International
Frontier Science Letters, ISSN: 2349-4484, Vol. 6, P. 6 – 15 (2015). http://dx.doi.org/10.18052/www.scipress.com/ifsl.6.6
Групповая
функция распределения доходов в обществе
Федосин Сергей Григорьевич
ул. Свиязева 22-79, город Пермь, 614088, Пермский край, Россия
e-mail intelli@list.ru
Исходя из подобия
свойств фотонов и денежных потоков, и формулы для плотности распределения
фотонного газа по энергиям, находится соответствующая математическая формула
для распределения годовых доходов на душу населения. Применение этой формулы для анализа данных обнаруживает несколько
независимых групп населения, отличающихся средним уровнем дохода. В частности,
вклады в распределение доходов в экономике США делают четыре основные группы.
Ключевые
слова: годовые доходы; экономическое моделирование.
Group function of income distribution in society
Sergey G. Fedosin
Sviazeva Str. 22-79, Perm, 614088, Perm region, Russian
Federation
e-mail intelli@list.ru
Based on the similarity of properties of photons and money, and on the formula
for the density of distribution of photon gas by energies, the corresponding
mathematical formula for distribution of annual income per capita is obtained.
Application of this formula for the data analysis reveals several independent
groups of population with different average levels of their income. In
particular four main groups of population contribute to the distribution of
income in the economy of the USA. JEL Codes: C51, E01, E66.
Keywords: annual income,
econometric modeling.
1. Введение
Благодаря множеству причин в каждом обществе обнаруживается неравенство в
распределении доходов, разделяющее людей на разные группы. Это бросает вызов
экономической науке, пытающейся математически точно описать такое неравенство,
понять его сущность и дать такие рекомендации, которые могли бы приблизить
общество к оптимальному состоянию. Среди достигнутых результатов отметим кривую
Лоренца, на которой строится зависимость суммарной доли дохода общества 
в процентах
(вертикальная ось) от доли семей 
в процентах
(горизонтальная ось). Если бы каждая доля семей имела один и тот же доход, то
имела бы место такая линейная зависимость:
, (1)
где 
– постоянный
коэффициент пропорциональности.
Однако доход у семей в разных группах неодинаков. Обычно всё общество
разбивают на 10 одинаковых по количеству людей долей, причём внутри каждой доли
доходы семей различаются не сильно. Такие доли носят название децили. Построим
кривую Лоренца, но не для децилей, а для квинтилей, в
каждый из которых входит 20 % населения. Начнём с квинтиля
с наименьшими доходами и закончим квинтилем с
наибольшим доходом. Для первого квинтиля (и для всех
остальных) доля семей 
, и поскольку доля
дохода 
первого квинтиля мала, то мал будет и наклон 
отрезка от начала
координат до точки А на рисунке 1, координаты которой
на плоскости координат 
. Чтобы получить вторую точку кривой Лоренца, нужно сложить
доли семей в первых двух квинтилях, что даёт 
. Нужно также сложить доли доходов обоих квинтилей
и получить число 
. После этого точки 
и 
соединяются на графике
прямым отрезком. Очевидно, что за счёт увеличенных доходов во втором квинтиле наклон второго отрезка увеличится: 
. Действительно, 
, а 
.
Продолжая далее эту процедуру, видим, что кривая Лоренца загибается
вверх. Если 
есть номер отрезка
кривой, то для каждого отрезка наклон будет равен 
.
Чем больше общее отклонение кривой Лоренца от прямой линии вида (1), соединяющей начало координат с концом кривой, тем больше получается различие доходов в различных группах населения.
Для примера приведём статистические данные для России в 2006 – 2007 годах согласно [1]. Доходы по 20-ти процентным группам населения в 2007 г. составили: в первой группе – 5,1 % (в 2006 г. было 5,2 %), во второй группе – 9,8 % (9,9 %), в третьей – 14,8 % (15 %), в четвертой – 22,5 % (22,6 %), в пятой группе, имеющей наибольшие доходы, были доходы 47,8% (47,3%).
Можно сделать следующее уточнение для самого бедного и богатого децилей: в 2007 г. доля 10 % наиболее обеспеченного населения равнялась 31 % общего объема денежных доходов (в 2006 г. – 30,6 %), а 10 % наименее обеспеченного населения имела только 1,9 % (1,9 %). Если разделить 31 % на 1,9 %, получится значение децильного коэффициента, равного 16,3. Этот разрыв между бедными и богатыми в России до неприличия велик, поскольку во всех развитых странах децильный коэффициент лежит в пределах от 6 до 9. Для сравнения, в 1991 г. в начале перестройки в России, выродившейся в капиталистическую реформацию, данный коэффициент равнялся 4,5 [2].
С кривой Лоренца связана ещё одна характеристика, называемая
коэффициентом Джини (индекс концентрации доходов).
Этот коэффициент определяется как отношение площади фигуры, находящейся между
отрезком прямой 
и кривой 
, к площади треугольника 
на рисунке 1.
Очевидно, что при равномерном распределении доходов коэффициент Джини стремится к нулю, а при предельном неравенстве
доходов сравнивается с единицей.
Коэффициент Джини в России в 2007 г. составил 0,422 против 0,416 в 2006 г. Коэффициент Джини является стандартным средством для сравнения стран между собой в мировой экономике. Оказывается, что по показателям неравномерности распределения доходов Россия находится на уровне латиноамериканских стран [3]. Если в Бразилии коэффициент Джини равен 0,57, в Венесуэле – 0,486, то в Белоруссии он равен 0,25, в Чехии 0,27, на Украине 0,28, в Германии 0,283, во Франции 0,327, в Казахстане 0,33, в Великобритании 0,368, в Индии порядка 0,37. Ещё более низкие показатели индекса Джини имеют скандинавские страны (в Швеции и Дании около 0,25).
На рисунке 2 представлено изменение плотности функции распределения подушевого годового дохода в СССР и в странах бывшего СССР за период с 1970 по 2000 годы согласно [4].
Функция показана с точностью порядка 1 %, так как область изменения доходов была разделена на 100 интервалов согласно сентилям (в каждом сентиле находится 1 % населения, обладающего лишь небольшим различием в доходах), причём функция распределения откалибрована. Это даёт возможность путём суммирования числа людей во всех 100 интервалах найти общее число людей, которое равняется численности населения. Кроме этого, сумма произведений количества людей на средний доход в интервалах даёт суммарный доход общества. Вертикальная линия соответствует уровню дохода 1 доллар в день в ценах 1985 г., как уровню абсолютной бедности согласно определению Всемирного банка (World Bank).
Из рисунка 2 видна достаточно сложная структура функции распределения.
Если построить эту функцию в обычном, а не в логарифмическом масштабе, то можно
будет увидеть длинный спадающий хвост в области больших доходов. В 1897 г. итальянский
экономист В.
Парето попытался представить количественно подобный спад с помощью степенной
функции вида:
, (2)
где показатель 
порядка 2 и менее [5],
– доходы граждан или
предприятий.
Функция (2) называется распределением
Парето для числа граждан (предприятий) в зависимости от их доходов, и
предназначалась для анализа характера неравномерности доходов в обществе.
Математиками и экономистами предпринимались также попытки описать хвост функции
распределения доходов экспоненциальными функциями. Так, согласно оценкам в [6], в Великобритании и США доход и имущество распределены
в основном экспоненциально, а распределению Парето удовлетворяет только
небольшая доля самого богатого населения.
Однако наибольшее значение имеет всё-таки аналитическое описание всей функции распределения целиком, а не только какой-либо её части. Некоторые исследователи моделировали генеральную функцию плотности распределения доходов непараметрическими методами. Например, в [7] использовался метод ядерных оценок, в [8] и [9] диаграммный метод, в [10] применялся метод рядов Фурье. В условиях, когда функция распределения теоретически неизвестна и потому не может быть записана простой математической формулой с малым числом параметров, непараметрические методы давали определённую возможность для структурирования огромных массивов данных, оценки экономического неравенства, уровней бедности и богатства. В [11] можно найти ядерные оценки плотностей распределения логарифмов доходов на душу в номинальном исчислении в России в 1994 – 1997 гг. В полученных зависимостях обнаруживается ряд пиков, которые незаметны при оценках, основанных на доступных широкой публике усреднённых данных Госкомстата и стандартном логнормальном распределении. Под последним понимается такое представление распределения доходов на душу населения, которое даётся формулой:
, (3)
где 
,
– число, равное
отношению длины окружности к диаметру окружности,
– вес наблюдаемого
дохода 
,
– величина дохода,
относительно которого центрируется распределение.
Формула (3) записывается по аналогии с гауссовским нормальным распределением случайной величины, для которого плотность вероятности имеет вид:
, (4)
где 
– центр распределения
для случайной величины 
, являющийся также точкой максимума распределения и центром
симметрии.
Выражение (4) для функции 
описывает колоколообразную кривую. Параметр 
есть расстояние от
вертикальной линии симметрии, задаваемой равенством 
, до точек перегиба кривой, находящихся на правом или левом
крыльях кривой.
В советское время разброс доходов населения был невелик и неплохо моделировался нормальным законом распределения. Но в рыночной экономике с большим частным сектором доходы разных групп существенно разделяются, завися от уровня способностей при достижении результатов, различного рода талантов, квалификации, ценности работника для работодателя, возможности справедливой оплаты труда в соответствующем секторе экономики при различных принятых нормах оплаты труда в разных секторах, от географических, демографических особенностей, здоровья, наличия в собственности приносящих доход недвижимости, земли, средств производства, акций и других материальных и нематериальных прав. На уровень доходов оказывают влияние и дискриминация в своих различных видах, а также объективные явления (стихийные бедствия, безработица).
Как показывают исследования, реальные распределения доходов оказываются
далеки от распределения вида (4) с одним максимумом. Использование суммы в
распределении (3) и логарифмов величин вместо самих величин несколько улучшают
ситуацию, позволяя приблизительно описать сразу несколько пиков в распределении
доходов. Однако нам трудно согласиться с той точкой зрения, что доходы могут
считаться простыми случайными величинами, как-то рассредоточенными относительно
средних значений. Хорошо известно, что экономика страны не просто сумма
составляющих ее малых подсистем типа фирм, организаций и домашних хозяйств, а
нечто качественно иное. Присутствие логарифмов в (3) также указывает на особый
вид распределения, отличающийся по своей сущности от случайного распределения.
По-видимому, квазинормальное логарифмическое распределение является лишь одним
из возможных приближений для описания ситуации, никак не раскрывающим её
внутренних особенностей.
2. Функция плотности распределения подушевого годового дохода
На рисунке 3 представлена нормированная функция плотности распределения подушевого годового дохода в США на 2000 год, взятая из [4]. Диапазон изменения дохода разбит на 100 интервалов, каждому интервалу соответствует один сентиль населения. Каким образом можно описать функцию распределения дохода из рисунка 3?
Представленная функция имеет два явных максимума и примечательную деталь на правом крыле в области больших доходов. Ясно, что ни нормальное, ни логнормальное распределения здесь не годятся, так же как и распределение Парето или простое экспоненциальное распределение.
В поисках подходящей функции распределения обратимся к Бозе-Эйнштейна функции распределения частиц по энергиям, имеющей следующий вид:
, (5)
где 
– число частиц
системы, энергия которых находится в узком интервале от
до 
,
– число
соответствующих различных квантовых состояний частицы,
– химический
потенциал, отнесённый к одной частице,
– постоянная
Больцмана,
– температура системы
частиц.
Распределение (5) используется для частиц – бозонов, которыми являются, в
частности, нейтральные атомы и фотоны. Исходной идеей при выводе (5) в
квантовой механике являлась квантованность возможных энергий частиц, с одной
стороны, и экспоненциальная зависимость для вероятности нахождения частиц в
состоянии с энергией : 
.
Как следствие (5) и равенства нулю химического потенциала для света, для
спектрального распределения интенсивности излучения электромагнитного излучения
внутри чёрного ящика, имеющего температуру , получается формула Планка:
, (6)
где 
– скорость света,
– постоянная Дирака (
– постоянная
Планка),
– мощность излучения,
проходящего в одну сторону через площадь поверхности 
, ориентированную перпендикулярно направлению излучения, в
интервале угловой частоты света от 
до 
.
При малых энергиях фотонов 
по сравнению со
средней энергией атомов 
мы можем разложить
экспоненту в (6) в ряд и ограничиться первыми членами разложения. Это даёт
следующее:
, 
. (7)
Последнее соотношение в (7) носит название закона Рэлея и аппроксимирует (6) в области низких частот. Предположим теперь, что деньги и работающие люди в определенном смысле обладают свойствами бозонов и потому могут описываться распределениями, найденными для бозонов. В пользу данного предположения говорит то, что деньги являются некоторым олицетворением величины, которая в физике носит название энергия. Электромагнитные кванты или фотоны переносят электромагнитную энергию, а деньги являются универсальной мерой стоимости. Изменение количества энергии системы в физике связано либо с выполнением работы системой или над системой, либо с накоплением или рассеянием энергии. Аналогично, изменение количества денег у субъекта экономической деятельности сопряжено с выполнением оплачиваемых работ и услуг, и с процессами аккумулирования и распределения денег. Фотоны могут быть поглощены полностью при совпадении их частоты с резонансными частотами в атоме. Само же излучение из атомов квантовано, так как энергии фотонов равны разности энергий уровней атомов. В твёрдом теле электромагнитная энергия может эффективно перерабатываться в другие виды энергий.
Аналогично в обществе доходы работников также дискретны и коррелированны с заранее известными ставками заработной платы и с уровнем выполняемой работы. Прибавочная стоимость товаров и услуг, произведённых работником, равна разности между ценой их реализации и стоимостью затраченных на их производство оплаченного труда, запасов сырья, материалов, орудий труда, сторонних услуг. В тот момент, когда происходит реализация товара, мы можем сказать, что энергия денег (затраченных на производство товара и его реализацию) переходит во внутреннюю энергию товара в виде его стоимости. То, что стоимость обладает не только объективным, но и субъективным свойством, вытекает из самой процедуры оценивания стоимости посредством рынка или экспертных оценок. Но наличие субъективизма в оценке стоимости товара продавцом и покупателем не означает отсутствия заключённой в товаре соответствующей энергии стоимости. В отношении денег, как и вообще во многом, связанном с человеческим обществом, возникает существенная субъективная составляющая в оценке и принятии эквивалентных соотношений между деньгами, стоимостью, ценой и т.д.
Свойством атомов и фотонов как бозонов является то, что в одном и том же состоянии могут находиться сразу множество частиц системы. Например, в небольшом пространственном объёме возможно сконцентрировать большое количество фотонов с одинаковой энергией (примером является лазер). В противоположность этому, у фермионов в силу принципа Паули должно быть обязательное различие в состояниях частиц. Очевидно, что вращающиеся в обществе материальные и нематериальные ценности, выражаемые денежным эквивалентом, ближе всего по своим свойствам к бозонам, чем к фермионам.
Исходя из изложенного, будем полагать деньги подобно фотонам переносчиками соответствующей энергии и относящимися по своим свойствам к бозонам. Это свойство будет справедливым и для доходов, поскольку они могут быть выражены денежными средствами, полученными за определённый период. Используем теперь формулу типа (6) для описания функции плотности распределения подушевого годового дохода в обществе. В общем виде запишем её так же как в [12]:
, (8)
где есть количество
населения, приходящегося на диапазон изменения дохода 
, расположенный в интервале от до 
,
– некоторый постоянный
коэффициент,
– величина,
аналогичная по смыслу химическому потенциалу в (5),
– величина, задающая
характерную «температуру» рассматриваемого сектора экономики.
При малых доходах, когда стремится к , 
будет стремится к нулю в том случае, если показатель степени 
. Постоянная в (8) определяется из
того условия, что:
, (9)
где – общее население
региона.
При 
, соответствующей кубической степени при
в (6), из (9) находим:
. Сумма произведений среднего дохода в i-ом доходном интервале на количество людей 
в этом интервале
должна равняться общему доходу всего населения: 
. Переходя к интегралу, с учётом (8) имеем:
. (10)
Как будет показано далее, в обществе одновременно существует несколько
групп населения, заметно отличающихся друг от друга по своим доходам и
интенсивности своего труда. В связи с этим мы можем применить известный в
физике принцип суперпозиции, полагая вклад каждой из групп в общую
плотность распределения подушевого годового
дохода в обществе относительно независимым друг от друга. Тогда вместо
(8) следует использовать сумму вкладов всех групп:
, (11)
где индекс 
обозначает номер
группы и меняется от 1 до числа 
, равного количеству групп населения, коэффициенты 
пропорциональны
относительному весу соответствующей группы, а коэффициенты 
по своему смыслу
задают минимальный доход в каждой группе. Коэффициенты 
соответствуют
энергетической температуре в (5) и (6), и если исходить из (7), то чем больше в некоторой группе,
тем больше при прочих равных условиях денежные потоки в этой группе.
Вместо (9) в случае нескольких групп населения можно записать:
, (12)
и если , можно оценить количество людей в каждой отдельной группе: 
. Для общего дохода всего населения вместо (10) должно быть:
. (13)
3. Распределение доходов в США в 2000 году
Применим теперь функцию (11) для анализа плотности функции распределения
доходов на рисунке 3. Как видно, кривая на рисунке 3 обладает
по крайней мере двумя максимумами. Поэтому мы должны взять в (11) сумму
нескольких членов и для каждого члена найти соответствующие величины 
. Проделав это, приходим к следующему результату для
распределения доходов в США в 2000 году:
(14)
В (14) у нас получились четыре члена, причём все они имеют одинаковую
степень в числителе . Общее количество неизвестных коэффициентов 
для четырёх членов
составляет 12, поэтому для их нахождения достаточно взять 12 различных точек на
кривой на рисунке (3). При этом каждому соответствует своё , и мы подставили эти и в (11), затем решили
систему из 12 уравнений и определили коэффициенты в (14).
Подушевой годовой доход в (14) измеряется в тысячах долларов, а – в миллионах людей на
интервал дохода, соответствующий одному сентилю. На
рисунке 4 мы приводим четыре кривые, построенные по четырём функциям в (14).
Алгебраическое сложение этих кривых даёт точно ту же огибающую, что и на
рисунке 3.
Из (14) вытекает, что в населении США существует четыре большие группы, которые в основном и формируют плотность общей функции распределения доходов. Первая группа по-видимому состоит из людей низкой квалификации или работающих неполный трудовой день. Доходы этой группы получаются небольшими, в среднем около $7000 в год (напомним, что мы анализируем данные для 2000 года). Во вторую группу входят более квалифицированные работники, получившие общепринятое минимальное образование и имеющие специальность. Доход этой группы в максимуме соответствующей кривой составляет порядка $22000 в год. Третью группу образуют во многом люди с высшим образованием. Доход в этой группе варьирует около средней величины $43000. Наконец, четвёртая группа включает в себя все высококвалифицированные и высокооплачиваемые должности, со средним доходом $76000 в год.
Во всех группах в той или иной степени находятся также предприниматели и обладатели капиталов, получающие дополнительный доход в виде процента от своего бизнеса, дивидендов или ренты. Более точный анализ состава указанных доходных групп возможен в тех областях доходов, в которых кривые на рисунке 4 не пересекаются между собой.
Из (14) можно найти коэффициенты отдельных функций распределения: 
, 
, 
, 
. Эти коэффициенты должны иметь размерность миллион людей,
делённый на четвёртую степень дохода, по шкале доходов, разделённой на сентили.
Беря отношения 
, 
и т.д.,
находим, что в среднем на одного богатого американца приходится 588
низкооплачиваемых, 30 среднеоплачиваемых и 6 высокооплачиваемых американцев. Эти
цифры однако не совсем точные, поскольку они будут справедливы лишь в случае, когда
коэффициенты 
во всех группе совпадают.
Если же коэффициенты различны, более
информативными должны быть отношения 
, 
и т.д., где 
из (12).
Значения 
, 
, 
, 
в (14) задают нижнюю
границу подушевого годового дохода в тысячах долларов
соответствующей группы.
То, что найденные группы существуют относительно независимо друг от
друга, подтверждается различными значениями 
, 
, 
, 
в (14). Эти величины измеряются как и подушевой годовой
доход в тысячах долларов и подобны по своему смыслу энергетической
температуре в (6). По-видимому, рынок труда предлагает такие рабочие места и
ниши, что в разных группах они принципиально отличаются по своей способности
давать работнику доход.
4. Заключение
Целью данной работы было определение математических формул для описания зависимости распределения годовых доходов на душу населения. Это было достигнуто в соотношениях (8) – (14). Данные формулы хорошо согласуются со статистическими данными для распределения подушевых годовых доходов в США в 2000 г., в которых были обнаружены четыре большие экономически самостоятельные группы населения.
К некоторому сожалению, представленная на рисунке 3 зависимость плотности
функции распределения доходов является ещё не полной для целей экономического
исследования. Дело в том, что при её построении использовались сентили. Каждый сентиль содержит
1 % населения, а средний доход в том или ином сентиле
зависит от положения сентиля на оси доходов. Поэтому
ширина интервала дохода 
, соответствующая какому-либо сентилю, оказывается разной в разных местах оси доходов.
Если мы теперь захотим воспользоваться формулами (12) или (13), подставляя в
них из (14), интервалы
дохода следует преобразовать
в дифференциалы для последующего
интегрирования. Однако информация для такого преобразования имеется лишь в
статистических данных, которыми пользовались авторы работы [4], так что прямое
интегрирование по формулам (12) или (13) без учёта разницы и на рисунке 3
становится неточным, давая слишком большие отклонения. Для того, чтобы полноценно использовать разложения вида (14) на
группы для плотности функции распределения доходов, необходимо изначально иметь
другие зависимости распределения доходов. Они должны быть построены не на
основе сентилей, а путём определения количества
населения при одном и том же диапазоне изменения дохода , при перемещении вдоль оси доходов . Это приведёт к некоторому изменению параметров в (14), не
изменяя качественно общей картины. Результатом станет возможность быстрого и
удобного использования распределений вида (14) в любом экономическом
исследовании, касающемся получения, накопления и расходования денежных средств
в обществе, а также при мониторинге экономики.
5. Список использованных источников
1.
Социально-экономическое
положение России. М.: Госкомстат России, 2007.
2.
Начала справедливости. Ред.
М.И. Зеленский, Спб., 2003.
3.
The World Factbook. Field Listing –
Distribution of family income – Gini index. https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/index.html.
4. Xavier Sala-I-Martin. The World Distribution of Income: Falling
Poverty and . . . Convergence, Period // Quarterly Journal of Economics, 2006,
Vol. CXXI, Issue 2, P. 351–397.
5. Pareto V. Cours d’Economie Politique, Lausanne and Paris, 1897.
6. Dragulesku
A., Yakovenko V.M. Exponential and power-law
distributions of wealth and income in the United Kingdom and the United States
// Physica A, 2001, Vol. 299, P. 213–221.
7. Parzen E.
On the Estimation of a Probability Density Function and Mode // Annals of Math. Statistics, 1962,
Vol. 33, P. 1065–1076.
8. Van Ryzin J. Classification
and clustering. N.Y., C.F., London: Academic Press, 1977.
9. Van Ryzin J. A Histogram Method of Density Estimation // Comm. Statist., 1973, Vol. 2, P.
493–506.
10.
Wegman E. Non-parametric Probability
Density Estimation I. A Survey of Available Methods // Technometrics, 1972.
11.
Шевяков А.Ю., Кирута А.Я. Экономическое неравенство, уровень жизни и
бедность населения России: методы измерения и анализ причинных зависимостей. –
М.: РПЭИ, 2001, 84 с.
12.
Федосин С.Г.
Физические
теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2012, 858 стр., Табл. 21,
Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN
978-5-9901951-1-0.
Источник: http://sergf.ru/fr.htm