициент  следует считать неизвестной величиной, которая должна выводиться из самой общей теории относительности и из эксперимента, без опоры на менее точную теорию Ньютона. В связи с этим в теории векторных полей, которая будет рассматриваться в разделе 3.4, предполагается, что , где  есть постоянный коэффициент, подлежащий определению.

Приравняем одинаковые члены в (36) и (17) и умножим результат на . Из этого следует, что оба уравнения совпадут при следующем условии:

 

.                     (37)

 

Свернём уравнение (36) путём умножения на  с учётом выражений тензоров (15-16):

 

.                                             (38)

 

Подстановка  из (37) в (38) позволяет выразить скалярную кривизну  внутри вещества физической системы через  :

 

.                            (39)

 

Равенство (39) совпадает с (18). Подставим далее  из (38) в (36):

 

.                             (40)

 

Путём решения уравнения (40) можно вычислить метрический тензор внутри вещества и определить скалярную кривизну . Далее при известной величине  из (38) находится . Если решено уравнение (30) и определена функция , то из (39) получается выражение для .

Рассмотрим ситуацию за пределами вещества. В этом случае согласно (37) будет справедливо равенство: . Из (38) следует тогда равенство . Уравнение для метрики (36), а также уравнение (17) примут следующий вид:

 

.                                                (41)

 

В (41) тензор  энергии-импульса электромагнитного поля изменяет кривизну пространства-времени за пределами вещества. Решением уравнений (40-41) является зависимость метрического тензора от координат и времени, причём в точках на поверхности, окружающей вещество, компоненты метрического тензора в обоих уравнениях ввиду их равенства должны сшиваться друг с другом. Это даёт возможность определить часть неизвестных постоянных в решениях для метрического тензора внутри и снаружи вещества.

Обратимся теперь к формуле для энергии системы (20) и заменим в ней  через  с помощью (39). Учитывая, что , для энергии внутри вещества находим:

 

(42)

 

 

 

За пределами вещества согласно (39) , так что энергия (20) запишется так:

 

.                    (43)

 

Для определения энергии системы с помощью (42-43) нужно знать зависимость скалярной кривизны  от координат и времени, то есть вначале надо решить уравнения для метрики (40-41). При вычислении суммарной релятивисткой энергии физической системы требуется сложить энергии (42) и (43): . Поскольку (43) может быть получена из (42) при ,  и , то есть в отсутствие вещества, то (42) будет общей формулой для энергии в стандартной общей теории относительности.

Присутствие скалярной кривизны  в формулах для энергии (42-43) необходимо для того, чтобы через метрику учесть вклад гравитационной энергии в суммарную энергию системы.

Релятивистский импульс  системы согласно (22) зависит от скалярной кривизны  и космологической постоянной  только через сумму . После вычисления энергии  и  импульса  можно определить 4-импульс системы, определённый в [8] в виде . Уравнением движения вещества в версии ОТО1  является уравнение (29).

 

3.2. Вариант ОТО2

В данном разделе мы будем исходить не из уравнения (36) для метрики стандартной общей теории относительности, а из результатов вывода общей теории относительности с помощью лагранжева формализма в разделе 2. Это приведёт нас к новой версии общей теории относительности, которую мы обозначим ОТО2.

Выразим  из (18), а также  из (16) и подставим в (17):

 

.          (44)

 

Перенося в (44) из правой части в левую часть член, содержащий , с учётом коэффициента  получаем уравнение для метрики:

 

        (45)

 

В левой части (44) содержится тензор Эйнштейна , умноженный на . Известным свойством этого тензора является то, что его дивергенция равна нулю: . Следовательно, дивергенция правой части (44) также должна быть равной нулю:

 

.      (46)

 

В (46) использовано то, что при ковариантном дифференцировании метрический тензор ведёт себя как константа, а также то, что  . Подставим в (46) уравнение движения (27) и учтём равенство для электромагнитного поля , уравнение непрерывности  и равенство :

 

       (47)

 

Возьмём теперь ковариантную производную  от обеих частей (17) и учтём, что для космологической постоянной должно быть . Используя в правой части (17)  из (16) и равенство , находим:

 

.              (48)

 

Сравнение (48) с уравнением движения (27) даёт:

 

.                (49)

 

Умножение (49) на 4-скорость  приводит к следующему:

 

.                                 (50)

 

Мы можем считать, что (45), (47) и (49-50) являются системой уравнений для одновременного нахождения функции  и метрического тензора . После того, как будут найдены  и , можно будет использовать их в уравнении движения (27).

Если выразить  из (18) и подставить в (20), получится выражение, совпадающее с энергией (42) в версии ОТО1. Точно также, остаётся неизменным и выражение для импульса (22).

За пределами вещества из (18) следует, что , и уравнение для метрики (44) становится таким же, как в (41) в версии ОТО1. В этом случае согласно (47)  и можно считать, что скалярная кривизна  является постоянной величиной. Внутри же вещества скалярная кривизна является скалярной функцией координат и времени.

 

3.3. Анализ версий ОТО1 и ОТО2

Рассмотрим вначале версию ОТО1. По определению, космологическая постоянная  не зависит от времени и координат, что учитывается при варьировании в принципе наименьшего действия. Из (37) следует, что величина  равна космологической постоянной  лишь за пределами вещества. Внутри же вещества  оказывается уже не постоянной и становится некоторой скалярной функцией, зависящей от координат и времени, так что . Последнее относится и к скалярной кривизне  согласно (38).

Перепишем уравнение для метрики (40) через тензор Эйнштейна , для чего вычтем величину  из обеих частей (40) с учётом коэффициента :

 

.                                (51)

 

Возьмём ковариантную производную  от обеих частей (51). Ковариантная производная левой части будет равна нулю, так как  в силу свойства тензора Эйнштейна. С другой стороны, ковариантная производная тензора энергии-импульса равна нулю, , что приводит к уравнению движения (29). С учётом аддитивности ковариантной производной в отношении суммы тензоров, для оставшихся в правой части (51) членов имеем:

 

.                                              (52)

 

Уравнение (52) представляет собой дополнительное ограничение на величину скалярной кривизны  внутри вещества в ОТО1 и связывает  с плотностью вещества и с давлением.

В стандартной общей теории относительности исходят из того, что первичным является уравнение для метрики (36). Однако мы можем согласиться со справедливостью (36) лишь в случае незаряженной пылевидной материи в отсутствие давления между частицами и при постоянной плотности массы , когда тензор энергии-импульса вещества имеет вид . В этом случае согласно (37) будет , и тогда из равенства нулю дивергенции правой части (36) следует уравнение движения вещества , причём это уравнение совпадёт с уравнением движения (34) свободного вещества.

В случае же непрерывно распределённого вещества со скалярным давлением мы не смогли найти лагранжиан, который давал бы в результате применения принципа наименьшего действия уравнение (36) для метрики в общей теории относительности при одновременном выполнении двух условий: 1) В(36) должен присутствовать тензор энергии-импульса ; 2)  должна быть не скалярной функцией, а постоянной величиной и настоящей космологической постоянной. Из анализа литературы складывается впечатление, что тензор энергии-импульса  вставлен в уравнение для метрики (36) «вручную», просто по аналогии со случаем незаряженной пылевидной материи, без точного вывода из принципа наименьшего действия.

Чтобы быть точнее, напомним, что в гидродинамике иногда используют следующий лагранжиан:

 

.                                  (53)

 

В [36] величина  есть отнесённая к единице массы потенциальная энергия упругого сжатия жидкости, причём . В [40] рассматривают изоэнтропическую жидкость

 

(An isentropic perfect fluid) и вместо  используют подобную величину . Вариация лагранжиана  (53) даёт тензор энергии-импульса

 

                                        (54)

 

и уравнение движения

 

.                                (55)

 

Если в (54-55) считать, что плотность массы  не зависит от давления , учесть уравнение непрерывности  и ещё условие , то выражения (54-55) совпадут соответственно с тензором энергии-импульса (16) и с уравнением движения (29), взятым без учёта электромагнитного поля. Таким образом, чтобы лагранжиан  (53) действительно приводил к требуемым в общей теории относительности тензору энергии-импульса и уравнению движения, необходимо выполнение условия постоянства плотности массы в виде . В общем же случае, когда , лагранжиан  не может быть лагранжианом общей теории относительности.

Чтобы разобраться в данной проблеме, мы сконструировали лагранжиан  (1-2) и ввели в него функцию , которая приводит к возникновению силы давления в веществе и присутствует в уравнении движения. Предположим теперь, что космологическая постоянная  всё-таки является постоянной величиной в общей теории относительности. Тогда (37) будет представлять собой уравнение состояния вещества, так как с точностью до константы связывает между собой плотность массы, давление и плотность энергии электромагнитного тока.

Что касается уравнения движения (29), являющегося следствием уравнения , то оно оказывается совместимым с уравнением движения (27), выведенным из принципа наименьшего действия, лишь в случае, когда  , , что эквивалентно соотношению . При этом функция  становится равной давлению  в веществе: . С учётом всего этого возьмём производную  и подставим в (37):

 

,        .

(56)

 

Последнее равенство в (56) как уравнение состояния вещества не может считаться общим выражением, что ограничивает применимость подхода общей теории относительности с её уравнением для метрики (36), тензором энергии-импульса вещества (16) и уравнением движения (29).

В результате мы сталкиваемся с рядом парадоксальных выводов общей теории относительности, истинность которых явно оказывается под вопросом и которые нам предлагается принимать на веру. Например, пусть в (36)  является постоянной величиной, а , как это предполагается в общей теории относительности в (16). Тогда дивергенция левой части (36) будет равна нулю, а равенство нулю дивергенции правой части (36) в виде  даёт уравнение (29), которое можно записать так:

 

.                   (57)

 

Если умножить (57) на 4-скорость  и учесть, что , , , а также

 

 

как следствие антисимметричности тензора  , то получается следующее:

 

.                                         (58)

 

Выражение (58) можно упростить, делая перестановку и замену индексов: . Это даёт:

 

.                                                (59)

 

Выражение (59) рассматривается в общей теории относительности как релятивистское определение уравнения непрерывности. Однако (59) противоречит уравнению непрерывности в виде , которое было использовано при варьировании действия и нахождении уравнения движения (27). Кроме этого, как было указано выше, для совместимости уравнений (27) и (29) требуется выполнение условий , . Если же эти условия не выполняется, то уравнение движения общей теории относительности (29) не выводится из принципа наименьшего действия и тогда (29) становится предполагаемым, но недоказанным соотношением.

Условие  соответствует условию постоянства плотности массы, что возможно, например, в релятивистской однородной модели. В таком случае модели компактных звёзд, использующие общую теорию относительности, будут требовать коррекции, если они применяются к веществу с неоднородной плотностью .

В связи с тем, что фактически стандартная общая теория относительности выводится из уравнения для метрики (36), а не из принципа наименьшего действия, в общей теории относительности не используется ни формула (19) для энергии , ни формула (21) для импульса  системы.

Вместо этого в общей теории относительности применяется другой подход. Предполагается [36-38], что временные компоненты тензора энергии-импульса  в (36) при интегрировании их по 4-объёму могут полностью заменить 4-импульс системы и дать энергию  и импульс  для вещества и негравитационных полей. Как следствие этого, масса системы привязывается к интегралу по объёму от плотности энергии во временной компоненте тензора энергии-импульса вещества.

Что касается энергии и импульса непосредственно гравитационного поля, то для их вычисления предполагается использовать псевдотензор . Известной проблемой такого подхода является то, что псевдотензор гравитационного поля не является однозначно определённой величиной. Например, в [9] даются ссылки на семь различных псевдотензоров. При этом указывается, что проблема невозможности однозначной пространственной локализации гравитационной энергии и возникновения псевдотензора вместо тензора энергии-импульса связана с тем, что гравитационное поле «спрятано» в метрическом тензоре.

В [41] подчёркивается, что энергия гравитационного поля, находимая через псевдотензор при условии постоянной плотности вещества, соответствует физическим ожиданиям, но отличается при других уравнениях состояния вещества. В [42-43] доказывается невозможность однозначного вычисления в общей теории относительности энергии и массы любой произвольно выбранной малой части системы. Насколько нам известно, вопрос о том, действительно ли равны энергия и импульс системы, вычисленные в общей теории относительности для непрерывно распределённого вещества с учётом давления и псевдотензора гравитационного поля, их значениям в формуле (19) для энергии  и в формуле (21) для импульса , ещё не исследовался.

В космологии уравнение (36) для метрики общей теории относительности иногда записывают так:

 

.                                         (60)

 

При этом космологическая постоянная  используется для описания тёмной энергии, природа которой неизвестна, но которая модифицирует уравнение для метрики в соответствии с наблюдениями. Подставим  из (56) в (60):

 

.                (61)

 

В (61) видно, что к тензору энергии-импульса  добавляется величина, пропорциональная плотности энергии покоя космологического вещества , плотности энергии 4-тока частиц  и давлению  в этом веществе. Это позволяет объяснить смысл таинственной тёмной энергии – она появляется в правой части (61) в виде члена  как следствие того, что уравнение для метрики (36) выведено фактически не из принципа наименьшего действия, а  согласно (37) оказывается скалярной функцией и не является настоящей космологической постоянной.

 Перейдём теперь к характеристике версии ОТО2. В этой версии используется уравнение для метрики (45) и уравнение движения (27), выведенные из принципа наименьшего действия с помощью функции . Данная версия общей теории относительности является более точной и последовательной, чем версия ОТО1. К недостатку ОТО2  следует отнести необходимость определения конкретного вида функции . Неудобством обеих версий общей теории относительности является то, что требуется вначале решить уравнение для метрики и найти скалярную кривизну , чтобы можно было вычислить энергию  и импульс  системы соответственно по формулам (19) и (21). Это является следствием того, что гравитационное поле включено в метрический тензор.

Ещё большей точности в ОТО2 можно добиться, если вместо функции , задающей в лагранжиане скалярное давление, использовать соответствующие члены для давления как для векторного поля, то есть использовать 4-потенциал и тензор поля давления.

 

3.4. Версия ОТОm

В данном разделе мы рассмотрим модернизированную общую теорию относительности, обозначенную нами как ОТОm. Нашей целью будет вывод уравнений теории из принципа наименьшего действия для непрерывной среды с учётом давления и электромагнитного поля в искривлённом пространстве-времени.

Как было указано в предыдущем разделе, представление давления как скалярного поля имеет тот недостаток, что возникает необходимость определения функции  одновременно с вычислением метрического тензора пространства-времени в системе связанных уравнений. В то же время, переход от скалярного к векторному полю давления увеличивает точность расчётов и упрощает решение уравнений. То же самое относится и к полю ускорений. Таким образом, наша модернизация стандартного лагранжиана общей теории относительности будет заключаться во введении в него членов, превращающих скалярные поля в векторные. Это означает, что в лагранжиане должны появиться 4-потенциалы поля ускорений и поля давления, а также соответствующие тензорные инварианты этих полей. В таком случае лагранжиан  версии ОТОm будет отличаться от лагранжиана (3) для векторных полей лишь отсутствием членов  для гравитационного поля:

 

.

(62)

 

.                (63)

 

Главной особенностью общей теории относительности является то, что роль гравитационного поля берёт на себя искривление пространства-времени, что учитывается с помощью метрического поля, задаваемого метрическим тензором и его производными по . При построении ОТОm мы можем почти полностью воспользоваться результатами, полученными для векторных полей. Так, остаются в силе стандартные уравнения электромагнитного поля и аналогичные уравнения для поля ускорений и для поля давления, представленные в [1]. При этом после вариации лагранжиана  (62-63) по метрическому тензору в принципе наименьшего действия уравнение для метрики получается в следующем виде:

 

.                (64)

 

В (64)  есть суммарный тензор энергии-импульса, учитывающий тензоры энергии-импульса электромагнитного поля , поля ускорений  и поля давления . Различие между (64) и уравнением для метрики для векторных полей в [1] только в том, что в (64) нет вклада от 4-потенциала и от тензора энергии-импульса гравитационного поля. Это связано с тем, что в лагранжиане (62-63) нет членов, задающих гравитационного поле, кроме скалярной кривизны  и метрического тензора.

Свёртка уравнения (64) с метрическим тензором  даёт следующее:

 

.                                  (65)

 

Равенство (65) позволяет упростить уравнение для метрики (64). С учётом соотношения , где  есть коэффициент порядка единицы, находим:

 

.                                               (66)

 

В общей теории относительности изначально непонятно, можно ли использовать космологическую постоянную  для калибровки энергии, как это было сделано для векторных полей в [1]. Обратимся к общему выражению для энергии системы (19), в которое подставим лагранжиан  (62-63). Это для энергии в версии ОТОm даёт следующее:

 

(67)

 

 

 

 

В (67) присутствует величина

 

    (68)

 

представляющая собой ту часть функции Лагранжа, для получения которой используется  (63).

 

Разность  в (67) должна задавать вклад гравитационного поля в энергию системы, при этом в веществе величины  и  должны удовлетворять (65) и потому уже не могут быть выбраны произвольно для калибровки энергии. С помощью (65) можно исключить  в (67). Учитывая соотношения типа  для всех полей, находим:

 

(69)

 

 

 

Решая уравнение (66), можно определить метрический тензор , затем вычислить скалярную кривизну  и уже с её помощью найти энергию  системы (69) в веществе. При этом всё равно остаётся проблема калибровки неопределённых коэффициентов в метрическом тензоре таким образом, чтобы величина  правильно и однозначно задавала энергию в (69). Как правило. в общей теории относительности метрический тензор определяется с учётом того, чтобы в пределе слабого поля гравитационная сила переходила в силу тяготения Ньютона. Но в общем случае этого может быть недостаточно, чтобы полученное через такой метрический тензор значение  точно удовлетворяло выражению для энергии (69).

Упростить задачу можно следующим образом. Предположим, что развитая нами в [1] теория векторных полей справедлива точно так же, как общая теория относительности. Тогда мы можем приравнять энергию общей теории относительности (69) к соответствующей энергии в теории векторных полей.

Для части функции Лагранжа , связанной с  (3), при калибровочном условии , которое применяется для векторных полей с целью вычисления энергии и импульса в непрерывно распределённом веществе, можно записать:

 

(70)

 

Если подставить в (19) лагранжиан  (3) при условии  и  (70), получится энергия  для векторных полей внутри вещества [8], [32]:

 

(71)

 

 

 

 

 

 

Приравняем энергию  (69) к энергии  (71):

 

.                                                              (72)

 

Равенство энергий в (72) позволяет наложить дополнительные условия на значения неопределённых коэффициентов в метрическом тензоре в веществе и на значение скалярной кривизны , присутствующей в энергии (69). При этом следует учесть различие метрических тензоров в ОТОm и в теории векторных полей, вытекающее из различия уравнений для метрики. Это приводит к тому, что тензоры ,  и  в (69), зависящие от метрического тензора, отличаются от таких же тензоров в (71). Поэтому подобные члены в левой и правой частях (72), связанные с тензорами, не могут сократиться друг с другом.

Рассмотрим теперь ситуацию за пределами вещества, где согласно общей теории относительности имеется только электромагнитное поле и метрическое поле, а 4-токи равны нулю. В этом случае уравнение для метрики (64) упрощается:

 

.                                      (73)

 

Свёртка уравнения (73) с метрическим тензором  приводит к соотношению , так что если  постоянная, то и скалярная кривизна  будет постоянной. Подстановка  в (73) с учётом соотношения  приводит к уравнению для метрики за пределами вещества:

 

.                                              (74)

 

За пределами вещества плотность массы  и плотность заряда  равны нулю, и выражения (62-63), (68) имеют следующий вид:

 

,                   .                (75)

 

.    (76)

 

С учётом соотношения  в (76), упрощается и выражение для энергии за пределами вещества в версии ОТОm в (67):

 

                        (77)

 

 

 

 

Для векторных полей за пределами вещества имеются лишь электромагнитное и гравитационное поля и справедливо соотношение  [1], [44]. Вместо (71) энергия становится равной следующему выражению:

 

                 (78)

 

 

 

 

Путём решения уравнения (74) можно найти выражения для метрического тензора и скалярной кривизны . Равенство энергий в (77) и в (78) в виде

 

.                                                              (79)

 

даёт возможность уточнить значение скалярной кривизны  в энергии (77), а также уточнить значения неопределённых коэффициентов в метрическом тензоре за пределами веществе. Кроме этого, равенство внутренней и внешней метрики на поверхности тела также позволяет уточнить неопределённые коэффициенты в метрическом тензоре.

Аналогично энергии мы можем поступить и с импульсом системы. Сравнение энергий и импульсов в ОТОm и в векторных полях с учётом формул для импульса в Приложении B приводит к двум соотношениям (72) и (B8) для  в веществе, и к двум соотношениям (79) и (B11) для  за пределами вещества. После уточнения значения  в ОТОm становится возможным использовать формулы для энергии  в веществе (69) и за пределами вещества (77). При этом согласно (B7) и (B10) в Приложении B, формулы для импульса в ОТОm соответственно в веществе и за пределами вещества имеют следующий вид:

 

.

(80)

 

.                         (81)

 

Суммируя энергии внутри и за пределами вещества (69) и (77), находим энергию  физической системы, аналогично этому, сумма импульсов (80) и (81) даёт импульс  системы.

После того, как будут найдены  и , можно будет найти 4-импульс системы, определённый в [8] в виде . Энергия, определённая в системе центра импульсов, представляет собой энергию покоя , с помощью которой в соответствии с [32] можно определить инертную массу системы: .

В теории векторных полей гравитационная масса системы вычисляется после того, как будет известен гравитационный тензор , во временных компонентах которого присутствует напряжённость гравитационного поля . Вблизи поверхности массивного сферического тела напряжённость  согласно закону Ньютона равна ускорению свободного падения, находимому через гравитационную массу этого тела. Так возникает связь между  и гравитационной массой системы. Поскольку способы определения инертной и гравитационной масс совершенно разные, эти массы могут лишь приблизительно равняться друг другу. В результате принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс, способствовавший становлению общей теории относительности, для векторных полей не выполняется.

Рассмотрим теперь уравнение движения типичных частиц в веществе в ОТОm. Используя принцип наименьшего действия для лагранжиана  (62-63) и варьируя по 4-токам, приходим к уравнению движения, которое отличается от уравнения движения для векторных полей в [1] лишь отсутствием гравитационного члена:

 

.                                              (82)

 

Уравнение (82) получается также из выражения , где суммарный тензор энергии-импульса негравитационных полей представлен в (66) в виде .

Выразим тензоры поля ускорений и поля давления через 4-потенциалы этих полей и подставим в (82):

 

,                ,

 

.                        (83)

 

Применим (83) к релятивистской однородной системе сферической формы с хаотически движущимися частицами, удерживаемой в равновесии собственными полями. Среднеквадратичная скорость движения частиц в такой системе зависит только от радиуса и в центре достигает максимума [24], [29]. Если частицы не имеют собственных векторных потенциалов в сопутствующих этим частицам системам отсчёта, то ввиду хаотичности движения частиц в такой системе глобальные векторные потенциалы всех полей будут равны нулю. Это приводит и к отсутствию в системе соленоидальных векторов полей, подобных магнитному полю для случая электромагнитного поля. В первом приближении для 4-потенциала поля ускорений, описывающего движение произвольной типичной частицы системы, будет справедливо соотношение  , где  есть 4-скорость частицы,  и  представляют собой скалярный и векторный потенциалы поля ускорений. В этом же приближении 4-потенциал поля давления частицы будет равен  [45]. Подставим эти потенциалы в (83):

 

.             (84)

 

Используем далее уравнение непрерывности  и следующие очевидные соотношения:

 

,       ,

 

,

 

.

(85)

 

С учётом (85) соотношение (84) запишется так:

 

.                                 (86)

 

В релятивистской однородной системе выполняется соотношение , инвариантная плотность массы , то есть плотность  не зависит ни от времени, ни от координат и одинакова для всех частиц системы. В такой физической системе будет  и тогда видно, что уравнение (86) совпадает с уравнением (29) движения в общей теории относительности при учёте скалярного давления .

С другой стороны, как мы указывали в Разделе 2, уравнение (29) движения в общей теории относительности будет совместимо с принципом наименьшего действия и с (27) при условии, что , то есть плотность массы  должна быть постоянной в сопутствующей каждому элементу вещества системе отсчёта. Так как в данном случае , где  есть временная компонента 4-скорости, то должно выполняться и условие . Всему этому удовлетворяет соотношение  для релятивистcкой однородной системы. Таким образом, в рамках общей теории относительности мы можем вполне доверять расчётам уравнения движения вещества внутри массивных объектов типа компактных звёзд при условии . Во всех других случаях для большей точности лучше использовать не (29), а уравнение движения в виде (82-83), где тензоры полей находятся через соответствующие уравнения полей.

Применим ковариантную производную  к обеим частям уравнения (64) для метрики. В левой части получается нуль как следствие свойств тензора Эйнштейна. В правой части (64) содержится суммарный тензор энергии-импульса  трёх полей, для которых выполняются соответствующие уравнения поля:

 

 

,              ,              .            (87)

 

С учётом (87) из (64) следует уравнение:

 

.              (88)

 

Если учесть в (88) уравнение движения (82), то с учётом (65) получается соотношение для скалярной кривизны:

 

.                           (89)

 

Условие (89) накладывает дополнительное ограничение на величину  в веществе в ОТОm.

 

3.5. Анализ версии ОТОm

Представленная в предыдущем разделе версия ОТОm является более точной, чем стандартная общая теория относительности, благодаря использованию векторного поля ускорений и векторного поля давления вместо соответствующих скалярных полей. Действительно, непосредственное включение скалярного давления  в лагранжиан затруднительно ввиду необходимости дополнительных предположений в отношении вариации  с целью её использования в принципе наименьшего действия. В результате уравнение движения (29) общей теории относительности выводится не из самого принципа наименьшего действия, а путём приравнивания к нулю дивергенции тензора энергии-импульса в виде .

Однако с точки зрения лагранжева формализма, вывод уравнения движения непосредственно из принципа наименьшего действия предпочтителен и необходим для полноты теории. Использование скалярной функции  позволило нам вывести уравнение движения (27) и показать, что при условии  эта функция становится фактически равной давлению , так как при этом . Проблемой такого подхода является необходимость определения конкретного выражения для функции  в общем случае, что требует решения системы уравнений (45), (47) и (49-50) в версии ОТО2.

Увеличение точности в версия ОТОm происходит за счёт дополнительных членов в лагранжиане  (62-63), содержащих тензорные инварианты  поля ускорений и  поля давления. Добавление этих членов приводит к появлению самостоятельных уравнений соответствующих полей и позволяет быстро находить все характеристики этих полей в стандартном виде.

Замена гравитации искривлением пространства-времени, сведение физической силы тяготения тел к геометрии было вполне оправдано в общей теории относительности для случая движения малых пробных тел вблизи массивных объектов, как это происходит при движении планет и лучей света около Солнца. Однако при получении решений для случая непрерывной среды с давлением и электромагнитным полем, как это было показано выше, возникают различные проблемы. Одна из этих проблем связана с энергией и импульсом системы, а другая связана с неоднозначностью решений для метрики. Дело в том, что энергия и импульс не могут быть определены без учёта вклада гравитационного поля. Но поскольку гравитация включена в метрику, вначале требуется решить уравнения для метрики (66) и (74) внутри и снаружи вещества, найти метрический тензор и скалярную кривизну, и уже через них оценивать вклад гравитации в энергии и импульсе. Если использовать Лагранжев формализм, энергию и импульс внутри вещества в ОТОm можно найти по формулам (69) и (80), соответственно, а энергию и импульс за пределами вещества – по формулам (77) и (81).

При таком способе возникает неоднозначность определения энергии и импульса, поскольку решения для метрического тензора содержат неопределённые коэффициенты, получающиеся в результате интегрирования уравнений. Чтобы уйти от такой неоднозначности, мы предложили использовать как вспомогательные величины энергию и импульс, вычисляемые в теории векторных полей. Сравнение этих величин с энергией в ОТОm в (72), (79), и с импульсом в (B8) и (B11) в Приложении B даёт возможность уточнить значения  внутри и за пределами вещества и тем самым однозначно определить энергию и импульс системы. Однако следует заметить, что скалярная кривизна внутри вещества должна удовлетворять одновременно и равенству для энергии (72), и равенству для импульса (B8). Аналогично, скалярная кривизна за пределами вещества должна удовлетворять одновременно и равенству для энергии (79), и равенству для импульса (B11). При этом на границе тела скалярная кривизна внутри вещества должна быть равной скалярной кривизне за пределами вещества.

Предлагаемый подход является следствием лагранжева формализма в отношении энергии и импульса. Потому он имеет преимущество по сравнению с подходом стандартной общей теории относительности, где энергию и импульс определяют через интеграл по объёму от временных компонент тензора энергии-импульса в сумме с компонентами гравитационного псевдотензора.

Рассмотрим для примера симметричный псевдотензор гравитационного поля  Ландау и Лифшица [38], для которого с учётом тензора энергии-импульса  вещества и негравитационных полей, коэффициента  и космологической постоянной  выполняется соотношение:

 

.                                       (90)

 

Интегрирование (90) по бесконечному объёму даёт:

 

.                               (91)

 

Утверждается, что интегральный вектор  (91) представляет собой 4-импульс системы.

Мы указывали на некоторые недостатки подхода стандартной общей теории относительности в разделе 3.3 при анализе версий ОТО1 и ОТО2. Мы можем добавить ещё, что дополнительным недостатком является отсутствие математического доказательства того, что интеграл (91) по объёму от временных компонент тензора энергии-импульса в сумме с компонентами гравитационного псевдотензора даёт именно 4-импульс системы, а не какую-либо другую величину. По крайней мере из лагранжева формализма не следует такого доказательства [8].

Действительно, трактовка  (91) как 4-импульса начинается с того, что тензор энергии-импульса  выражают через тензор  энергии-импульса (16) в сумме с тензором  энергии-импульса (15) электромагнитного поля. Далее используется приближение слабого гравитационного поля, когда можно считать, что  по сравнению с . Тогда в первом приближении величина  близка к значению 4-импульса системы. Отсюда предполагается, что и в общем случае  является 4-импульсом.

В ответ на такую аргументацию мы хотим напомнить, что уравнение движения (29) в стандартной общей теории относительности будет совместимо с уравнением (27), выведенным из принципа наименьшего действия, и справедливо лишь при условии . Это условие эквивалентно тому, что всегда рассматривается релятивистская однородная система. Как было показано в [24], [29], равновесие в релятивистской однородной системе сводится к равновесию вещества в гравитационном и электромагнитном полях, в поле ускорений и в поле давления. Если рассматривать ситуацию не с позиции общей теории относительности, а с точки зрения векторных полей, то вместо (90) следует исходить из уравнения движения вещества в виде

 

.              (92)

 

В (92) в тензор  энергии-импульса входят тензоры энергии-импульса всех четырёх полей и потому нет необходимости в каком-либо псевдотензоре гравитационного поля.

Выберем такую систему отсчёта, в которой символы Кристоффеля  в некотором элементе вещества равны нулю. В этом случае, умножая (92) на элемент ковариантного объёма  и интегрируя по четырёхмерному объёму этого элемента, с учётом теоремы о дивергенции имеем:

 

(93)

 

Сделаем обозначения:

 

.                                              (94)

 

.           (95)

 

В (95) сумма трёх интегралов представляет собой поверхностный интеграл по двумерной поверхности , окружающей элемент объёма,  есть единичный вектор, перпендикулярный поверхности  и направленный наружу, . Подставляя (94-95) в (93) и дифференцируя по переменной , находим:

 

.                                              (96)

 

Чем меньше выбирается рассматриваемый элемент объёма, тем точнее выражения (93) и (96) стремятся к нулю.

При  (96) описывает обобщённую теорему Пойнтинга в интегральном виде, согласно которой потоки энергии, втекающие в некоторый объём, увеличивают энергию полей в этом объёме [28]. При  величины , взятые со знаком минус, есть компоненты трёхмерного тензора напряжений. В этом случае (96) можно рассматривать как интегральные уравнения для скоростей изменения потоков энергии в элементе вещества. Такие изменения потоков энергии вызываются силами, действующими на элемент вещества со стороны полей.

Предположим, что рассматриваемый элемент объёма находится в таком равновесном состоянии, что потоки энергии через его поверхность отсутствуют или в среднем равны нулю. В этом случае согласно (96)  становится некоторой постоянной во времени величиной,.

Нетрудно проверить, что при равновесии интеграл по трёхмерному объёму внутри вещества в (94) обращается в нуль [8], [28]. Это является следствием уравнения движения в виде , то есть следствием баланса всех сил в равновесном веществе. Если в (96) элемент объёма взят не в веществе, а за его пределами, то в (96) остаются лишь суммарная энергия гравитационного и электромагнитного поля за пределами вещества и потоки этих энергий. Получается, что интегральный вектор  не задаёт 4-импульс элемента вещества и тем более не задаёт 4-импульс всей системы, состоящей из множества частиц и полей. Вместо этого вектор  показывает, что в каждом элементе объёма замкнутой равновесной системы должна сохраняться другая величина, связанная с энергией полей.

Для получения вектора  нам пришлось использовать приближение слабого поля путём выбора подходящей системы отсчёта, в которой символы Кристоффеля в рассматриваемом элементе объёма становятся равными нулю. Но в общем случае  оказывается четырёхмерным псевдовектором, так как уравнение движения  в ковариантном виде не интегрируется по четырёхмерному объёму и не даёт истинный 4-вектор.

Представленная картина показывает, что интегральный вектор  в (91), подобно  в (94), является не 4-импульсом системы, а интегральным псевдовектором. В таком случае в общей теории относительности нет другого способа отыскать энергию и импульс, кроме как использовать формулы, вытекающие из лагранжева механизма и представленные нами выше.

Более подробно проблема 4-импульса и интегрального вектора в общей теории относительности и в теории векторных полей анализировалась нами в [8] и в [27], где даны также ссылки на работы, показывающие неудовлетворительность подхода общей теории относительности к определению энергии и импульса. Для примера, в [37] указывается, что энергия замкнутой системы в общей теории относительности либо не сохраняется, либо зависит от выбора системы отсчёта. Из (91) видно, что тензор  и псевдотензор  имеют различные трансформационные законы и потому инертная масса системы, которая предположительно должна получаться из , будет неодинакова в различных системах отсчёта. Это подтверждается в [46], где также указывается на неравенство инерциальной и гравитационной масс физической системы в общей теории относительности. Более того, согласно [47] в общей теории относительности не выполняется принцип соответствия.

В дополнение к этому, даже если бы  был бы тензором,  не может быть настоящим 4-вектором. Это следует из того, что правая часть (91) содержит временные тензорные компоненты, которые трансформируются в другую систему отсчёта не так, как положено трансформироваться компонентам 4-вектора [28]. Различие преобразования компонент тензора и 4-вектора приводит к так называемой проблеме 4/3 для движущегося тела, когда масса-энергия в интеграле по объёму от временной компоненты тензора энергии-импульса для электромагнитного или гравитационного полей не равна массе-энергии в интеграле от пространственных компонент этого тензора.

С философской точки зрения, несовпадение 4-импульса и интегрального псевдовектора  в (94) связано с дуальностью вещества и поля и с различием их определения через 4-токи и тензоры поля, соответственно. Сохранение 4-импульса в замкнутой системе связано с сохранением энергии и импульса частиц вещества, которые генерируют поля и действуют друг на друга посредством этих полей. В то же время сохранение интегрального псевдовектора  даёт только сохранение энергии и потоков энергии полей системы.

 

4. Заключение

С целью ковариантного описания эффекта давления мы ввели в лагранжиан (1) общей теории относительности скалярную функцию , зависящую от 4-тока  и от метрического тензора . Далее мы нашли уравнение для метрики (17), вывели формулы для энергии (20) и импульса (22), получили уравнения движения (27-29) и в (30) связали функцию  со скалярным изотропным давлением  в веществе.

С учётом этого, в Разделе 3.1 мы пришли к версии ОТО1, максимально близкой к стандартной общей теории относительности, и в Разделе 3.2 к версии ОТО2, полностью выведенной из принципа наименьшего действия. Одним из результатов является то, что уравнение движения (29) в версии ОТО1 является совместимым с уравнением (27) лишь при условии  . Это означает, что общая теория относительности пригодна для исследования релятивистских однородных систем, в которых , но может быть неточна в общем случае.

Улучшить ситуацию можно в версии ОТО2, однако анализ обеих версий общей теории относительности в Разделе 3.3 показывает наличие других заметных недостатков. Например, в общей теории относительности выражение уравнения непрерывности (59) отличается от стандартного выражения . Как мы показываем при выводе из принципа наименьшего действия в версии ОТО2, уравнение движения (27) согласуется с (29) только при условии . Если одновременно принять условия  и  в общей теории относительности, то лишь в этом случае (59) переходит в стандартное уравнение непрерывности .

С помощью (61) мы объясняем смысл тёмной энергии, появляющейся в космологической модели общей теории относительности, и выражаем её в виде члена  через плотность энергии покоя космологического вещества , плотность энергии 4-тока частиц  и давление  в этом веществе. При этом тёмная энергия возникает как следствие того, что уравнение для метрики (36) в общей теории относительности выводится не из принципа наименьшего действия, а  согласно (37) оказывается скалярной функцией и не является настоящей космологической постоянной.

В разделе 3.4 мы представили модернизированную общую теорию относительности, обозначенную нами как ОТОm. В отличие от стандартной общей теории относительности, в версии ОТОm поле ускорений и поле давления рассматриваются не как скалярные, а как векторные поля. В результате для этих полей становится возможным записать их собственные уравнения и находить 4-потенциалы, тензоры и тензоры энергии-импульса при заданном массовом 4-токе. Это означает, например, что уже не требуется подбирать возможное уравнение состояния вещества, связывающее давление и плотность массы, для этого достаточно решить стандартное дифференциальное уравнение для поля давления. Что касается гравитационного поля, то оно согласно подходу общей теории относительности включено в метрическое поле, имеющее геометрическую природу. Таким образом, в ОТОm гравитации по-прежнему сводится к искривлению пространства-времени.

Для того, чтобы максимально просто находить энергию и импульс, мы предложили в версии ОТОm использовать как вспомогательные величины 4-потенциал  и тензор гравитационного поля ,  взятые из теории векторных полей. С помощью  и  для векторных полей можно вычислить энергию внутри и снаружи вещества по формулам (71) и (78), и импульс системы внутри и снаружи вещества по формулам (B1) и (B9) в Приложении B. При этом условия (72), (79), (B8) и (B11) в Приложении B позволяют однозначно откалибровать как компоненты метрического тензора, так и энергию и импульс в ОТОm.

Уравнение движения (83) в версии ОТОm полностью записано через 4-потенциалы и тензоры представленных в системе полей. В пределе релятивистской однородной модели уравнение (83) становится равным (86) и точно переходит в уравнение движения (29) стандартной общей теории относительности. Таким образом, версия ОТОm во многих отношениях может считаться улучшенной версией общей теории относительности. С другой стороны, версия ОТОm оказывается существенно ближе к теории векторных полей, чем стандартная общая теория относительности, что видно из сравнения лагранжиана  (62-63) и лагранжиана (3). Различие между этими теориями только в том, что в лагранжиане векторных полей добавлен 4-потенциал и тензор гравитационного поля.

Преимуществом теории векторных полей является то, что уравнение движения вещества может быть получено и подтверждено двумя различными путями – либо из принципа наименьшего действия, либо из уравнения  [1], [8]. Другим преимуществом является то, что в формулах для энергии и импульса благодаря калибровке энергии с помощью космологической константы  можно избавиться от скалярной кривизны  и таким образом сделать формулы однозначно определёнными. В таком случае подход теории векторных полей оказывается предпочтительней, чем в общей теории относительности, так как полностью основан на Лагранжевом формализме [32].

 

Список использованных источников

1.      Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics, Vol. 9, No. 1, pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304. // О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.

2.      Claudio Cremaschini & Massimo Tessarotto. Manifest Covariant Hamiltonian Theory of General Relativity. Applied Physics Research, Vol. 8, No. 2, pp. 66-81 (2016). http://dx.doi.org/10.5539/apr.v8n2p60.

3.      Mendoza S. and Silva S. The matter Lagrangian of an ideal fluid. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 18, No. 04, 2150059 (2021). https://doi.org/10.1142/S0219887821500596.

4.      Diez-Tejedor A. Note on scalars, perfect fluids, constrained field theories, and all that. Physics Letters B, Vol. 727, No. 1-3, pp. 27-30 (2013). https://doi.org/10.1016/j.physletb.2013.10.030.

5.      Minazzoli O. and Harko T. New derivation of the Lagrangian of a perfect fluid with a barotropic equation of state. Phys. Rev. D, Vol. 86, Issue 8, 087502 (2012). https://doi.org/10.1103/PhysRevD.86.087502.

6.      Rüster S.B. Energy is Conserved in General Relativity. Parana Journal of Science and Education, Vol. 8, No. 6, pp. 13-22 (2022).

7.      Sinya Aoki, Tetsuya Onogi and Shuichi Yokoyama. Conserved charges in general relativity. International Journal of Modern Physics A. Vol. 36, No. 10, 2150098 (2021). https://doi.org/10.1142/S0217751X21500986.

8.      Fedosin S.G. What should we understand by the four-momentum of physical system? Physica Scripta, Vol. 99, No. 5, 055034 (2024). https://doi.org/10.1088/1402-4896/ad3b45. // Что мы должны понимать под 4-импульсом физической системы?

9.      M. Sharif and Tasnim Fatima. Energy-Momentum Distribution: A Crucial Problem in General Relativity. Int. J. Mod. Phys. A. Vol. 20 (18), 4309 (2005). http://dx.doi.org/10.1142/S0217751X05020793.

10.  T.G. Zlosnik, P.G. Ferreira, Glenn D. Starkman. Vector-tensor nature of Bekenstein’s relativistic theory of modified gravity. Physical Review D, Vol. 74, Issue 4, 044037 (2006). https://doi.org/10.1103/PhysRevD.74.044037.

11.  J. B. Jimenez and A. L. Maroto. Cosmological evolution in vector-tensor theories of gravity. Phys. Rev. D 80, Issue 6, 063512 (2009). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.80.063512.

12.  Roberto Dale and Diego Sáez. Cosmological perturbations in extended electromagnetism: General gauge invariant approach. Phys. Rev. D 85, Issue 12, 124047 (2012). https://doi.org/10.1103/PhysRevD.85.124047.

13.  Roberto Dale and Diego Sáez. Testing vector-tensor gravity with current cosmological observations. Journal of Physics Conference Series 600(1):012044 (2015). http://dx.doi.org/10.1088/1742-6596/600/1/012044.

14.  Davood Momeni, Mir Faizal, Kairat Myrzakulov, Ratbay Myrzakulov. Compact stars in vector–tensor-Horndeski theory of gravity. Eur. Phys. J. C. Vol. 77, Article No 37 (2017). DOI https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-017-4606-2.

15.  Lavinia Heisenberg and Matthias Bartelmann. Kinetic field theory applied to vector-tensor gravity. Physics Letters B, Vol. 796, pp. 59-64 (2019). https://doi.org/10.1016/j.physletb.2019.07.004.

16.  Izadi A., Shojai A., Nouradini M. Cosmological Solutions of Tensor-Vector Theories of Gravity by Varying the Space-Time–Matter Coupling Constant. Journal of Astrophysics and Astronomy, Vol. 34, pp. 41-60 (2013). https://doi.org/10.1007/s12036-013-9162-z.

17.  Fedosin S.G. The Metric Outside a Fixed Charged Body in the Covariant Theory of Gravitation. International Frontier Science Letters, Vol. 1, No. 1, pp. 41-46 (2014). http://dx.doi.org/10.18052/www.scipress.com/ifsl.1.41. // Метрика за пределами неподвижного заряженного тела в ковариантной теории гравитации.

18.  Fedosin S.G. The relativistic uniform model: the metric of the covariant theory of gravitation inside a body. St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics, Vol. 14, No. 3, pp.168-184 (2021). http://dx.doi.org/10.18721/JPM.14313. // О метрике ковариантной теории гравитации внутри тела в релятивистской однородной модели.

19.  Fedosin S.G. The Pioneer Anomaly in Covariant Theory of Gravitation. Canadian Journal of Physics, Vol. 93, No. 11, pp. 1335-1342 (2015). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2015-0134 . // Эффект "Пионера" в ковариантной теории гравитации.

20.  Abbott B.P. et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration). Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger. Physical Review Letters. Vol. 116 (6) (2016). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.061102.

21.  Abbott B.P., et al. (LIGO Scientific Collaboration & Virgo Collaboration). GW170817: Observation of Gravitational Waves from a Binary Neutron Star Inspiral. Physical Review Letters. 119 (16): 161101 (2017). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.119.161101.

22.  Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics, Vol. 18, No. 1, pp. 13-24 (2015). http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003. // Четырёхмерное уравнение движения вязкого сжимаемого вещества с учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.

23.  Fedosin S.G. Two components of the macroscopic general field. Reports in Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2, 1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025. // Две компоненты макроскопического общего поля.

24.  Fedosin S.G. The virial theorem and the kinetic energy of particles of a macroscopic system in the general field concept. Continuum Mechanics and Thermodynamics, Vol. 29, Issue 2, pp. 361-371 (2017). https://dx.doi.org/10.1007/s00161-016-0536-8. // Теорема вириала и кинетическая энергия частиц макроскопической системы в концепции общего поля.

25.  Fedosin S.G. The integral theorem of generalized virial in the relativistic uniform model. Continuum Mechanics and Thermodynamics, Vol. 31, Issue 3, pp. 627-638 (2019). http://dx.doi.org/10.1007/s00161-018-0715-x. // Интегральная теорема обобщённого вириала в релятивистской однородной модели.

26.  Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

27.  Fedosin S.G. The covariant additive integrals of motion in the theory of relativistic vector fields. Bulletin of Pure and Applied Sciences, Vol. 37 D (Physics), No. 2, pp. 64-87 (2018). http://dx.doi.org/10.5958/2320-3218.2018.00013.1. // Ковариантные аддитивные интегралы движения в теории релятивистских векторных полей.

28.  Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.

29.  Fedosin S.G. Estimation of the physical parameters of planets and stars in the gravitational equilibrium model. Canadian Journal of Physics, Vol. 94, No. 4, pp. 370-379 (2016). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2015-0593. // Оценка физических параметров планет и звёзд в модели гравитационного равновесия.

30.  Fedosin S.G. The Integral Theorem of the Field Energy. Gazi University Journal of Science, Vol. 32, Issue 2, pp. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783. // Интегральная теорема энергии поля.

31.  Fedosin S.G. Generalized Four-momentum for Continuously Distributed Materials. Gazi University Journal of Science, Vol. 37, Issue 3, pp. 1509-1538 (2024). https://doi.org/10.35378/gujs.1231793. // Обобщённый 4-импульс для непрерывно распределённого вещества.

32.  Fedosin S.G. Lagrangian formalism in the theory of relativistic vector fields. International Journal of Modern Physics A, Vol. 40, No. 2, 2450163 (2025). https://doi.org/10.1142/S0217751X2450163X.

33.  Schäfer G. and Jaranowski P. Hamiltonian formulation of general relativity and post-Newtonian dynamics of compact binaries. Living Review in Relativity, Vol. 21, art. 7 (2018). https://doi.org/10.1007/s41114-018-0016-5.

34.  Kiriushcheva N. and Kuzmin S.V. The Hamiltonian formulation of general relativity: Myths and reality. Central European Journal of Physics. Vol. 9 (3) pp. 576-615 (2011). http://dx.doi.org/10.2478/s11534-010-0072-2.

35.  Curiel E. Classical mechanics is Lagrangian; It is not Hamiltonian. The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 65 (2), pp. 269-321 (2014). http://dx.doi.org/10.1093/bjps/axs034.

36.  Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. М.: Физматгиз, 1961. 568 с. Fock V. A.  The Theory of Space, Time and Gravitation (Pergamon Press, London, 1959).

37.  Дирак П.А.М. Общая теория относительности: Пер. с англ./ Под. ред. Д. И. Блохинцева. – Пер. изд.: США, 1975. – М.: Атомиздат, 1978. – 64 с. Dirac P.A.M. General Theory of Relativity (1975), New York, John Wiley & Sons Inc, quick presentation of the bare essentials of GTR. ISBN 978-0471215752.

38.  . Landau L.D., Lifshitz E.M. The Classical Theory of Fields, Vol. 2 (4th ed.). (1975). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.

39.  Einstein, Albert (1916). The Foundation of the General Theory of Relativity. Annalen der Physik. 354 (7): 769. http://dx.doi.org/10.1002/andp.19163540702.

40.  S.W. Hawking and G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space‐Time, Cambridge Monographs on Mathematical Physics (Cambridge University Press, New York, 1999).

41.  Cooperstock F. I. and Sarracino R. S. The localisation of energy in general relativity. Journal of Physics A: Mathematical and General.  Vol. 11,  No. 5, 877 (1978).

42.  Денисов, В. И.; Логунов А. А. Инертная масса, определенная в общей теории относительности, не имеет физического смысла. ТМФ, 1982, том 51, номер 2, 163-170; Denisov V. I., Logunov A. A. The inertial mass defined in the general theory of relativity has no physical meaning. Theoretical and Mathematical Physics, Volume 51, Issue 2, pp. 421-426 (1982). http://dx.doi.org/10.1007/BF01036205.

43.  Khrapko, R. I.  The Truth about the Energy-Momentum Tensor  and  Pseudotensor. ISSN 0202-2893, Gravitation and Cosmology, Vol. 20, No. 4, pp. 264-273 (2014). Pleiades Publishing, Ltd., 2014. http://dx.doi.org/10.1134/S0202289314040082;  Храпко Р.И. Правда о тензоре и псевдотензоре энергии-импульса.

44.  Fedosin S.G. Energy and metric gauging in the covariant theory of gravitation. Aksaray University Journal of Science and Engineering, Vol. 2, Issue 2, pp. 127-143 (2018). http://dx.doi.org/10.29002/asujse.433947. // Калибровка энергии и метрики в ковариантной теории гравитации.

45.  Fedosin S.G. The Procedure of Finding the Stress-Energy Tensor and Equations of Vector Field of Any Form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, No. 18, pp. 771-779 (2014). http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101. // Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.

46.  Денисов В.И.; Логунов А.А. Ещё раз о неравенстве инертной и гравитационной масс в ОТО. ТМФ, 1990, том 85, номер 1, 16-24; Denisov V.I., Logunov A.A. Further remarks on the inequlity of the inertial and gravitational masses in general relativity. Theoretical and Mathematical Physics, Volume 85, Issue 1, pp. 1022-1028 (1990). https://doi.org/10.1007/BF01017242.

47.  Денисов В.И.; Логунов А.А. Имеет ли общая теория относительности классический ньютоновский предел? ТМФ, 1980, том 45, номер 3, 291-301; Denisov V.I., Logunov A.A. Does the general theory of relativity have a classical Newtonian limit? Theoretical and Mathematical Physics, Volume 45, Issue 3, pp. 1035-1041 (1980). https://doi.org/10.1007%2FBF01016702.

 

Приложение A

Исходим из вариации , содержащей вариации :

 

          (A1)

 

Преобразуем по частям в (A1) член с массовым 4-током :

 

                  (A2)

 

 

 

 

Ковариантная дивергенция произвольного 4-вектора  может быть выражена следующим образом:

 

.                                              (A3)

 

С учётом (A3) первый интеграл в правой части (A2) запишется так:

 

                     (A4)

 

 

 

 

Используем теперь теорему о дивергенции для правой части (A4), переходя от интегрирования дивергенции 4-вектора по четырёхмерному объёму к интегрированию соответствующего 4-векетора по четырём трёхмерным гиперповерхностям:

 

                     (A5)

 

 

 

 

 

Трёхмерный единичный вектор , где индекс , представляет собой направленный наружу нормальный вектор к двумерной поверхности , окружающей рассматриваемую движущуюся физическую систему. Равенство нулю в (A5) следует из того, что вариации  в моменты времени  и  равны нулю по условию варьирования функции действия. Кроме этого, при интегрировании по поверхности  вариации  на этой поверхности также считаются равными нулю.

Согласно (A4-A5), первый интеграл в правой части (A2) равен нулю. Второй интеграл в (A2) преобразуется так:

 

(A6)

 

 

 

 

В (A6) было использовано соотношение . Следовательно, (A1) эквивалентно следующему:

 

.          (A7)

 

 

 

 

Преобразуем первый интеграл в (A7):

 

                   (A8)

 

 

 

 

 

С учётом теоремы о дивергенции аналогично (A5) первый интеграл в правой части (A8) равен нулю. Второй интеграл в (A8) преобразуется так:

 

(A9)

 

Из (A8-A9) следует:

 

                  (A10)

 

С учётом (A10) из (A7) получаются вариация действия и уравнение движения:

 

.

 

.                                    (A11)

 

Приложение B

С целью удобства, в данном приложении используется двойная нумерация формул, указывающая  на соответствующие формулы  в тексте статьи.

Если подставить лагранжиан  (3) в (21) и учесть  (70), получится импульс системы в теории векторных полей [8], [32]:

 

(B1)

 

 

 

 

Используем теперь лагранжиан  (62-63) и  (68), заменяя в (21)  на ,  на ,  на . Тем самым мы найдём выражение для импульса в ОТОm:

 

(B2)

 

 

 

 

В веществе величины  и  связаны соотношением (65), что позволяет выразить в (B2)  через :

 

(B3)

 

 

 

 

Используем далее (62) в виде

 

,        (B4)

 

а также соотношение из [35]:

 

,                               (B5)

 

где  есть дифференциал инвариантного собственного объёма любой из частиц непрерывно распределённого вещества.

 

С учётом (B4- B5) находим:

 

(B6)

 

 

 

 

 

 

В (B6) было учтено, что при взятии частной производной по скорости  частицы с номером , интеграл  по объёму вещества может быть заменён на интеграл  по объёму одной этой частицы с номером .

Подстановка (B6) в (B3) даёт следующее:

 

.

(B7)

 

Приравнивая импульс (B7) к импульсу (B1) для векторных полей, получаем ещё одно выражение, в котором скалярная кривизна  внутри тела в ОТОm выражается через другие величины:

 

.                                                              (B8)

 

За пределами вещества формула (B1) для векторных полей остаётся в силе и даёт импульс поля, связанного с веществом и передвигающегося вместе с ним. При этом в (B1) первый интеграл исчезает ввиду равенства нулю плотности массы  и плотности заряда  за пределами вещества. Кроме этого, тензорные инварианты, связанные с полем ускорений и с полем давления, равны нулю. В результате в (B1) остаётся лишь сумма по всем тем частицам, которые порождают электромагнитное и гравитационное поля:

 

.                   (B9)

 

Аналогично этому, из (B2) с учётом соотношения  для импульса поля за пределами вещества в ОТОm находим:

 

.                       (B10)

 

Равенство импульсов (B9) и (B10) даёт соотношение, позволяющее оценить значение скалярной кривизны  в ОТОm за пределами вещества:

 

.                                                            (B11)

 

Источник: http://sergf.ru/ct.htm

 

На научный сайт